코보르디즘

코보디즘(W; M, N).

수학에서 코보르디즘은 다지관의 경계(프랑스 보르드, 코보르디즘을 주는 것)의 개념을 이용하여 설정된, 같은 차원의 콤팩트 다지관의 등급에 대한 기본적인 동등성 관계다.동일한 치수의 두 다지관은 그 분리 결합이 1차원 더 높은 콤팩트 다지관의 경계인 경우 교두보이다.

(n + 1)차원 다지관 W의 경계는 닫힌 n차원 다지관 isW로, 즉, 경계가 비어 있다.일반적으로 폐쇄 다지관은 경계가 될 필요가 없다: 거미줄 이론은 모든 폐쇄 다지관과 경계인 다지관의 차이를 연구하는 학문이다.이 이론은 원래 르네 톰이 부드러운 다지관(즉, 구별할 수 있는)을 위해 개발했지만, 현재는 조각으로 된 선형 다지관과 위상 다지관에 대한 버전도 있다.

다지관 M과 N 사이의 코보디즘은 콤팩트 다지관 W로, 경계는 M과 N의 분리된 결합인 $\partial W=M\sqcup N$ W $\partial W=M\sqcup N$ = $\partial W=M\sqcup N$ $\partial W=M\sqcup N$ N $\partial W=M\sqcup N$ 이다 $\partial W=M\sqcup N$

코보디즘은 그들이 생성하는 동등성 관계를 위해 그리고 그들 자신의 권리에 있는 개체로서 연구된다.코보르디즘은 다지관의 차이점형성이나 동형성보다 훨씬 더 강한 등가성 관계로서, 연구와 계산이 상당히 용이하다.다지관을 차동형성 또는 동형성까지 차원으로 분류하는 것은 불가능하지만, 다지관을 교보주의까지 분류하는 것은 가능하지 않기 때문이다.코보디즘은 기하학적 위상과 대수학적 위상에서 연구의 중심 대상이다.기하학적 위상에서는 자갈이 모스 이론과 밀접하게 연관되어 있으며, h-코보르디즘은 고차원 다지관, 즉 수술 이론의 연구에서는 기초가 된다.대수적 위상에서는 거미줄 이론은 근본적인 비상식적인 코호몰로지 이론이며, 거미줄의 범주는 위상학적 양자장 이론의 영역이다.

정의

다지관

대략적으로 말하면, n-차원 다지관 M은 유클리드 $\mathbb {R} ^{n}.$ R $\mathbb {R} ^{n}.$ $\mathbb {R} ^{n}.$ . $\mathb {R$ ^{ $n}}}$ 경계가 있는 $\mathbb {R} ^{n}.$ 다지관은 국소적으로(즉, 각 지점 근처) 위상학적 공간이며, M의 지점은 반경의 개방된 부분 집합에 대해 동형인 근방을 가질 수 있다는 점을 제외하면 유사하다.f-공간

\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}

유클리드 공간의 개방된 부분 집합에 대한 근린 동형체가 없는 점들은 M $M$ 의 경계점이다 $M$ $M$ $M$ 의 경계가 $\partial M$ $\partial M$ ${\$ $displaystyle$ $\partial M}$ 으로 표시된다 $M$ $\partial M$ 마지막으로, 폐쇄된 다지관은 정의상 경계가 없는 콤팩트 다지관이다 $\partial M=\emptyset$ $\partial M=\emptyset$ ∂). $yle \partial$ M $=\emptyset }.)$

코보르디즘

An $(n+1)$ -dimensional cobordism is a quintuple $(W;M,N,i,j)$ consisting of an $(n+1)$ -dimensional compact differentiable manifold with boundary, $W$ ; closed $n$ -manifolds ${\displaysty$ $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ $M$ $N$ $N$ 및 $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ i $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ W ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W$ j $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ : $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ ${\displaysty j\colon N\hockrigrightarrow \partial$ W $}$

\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}

이 용어는 보통 $(W;M,N)$ $(W;M,N)$ $){\displaystyle (W;M,N)}$ 로 약칭된다 $(W;M,N)$ ^[1] 그러한 거미줄이 존재한다면 M과 N은 코보단트라고 불린다.고정된 다지관 M에 거미줄이 있는 모든 다지관은 M의 거미줄 등급을 형성한다.

모든 닫힌 다지관 M은 비 컴팩트 다지관 M × [0, 1)의 경계로, 이러한 이유로 우리는 거미줄의 정의에서 W가 콤팩트할 것을 요구한다.그러나 W를 연결할 필요는 없다는 점에 유의하십시오. 따라서 M = ∂W₁, N = ∂W이면₂ M과 N은 교두보입니다.

예

거미줄의 가장 간단한 예는 단위 간격 I = [0, 1]이다.0차원 다지관 {0}, {1} 사이의 1차원 거미줄이다.보다 일반적으로, 닫힌 다지관 M에 대해, (M × I; M × {0}, M × {1})은 M × {0}에서 M × {1}까지의 거미줄이다.

하나의 원(위쪽)과 한 쌍의 분리 원(아래쪽) 사이의 거미줄.

M이 원으로 구성되고, 두 개의 원으로 구성된 N이 함께 바지 W의 경계를 구성한다(오른쪽 그림 참조).따라서 바지 한 벌은 M과 N 사이의 코보디즘이다.M과 N 사이의 더 단순한 코보드는 세 개의 디스크의 분리 결합에 의해 주어진다.

The pair of pants is an example of a more general cobordism: for any two n-dimensional manifolds M, M′, the disjoint union $M\sqcup M'$ is cobordant to the connected sum $M\mathbin {\#} M'.$ The previous example is a particular case, since the connected sum $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ is isomorphic to $\mathbb {S} ^{1}.$ The connected sum $M\mathbin {\#} M'$ is obtained from the disjoint union $M\sqcup M'$ by surgery on an embedding of $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}$ ${\$ $M\sqcup M'$ $\mathb{S} ^{0}\times \mathb {D}{n}}$ $M\sqcup M'$ $M\sqcup M'$ $\$ {\ $displaystyle$ M\ $sqcup$ M $'}$ 에서 \mathb {D}{n $M\sqcup M'$ 수법칙

용어.

n-manifold M은 M과 빈 다지관 사이에 거미줄이 있으면 null-cobordant, 즉 M이 일부(n + 1)-manifold의 전체 경계라면 null-cobordant라고 부른다.예를 들어, 원은 디스크를 경계하기 때문에 null-cobordant이다.보다 일반적으로 n-sphere는 a(n + 1)-disk를 경계하기 때문에 null-cobordant이다.또한 방향성이 있는 모든 표면은 손잡이의 경계이기 때문에 null-cobordant이다.한편, 2n차원 실제 투영 공간 $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ ( R $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ ) $\mathb {P}^{2n}(\mathb {R$ )은 다지관의 경계가 아닌 (compact) 폐쇄 다지관이다 $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ .

일반적인 보르디즘 문제는 여러 가지 조건이 적용되는 다지관의 코보디즘 계급을 계산하는 것이다.

추가적인 구조를 가진 null-cobordism을 채우기라고 한다.보르디즘과 코보디즘은 어떤 작가들에 의해 상호 교환적으로 사용된다; 다른 작가들은 그것들을 구별한다.코보르디즘 계급의 연구와 코보르디즘의 연구를 그 나름대로의 사물으로서의 코보르디즘의 연구와 구별하고 싶을 때는 다지관의 등가성 질문 보르디즘, 다지관의 사물 코보디즘으로서의 코보디즘의 연구라고 부른다.^{[citation needed]}

보르디즘(bordism)이라는 용어는 경계를 뜻하는 프랑스 보르드에서 유래했다.따라서 보르디즘은 경계를 연구하는 학문이다.코보르디즘은 "공동 결합"을 의미하기 때문에 M과 N은 다지관을 공동으로 결합한다면, 즉, 그들의 해체된 결합이 경계라면 교두보이다.또한 거미줄 집단은 비범한 동족학 이론을 형성하고, 따라서 공동체를 형성한다.

변형

위 내용은 정의의 가장 기본적인 형태다.그것은 또한 비지향적인 보르디즘이라고 일컬어진다.많은 상황에서, 해당 다지관은 G-구조물이라고 하는 다른 추가 구조물을 가지고 있거나 방향이 잡힌다.이를 통해 각각 '지향적 거미줄'과 'G-구조가 있는 코보르디즘'이 생겨난다.바람직한 기술적 조건 하에서 이것들은 거미줄 고리 $\Omega _{*}^{G}$ $\Omega _{*}^{G}$ ${\$ 라고 불리는 등급이 있는 링을 형성하며, 차원별 등급이 있고, 분리 결합과 데카르트 제품별 곱셈이 추가된다.코보르디즘 그룹 $\Omega _{*}^{G}$ $\Omega _{*}^{G}$ ${\$ 은 일반화된 호몰로지 이론의 계수 그룹이다 $\Omega _{*}^{G}$ .

추가적인 구조가 있을 때, 거미줄의 개념은 좀 더 정확하게 공식화되어야 한다: W의 G 구조는 M과 N의 G 구조로 제한된다.기본 예로는 비지향적 거미줄의 경우 G = O, 지향적 거미줄의 경우 G = SO, 안정적 복합다지관을 이용한 복합 거미줄의 경우 G = U가 있다.더 많은 것들이 로버트 E에 의해 상세하게 설명된다. 스퉁.^[2]

비슷한 맥락에서 수술 이론의 표준 도구는 정상 지도에서의 수술이다: 그러한 과정은 정상 지도를 같은 보르디즘 계급 내의 다른 정상 지도로 바꾼다.

추가 구조물을 고려하는 대신 다지관, 특히 조각형 선형(PL)과 위상학적 다지관의 다양한 개념을 고려하는 것도 가능하다.이는 보르디즘 그룹 $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ ∗ P $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ ( $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ ) $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ , $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ T $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ ( $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ ) ${\displaystyle \Oomega _{*^{PL}(X),\Oomega _{*}^{TOP$ 을 발생시키며, 이들은 다른 변형보다 계산하기 어렵다.^{[citation needed]}

수술구축

일반적으로 X, Y가 경계를 가진 다지관일 경우, 제품 다지관의 경계는 ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪(X × ∂Y)임을 상기한다.

이제 치수 n = p + $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ 의 다지관 M과 내장형 ding $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ : $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ M $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ , $\varphi :\mathb {S$ ^{ $p}\times \mathb {D}$ ^{ $q}\subset$ M $,}}}}}$ 이 n-manifold를 정의한다 $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$ .

N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi _{p}\time \mathb {S}{{q-1}\}\time \mathb {s}\cHB {d}}\mathb {s}\{s}오른쪽

$\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ 을 통해 S p $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ ${\$ ^{d}} ^{ $q}}}$ 의 $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ 내부를 잘라내고 $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ + 1 $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ - 1 ${\$ {s-1 $}{{{{{q-1}}}}}}}}}}}}}{{{{{{$ q-1 $}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

\partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).

수술 흔적은

{\displaystyle W:=(M\time I)\cup _{\mathb {S} ^{p}\time \{d}\{1\}\}\{1\}\lift(\mathb {D}\d}\time \mathb {D} ^{d}\d}\d}\d}\rig}}}}}\righipped}}})

초기의 거미줄(W; M, N)을 규정한다.참고로 M은 D $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ + $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ - $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ N $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ . $\mathb {D$ ^{ $p+1}\time \mathb {S} ^{q-1$ }\ $subset N}$ 수술로 $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.$ N에서 얻어진다는 것을 역수술이라고 한다.

모든 거미줄은 마스턴 모스, 르네 톰, 존 밀노르의 작품에 의해, 기본적인 거미줄의 결합이다.

예

제1도

위의 정의에 따라 원의 수술은 S $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ ${\$ ^{1}{1 $}}}$ 의 $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ 사본을 잘라내고 D $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ . ${\displaystyle \mathb$ { $D} ^1\time \mathb$ { $s}{{{0}}}}}}}}}}}}}.$ $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.$ 그림 1의 그림은 이 작업의 결과가 다시 $\mathbb {S} ^{1}$ (i) $\mathbb {S} ^{1}$ 1 ${\$ 1} $또는 ($ ii) S $\mathbb {S} ^{1}$ ${\$ S $} ^{$ 1}의 $\mathbb {S} ^{1}$ 두 복사본 중 하나임을 보여준다.

그림 2a

그림 2b

2-sphere 수술의 경우 S $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ D $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ ${\$ ^{2}}회 또는 $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ S $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ D $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ $.\displaysty \mathb {S}{1}\time \mathb {D}^{1}{$ $}$

$\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ 1 ${\$ } $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ : 2-sphere에서 실린더를 제거하면 디스크 2개가 남는다. $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ 는 S $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ ${\$ { $D} ^{$ 2}} $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ – 즉, 디스크 2개 - 그렇게 한 결과는 우리에게 두 개의 분리된 구를 주는 것이 분명하다.(그림 2a)
그림 2c.이 모양은 3칸에 넣을 수 없다.
$\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ : Having cut out two disks $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},$ we glue back in the cylinder $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ There are two possible outcomes우리의 접착 지도가 두 경계 원 위에서 같은 방향인지 아니면 반대 방향인지에 따라 달라진다.방향이 같을 경우(그림 2b), 결과 다지관은 $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ S $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ ${\$ ^1}{ $1}}}}}$ 이지만 $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ 다를 경우 클라인 병을 얻는다(그림 2c).

모르스 함수

f가 (n + 1)차원 다지관의 Morse 함수라고 가정하고, c가 그 preimage에 정확히 하나의 임계점을 갖는 임계치라고 가정한다.이 임계점의 지수가 p + 1이면 레벨 집합 N := f⁻¹(c + ε)은 p-수술로 M := f⁻¹(c - ε)로부터 얻는다.역영상 W :=f⁻¹([c - ε, c + ε])는 이 수술의 흔적과 함께 식별할 수 있는 코보르디즘(W; M, N)을 정의한다.

기하학, 그리고 모스 이론과 핸들베이스와의 연결

코보디즘(W; M, N)을 가정할 때 f⁻¹(0) = M, f⁻¹(1) = N과 같은 부드러운 함수 f → [0, 1]가 존재한다. 일반적인 위치로는 f가 Morse이고 모든 임계 지점이 W의 내부에서 발생한다고 가정할 수 있다.이 설정에서 f는 거미줄 위에 있는 모스함수라고 불린다.코보르디즘(W; M, N)은 F의 각 임계점마다 하나씩 M에 대한 일련의 수술의 흔적을 결합한 것이다.다지관 W는 F의 각 임계점에 대해 하나의 핸들을 부착하여 M × [0, 1]로부터 얻는다.

The 3-dimensional cobordism

W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}

between the 2-sphere

M=\mathbb {S} ^{2}

and the 2-torus

N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},

with N obtained from M by surgery on

\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,

and W obtained from M × I by attaching a 1-handle

{\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}.

}

모스/스마일 정리는 거미줄에 관한 모스 함수의 경우 f′의 흐름선이 3중(W; M, N)의 핸들 표시를 발생시킨다고 기술하고 있다.반대로, 거미줄의 손잡이 분해로 주어지면, 그것은 적절한 모스함수에서 나온다.적절히 정규화된 설정에서 이 프로세스는 손잡이 분해와 모스 함수의 거미줄 사이에 관련성을 제공한다.

역사

코보르디즘은 1895년 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 동성애학을 순수한 다지관(Dieudonné 1989, 페이지 289)으로 정의하려는 시도에 그 뿌리를 두고 있었다.푸앵카레는 일반적으로 같지 않은 호몰로지(homology)와 코보르디즘(cobordism)을 동시에 정의했다.보르디즘과 호몰로지 사이의 관계에 대해서는 코보르디즘을 비범한 코호몰로지 이론으로 보라.

레프 폰트랴긴은 다지관에 대한 기하학적 연구에서 보르디즘을 분명히 도입했다.그것은 René Thom이 거미집단이 톰 콤플렉스 구조를 통해 호모토피 이론을 통해 계산될 수 있다는 것을 보여주면서 유명해졌다.코보르디즘 이론은 K-이론과 함께 비범한 코호몰로지 이론의 일부가 되었다.역사적으로 말하면 1950년대와 1960년대 초의 위상 개발, 특히 히르제브루흐-리만-로흐 정리, 그리고 아티야-싱어 지수 정리 첫 번째 교정에서 중요한 역할을 수행했다.

1980년대에는 양자 위상의 중요한 부분인 위상 양자장 이론의 아티야-세갈 공리에서 형태론으로서 이것들 사이에 콤팩트한 다지관과 자갈이 있는 범주가 기본적인 역할을 했다.

범주적 측면

코보디즘은 코보디즘 수업과는 별개로 그들 나름대로의 연구 대상이다.거미줄은 물체가 폐쇄된 다지관이고 형태는 거미줄인 범주를 형성한다.대략적으로 말하면, 구성은 끝에서 끝까지 붙임으로써 주어진다: (W; M, N)과 (W ′; N, P)의 구성은 양보(W ∪_N ; W; M, P)의 첫 번째 끝의 오른쪽 끝을 붙임으로써 정의된다.코보르디즘(cobordism)은 코스판의 일종으로 ^[3]M → W ← N. 범주는 단검 콤팩트한 범주다.

위상 양자장 이론은 거미줄의 범주에서 벡터 공간의 범주에 이르는 단조형 펑터다.즉, 다지관 분리 결합에 대한 값이 각 구성 다지관의 값에 대한 텐서 곱과 같은 값을 갖는 펑터(functor)이다.

낮은 차원에서는 보르디즘 질문이 비교적 사소한 것이지만, 거미줄의 범주는 그렇지 않다.예를 들어 원을 경계하는 디스크는 무효(0ary) 작업에 해당하지만 실린더는 1ari 작업에 해당하고 바지 쌍은 2진법에 해당한다.

비지향적 코보르디즘

닫힌 비지향적 n차원 다지관의 거미줄 등급 집합은 일반적으로 ${\mathfrak {N}}_{n}$ 체계적인 $Ω$ n $\Omega _{n}^{\text{O}}$ ${\$ $displaystyle {\mathfrak{N}_{n}}}($ $보다$ ) N n ${\mathfrak$ {n}}}}}{ $n}}}}}$ 에 의해 표시된다 $.$ $O}}};$ 분리 연합을 작전으로 하는 아벨 그룹이다.More specifically, if [M] and [N] denote the cobordism classes of the manifolds M and N respectively, we define $[M]+[N]=[M\sqcup N]$ ; this is a well-defined operation which turns ${\mathfrak {N}}_{n}$ into an abelian group.이 그룹의 ID 요소는 경계인 모든 닫힌 n-매니폴드로 구성된 $[\emptyset ]$ 클래스 $[\emptyset ]$ [ $[\emptyset ]$ $[\emptyset ]$ $[\empt ]$ 이다. $[M]+[M]=[\emptyset ]$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ = $[M]+[M]=[\emptyset ]$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ ( $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ M $[M]+[M]=[\emptyset ]$ + [ M $[M]+[M]=[\emptyset ]$ = $[M]+[M]=[\emptyset ]$ [ $[M]+[M]=[\emptyset ]$ $]$ = [ $M]+]=[\emptyet$ ]} M $]$ = since ( $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ [ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ 이 $[M]+[M]=[\emptyset ]$ 있다 $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ 따라서 ${\mathfrak {N}}_{n}$ ${\mathfrak {N}}_{n}$ ${\$ {\ $mathfak{N}_{n}}}$ 은(는) 두 개의 원소가 $\mathbb {F} _{2}$ 있는 $\mathbb {F} _{2}$ 인 F $\mathbb {F} _{2}$ 2 {\ $displaystyle \mathb{F} _{2$ }}에 걸친 벡터 공간이다 ${\mathfrak {N}}_{n}$ .다지관의 데카르트 산물은 곱셈을 정의한다 $[M][N]=[M\times N],$ $[M][N]=[M\times N],$ [ M $[M][N]=[M\times N],$ [ $[M][N]=[M\times N],$ = [ $[M][N]=[M\times N],$ × $[M][N]=[M\times N],$ ] $[M][N]=[M\times N],$ , ${\displaystyle [M][N]=[M\time$ N $],}$

{{N}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak{N}_{n}}

차원에 의해 주어지는 등급이 있는 대수학이다.

폐쇄된 비차원 $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ M의 $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ 코보르디즘 등급 $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ [ $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ ${\$ 은 스티펠–에 의해 결정된다.접선다발의 안정적인 이형성 등급에 따라 달라지는 M의 휘트니 특성 숫자.따라서 M이 안정되게 사소한 접선 번들을 가지고 있다면 $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$ [ $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$ ] = $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$ N $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$ {\ $displaystyle$ [ $M]=0\$ in {\ $mathfrak{N}_{n$ 1954년에 René Thom이 증명하였다.

{\mathfrak{N}_{*}=\mathb {F} _{2}\왼쪽[x_{i} i\geqslant 1, i\i\neq 2^{j}-1\오른쪽]

the polynomial algebra with one generator $x_{i}$ in each dimension $i\neq 2^{j}-1$ . Thus two unoriented closed n-dimensional manifolds M, N are cobordant, $[M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},$ if and only if for each collection $\left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)$ $\left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)$ of k-tuples of integers $i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1$ such that $i_{1}+\cdots +i_{k}=n$ the Stiefel-Whitney numbers are equal

\left\langle w_{i_{1}:{1}(M)\cdots w_{i_{k}}(M)\cdots w_{i_{k}}(N)\{n]\right\rangle \{F}}}}{{{{F}}}}}}}}}}}}}}}

with $w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ the ith Stiefel-Whitney class and $[M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ the $\mathbb {F} _{2}$ -coefficient fundamental class.

나조차도 $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ 실제 투영 공간의 거미줄 클래스인 $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ i = $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ [ $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ P i $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ ( $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$ ) $]$ {\ $displaystyle x_{i}=\왼쪽[\mathb {P} ^{i}(\mathb$ { $R} )\$ right $]}$ 을(를) 선택할 수 있다.

저차원적 비지향적 거미줄 집단은

{\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{정렬}}

예를 들어, 이것은 모든 3차원 폐쇄 다지관의 경계는 (경계가 있는) 4-매니폴드의 경계임을 보여준다.

지향하지 않는 다지관 M의 $\mathb {Z}$ modulo $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ 2에서 오일러 특성 $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ ) $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ ${\$ \mathb {Z} $}$ modulo 2는 비지향적인 거미줄 불변성이다.이것은 방정식에 의해 암시된다.

\chi _{\partial W}=\좌측(1-(-1)^{\dim W}\오른쪽)\chi _{W}

경계 $W$ $W$ 이(가) 있는 모든 콤팩트 매니폴드용 $W$

따라서 $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ : $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ → $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ / 2 ${\displaystyle \chi :{\mathfrak{N}_{i}\to \mathb {Z} /$ 2}은 $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ $($ 는) 잘 정의된 집단 동형상이다.예를 들어, $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ ${\$

\chi \left(\mathb {P}^{2i_{1}(\mathb {R} )\time \cdots \mathb {P}^{2i_{k}}(\mathb {R} )\right)=1.

특히 그러한 실제 투영 공간의 생산물은 null-cobordant가 아니다.mod 2 Euler 특성 $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ : $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ i → $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ / $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ {\ $displaystyle \chi :{\mathfak{N}_{2i}\to \mathb {Z}/2}$ 은 $i\in \mathbb {N} ,$ (는) 모든 $i\in \mathbb {N} ,$ $i\in \mathbb {N} ,$ $i\in \mathbb {N} ,$ ${\$ $displaysty$ $i\in$ $i=1.$ $\n},$ 그룹 $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ $i=1.$ i = $1.$ $}$

더욱이 $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ( $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ) $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ = $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ( $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ) $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ( N $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ ) ${\displaystyle \chi (M\times$ N $)=\chi (M)\chi (N)}$ 때문에 이러한 집단 동형성은 다음과 같은 등급의 알헤브라의 동형성으로 모인다 $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$

{\begin{case}{\mathfak {N}\mathb {F} _{2}[x]\\[M]\mapsto \chi(M)x^{\dim(M)}\end{case}}}}}}

구조물이 추가된 다지관의 코보디즘

코보르디즘은 또한 추가적인 구조, 특히 방향을 갖는 다지관에 대해 정의될 수 있다.이것은 일반적으로 X-구조(또는 G-구조)의 개념을 사용하여 공식화된다.^[4]Very briefly, the normal bundle ν of an immersion of M into a sufficiently high-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{n+k}$ gives rise to a map from M to the Grassmannian, which in turn is a subspace of the classifying space of the orthogonal group: ν: M → Gr(n, n + k) → BO(k).공간 집합과 지도_k_k X → 지도_k₊₁ X → BO(k) → BO(k+1) (포함 BO(k) → BO(k+1)와 호환되는 경우, X 구조물은 ν을 지도 ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$ ~ ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$ : ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$ → X ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$ ${\$ $M\to X_{k$ X-구조가 있는 다지관과 거미줄만 생각하면 거미줄이라는 개념이 더욱 일반화된다.특히 X는_k BG(k)에 의해 주어질 수 있는데, 여기서 G(k) → O(k)는 어떤 집단 동형이다.이것을 G-구조라고 한다.예로는 직교 그룹인 G = O를 들 수 있으며, 비지향적인 거미줄을 되돌려 주는 것이 있지만, 부분군 SO(k)를 들 수 있어 지향적인 거미줄, 스핀 그룹, 유니터리 그룹 U(k), 사소한 그룹을 낳아 틀에 박힌 거미줄을 일으킨다.

그리고 나서 결과적인 거미집단은 지향적이지 않은 사례와 유사하게 정의된다. $\Omega _{*}^{G}$ G ${\$ 로 표시된다 $\Omega _{*}^{G}$

지향적 거미줄

지향적 거미줄은 SO 구조를 가진 다지관 중 하나이다.동등하게 모든 다지관은 방향과 자갈(W, M, N) (명료성을 위해 방향 자갈이라고도 함)은 경계(유도 방향 포함)가 $M\sqcup (-N)$ $M\sqcup (-N)$ ( $M\sqcup (-N)$ - $M\sqcup (-N)$ $M\sqcup(-N)$ 인 경우 $M\sqcup (-N)$ 여기서 -N은 방향 반전 방향의 N을 나타낸다.예를 들어 실린더 M × I의 경계는 $M\sqcup (-M)$ $M\sqcup (-M)$ ( $M\sqcup (-M)$ - M $M\sqcup (-M)$ ) ${\displaystyle M\sqcup(-M$ : 양쪽 끝의 방향이 반대다.그것은 또한 비범한 코호몰로지 이론의 의미에서 올바른 정의다.

모든 원소가 2-토션인 비지향적 거미줄 그룹과는 달리, 2M은 일반적으로 지향적 경계, 즉 $\Omega _{*}^{\text{SO}}.$ SO $\Omega _{*}^{\text{SO}}.$ ${\displaystyle \Oomega_{*}^{\text{{\$ text}에서 고려했을 때 2[M] ≠ 0이 아니다. $SO}}.}$

지향적인 거미줄 집단은 에 의해 변형된 태도를 받는다.

\Oomega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathb {Q} =\mathb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],

지향적인 코보르디즘 계급에 의해 생성된 다항식

y_{4i}=\왼쪽[\mathb {P}^{2i}(\mathb {C} )\right]\in \Oomega_{4i}^{\text{SO}

복잡한 투영 공간(Thom, 1952년).지향적 코보디즘 그룹 ${$ SO {\ $displaystyle \Oomega$ _{*}^{\ $text}$ $SO}}$ 은(는) 스티펠-에 의해 결정된다 $\Omega _{*}^{\text{SO}}$ .휘트니와 폰트르자긴 특성 번호(Wall, 1960).두 개의 방향 다지관은 그들의 스티펠이 있는 경우에만 코보드로 향한다.휘트니와 폰트르자긴의 숫자는 같다.

저차원 지향적 거미줄 집단은 다음과 같다.

{\begin{aigned}\Oomega _{0}^{\text}SO}}&=\mathb {Z},\\\Oomega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\오메가_{2}^{\text{SO}}&=0,\\\오메가_{3}^{\text{SO}}&=0,\\\오메가_{4}^{\text{SO}}&=\mathb {Z},\\\Oomega _{5}^{\text{SO}}&=\mathb {Z} _{2}.\end{정렬}}

The signature of an oriented 4i-dimensional manifold M is defined as the signature of the intersection form on $H^{2i}(M)\in \mathbb {Z}$ and is denoted by $\sigma (M).$ It is an oriented cobordism invariant, which is expressed in terms of the Pontrjagin numbers by the Hir제브루치의 서명 정리

예를 들어, 어떤 i₁, ..., i_k 1 1에 대해.

\sigma \left(\mathb {P}^{2i_{1}(\mathb {C} )\time \cdots \time \mathb {P}^{2i_{k}}}(\mathb {C} )\right)=1.

시그니처 맵 $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ : $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ → Z ${\$ $SO}}\to \mathb {Z}}$ 은(는) 모든 i ≥ 1에 대해 적용되며 $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ , i = 1에 대한 이형성.

비범한 동족학 이론으로서의 코보르디즘

모든 벡터 번들 이론(실제, 콤플렉스 등)에는 K-이론이라고 하는 비범한 코호몰로지 이론이 있다.Similarly, every cobordism theory Ω^G has an extraordinary cohomology theory, with homology ("bordism") groups $\Omega _{n}^{G}(X)$ and cohomology ("cobordism") groups $\Omega _{G}^{n}(X)$ for any space X.일반화된 호몰로지 그룹 $\Omega _{*}^{G}(X)$ $\Omega _{*}^{G}(X)$ $\Omega _{*}^{G}(X)$ ( X $\Omega _{*}^{G}(X)$ ) $\Oomega _{*^{G}(X)$ 은 X에서 공변량이고 $\Omega _{*}^{G}(X)$ 일반화된 호몰로지 그룹 $\Omega _{G}^{*}(X)$ G $\Omega _{G}^{*}(X)$ ( $\Omega _{G}^{*}(X)$ ) ${\displaystyle \Oomega _{G}^{$ G}}}}( $X)$ 은 $\Omega _{G}^{*}(X)$ X에서 대립형이다.위에서 정의한 코보디즘 그룹은 이 관점에서 점의 호몰로지 그룹: $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ G $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ = $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ n $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ ( $){\displaystyle \Oomega _{n}^{G}=\Oomega _{n}^{G}({\text{pt$ 그러면 $\Omega _{n}^{G}(X)$ $\Omega _{n}^{G}(X)$ $\Omega _{n}^{G}(X)$ ( X $\Omega _{n}^{G}(X)$ ) ${\displaystyle \Oomega _{n}^{$ G $}(X)}$ 은 M과 함께 닫힌 n차원 다지관 M(G-구조 포함)과 f : M → X 지도의 쌍(M, f)의 보르디즘 클래스 그룹이다 $\Omega _{n}^{G}(X)$ .그러한 쌍(M, f), (N, g)은 지도 h가 있는 G-코보르디즘(W; M, N)이 존재한다면 보르단(bordant)으로, M은 f로, N은 g로 제한한다.

n차원 다지관 M에는 기본적인 호몰로지 클래스[M] ∈ H_n(M)가 있다( $\mathbb {Z} /2$ 으로 $\mathbb {Z} /2$ Z $\mathbb {Z} /2$ / $\mathbb {Z} /2$ ${\displaystyle \mathb {Z} /$ 2 $}$ 및 지향 $\mathbb {Z}$ 에서 $\mathbb {Z}$ Z ${\$ }}에 계수가 있음). 자연 변환을 정의한다.

{\begin{case}\Oomega _{n}^{G}(X)\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{case}}}}}}}

일반적으로 이형성과는 거리가 먼 것이다.

공간의 보르디즘과 코보르디즘 이론은 차원 공리와는 별개로 아일렌베르크-스테인로드 공리를 만족시킨다.이는 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스가 계산의 출발점을 제공하지만, $\Omega _{G}^{n}(X)$ $\Omega _{G}^{n}(X)$ $\Omega _{G}^{n}(X)$ ( $\Omega _{G}^{n}(X)$ ) $\Oomega _{G}^{n}(X)$ 집단이 점의 거미줄 이론과 공간 X의 동질론을 알게 되면 효과적으로 계산될 수 있다는 $\Omega _{G}^{n}(X)$ 것을 의미하지는 않는다.특정한 거미줄 이론이 일반적인 호몰로지 이론의 산물로 줄어들어야만 계산이 쉬워지는데, 이 경우 보르디즘 집단은 일반적인 호몰로지 집단이다.

\Oomega_{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Oomega _{q}^{G}({\text{pt})).

이것은 방향성이 없는 교두보기에 해당된다.다른 거미줄 이론들은 이런 식으로 일반적인 호몰이로 줄어들지 않는데, 특히 틀에 박힌 거미줄, 지향적인 거미줄, 복잡한 거미줄 같은 것이 특징이다.특히 마지막 명명된 이론은 대수학 위상학자들이 계산 도구로 많이 사용된다(예:^[5] 구들의 호모토피 그룹용).

코보르디즘 이론은 톰 스펙트럼 MG로 표현된다. 그룹 G로 볼 때, 톰 스펙트럼은 분류 공간 BG_n 위에 있는 표준 벡터 번들의 톰 스페이스 MG로_n 구성된다.유사한 그룹의 경우에도 톰 스펙트럼은 매우 다를 수 있다는 점에 유의하십시오. MSO와 MO는 매우 다르며, 지향적인 코보디즘과 비지향적인 코보디즘의 차이를 반영한다.

스펙트럼의 관점에서 비지향적 코보디즘은 에일렌버그-맥레인 스펙트럼의 산물인 MO = H(MO_∗)인 반면, 지향적 코보디즘은 에일렌버그-맥레인 스펙트럼의 산물인 반면, 2에서 홀수가 아닌 2에서 방향 코보디즘 스펙트럼 MSO는 오히려 MO보다 복잡하다.

참고 항목

메모들

^ " $(n+1)$ ( $(n+1)$ + $(n+1)$ ) $(n+1)$ -dimension $(n+1)$ "이라는 표기법은 해당 모든 다지관의 치수를 명확히 하기 위한 것으로, 그렇지 않으면 "5차원 거미줄"이 4차원 다지관 사이의 5차원 거미줄이나 5차원 다지관 사이의 6차원 거미줄을 가리키는 것인지는 불분명하다.
^ Stong, Robert E. (1968). Notes on cobordism theory. Princeton, NJ: Princeton University Press.
^ 모든 코보디즘이 코스판인 반면, 코보디즘의 범주는 '코스판 범주'가 아니라, M과 N이 W의 경계 구획을 형성해야 하는 요건이 글로벌 제약인 만큼 '경계에 포함이 있는 다지관의 범주'에 있는 모든 코보디즘의 범주가 아니라 그 하위 범주다.
^ Switzer, Robert M. (2002), Algebraic topology—homotopy and homology, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42750-6, MR 1886843, 12장
^ Ravenel, D.C. (April 1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Academic Press. ISBN 0-12-583430-6.

참조

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외부 링크

다지관 아틀라스의 보르디즘.
다지관 아틀라스의 B-보르디즘.

[1] " $(n+1)$ ( $(n+1)$ + $(n+1)$ ) $(n+1)$ -dimension $(n+1)$ "이라는 표기법은 해당 모든 다지관의 치수를 명확히 하기 위한 것으로, 그렇지 않으면 "5차원 거미줄"이 4차원 다지관 사이의 5차원 거미줄이나 5차원 다지관 사이의 6차원 거미줄을 가리키는 것인지는 불분명하다.

[2] Stong, Robert E. (1968). Notes on cobordism theory. Princeton, NJ: Princeton University Press.

[3] 모든 코보디즘이 코스판인 반면, 코보디즘의 범주는 '코스판 범주'가 아니라, M과 N이 W의 경계 구획을 형성해야 하는 요건이 글로벌 제약인 만큼 '경계에 포함이 있는 다지관의 범주'에 있는 모든 코보디즘의 범주가 아니라 그 하위 범주다.

[4] Switzer, Robert M. (2002), Algebraic topology—homotopy and homology, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42750-6, MR 1886843, 12장

[5] Ravenel, D.C. (April 1986). Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Academic Press. ISBN 0-12-583430-6.

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구조물이 추가된 다지관의 코보디즘

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비범한 동족학 이론으로서의 코보르디즘

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