룩백 옵션

룩백옵션은 금융 용어에서, 다른 많은 종류의 옵션들 중에서도 경로 의존성을 가진 이색 옵션의 한 유형이다. 보상은 옵션의 존속기간에 걸쳐 발생하는 최적의(최대 또는 최소) 기초자산 가격에 따라 달라진다. 옵션으로 보유자는 시간이 지남에 따라 "뒤돌아보며" 지불액을 결정할 수 있다. 부동 스트라이크와 고정 스트라이크의 두 가지 룩백 옵션이 있다.

부동 스트라이크가 있는 룩백 옵션

이름이 소개하듯 옵션의 스트라이크 가격은 유동적이고 만기가 되면 결정된다. 변동파업은 옵션존속기간 중 기초자산가격의 최적가치다. 보수는 만기시 시장자산의 가격과 부동산업 파업의 최대 차이다. 콜의 경우, 옵션 존속기간 중 파업가격은 자산의 최저가격으로 고정되고, 풋의 경우 자산의 최고가격으로 고정된다. 이러한 옵션은 항상 보유자에 의해 행사되기 때문에 실제로 옵션이 아니라는 점에 유의하십시오. 사실 이 옵션은 결코 돈이 안 드는 옵션으로, 표준 옵션보다 더 비싸다. 룩백 콜과 룩백 풋에 대한 보상 기능은 각각 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle LC_{float}=\max(S_{T}-S_{min},0)=S_{T}-S_{min},0)=S_{text{and}~{LP_{float}=\max(S_{max}-S_{T},0})}, {T},$

여기서 ${\displaystyle {Sm}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 옵션 존속기간 동안 자산의 최대가격이고, $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\$은 옵션 존속기간 동안 자산의 최소가격이며, ${\displaystyle S_{}}$ T$${\$displaystyle$ $S_{T}}$은 $만기일{\displaystyle }$ 때 기초자산 $가격$이다$.$

고정 스트라이크가 있는 룩백 옵션

표준 유럽 옵션의 경우 옵션의 스트라이크 가격이 고정되어 있다. 차이점은 옵션이 만기일에 가격에서 행사되지 않는다는 것이다. 즉, 보수는 최적의 기초자산가격과 파업의 최대 차이인 것이다. 콜옵션의 경우 보유자는 기초자산가격이 최고수준인 시점에 행사하기로 선택한다. 풋옵션의 경우 보유자는 기초자산의 최저가격으로 행사하기로 선택한다. 룩백 콜과 룩백 풋에 대한 보상 기능은 각각 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle LC_{fix}=\max(S_{max}-K,0),~~{\text{and}}~{LP_{fix}=\max(K-S_{min},0),}$

여기서 ${\displaystyle {Sm}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 옵션 존속기간 중 자산의 최대가격이고, ${\displaystyle {Sm}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\$은 옵션$$ 존속기간 중 자산의 최소가격이며, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 스트라이크 가격이다.

변동 스트라이크가 있는 룩백 옵션의 차익거래가 없는 가격

블랙-숄즈 모델과 그 기호를 이용하면 우리는 유럽 룩백 옵션의 가격을 부동의 스트라이크로 매길 수 있다. 가격 책정 방식은 표준 유럽 옵션보다 훨씬 복잡하며 뮤시엘라에서 찾아볼 수 있다.^[1] 있다는continuously-compounded 무위험 이자율 r을이 존재한다;0{\displaystyle r>0}과 일정한 주식의 변동성 σ>0{\displaystyle \sigma>0}. 성숙하는 데 시간은 T>를 취하다;0{\displaystyle T>0}, 그리고 우리가 시간의 선택 매길 것 t<T{\displaystyle t<, 가정한다.T}, 비록 삶 시간 0에서 시작된 옵션. $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ -${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =T-t}$정의 마지막으로

${\displaystyle M=\max _{0\leq u\leq t}S_{u},~~m=\min _{0\leq u_{u}{\text}, }}S_{{t}=S.}$

그 후, 부동한 스트라이크가 있는 룩백 콜 옵션의 가격은 다음과 같다.

${\displaystyle LC_{t}=S\Phi (a_{1}(S,m))-me^{-r\tau }\Phi (a_{2}(S,m))-{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (-a_{1}(S,m))-e^{-r\tau }(m/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (-a_{3}(S,m))),}$

어디에

${\displaystyle a_{1}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r+{\frac {1}{1}{2}}\sigma ^{2}}}{\sigma {\\sqrt{\\tau}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle a_{2}(S,H)={\frac {\ln(S/H)+(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle a_{3}(S,H)={\frac {\ln(S/H)-(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=a_{1}(S,H)-{\frac {2r{\sqrt {\tau }}}{\sigma }},{\text{ with }}H>0,S>0,}$

and where ${\displaystyle \Phi }$ is the standard normal cumulative distribution function, ${\displaystyle \Phi (a)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{a}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$.

마찬가지로 부동 스트라이크가 있는 룩백 풋 옵션의 가격은 다음과 같다.

${\displaystyle LP_{t}=-S\Phi (-a_{1}(S,M))+Me^{-r\tau }\Phi (-a_{2}(S,M))+{\frac {S\sigma ^{2}}{2r}}(\Phi (a_{1}(S,M))-e^{-r\tau }(M/S)^{\frac {2r}{\sigma ^{2}}}\Phi (a_{3}(S,M))).}$

부분 룩백 옵션

부분적 룩백옵션은 동일한 수익구조를 가지지만 공정한 가격을 인하할 목적으로 하는 룩백옵션의 하위종류다. 한 가지 방법은 일정한 $[\displaystyle \mu }$을(를) 사용하여 공정가치를 선형적으로 확장하는 것이다^[2] 여기서 < $<<\displaystyle$ 0$<\lambda <1}.$ 따라서 대가는 다음과 같다.

$\displaystyle \lambda(\max\{S_{i}\}_{1}^{T}-S_{T}}}$

특정 날짜를 선택하는 것은 부분적인 룩백 옵션과 다른 부분적인 경로 의존적 옵션을 만드는 더 복잡한 방법이다. 원칙은 모니터링 날짜의 서브셋을 선택해 룩백 조건이 덜 강해져 프리미엄을 줄이는 것이다. 예로는 헤이넨과 캣이 제안한 부분적 룩백 ^[3]옵션과 창과 리에 의해 제안된 기억상실적 룩백 옵션을 들 수 있다.^[4] 이산적 부분 경로 의존적 옵션은 연속적인 가정 하에서 가격이 지나치게 비싸고 가격이 복잡하며 일반적으로 수치적 방법을 사용하여 수행된다.^{[5] [6]}

참조