n-body 문제

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다음에 대한 시리즈 일부
아스트로다이나믹스
궤도역학
궤도 원소 압시스 근막염의 논거 편심성 기울기 평균 이상 현상 궤도 노드 반주축 참 변칙
기준 2차체 궤도 유형 괴벽. 원궤도 타원 궤도 전송 궤도 (호만 전이 궤도 바이엘립트 전이 궤도) 포물선 궤도 쌍곡 궤도 방사 궤도 붕괴 궤도
방정식 동적 마찰 탈출속도 케플러 방정식 케플러의 행성 운동 법칙 궤도 주기 궤도 속도 표면 중력 특정 궤도 에너지 점-비바 방정식
천체역학
중력 영향 바리센터 힐 구 섭동 영향권
N-바디 궤도 라그랑쥬 포인트 (할로 궤도) 리사주 궤도 랴푸노프 궤도
엔지니어링 및 효율성
비행 전 엔지니어링 질량비 페이로드 분율 추진제 질량분수 티올코프스키 로켓 방정식
효율성 측정 그라비티 어시스트 오베르 효과
v t

물리학에서 n체 문제는 중력적으로 서로 상호작용하는 천체 집단의 개별적인 움직임을 예측하는 문제다.^[1]이 문제를 해결하는 것은 태양, 달, 행성, 그리고 눈에 보이는 별들의 움직임을 이해하려는 열망에 의해 동기부여가 되었다.20세기에 구상성단 항성계의 역학을 이해하는 것은 중요한 n-body 문제가 되었다.^[2]일반상대성이성의 n-body 문제는 시간과 공간 왜곡과 같은 추가적인 요소들로 인해 해결하기가 상당히 더 어렵다.

고전적인 신체적 문제는 다음과 같이 비공식적으로 진술할 수 있다.

천체 집단의 준안정적인 궤도 특성(즉각 위치, 속도 및 시간)^[3]을 고려하여, 이들의 상호작용적인 힘을 예측하고, 결과적으로 그들의 진정한 궤도 운동을 모든 미래 시간 동안 예측한다.^[4]

두 신체 문제는 완전히 해결되었고 아래에서 논의되고 있는 것으로 유명한 제한적인 세 신체 문제뿐 아니라,^[5]

역사

천문학자 존 플램스티드로부터^[6] 아이작 뉴턴 경이 획득한 위치인 행성 궤도의 세 개의 궤도 위치를 알고 있는 뉴턴은 직설적인 해석 기하학적 기하를 통해 행성의 움직임을 예측하는 등식(즉, 궤도 특성: 위치, 궤도 직경, 주기, 궤도 속도)을 산출할 수 있었다.^[7]그렇게 한 후, 그와 다른 사람들은 몇 년 동안 곧 발견했고, 그 운동 방정식은 어떤 궤도를 정확하게 혹은 심지어 매우 잘 예측하지 못했다.^[8]뉴턴은 이것이 모든 행성들 사이의 중력 상호작용 힘이 그들의 모든 궤도에 영향을 미치고 있기 때문이라는 것을 깨달았다.

위의 발견은 정확히 신체적으로 n-body 문제가 무엇인지에 관한 문제의 핵심으로 바로 간다: 뉴턴이 깨달은 대로, 행성의 진정한 궤도를 결정하기 위해서는 초기 위치와 속도, 또는 세 개의 궤도 위치를 특정하는 것만으로는 충분하지 않다: 중력 상호작용 힘도 알아야만 한다.이에 따라 17세기 초 n체 "문제"의 인식과 발흥이 일어났다.이러한 중력 매력적인 힘은 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙에 부합하지만, 역사적으로 많은 다중(n-body) 상호작용은 어떤 정확한 해결책도 난치할 수 없게 만들었다.아이러니하게도, 이러한 순응은 잘못된 접근으로 이어졌다.

뉴턴의 시대 이후 n-body 문제는 역사적으로 정확하게 언급되지 않았다. 왜냐하면 그것은 중력 상호작용 힘에 대한 참조를 포함하지 않았기 때문이다.뉴턴은 직접적으로 그것을 말하지 않지만 그의 프린키니아에 n-body 문제는 그 중력 상호작용 힘 때문에 해결할 수 없다는 것을 암시한다.^[9]뉴턴은 그의 프린세스에서 21항에서 다음과 같이 말했다^[10].

그리고 따라서 매력적인 힘은 양쪽 몸에서 발견된다는 것이다.태양은 목성과 다른 행성들을 끌어당긴다. 목성은 위성을 끌어당긴다. 마찬가지로 위성은 서로 작용한다.그리고 서로 다른 행성 쌍의 작용은 서로 구별될 수 있고 서로 끌어당기는 두 개의 작용으로 간주될 수 있지만, 서로 같은 사이에 있는 것처럼 두 개의 육체는 두 개가 아니라 두 개의 종단 사이의 단순한 작동이다.두 개의 몸은 그들 사이의 밧줄의 수축에 의해 서로 끌어당길 수 있다.행동의 원인은 두 가지다, 즉 두 신체의 각각에 대한 처분이다; 행동도 두 신체에 관한 한 두 가지다. 하지만 두 신체에 관한 한, 그것은 한 가지와 한 가지다.

뉴턴은 자신의 세 번째 운동 법칙을 통해 "이 법에 따르면 모든 신체들은 서로 끌어당겨야 한다"고 결론지었다.중력 상호작용력의 존재를 암시하는 이 마지막 진술이 핵심이다.

아래 나온 것처럼, 이 문제는 또한 장 르 론드 달렘베르트의 비뉴턴식 제1원칙과 제2원칙, 그리고 비선형 n-body 문제 알고리즘에 부합하며, 후자는 그러한 상호작용력을 계산하기 위한 폐쇄형 폼 솔루션을 허용한다.

n-body 문제의 일반적인 해결책을 찾는 문제는 매우 중요하고 도전적인 것으로 여겨졌다.실제로 19세기 후반 괴스타 미타그-레플러의 조언을 받은 스웨덴 왕 오스카 2세는 문제의 해결책을 찾을 수 있는 누구에게나 상을 제정했다.이 발표는 상당히 구체적이었다.

뉴턴의 법칙에 따라 각각을 끌어당기는 임의로 많은 질량점 체계를 감안할 때, 두 지점이 충돌하지 않는다는 가정 하에, 시간의 어떤 알려진 함수인 변수에서 각 지점의 좌표를 직렬로 나타내며, 그 값이 모두 균일하게 수렴되는 것을 찾으려고 노력한다.

문제를 해결할 수 없는 경우, 고전 역학에 대한 다른 중요한 기여는 상으로 간주될 것이다.푸앵카레는 원래 문제를 해결하지 못했는데도 상을 받았다.(그의 기여도 제1판에는 심각한 오류까지^[11] 포함되어 있었다.)마침내 인쇄된 버전은 혼돈 이론의 발전을 이끈 많은 중요한 아이디어들을 포함하고 있었다.처음에 언급했던 문제는 마침내 칼 프리티오프 순드만이 n = 3으로 해결했다.

일반 제형

n-body 문제는 상호 중력 인력의 영향을 받아 움직이는 3차원 공간 ℝ의³ 관성 기준 프레임에서 n 점 질량_i m, i = 1, 2, …n을 고려한다.각각의 중량 mi를 위치 벡터의 효과는 인정하고 있다.뉴톤의 제2법은 부피 곱하기 가속도 mi.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-par 말한다.Ser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}d2qi/dt2의 힘의 합과 질량이 같다뉴턴의 중력 법칙에 따르면 질량 m에서 단일 질량 m에_ij 의해 느껴지는 중력은 다음과^[12] 같이 주어진다.

여기서 G는 중력 상수이고 q_ji - q는 q와_i q_j 사이의 거리의 크기(l₂ norm에 의해 유도된 금속)이다.

모든 질량을 합하면 n-body 운동 방정식이 발생한다.

여기서 U는 자기 잠재 에너지다.

운동량을 p_i = m_i dq_i/dt로 정의하면 n-body 문제에 대한 해밀턴의 운동 방정식이^[13] 된다.

해밀턴 함수가 있는 곳그리고 T는 운동에너지다.

해밀턴 방정식은 n-body 문제가 6n 1차 미분 방정식의 시스템이며, 초기 위치 좌표 3n과 초기 운동량 값 3n으로 초기 조건 6n이 있다.

n-body 문제의 대칭은 문제를 단순화하는 동작의 전지구적 통합을 산출한다.^[14]문제의 번역적 대칭은 질량의 중심이 된다.

C = Lt₀ + C, 여기서₀ L은₀ 선형 속도, C는 초기 위치인₀ 등속도로 이동한다.운동 L과₀ C의₀ 상수는 운동의 여섯 가지 통합을 나타낸다.회전 대칭으로 총 각도 모멘텀이 일정하게 유지됨 여기서 ×는 교차 제품이다.총 각도 운동량 A의 세 가지 성분은 운동 상수를 세 개 더 산출한다.운동의 마지막 일반 상수는 에너지H의 보존에 의해 주어진다.따라서, 모든 n-body 문제는 10가지 움직임의 통합을 가지고 있다.

T와 U는 각각 도 2와 -1의 동질적인 함수이기 때문에 운동 방정식은 스케일링 불변도를 가진다: q_i(t)가 해결책이라면 anyq^−2/3_i((t) 0도 마찬가지다.^[15]

n-body 시스템의 관성 모멘트는 다음과 같다.

Q = 1/2 dI/dt로 정기를 부여한다.그러자 라그랑주-자코비 공식은 다음과^[16] 같이 말하고 있다.

동적 평형 상태에 있는 시스템의 경우 ⟨dI²/dt³의² 장기 평균은 0이다.그렇다면 평균적으로 총 운동 에너지는 총 전위 에너지의 절반인 ⟨T⟩ = 1/2⟨U⟩인데, 이것은 중력계에 대한 정리의 한 예다.^[17]M이 시스템의 총 질량이고 R이 시스템의 특성 크기인 경우(예를 들어 시스템 질량의 절반을 포함하는 반지름), 시스템이 동적 평형 상태로 안착하기 위한 임계 시간은 다음과^[18] 같다.

특례

두 몸 문제

행성간의 상호작용 힘에 대한 어떠한 논의도 역사적으로 항상 두 신체 문제에서 시작되었다.이 절의 목적은 행성의 힘을 계산하는 데 있어 실제 복잡성을 연관시키는 것이다.또한 이 절에서 중력, 중력, 중력, 케플러의 법칙 등과 같은 몇 가지 주제와 다음 절에서도 (삼체 문제)가 다른 위키백과 페이지에서 논의된다.그러나 여기서 이러한 주제들은 n-body 문제의 관점에서 논의된다.

2체 문제(n = 2)는 요한 베르누이(1667–1748)에 의해 (뉴턴이 아닌) 고전 이론에 의해 주점 질량이 고정되었다고 가정하여 완전히 해결되었다. 이것은 여기에 요약되어 있다.^[19]그렇다면 태양과 지구라고 하는 두 육체의 움직임을 생각해 보십시오. 태양과 지구는 태양을 고정시킨 다음,

질량 m에₁ 상대적인 질량₂ m의 운동을 기술하는 방정식은 이 두 방정식 사이의 차이에서 그리고 공통 용어를 취소한 후에 쉽게 얻을 수 있다:

어디에

• r = r₂ - r은₁ m에₁ 상대적인₂ m의 벡터 위치;
• α는 오일러 가속도 dr²/dt이다².
• η = G(m₁ + m₂)

방정식 α + rr³/r = 0은 베르누이가 1734년에 해결한 2체 문제에 대한 기본적인 미분 방정식이다.이 접근력에 대한 주의는 먼저 결정되어야 하고 그 다음에 움직임의 방정식이 해결되어야 한다.이 미분 방정식은 타원형 또는 포물선 또는 쌍곡선 용액을 가지고 있다.^[20][21][22]

뉴턴의 만유인력의 법칙을 적용할 때 m₁(태양)을 우주에 고정된 것으로 생각하고, 그렇게 하는 것은 잘못된 결과로 이어진다.고립된 중력으로 상호작용하는 두 신체의 고정점은 상호 바이센터로, 이 두 신체의 문제는 바이센터와 상대적인 자코비 좌표를 사용하는 것과 같이 정확하게 해결할 수 있다.

클라렌스 클레민쇼 박사는 태양계의 바이리센터(barycenter)의 대략적인 위치를 계산했는데, 이 결과는 주로 목성과 태양의 질량만을 결합하여 달성한 결과였다.Science Program은 그의 연구와 관련하여 다음과 같이 말했다.

태양은 태양계에 98%의 질량을 가지고 있으며, 화성을 넘어서는 우월한 행성들이 나머지 대부분을 차지한다.평균적으로 태양-주피터 계의 질량 중심은 태양 중심에서 46만 2천 마일, 즉 태양 표면 위 약 3만 마일 떨어져 있다!그러나 다른 큰 행성들은 태양계의 질량 중심에도 영향을 미친다.예를 들어 1951년, 목성이 토성, 천왕성, 해왕성과 정반대편에 있었기 때문에 시스템의 질량 중심은 태양의 중심에서 멀지 않았다.1950년대 후반, 이 네 행성이 모두 태양의 같은 면에 있었을 때, 이 시스템의 질량 중심은 태양 표면에서 33만 마일 이상 떨어져 있었다고 로스앤젤레스 그리피스 천문대의 C. H. 클레민쇼 박사가 계산했다.^[23]

태양은 은하 중심 주위를 회전하면서 흔들리며 태양계와 지구를 함께 끌고 간다.수학자 케플러가 그의 세 가지 유명한 방정식에 도착하면서 한 일은 타이코 브라헤의 데이터를 사용하여 행성의 겉보기 운동을 곡선으로 맞추는 것이었고 태양에 대한 그들의 진정한 원형 운동을 곡선으로 맞추는 것이 아니었다(그림 참조).로버트 후크와 뉴턴 모두 뉴턴의 만유인력의 법칙이 타원 궤도와 연관된 힘을 지탱하지 못한다는 것을 잘 알고 있었다.^[10]사실 뉴턴의 만국법은 수성의 궤도나 소행성대의 중력행동이나 토성의 고리를 설명하지 않는다.^[24]뉴턴은 (프린키아의 11절에서) 그러나 타원 궤도에 대한 힘을 예측하지 못한 주된 이유는 그의 수학 모델이 현실 세계에서는 거의 존재하지 않는 상황에 국한된 신체, 즉 움직이지 않는 중심을 향해 끌어당기는 몸의 움직임을 위한 것이었기 때문이라고 말했다.일부 현존하는 물리학과 천문학 교과서는 뉴턴의 가정이 갖는 부정적인 중요성을 강조하지 않고, 결국 그의 수학적 모형이 실제 현실이라는 것을 가르치게 된다.위의 고전적인 두 신체 문제 해결은 수학적인 이상화라고 이해해야 한다.케플러의 행성 운동 제1법칙도 참조하라.

삼체 문제

이 절에서는 가정을 단순화한 후 역사적으로 중요한 n-body 문제 해결책에 대해 설명한다.

과거에는 n ≥ 3의 n-body 문제에 대해 별로 알려지지 않았다.^[25]사례 n = 3이 가장 많이 연구되었다.삼체 문제를 이해하려는 이전의 많은 시도는 양적이었고, 특별한 상황에 대한 명시적인 해결책을 찾는 것을 목표로 했다.

• 1687년, 아이작 뉴턴은 공국에 상호 중력의 매력에 영향을 받는 세 신체의 움직임 문제에 대한 연구의 첫 단계를 발표했지만, 그의 노력은 언어적 설명과 기하학적 스케치를 낳았다. 특히 1, 발의안 66과 그 산호관(뉴턴, 1687, 1999년)을 참조하고, 알자스를 참조한다.o Tisserand, 1894).
• 1767년 오일러는 어떤 질량의 세 몸체가 고정된 직선을 따라 비례적으로 움직이는 시준 운동을 발견했다.오일러의 3체 문제는 두 개의 신체가 우주에 고정되어 있는 특수한 경우다(이것은 두 개의 거대한 신체가 원형 궤도를 묘사하고 시노다이컬 기준 프레임에만 고정되어 있는 원형 제한 3체 문제와 혼동해서는 안 된다).
• 1772년, 라그랑쥬는 두 종류의 주기적인 용액을 발견했는데, 각각은 어떤 질량의 세 개의 몸에 대한 것이다.한 학급에서, 시체는 회전하는 직선으로 눕는다.다른 클래스에서는, 시체가 회전하는 정삼각형의 정점에 놓여 있다.어느 경우든 시체의 경로는 원뿔형 구간이 될 것이다.그러한 해결책들은 중심 구성을 연구하게 되었고, 어떤 상수 k > 0에 대한 q = kq.
• 지구-달-선 시스템에 대한 주요 연구는 1860년과 1867년에 각각 길이가 900페이지인 이 주제에 관한 두 권의 책을 출판한 Charles-Eugenne Delaunay에 의해 수행되었다.다른 많은 업적들 중에서도 이 작품은 이미 혼돈을 암시하고 있으며, 섭동 이론에서 이른바 '작은 분모'의 문제점을 분명히 보여주고 있다.
• 1917년에 포레스트 레이 몰튼은 제한된 3체 문제 해결책의 플롯으로 현재 고전인 "천체역학 입문"(참고문 참조)을 출판했다(아래 그림 참조).^[26]게다가, 제한된 3체 문제 해결책은 메이로비치 413-414페이지의 책을 보라.^[27]

보다 육중한 몸(태양 등)이 우주에 정지해 있고, 평형점(래그랑지안점)이 60°의 간격을 앞 뒤로 유지하고, 뒤로는 보다 육중한 몸체(목성 등)가 공전한다고 생각하면 물튼의 해법은 시각화하기가 더 쉬울 수 있다(그리고 확실히 해결이 용이할 수 있다).궤도에서 osts (실제로 두 물체 모두 실제로 정지되어 있지 않지만, 둘 다 전체 시스템의 질량 중심인 바리 중심부를 공전하고 있기 때문이다.)프라이머리의 질량 비율이 충분히 작을 경우, 이러한 삼각 평형 지점은 안정적이어서 (거의) 질량 없는 입자가 더 큰 프라이머리(태양)를 공전할 때 이들 지점 주위를 공전하게 된다.원형문제의 평형점 5개를 라그랑지안점이라고 한다.아래 그림을 참조하십시오.

위의 제한적인 3체 문제 수학 모델 그림(물톤 이후)에서 라그랑지안 점₄ L과₅ L은 트로이 목성의 행성으로이드(라그랑지 점 참조), m은₁ 태양이고 m은₂ 목성이다.L은₂ 소행성대 내의 지점이다.이 모델에 대해 실현되어야 한다. 이 전체 태양-주피터 다이어그램은 그것의 중심에서 회전하고 있다.제한된 3체질 문제 해결책은 트로이 소행성들이 처음 발견되기 전에 예측했다.h-순환과 닫힌 루프는 태양과 목성에서 발행된 전자기 유속을 반향한다.리차드 H. 바틴의 추측과는 달리(참고문헌 참조) 이 두₁ h는 중력 싱크대, 중력이 0인 곳, 트로이 소행성들이 그곳에 갇혀 있는 이유 등이 추측된다.이 행성들의 총 질량은 알려지지 않았다.

신체 중 하나의 질량을 가정한 제한적인 3체질 문제는 무시해도 좋다.^{[citation needed]}무시해도 되는 본체가 작은 질량의 신체의 위성인 경우에 대한 논의는 힐 구를 참조하고, 이항 체계는 로체 로브를 참조한다.3체 문제에 대한 구체적인 해결책은 반복적인 경로의 명백한 징후 없이 무질서한 움직임을 초래한다.^{[citation needed]}

제한된 문제(원형과 타원형 모두)는 19세기 말 푸앵카레에 의해 가장 두드러지게 많은 유명한 수학자들과 물리학자들에 의해 광범위하게 연구되었다.제한된 3체 문제에 대한 푸앵카레의 연구는 결정론적 혼란 이론의 기초였다.^{[citation needed]}제한된 문제에는 5개의 평형점이 존재한다.3개는 질량(회전 프레임 안)과 결합되어 불안정하다.나머지 두 개의 정점은 두 개의 몸이 첫 번째 정점과 두 번째 정점이 되는 정삼각형의 세 번째 정점에 위치한다.

사체 문제

원형제한 3체 문제에 영감을 받아 다른 3개의 거대한 체구에 비해 작은 질량을 갖는 작은 체구를 고려함으로써 4체 문제를 크게 단순화할 수 있으며, 이는 다시 원형 궤도를 설명하는 데 근사치인 셈이다.이것은 2분자 제한 4체 문제(이분자 모델로도 알려져 있음)로 알려져 있으며, NASA의 수슈 황이 작성한 보고서에서는 1960년으로 거슬러 올라갈 수 있다.^[28]이 공식은 주로 태양의 중력 흡인력을 더하여 지구-달 계통의 우주선 궤도를 모형화하는 우주 역학에서 매우 관련이 있다.이전의 2분자 제한 4체 문제의 제형은 지구-문-선이 아닌 다른 시스템을 모델링할 때 문제가 될 수 있으므로 네그리와 프라도에^[29] 의해 제형이 일반화되어 적용범위를 확대하고 단순성을 잃지 않고 정확성을 향상시켰다.

행성 문제

행성 문제는 하나의 질량이 다른 질량보다 훨씬 큰 경우 n체 문제다.행성 문제의 원형적인 예로는 태양-주피터-토성계가 있는데, 여기서 태양의 질량은 목성이나 토성의 질량보다 약 1000배 크다.^[15]이 문제에 대한 대략적인 해결책은 그것을 항성-행성 케플러 문제의 n - 1쌍으로 분해하여 행성들 사이의 상호작용을 동요로 취급하는 것이다.섭동적 근사치는 시스템에 궤도 공진이 없는 한 잘 작동하는데, 이는 동요되지 않은 케플러 주파수의 비율이 합리적인 숫자가 아니라는 것이다.공명들은 팽창에서 작은 분모로 나타난다.

공명과 작은 분모의 존재는 행성 문제의 안정성에 대한 중요한 문제로 이어졌다: 별 주위의 거의 원형 궤도에 있는 행성은 시간이 지남에 따라 안정된 궤도에 머무르는가 아니면 경계를 이룬 궤도에 머물러 있는가?^[15][30]1963년, 블라디미르 아놀드는 KAM 이론을 사용하여 행성 문제의 안정성의 한 종류를 증명했다: 비행기로 제한된 행성 문제의 경우 퀘이페리오디컬 궤도에 대한 일련의 긍정적인 측정치가 존재한다.^[30]KAM 이론에서, 혼란스러운 행성 궤도는 퀘이페리오디컬 KAM 토리에 의해 제한될 것이다.아놀드의 결과는 2004년에 Féjoz와 Herman에 의해 보다 일반적인 정리까지 확장되었다.^[31]

중앙 구성

중심 구성 q₁(0), …, q_N(0)는 입자가 모두 0 속도로 방출되면 모두 질량 C의 중심을 향해 붕괴되는 초기 구성이다.^[30]이런 동작을 동음이의어라고 한다.중심 구성은 또한 모든 궤적이 동일한 편심성을 가지는 케플러 궤적(팔꿈치, 원형, 포물선 또는 쌍곡선)을 따라 모든 질량이 이동하는 동음이의 운동을 일으킬 수 있다.타원 궤도의 경우, e = 1은 동음이의학적 움직임에 해당하며 e = 0은 구성이 단단한 몸체인 것처럼 초기 구성의 등거리계로 남아 있는 상대 평형 운동을 제공한다.^[32]중앙 구성은 시스템의 첫 번째 통합을 고정함으로써 생성되는 불변 다지관의 위상을 이해하는 데 중요한 역할을 해왔다.

n-body

모든 질량이 충돌 없이 같은 곡선을 그리며 움직이는 솔루션을 안무라고 한다.^[33]n = 3에 대한 안무는 1772년 라그랑주에 의해 발견되었는데, 이 안무는 회전 프레임에서 정삼각형의 정점에 세 개의 몸체가 위치한다.c에 의해 n = 3의 그림 8 안무가 수적으로 발견되었다.무어는^[34] 1993년에 일반화하여 A에 의해 증명되었다.첸시너와 R.2000년 몽고메리.^[35]그 이후 n 3 3을 위한 다른 안무가들이 많이 발견되었다.

분석적 접근법

문제의 모든 해결책에 대해 등거리법이나 시간교대법을 적용하는 것뿐만 아니라 (마찰의 경우와는 달리) 시간의 역행도 해답을 준다.^{[citation needed]}

n-body 문제(n ≥ 3)에 대한 물리적 문헌에서, 때로는 (위의 접근방식을 채택하여) n-body 문제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 언급한다.^{[citation needed]}단, 해결책의 '불가능성'을 논할 때는 주의해야 하는데, 이는 최초 통합의 방법만을 가리킨다(뿌리만 포함하는 공식으로 5도 이상의 대수 방정식을 푸는 것이 불가능하다는 아벨과 갈루아의 이론들을 비교한다).

파워 시리즈 솔루션

고전적인 n-body 문제를 해결하는 한 가지 방법은 "테일러 시리즈에 의한 n-body 문제"이다.

우리는 미분 방정식의 체계를 정의하는 것으로 시작한다.^{[citation needed]}

x_i(t₀)와 dx_i(t₀)/dt가 초기 조건으로 주어짐에 따라 모든 dx²_i(t)/dt가² 알려져 있다.dx²_i(t)/dt를² 차별화하면 dx³_i(t)/dt가³ 발생하는데, 이₀ dx(t)/dt도 알려져 있으며, Taylor 시리즈는 반복적으로 구성된다.^{[clarification needed]}

일반화된 Sundman 글로벌 솔루션

사례 n > 3 (또는 n = 3 및 c = 0^{[clarification needed]})에 대한 순드만의 결과를 일반화하려면 다음과 같은 두 가지 장애물에 직면해야 한다.

1. 시겔이 보여주듯이, 세 개 이상의 시체가 포함된 충돌은 분석적으로 정규화할 수 없기 때문에 순드만의 정례화는 일반화될 수 없다.^{[citation needed]}
2. 이 경우 특이점의 구조는 더 복잡하다. 다른 유형의 특이점이 발생할 수 있다(아래 참조).

마지막으로 순드만의 결과는 1990년대 추동왕에 의해 n > 3체까지 일반화되었다.^[36]특이점의 구조가 더 복잡하기 때문에 왕 교수는 특이점의 문제를 완전히 빼먹어야 했다.그의 접근방식의 중심점은 적절한 방법으로 방정식을 새로운 시스템으로 변환하여 이 새로운 시스템의 해결방법에 대한 존재 간격이 [0,810]이 되도록 하는 것이다.

n-body 문제의 특이점

n-body 문제에는 두 가지 유형의 특이점이 있을 수 있다.

• 두 개 이상의 신체와의 충돌, 그러나 q(t) (신체의 위치)는 유한한 상태를 유지한다.(이 수학적인 의미에서 "결절"은 두 개의 점 같은 신체가 우주에서 동일한 위치를 가지고 있다는 것을 의미한다.)
• 충돌이 발생하지 않지만 q(t)가 유한하지 않은 특이점.이 시나리오에서, 몸은 유한한 시간에 무한대로 분산되는 동시에 제로 분리를 향해 나아간다(상상의 충돌은 "무한도"에서 일어난다).

후자는 Pinlevé의 추측이라고 불린다.그들의 존재는 pinlevé에 의해 n > 3으로 추측되었다(Pinlevé 추측 참조).n = 5에 대한 이러한 행동의 예는 Xia에^[37] 의해 구성되었고 n = 4에 대한 휴리스틱 모델은 Gerver에 의해 구성되었다.^[38]Donald G. Saari는 4개 이하의 신체에서 특이점을 발생시키는 초기 데이터 집합이 0을 측정한다는 것을 보여주었다.^[39]

시뮬레이션

고전적(즉, 비상대적) 2체 문제 및 n > 2의 선택된 구성에 대해 이용할 수 있는 분석적 해결책이 있지만, 일반적인 n체 문제는 숫자 방법을 사용하여 해결하거나 시뮬레이션해야 한다.^[18]

소수의 시체들

소수의 신체의 경우 n-신체 문제는 입자-입자-입자 방식이라고도 하는 직접적 방법을 사용하여 해결할 수 있다.이 방법들은 움직임의 미분 방정식을 숫자로 통합한다.이 문제에 대한 수치적 통합은 여러 가지 이유로 난제가 될 수 있다.첫째로, 중력 전위는 단수적이다; 두 입자 사이의 거리가 0이 될 때 무한대로 간다.중력 전위는 작은 거리에서 특이점을 제거하기 위해 부드러워질 수 있다.^[18]

둘째, 일반적으로 n > 2의 경우 n-body 문제가 혼란스럽기 때문에,^[40] 적시에 작은 통합 오류도 기하급수적으로 증가할 수 있다는 것을 의미한다.셋째, 시뮬레이션은 모델 시간(예: 수백만 년)의 큰 연장일 수 있으며, 통합 시간이 증가함에 따라 수치 오류가 누적될 수 있다.

수치적 통합에서 오류를 줄이기 위한 많은 기법이 있다.^[18]국지 좌표계는 태양계 시뮬레이션의 맥락에서 지구-달 좌표계와 같은 일부 문제에서 매우 다른 척도를 다루기 위해 사용된다.변동 방법과 섭동 이론은 수치 통합이 보정이 될 수 있는 대략적인 분석 궤적을 산출할 수 있다.공통 통합자를 사용하면 시뮬레이션이 해밀턴 방정식을 높은 정확도로 준수하고 특히 에너지가 보존되도록 보장한다.

많은 시체들

수치적 통합을 이용한 직접 방법은 모든 입자 쌍에 걸친 잠재적 에너지를 평가하기 위한 1/2n² 계산의 순서를 필요로 하며, 따라서 O²(n)의 시간 복잡성을 가진다.입자가 많은 시뮬레이션의 경우 O(n²) 인자는 특히 시간이 많이 소요되는 대규모 계산을 한다.^[18]

직접적 방법에 비해 시간 복잡성을 줄이는 여러 가지 근사적 방법이 개발되었다.^[18]

• 반즈-와 같은 나무 코드 방법오두막 시뮬레이션은 쌍들 간의 근접 만남이 중요하지 않고 먼 입자 기여도를 높은 정확도로 계산할 필요가 없을 때 사용되는 충돌 없는 방법이다.먼 입자 그룹의 전위는 전위의 다중홀 확장을 사용하여 계산된다.이 근사치를 통해 O(n log n)까지 복잡성을 줄일 수 있다.
• 빠른 멀티폴 방법은 먼 입자로부터 오는 멀티폴 확장력이 서로 가까운 입자의 경우와 유사하다는 점을 활용한다.이 추가 근사치는 복잡성을 O(n)로 감소시킨다고 주장한다.^[18]
• 입자 메쉬 방법은 시뮬레이션 공간을 입자의 질량 밀도가 보간되는 3차원 그리드로 나눈다.그런 다음 잠재력을 계산하는 것은 그리드의 포아송 방정식을 푸는 문제가 되며, 이는 빠른 푸리에 변환 기법을 사용하여 O(n log n) 시간으로 계산할 수 있다.적응형 메쉬 정제나 멀티그리드 기법을 사용하면 방법의 복잡성을 더욱 줄일 수 있다.
• PM과³ PM-트리 방법은 먼 입자에 대해 입자 메시 근사치를 사용하지만 가까운 입자에 대해서는 더 정확한 방법(몇 개의 그리드 간격 이내)을 사용하는 하이브리드 방법이다.PM은³ 입자-입자-입자-메쉬를 의미하며 가까운 거리에서 부드러운 전위를 가진 직접 방법을 사용한다.대신 PM-트리 방법은 가까운 범위의 트리 코드를 사용한다.입자 메시 방법과 마찬가지로, 적응형 메시는 계산 효율을 높일 수 있다.
• 평균 자기장 방법은 질량 밀도를 나타내는 시간에 의존하는 볼츠만 방정식을 가진 입자의 시스템을 근사하게 하며, 잠재력을 나타내는 자기 일관적인 포아송 방정식과 결합한다.대형 시스템에 적합한 평활 입자 수역학 근사치의 일종이다.

강인중력

블랙홀의 사건 지평선 근처에 있는 것과 같이 강한 중력장을 가진 천체물리학적 시스템에서, n-body 시뮬레이션은 일반 상대성을 고려해야 한다; 그러한 시뮬레이션은 수치 상대성의 영역이다.아인슈타인 필드 방정식을 숫자로 시뮬레이션하는 것은 매우 도전적이고^[18] 아인슈타인-과 같은 뉴턴 이후의 공식주의(PN)에 매개변수가 있는 것이다.가능하다면 인펠트-호프만 방정식을 사용한다.일반 상대성에서의 두 신체 문제는 한 질량이 다른 질량보다 훨씬 더 큰 것으로 가정되는 케플러 문제에 대해서만 분석적으로 해결할 수 있다.^[41]

기타 n-body 문제

n-body 문제에 대해 행해진 대부분의 작업은 중력 문제에 관한 것이었다.그러나 n-body math와 시뮬레이션 기법이 유용한 것으로 입증된 다른 시스템들이 존재한다.

구조 생물학에서 단백질과 세포 조립체의 시뮬레이션과 같은 대규모 전기학 문제에서 쿨롱 전위는 전하가 양 또는 음이 될 수 있다는 것을 제외하고 중력 전위와 동일한 형태를 가지고 있으며, 이는 매력적인 힘뿐만 아니라 혐오감을 유발할 수 있다.^[42]Fast Coulomb solvers는 고속 멀티폴 방법 시뮬레이터에 대한 정전기적 대응물이다.이것들은 종종 시뮬레이션된 지역의 주기적인 경계 조건과 함께 사용되며, 계산 속도를 높이기 위해 Ewald 합계 기법이 사용된다.^[43]

통계와 기계학습에서, 일부 모델은 중력 전위와 유사한 형태의 손실 기능을 가지고 있다: 커널 함수의 합은 모든 개체 쌍에 걸쳐서, 커널 함수는 매개변수 공간에 있는 개체 사이의 거리에 따라 달라진다.^[44]이 형태에 맞는 예로는 다지관 학습, 커널 밀도 추정, 커널 머신에서 가장 가까운 모든 것을 들 수 있다.O(n) 시간의 복잡성을 O(n²)로 줄이기 위한 대안적 최적화가 개발되었는데, 이중 트리 알고리즘은 중력 n-body 문제에도 적용될 수 있다.

참고 항목

• 천체역학
• 중력 2체 문제
• 자코비 적분
• 달 이론
• 자연단위
• 태양계 수치모델
• 태양계의 안정성
• 소수의 신체 시스템

메모들

참조

추가 읽기

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외부 링크