등변성 코호몰로지

수학에서 등가공 코호몰로지(또는 보렐 코호몰로지)는 대수적 위상에서 나온 코호몰로지 이론으로, 그룹 작용이 있는 위상학적 공간에 적용된다.집단 코호몰로지(group cohomology)와 일반 코호몰로지 이론의 일반적인 일반화로 볼 수 있다.Specifically, the equivariant cohomology ring of a space $X$ with action of a topological group $G$ is defined as the ordinary cohomology ring with coefficient ring $\Lambda$ of the homotopy quotient $EG\times _{G}X$ :

H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).

If $G$ is the trivial group, this is the ordinary cohomology ring of $X$ , whereas if $X$ is contractible, it reduces to the cohomology ring of the classifying space $BG$ (that is, the group cohomology of $G$ when G is finite.)If G acts freely on X, then the canonical map $EG\times _{G}X\to X/G$ is a homotopy equivalence and so one gets: ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=$ $H^{*}(X/G;\Lambda$ $}$

정의들

또한 G $G$ -module $G$ A에 계수를 $X$ $두고$ X ${\displaystyle$ X}의 $H_{G}^{*}(X;A)$ 등가공 코호몰로지 H $H_{G}^{*}(X;A)$ $H_{G}^{*}(X;A)$ ( $){\displaysty H_{G}^{*}(X;A)$ 를 정의할 수도 있다. 이들은 아벨 그룹이다.이 구조는 국소 계수가 있는 코호몰로지(cohomology)와 유사하다.

X가 다지관이고 G a compact Lie 그룹이고 $\Lambda$ $\Lambda$ 이 $\Lambda$ (가) 실수의 분야 또는 복잡한 숫자의 분야(가장 일반적인 상황)인 경우, 위의 동일역학은 소위 카르탄 모델을 사용하여 계산할 수 있다(불변량형식 참조).

이 구조는 브레돈 코호몰로지 또는 불변 미분형 코호몰로지 같은 다른 코호몰로지 이론과 혼동해서는안 된다:의해 G가 콤팩트한 리 그룹이라면, 평균 논거에[표창 필요한]만약 어떤 형태든 불변 미분형 코호몰로지로는 불변할 수 있다. 따라서 불변 미분형 코호몰로지로는 새로운 정보를 얻을 수 없다.

Koszul 이중성은 등가공 코호몰로지(equivariant cohomology)와 보통의 코호몰로지(cohomology) 사이에 있는 것으로 알려져 있다.

그룹형 코호몰로지와의 관계

Lie groupoid ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ = ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ [ ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ 1 ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ ${\mathfrak{X}=[X_{1}\rightarrows X_{0}]}$ 평활 다지관의^[1] 등가변성 ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ 동호학은 Lie groupoomology의 특별한 예다.콤팩트한 Lie 그룹 $G$ $G$ 에 $X$ $G$ ${\displaystyle$ G} -space $G$ $X$ $X$ 이 $G$ 가) 주어지면 연관된 groupoid가 있기 때문이다.

${\mathfrak{X}_{G}=[G\time X\오른쪽 화살표 X]$

이등변동조합법 그룹은 groupoid의 de-Rham 이중 복합체의 토털라이징인 $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ 카르탄 복합체 $Ω$ $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ ( $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ X $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ ) ${\displaystyle \Oomega _{$ G}^{\ $bullet }(X)}$ 을 사용하여 계산할 수 있다.카르탄 단지의 용어는 다음과 같다.

$\Oomega_{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k})({\mathfrak{g}^{\vee }}}\times \Obe}}{G}}}}}}}}}}}^{G}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })$ is the symmetric algebra of the dual Lie algebra from the Lie group $G$ , and $(-)^{G}$ corresponds to the $G$ -invariant forms.이것은 콤팩트한 Lie 그룹 $G$ $G$ 에 $BG$ 대한 $B$ G $G$ 의 공동 호몰로지 계산에 특히 유용한 도구로, 이는 의 공동 호몰로지로서 계산할 수 있기 때문이다 $G$ .

$[G\오른쪽 화살표 *]$

어떤 점에서 행동이 사소한 경우.그러면

${\dplaystyle H_{dR}^{*}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}^{2k}({\mathfrak {g}^{\ve}}}}^{G}}}}}}}}}}}}}}}$

예를 들어,

${\reasoned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}^{2k}(\mathb {R}^{\vee }}\&\congmathb {R}[t]\\&{\text{where }\properties(t)=2\end{aigned}}$

이중 Lie 대수에서 $U(1)$ ( $U(1)$ ) $U(1)$ -action은 $U(1)$ 사소한 것이기 때문에.

호모토피 지수

호모토피 궤도 공간 또는 보렐 시공이라고도 하는 호모토피 지수는 궤도 공간의 "동요적으로 올바른" 버전( $G$ 은 X $G$ -action으로 $G$ X $X$ {\displaystyle $X}$ 의 지수)으로, $X$ $X$ 을 $X$ 우선 더 크지만 동위성이 보장되도록 동위상 등가 된다.자유로워지다

이를 위해 G용 범용 번들 EG → BG를 구성하고 EG가 무료 G 액션을 인정한다는 점을 상기한다.그러면 EG × X 제품 - EG가 수축 가능하므로 X와 동등한 호모토피 - (e,x)에 의해 정의된 "다각형" G-action을 채택한다.g = (예, gx⁻¹): 더욱이 이 대각선 작용은 EG에서 자유롭기 때문에 자유롭다.그래서 우리는 호모토피 지수 X를_G 이 자유 G 작용의 궤도 공간(EG × X)/G로 정의한다.

즉, 호모토피 지수는 공간 X에 대한 G의 작용과 주요 번들 EG → BG에 대한 X 번들 관련이다.이 번들 X → X_G → BG를 보렐 진동이라고 한다.

호모토피 인수의 예

다음의 예는 [1]의 제안 1이다.

X는 복잡한 투영 대수 곡선이다.우리는 X를 콤팩트한 리만 표면인 $X(\mathbb {C} )$ X $X(\mathbb {C} )$ ) $X(\mathbb {C} )$ {\ $displaystyle$ X(\ $mathb {C}$ )의 집합과 함께 위상학적 공간으로 식별한다 $X(\mathbb {C} )$ G는 단순히 연결된 복잡한 Semisimle Lie 그룹이 되도록 하자.그러면 공간 $B$ $G$ $BG$ 의 분류 공간 B G {\displaystyle BG}은(는) 2 연결되고 $BG$ X는 실제 치수 2를 가지기 때문에 X의 주 G번들은 사소한 묶음과는 이형적이다.부드러운 G-번들 $P_{\text{sm}}$ P $P_{\text{sm}}$ ${\$ P_{\ $text{sm}}을($ 를) X에 고정하십시오.Then any principal G-bundle on $X$ is isomorphic to $P_{\text{sm}}$ . In other words, the set $\Omega$ of all isomorphism classes of pairs consisting of a principal G-bundle on X and a complex-analytic structure on it can be identified with the set of complex-analytic s $P_{\text{sm}}$ $P_{\text{sm}}$ ${\$ 에 대한 트루트 또는 $P_{\text{sm}}$ 동등하게 X에 대한 홀로모픽 연결 집합(차원의 이유로 연결이 통합 가능하므로) $\Omega$ $\Oomega$ 은 $\Omega$ (는) 무한 차원 복합 아핀 공간이므로 수축이 가능하다.

${\mathcal {G}}$ ${\$ 을(를) $P_{\text{sm}}$ $P_{\text{sm}}$ ${\$ 의 모든 자동화된 그룹이 되도록 한다(즉, 게이지 그룹 ${\mathcal {G}}$ ).Then the homotopy quotient of $\Omega$ by ${\mathcal {G}}$ classifies complex-analytic (or equivalently algebraic) principal G-bundles on X; i.e., it is precisely the classifying space $B{\mathcal {G}}$ of the discrete group ${\mathcal {G}$ $}$ .

One can define the moduli stack of principal bundles $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ as the quotient stack $[\Omega /{\mathcal {G}}]$ and then the homotopy quotient $B{\mathcal {G}}$ is, by definition, the homotopy type of $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ .

등변성 특성 클래스

E를 G-manifold M에 있는 등가 벡터 묶음이 되게 하라.호모토피 지수 $EG\times _{G}M$ ${\widetilde {E}}$ $EG\times _{G}M$ ${\widetilde {E}}$ $EG\times _{G}M$ $EG\times _{G}M$ M ${\displaystyle$ ${\widetilde{E}}$ 에 ${\widetilde {E}}$ 벡터 ${\widetilde {E}}$ E ${\widetilde {E}}=EG\times E$ ~ = ${\widetilde {E}}=EG\times E$ E ${\widetilde {E}}=EG\times E$ ${\widetilde {E}}=EG\times E$ $EG\times _{G}M}$ 을(를) ${\widetilde {E}}=EG\times E$ 하여 번들 E ~ = ${\widetilde {E}}=EG\times E$ $×$ E {\ $displaystyle {\widetilde{E}}}}}$ 에 다시 끌리게 한다 $EG\times _{G}M$ . $EG\times E}$ over $EG\times M$ . An equivariant characteristic class of E is then an ordinary characteristic class of ${\widetilde {E}}$ , which is an element of the completion of the cohomology ring ${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=$ $H_{G}^{*}(M$ )} $H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)$ . (체르-윌 이론을 적용하기 위해서는 EG의 유한차원 근사치를 사용한다.)

또는 먼저 등가 체르누스 클래스를 정의한 다음 다른 특성 클래스를 일반적인 경우처럼 체르누스 클래스의 불변 다항식으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 등가선다발의 등가 토드 클래스는 등가선다발 최초의 체르누스 클래스에서 평가되는 토드 함수다.(등가등가 토드 c)선다발 라스는 등가선 제1 체르누스 클래스에서 파워 시리즈(비등가선 사례에서와 같은 다항식이 아님)이므로 등가선 코호몰로지 링의 완성에 속한다.)

같이 복잡한 라인의 모든 유질 동상 클래스의 사이를 bijection 다양체 M과 H2(M;Z)에 기능을 같이 묶는다는non-equivariant할 경우 처음 천 류.{\displaystyle H^{2}(M;\mathbb{Z}).}그equivariant 경우[2], 이:equivariant 첫번째 Chern a의 사이를 bijection을 드리는 것으로 볼 수 있주어등변성 복합 선다발과 $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ( M $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ; $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ) $H_{G}^{2}(M;\mathb {Z} )$ 의 이형성 등급 $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$

국산화 정리

국산화 정리는 등가동학에서 가장 강력한 도구 중 하나이다.

참고 항목.

메모들

^ Behrend. "Cohomology of Stacks" (PDF). Archived (PDF) from the original on 30 Jun 2021.
^ 체치 코호몰로지 및 지수 지도에서 주어진 $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ 이형동성 $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ( $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ; C $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ) $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ( M $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ; $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ) $H^{1}(M;\mathb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathb {Z})}}}$ 을 사용한다.

참조

Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1984), "The moment map and equivariant cohomology", Topology, 23: 1–28, doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1
Michel Briion, "등변 교차로 및 등변 교차로 이론" [2]
Goresky, Mark; Kottwitz, Robert; MacPherson, Robert (1998), "Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem", Inventiones Mathematicae, 131: 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450, doi:10.1007/s002220050197, S2CID 6006856
Hsiang, Wu-Yi (1975). Cohomology Theory of Topological Transformation Groups. New York: Springer.
Tu, Loring W. (March 2011). "What Is . . . Equivariant Cohomology?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (3): 423–426.

스택 관련

스택의 코호몰로지 - 10페이지에 예시와 함께 주요 결과가 수록되어 있음

추가 읽기

V. W. Guillemin과 S.스턴버그.초대칭과 등가성 드 럼 이론. 스프링거-V 에를라크, 베를린, 1999.
CM Vergne, Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes

외부 링크

등가공식 코호몰로지 및 카르탄 모델 - 이론의 기초와 주요 중요한 이론들을 설명하는 훌륭한 조사 기사
"Equivariant cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
영훈 키엠, 등가공 코호몰로지 이론 소개
결합에 의해 스스로 작용하는 집단의 등가공 코호몰리는 무엇인가?

[1] Behrend. "Cohomology of Stacks" (PDF). Archived (PDF) from the original on 30 Jun 2021.

[2] 체치 코호몰로지 및 지수 지도에서 주어진 $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ 이형동성 $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ( $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ; C $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ) $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ( M $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ; $H^{1}(M;\mathbb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ ) $H^{1}(M;\mathb {C} ^{*})\simeq H^{2}(M;\mathb {Z})}}}$ 을 사용한다.

[1]

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