원뿔(토폴로지)

위상, 특히 대수 위상에서 위상 공간 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle X}$의 원뿔 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle CX}$은 다음과 같이 정의된 공간이다.

${\displaystyle CX=(X\time [0,1])\컵 _{p}v\ =\\\varinjlim {\bigl (})(X\time [0,1])\hook leftarrow(X\times \{0\}}\xrightarrow {p}v{\bigr )}$

여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은 점(원뿔의 꼭지점이라고 함)이고 p$${\$displaystyle p$}은$$ 해당 점에 대한 투영이다.

That means, the cone ${\displaystyle CX}$ is the result of attaching the cylinder ${\displaystyle X\times [0,1]}$ by its face ${\displaystyle X\times \{0\}}$ to the point ${\displaystyle v}$ along the projection ${\displaystyle p:{\bigl (}X\times \{0\}{\bigr )}$$\to v}$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 유클리드 공간의 비빈 컴팩트 하위 공간인$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ X$}$의 원뿔은 $이러한{\displaystyle }$ 세그먼트가 v {\$displaystyle$ $v}$만으로 교차하도록${\displaystyle X}$$${\$displaystytle$ $v\not \in$ X$}$부터 고정 $지점$까지의 세그먼트 조합에 대한 원뿔형이다.즉, 위상 원뿔은 후자를 정의할 때 콤팩트한 공간에 대한 기하학적 원뿔과 일치한다.그러나 위상학적 원추구조는 더 일반적이다.

예

여기서는 위상학적 원뿔 대신 기하학적 원뿔(서론에서 정의한 것)을 자주 사용한다.고려된 공간은 좁아서, 우리는 동형사상까지 같은 결과를 얻는다.

• 실제 선의 점 p에 대한 원뿔은 간격 $\{{\displaystyle p}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \times }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$이다$.$
• 두 점 {0, 1} 위에 있는 원뿔은 {0} 및 {1}에 끝점이 있는 "V" 모양입니다.
• 실제 선의 닫힌 간격 I에 대한 원뿔은 채워진 삼각형(가장자리 중 하나는 I)이며, 다른 하나는 2-심플렉스(최종 예 참조)이다.
• 폴리곤 P 위에 있는 원뿔은 기초 P를 가진 피라미드다.
• 원반 위에 있는 원뿔은 고전 기하학의 단단한 원뿔이다.
• 원뿔이 원 위에 있는 원뿔은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \{{(x,y,z)\in \mathb {R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\mbox{}, }}z=0\}}}}$

솔리드 콘의 곡선 표면:

${\displaystyle \{{(x,y,z)\in \mathb {R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=(z-1)^{2}{\mbox{와 }}}}}}}$

이것은 차례로 닫힌 원반과 동형이다.

• 일반적으로 n-sphere 위의 원뿔은 닫힌(n + 1) 볼에 대해 동형이다.
• n-심플렉스 위의 원뿔은 (n + 1)-심플렉스다.

특성.

모든 점은 꼭지점에 연결될 수 있기 때문에 모든 원뿔은 경로로 연결되어 있다.게다가 모든 원뿔은 호모토피에 의해 정점까지 수축된다.

${\displaystyle {}_{}h}$ ${\displaystyle t_{}}$( ${\displaystyle x}$, s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$,${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$) s${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s$

원뿔은 수축 가능한 공간의 하위공간으로 공간을 포함하기 때문에 대수적 위상에 정확히 사용된다.

X가 콤팩트하고 하우스도르프(본질적으로 X가 유클리드 공간에 삽입될 수 있을 때), 원뿔 ${\displaystyle C}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle CX}$는 X의 모든 점을 하나의 점으로 결합하는 선의 집합으로 시각화할 수 있다$$.그러나 ${\displaystyle X}$가 압축되지 않거나 Hausdorff가 아닐 때 이 그림은 실패하는데, 일반적으로 C $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle CX}$의 지수 위상이 X를 한 점에 연결하는 선 집합보다 더 미세할 것이다$$.

원추형 펑터

지도 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle C}$ X ${\displaystyle X\mapsto CX}$는 위상학적 공간 Top의 범주에서 펑터 $C{\displaystyle }$: ${\displaystyle T\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle T\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ${\$에 유도한다$$.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon$ X$\to$ Y$}$이(가) 연속 지도인 경우 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle \mathrm{CY}}$ ${\displaystyle Cf\colon CX\to CY}$에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t]}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (Cf)([x,t])=[f(x),t$

여기서 대괄호는 동등성 등급을 나타낸다.

환원뿔

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (X,x_{0})$이 뾰족한 공간인 경우, 다음과 같이 주어지는 축소된 원뿔이라는 관련 구조가 있다.

${\displaystyle (X\time [0,1])/(X\time \left\{0\right\}\cup \reft\{x_{0}\right\}\time [0,1])}$

여기서 우리는 축소된 원뿔의 기준점을${\displaystyle }$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle 0}$)의 동등성 등급으로 삼는다$.$ 이 정의로 $자연포함{\displaystyle }$ x${\displaystyle x}$ ($x_{0$,0$){$0,0$}.$ 이 정의로 자연포함 x${\displaystyle }$x (x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ x$\mapsto (x,1$)는 기본 지도가 된다$$.이 건축은 또한 뾰족한 공간의 범주에서 그 자체로 방범기를 준다.

참고 항목

• 원뿔(동음이의)
• 서스펜션(토폴로지)
• 멈춤쇠
• 매핑 원뿔(토폴로지)
• 결합(토폴로지)

참조

• 알렌 해처, 대수학 위상케임브리지 대학 출판부, 2002.시이+544 페이지 ISBN0-521-79160-X 및 ISBN0-521-79540-0
• "Cone". PlanetMath.