몬테카를로 금융법

Monte Carlo methods in finance

몬테카를로 방법은 기업 재무수리 재무에서 금융상품, 포트폴리오투자의 가치에 영향을 미치는 불확실성의 다양한 원천을 시뮬레이션한 다음 결과 [1][2]범위에 걸쳐 가치의 분포를 결정함으로써 가치(복잡한)를 분석하고 분석하기 위해 사용된다.이것은 보통 확률적 자산 모델의 도움으로 이루어진다.몬테 카를로 방법의 장점은 문제의 차원(불확실성의 원천)이 증가함에 따라 증가한다.

몬테카를로 방법은 1964년 데이비드 B에 의해 금융에 처음 도입되었다. Hertz는 Harvard Business Review [3]기사를 통해 기업 재무에서의 적용에 대해 논의했습니다.1977년 펠림 보일은 그의 중요[4]Journal of Financial Economics 논문에서 파생상품 평가에서 시뮬레이션의 사용을 개척했다.

이 기사는 몬테카를로 방법이 사용되는 전형적인 재정 문제를 논의한다.또한 Sobol 시퀀스의 사용과 같은 소위 "준랜덤" 방식의 사용에 대해서도 설명합니다.

개요

몬테카를로 방법은 정량적 [5]문제에 대한 해결책을 근사하기 위해 채택된 통계 표본 추출의 모든 기술을 포함한다.본질적으로, 몬테카를로 방법은 기초(물리적) 과정을 직접 시뮬레이션하고 그 과정의 ([1]평균) 결과를 계산함으로써 문제를 해결한다.이 매우 일반적인 접근법은 물리학, 화학, 컴퓨터 과학 등과 같은 분야에서 유효합니다.

금융에서 몬테카를로 방법이며 그 대표적인 값은 내부 입력을 가능한 규정된 값을 계산하기 위해 불확실성의 악기, 포트폴리오에 또는 투자의 가치에 영향을 미치는 다양한 소식통을 시뮬레이션하는 데 사용됩니다.[1](" 가리는 건 생각할 수 있는 모든 현실 세계 만일의 사태에 가까울 만큼 그들의 likeliho.od.")[6] 재무이론의 관점에서 이는 본질적으로 위험중립적 [7]가치평가의 적용이다. 위험중립성을 참조한다.

몇 가지 예:

  • 기업 재무,[8][9][10] 프로젝트[8] 재무 및 실물 옵션 [1]분석에서 몬테 카를로 방법은 전통적인 정적 및 결정론적 모델과 달리 "확률적" 또는 확률론적 재무 모델을 구축하고자 하는 재무 분석가들에 의해 사용됩니다.여기서 프로젝트의 순현재가치(NPV)의 특성을 분석하기 위해 불확실성의 영향을 크게[10] 받는 현금흐름 요소를 모델링하고, 이들 사이의 상관관계를 포함시켜 "랜덤 특성"을 수학적으로 반영합니다.그런 다음 이러한 결과를 NPV 히스토그램(프로젝트 확률 분포)에 결합하고 잠재적 투자의 평균 NPV와 변동성 및 기타 민감도를 관찰합니다.예를 들어, 이 분포를 통해 프로젝트의 순현재가치가 0(또는 다른 값)[11]보다 클 확률을 추정할 수 있습니다.기업 재무에 대한 자세한 내용은 참조하십시오.
  • 포트폴리오 평가에 몬테카를로 방법을 사용한다.[18]여기서 각 샘플에 대해 부품 계측기에 영향을 미치는 요인의 상관 거동을 시간에 따라 시뮬레이션하고 각 계측기의 결과값을 계산한 후 포트폴리오 값을 관찰한다.이상, 기업 재무에 대해서는, 다양한 포트폴리오의 가치를 히스토그램으로 조합해, 포트폴리오의 통계적 특성을 관찰해, 필요에 따라서 포트폴리오를 평가한다.포트폴리오에 대한 시뮬레이션의 더 잘 알려진 적용인 [19][20]위험가치를 계산할 때도 유사한 접근방식이 사용된다.
  • 몬테카를로 방법은 개인 재무 [22][23]계획에 사용된다.예를 들면, 시장 전체를 시뮬레이션 하는 것으로, 목표 소득에 대해서 401(k)퇴직이 허가될 가능성을 산출할 수 있다.해당 근로자는 퇴직 포트폴리오에 대해 더 큰 위험을 감수하거나 더 많은 비용을 절감하기 시작할 수 있습니다.
  • 개별 이벤트 시뮬레이션을 사용하여 제안된 자본 투자가 기존 운영에 미치는 영향을 평가할 수 있습니다.여기서 "현재 상태" 모델을 구성합니다.과거 데이터에 대해 테스트검증을 거친 후 올바르게 작동하면 제안된 자본 투자를 반영하도록 시뮬레이션이 변경됩니다.이 "미래 상태" 모델은 비용 대비 성능 개선(즉, 수익률)을 평가하여 투자를 평가하는 데 사용된다. 또한 설계 스트레스 테스트에도 사용될 수 있다.개별 이벤트 시뮬레이션 #자본 투자 의사 결정 평가를 참조하십시오.

몬테카를로 방법은 유연성을 제공하고 불확실성의 여러 원천을 처리할 수 있지만, 그럼에도 불구하고 이러한 기법을 사용하는 것이 항상 적절한 것은 아니다.일반적으로 시뮬레이션 방법은 여러 상태 변수(즉,[1] 여러 불확실성 원천)가 있을 때만 다른 평가 기법보다 선호된다.이러한 기법들은 또한 미국 스타일의 파생상품을 평가하는 데 제한적으로 사용된다.이하를 참조해 주세요.

적용 가능성

복잡도

수학 금융의 많은 문제는 특정 적분의 연산을 수반한다(예를 들어 특정 파생상품의 차익거래 없는 가치를 찾는 문제).대부분의 경우 이러한 적분은 분석적으로 평가될 수 있으며, 더 많은 경우 수치 적분을 사용하여 평가되거나 편미분 방정식(PDE)을 사용하여 계산될 수 있다.그러나, 문제의 차원(또는 자유도) 수가 클 경우, PDE와 수치 적분은 다루기 어려워지고, 이러한 경우 몬테 카를로 방법은 종종 더 나은 결과를 제공한다.

3개 또는 4개 이상의 상태 변수의 경우 Black-Scholes(, 분석 솔루션)와 같은 공식은 존재하지 않는 반면, 이항 옵션 가격 결정 모델과 유한 차이 방법과 같은 다른 수치 방법은 몇 가지 어려움에 직면해 실용적이지 않다.이러한 경우, 몬테카를로 방법은 수치 방법보다 더 빨리 솔루션에 수렴하고, 더 적은 메모리를 필요로 하며, 프로그래밍이 더 쉽다.그러나 간단한 상황에서는 시뮬레이션이 시간이 많이 걸리고 계산 집약적이기 때문에 시뮬레이션이 더 나은 솔루션은 아닙니다.

몬테카를로 방법은 경로 의존적 보상을 갖는 파생상품을 매우 간단한 방법으로 다룰 수 있다.한편, 유한 차분(PDE) 솔버는 패스 의존성에 시달리고 있습니다.

아메리칸 옵션

몬테카를로 방식은 미국식 옵션에서 사용하기 어렵습니다.이는 편미분 방정식과 대조적으로 몬테카를로 방법은 주어진 시작점과 시간을 가정한 옵션 값만 추정하기 때문이다.

그러나 초기 연습의 경우 시뮬레이션 시작 시간과 옵션 만료 시간 사이의 중간 시간에 옵션 값도 알아야 한다.Black-Scholes PDE 접근법에서는 시뮬레이션이 만료일부터 역방향으로 실행되기 때문에 이러한 가격은 쉽게 구할 수 있다.몬테카를로에서는 이 정보를 입수하기가 더 어렵지만, 예를 들어 몇 년 후 롱스태프와 슈워츠에 의해 널리 보급된 캐리어의 최소 제곱 알고리즘(원래 [citation needed][citation needed]논문 링크 참조)을 사용할 수 있다.

몬테카를로법

수학적으로

차익거래 없는 가격의 기본정리는 파생상품의 가치가 리스크 중립적인 척도에 따라 기대치가 취해지는 파생상품 보상의 할인된 기대치와 동일하다는 것이다.기대란 순수 수학의 언어로 측정치에 대한 단순한 적분이다.몬테카를로 방법은 어려운 적분 평가에 이상적으로 적합하다. (몬테카를로 방법 참조).

따라서 위험 중립 확률 공간이 P이고 기본 .. , 세트에 의존하는 도함수 H가 있다고 가정하면 공간의 확률 값에서 Rivative는 ( ( ) , ( ) , , ( ) : ( ) \ ( S { 1 ( ) 、S _ { 2 } ( ) 、 \ display style H ( S _ { { 1 ) 。 오늘날의 파생상품 값은 가능한 모든 샘플에 대한 기대치를 취하여 무위험 환율로 할인함으로써 구한다.즉, 파생상품의 가치는 다음과 같다.

서 D TT})는 T년 후의 최종 만기까지의 무위험 비율에 해당하는 할인 요인이다.

이제 적분을 계산하기 어렵다고 가정합니다.샘플 경로를 생성하고 평균을 취함으로써 적분을 근사할 수 있습니다.N개의 표본을 생성한다고 가정합니다.

계산하기가 훨씬 쉽습니다.

표준 모델의 샘플 경로

금융에서 기초 랜덤 변수(예: 기초 주가)는 일반적으로 브라운운동의 함수인 경로를 따르는 것으로 가정한다.예를 들어, 표준 블랙-숄즈 모델에서 주가는 다음과 같이 진화한다.

시간 0에서 T까지의 분포를 따르는 경로를 샘플링하려면 시간 간격을 길이 t의 M 단위로 잘라 간격 d\대한 브라운 운동을 평균 0과 분산 의 단일 정규 변수로 근사합니다.이를 통해 샘플 패스로 이어집니다.

1과 M 사이의 k에 대해.여기서 각 i \ \ _ { 표준 정규 분포에서 추출한 값입니다.

도함수 H가 S의 평균값0과 T 사이에 지불하고 샘플 패스 가 세트 {, \{\1},\_{ 대응한다고 가정합니다.

N개의 정규 변수 로트를 생성하고, N개의 샘플 경로 및 H의 N개의 값을 생성한 다음, 평균을 취함으로써 이 도함수의 Monte-Carlo 값을 구합니다.일반적으로 파생상품은 두 개 이상의 (아마도 상관관계가 있는) 언더라이징에 의존합니다.이 방법은 여러 변수의 샘플 경로를 생성하도록 확장할 수 있습니다. 여기서 샘플 경로를 구성하는 정규 변수는 적절하게 상관됩니다.

는 표본 경로의 수를 4배로 곱하면 시뮬레이션 가격의 오차가 약 절반(즉, 오차는 용액 표준 편차의 의미에서 (- 1 /)(\ \thyle {O(N}\right 수렴 순서)가 된다.

실제로 몬테카를로 방법은 최소 3개의 변수를 포함하는 유럽 스타일의 파생상품에 사용된다. (숫자 적분을 포함하는 보다 직접적인 방법은 보통 하나 또는 두 개의 기초가 있는 문제에 사용될 수 있다.)몬테카를로 옵션모델을 참조해 주세요.

그리스인

옵션의 "그리스인" 즉, 입력 매개변수에 대한 옵션 값의 (수학적인) 파생상품에 대한 추정치는 수치 미분을 통해 구할 수 있다.이는 시간이 많이 걸리는 프로세스일 수 있습니다(입력 파라미터의 각 "범프" 또는 작은 변경에 대해 전체 몬테카를로 실행을 수행해야 합니다).또한 수치 미분을 취하면 몬테카를로 값의 오차(또는 소음)를 강조하는 경향이 있어 다수의 표본 경로로 시뮬레이션해야 한다.실무자들은 이러한 점을 몬테카를로 방법 사용의 핵심 문제로 간주한다.

분산감소

제곱근 수렴은 느리기 때문에 위에서 설명한 순진한 접근방식을 사용하면 정확한 결과를 얻기 위해 매우 많은 샘플 경로(예를 들어 일반적인 문제의 경우 100만 개)를 사용해야 합니다.파생상품 가격의 추정치는 무작위 변수이며, 위험 관리 활동의 프레임워크에서 파생상품의 가격 및/또는 그 위험에 대한 불확실성은 차선의 위험 관리 결정을 초래할 수 있다는 것을 기억한다.

이러한 상황은 분산 감소 기법으로 완화될 수 있습니다.

반대 경로

간단한 방법은 취득한 모든 샘플 패스에 대해 경로({ 사용하여{- {\ {\displaystyle\})도 취득하는 것입니다.\ _- i\ -\i}는 대조적인 쌍을 이루며, 값이 크면 다른 값이 작습니다.이는 첫 번째 경로에서 계산된 비정상적으로 크거나 작은 출력은 반대 경로에서 계산된 값에 의해 균형을 이룰 수 있으며 결과적으로 분산이 [24]감소한다는 것을 나타냅니다.이는 N개의 경로를 생성하기 위해 채취해야 하는 정상 샘플의 수를 줄일 뿐만 아니라, 두 추정치 간의 음의 상관관계와 같은 동일한 조건에서 샘플 경로의 분산을 줄여 정확도를 향상시킵니다.

관리변동법

관리 변수를 사용하는 것도 당연합니다.도함수 H의 몬테카를로 값을 구하고 싶지만 유사한 도함수 I의 값을 분석적으로 알고 있다고 가정하자.그러면 H* = (몬테카를로에 따른 H값) + B*[(분석적으로 I값) - (동일한 몬테카를로 경로에 따른 I값)]가 더 나은 추정치이며, 여기서 B는 covar(H,I)/var(H)이다.

이 기법의 배후에 있는 직관은 파생상품에 적용될 때 다음과 같다. 즉, 파생상품의 분산의 원천은 이 파생상품의 위험(예: 델타, 베가)에 직접 의존하게 된다.그 이유는 예를 들어 언더리어의 순방향 값 추정기의 오류는 이 순방향 값에 대한 도함수의 델타에 따라 대응하는 오류를 생성하기 때문입니다.이를 입증할 수 있는 가장 간단한 예는 통화료와 통화료 스트래들(즉, 통화+풋)의 가격 결정 시 오류를 비교하는 것입니다.

따라서 도함수 I을 선택하는 표준 방법은 H에 대한 옵션의 반복 포트폴리오를 선택하는 것이다.실제로는 분산 감소 없이 H에 가격을 매기고 델타와 베가스를 계산한 다음 제어 변동과 동일한 델타와 베가스를 가진 콜과 퍼트의 조합을 사용합니다.

중요도 샘플링

중요도 표본 추출은 다른 확률 분포(측정 변경이라고도 함)를 사용하여 몬테 카를로 경로를 시뮬레이션하는 것으로 구성되며, 이는 시뮬레이션된 언더라이어가 가장 볼록성이 높은 영역(예를 들어 단순한 옵션의 경우 타격에 근접함)에 위치할 가능성을 더 많이 제공한다.시뮬레이션 보상은 단순한 몬테카를로의 경우처럼 단순히 평균이 아니라 먼저 수정된 확률 분포와 원래의 확률 분포 사이의 우도비에 곱한다(확률 분포에 특정한 분석 공식에 의해 얻어진다).이것에 의해 확률 분포의 변경에 의해 확률이 임의로 증대된 패스에 낮은 가중치가 부여됩니다(이는 분산이 감소하는 방법입니다).

이 기법은 파생상품에 대한 위험을 계산할 때 특히 유용합니다.몬테카를로법을 사용하여 델타를 계산할 때 가장 간단한 방법은 원래 시장 데이터와 변경된 시장 데이터에 대해 몬테카를로를 수행하고 차분을 적용하여 위험을 계산하는 블랙박스 기법이다.대신, 중요도 표본 추출 방법은 임의의 기준 시장 데이터(이상적으로 분산이 가능한 한 낮은 데이터)에서 몬테 카를로를 수행하고 위에서 설명한 가중치 변화 기법을 사용하여 가격을 계산하는 것으로 구성된다.그 결과 블랙박스 접근방식을 통해 얻은 위험보다 훨씬 더 안정적일 수 있습니다.

준랜덤(저불확실성) 방식

무작위로 샘플 경로를 생성하는 대신, 공간을 최적으로 "채우기" 위해 확률 공간에서 체계적으로(그리고 실제로는 완전히 결정적으로 "준임의"에도 불구하고) 점을 선택할 수 있습니다.포인트 선택은 Sobol 시퀀스와 같이 불일치가 낮은 시퀀스입니다.불일치성이 낮은 시퀀스의 포인트에서 파생상품 보상의 평균을 취하는 것이 랜덤 포인트에서 보상의 평균을 취하는 것보다 더 효율적인 경우가 많다.

메모들

  1. 종종 다른 척도에서 기대치를 취하는 것이 더 실용적이지만, 이것들은 여전히 기본적으로 통합적이기 때문에 동일한 접근방식을 적용할 수 있다.
  2. Lévy 프로세스와 같은 보다 일반적인 프로세스도 가끔 사용됩니다.이것들은 시뮬레이트 할 수도 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

메모들

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기사들

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책들

외부 링크

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