궤도 방정식

우주역학에서 궤도 방정식은 시간의 함수로 위치를 지정하지 않고 $중앙{\displaystyle {}_{}}$ 몸체 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$을 ${\displaystyle {중심}_{}}$으로 한 몸체 m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash {}_{}}$$displaystyle m_{2$$}\,\!}$의 궤도를 선회하는 경로를 정의한다$.$표준 가정 하에서 거리의 사각형(중력 등)에 반비례하는 크기의 중심체(중력)에 의해 중심체(중력 등)로 향하는 힘의 영향을 받아 움직이는 신체는 중심부와 원뿔형(원형 궤도, 타원형 궤도, 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도, 방사형 궤도)인 궤도를 가진다.두 개의 초점 중 하나, 즉 초점(케플러의 첫 번째 법칙)에 위치한 본체.

원뿔 부분이 중심체와 교차하는 경우, 실제 궤적은 표면 위의 부분만 될 수 있지만, 그 부분에 대해서는 자유낙하(무중력 상태)인 한 궤도 방정식과 많은 관련 공식들이 여전히 적용된다.

중심, 역제곱 법칙력

질량 M의 중심체와 질량 $m$의 훨씬 더 작고 궤도를 선회하는$$몸체로 구성된 2체계를 고려하고$,$ 두 몸이 중앙의 역제곱 법칙력$($예: 중력)을 통해 상호작용한다고 가정한다.극좌표에서 궤도 방정식은 다음과^[1] 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle r={\frac {\ell^{2}}:{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\coses \theta}}}}}$

여기서 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 두 신체 사이의$$ 분리 거리이고, $\theta {\displaystyle }${\$displaystyle \theta}$은(는) $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) periapsis의 축으로 만드는$$ 각도(참 이상이라고도 함)이다$$.매개변수 ${\displaystyle \ell}$은(는) $중심체$를 중심으로 선회하는 본체의 각운동량이며, m ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}{}^{}\stackrel{}{}}${\$displaystyle mr^{$2}{\dot${\teta$ 또는 질량에 두 본체의 상대 위치 및 속도 벡터의 교차 생산물의 크기를 곱한 것과 같다.^{[note 1]}매개 변수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 $\mu {\displaystyle }$/ ${\displaystyle r{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \mu /r^{2$}}는 작은 몸체의 가속과$$ 같은 상수$$(인력의 경우 μ, $\mu {\displaystyle }$, μ ${\displaystyle \mu}$은 표준 중력 파라미터,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{GM}}$ ${\displaystystylean -GM}).$ 주어진 궤도의 경우 더$큰{\displaystyle }$ μset $\mu$ \mu \mu \mu$$\mu \mu }$$궤도를 선회하는 신체가 그 안에서 더 빨리 움직일수록: 매력은 네 배 더 강하면 두 배 더 빠르다.매개 변수 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은(는) 궤도의 편심률이며, 다음과^[1] 같이 주어진다.

${\displaystyle e={\sqrt{1+{\frac {2E\ell ^{2}}:{m^{3}\mu ^{2}}:}$

여기서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 궤도의 에너지다.

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과(와) $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ 사이의 위의 관계는 원뿔 단면을 설명한다$$.^[1]$e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ 값은 궤도가 다음과 같은 원뿔 단면 유형을 제어한다$$.

• < ${\displaystyle e<1},$궤도는 타원형이다.
• $e{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e=1}$인 경우$,$ 궤도는 포물선이 된다.
• > $[\displaystyle e>1}$일 때 궤도는 쌍곡선이다.

$방정식$에서 r ${\displaystyle r}$의 최소값은:

${\displaystyle r={\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{1}{1}{1}{1+e}}}}}$

반면, < ${\displaystyle e<1}$인 경우 최대 값은:

${\displaystyle r={\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{1}{1}{1}{1-e}}}}}$

최대값이 중심체 반지름보다 작을 경우 원뿔 부분은 중심체 안에 완전히 들어 있는 타원형이며 그 일부가 가능한 궤적이 아니다.최대값이 더 크지만 최소값이 반지름보다 작을 경우 궤적의 일부가 가능하다.

• 에너지가 음성이 아닌 경우(파라볼릭 또는 쌍곡 궤도): 운동은 중심체에서 멀리 떨어져 있거나 중심체 쪽으로 이동한다.
• 에너지가 음인 경우: 동작은 먼저 중심체로부터 멀어질 수 있다.

${\displaystyle r={\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{1}{1}{1}{1-e}}}}}$

물체가 후퇴한 후에

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 궤도를 선회하는 본체가 대기권에 진입할 정도로 변하면$$ 대기권 재진입에서와 같이 표준 가정은 더 이상 적용되지 않는다.

저에너지 궤적

만약 중심체가 지구이고 에너지가 지구 표면의 잠재적 에너지보다 약간만 더 크다면, 궤도는 타원형으로 지구의 중심 바로 너머 타원의 1과 한쪽 끝에 가깝고, 다른 한쪽 끝은 지표 바로 위에 있다.타원의 작은 부분만 적용할 수 있다.

수평 속도가 $v{\displaystyle }$ $displaystyle v$인 경우 periapsis 거리는 $v{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{g}{}}$ ${\$ {$v^{2}}:{2g}}$ 입니다$.$지구 표면의 에너지는 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2}$ $displaystyle a=R/2\,\!}($$지구$의 반지름$$${\displaystyle }$R {\$displaystyle$ R$\,\})$를 가진 타원 궤도의 에너지에 해당하는데, 이는 지표면 아래 완전히 타원이기 때문에 실제로 존재할 수 없다.${\displaystyle a}$의 증가에 따른 에너지 증가는 속도$$ $displaystyle 2g\,\!}.$ 궤도 표면 위의 최대 높이는 타원체 $길이$에서 R$displaystyle$ R$\backslash ,\backslash ]$를 뺀 값이며, 지구의 중심 아래 부분을 "하단"으로 하여 $style$ a$\,\!}$ mi의$$ 두 배가 증가된 $값$이다$.$근거리의 근방에상단에서^{[of what?]} 잠재적 에너지는 이 $높이$의 g ${\displaystyle$g}${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$, 운동 $에너지$는 v ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\${\$frac{v^{2}}{2}}}}}}$이(가) 있으며$,$ 이는 방금 언급한 에너지 증가에 더해진다.타원의 폭은 v $displaystyle$ v$\,\!}$의 19분이다^[why?]$.$

표면 위 타원의 부분은 포물선의 한 부분으로 근사할 수 있으며, 중력이 일정하다고 가정되는 모델에서 구할 수 있다.이것은 속도가 탈출 속도인 아스트로다이나믹스의 관점에서 포물선 궤도와 구별되어야 한다.

궤적을 참조하십시오.

궤도의 분류

지구 표면 근처의 한 점 수평에 있는 궤도를 생각해 보아라.이 지점에서 속도가 증가하는 경우 궤도는 후속적으로 다음과 같다.

• 지구의 중심을 원점으로 하는 수직 중심축의 타원의 일부(돌 던지기, 아궤도 우주 비행, 탄도 미사일)
• 지구 표면 바로 위의 원(저지구 궤도)
• 지구의 중심을 거의 초점으로 하여 수직 주축을 이루는 타원형
• 포물선.
• 쌍곡선.

위의^[where?] 시퀀스에서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ h$},$$ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 및 ${\displaystyle a}$은(는) 단조롭게 증가하지만$$ $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은(는$$) 먼저 1에서 0으로 감소했다가 0에서 무한대로 증가한다는 점에 유의하십시오.반전은 지구의 중심이 먼 초점에서 가까운 초점으로 바뀔 때(다른 초점은 표면 근처에서 시작하여 지구의 중심을 통과한다)이다.우리는 가지고 있다.

${\displaystyle e=\왼쪽 {\frac {R}{a}-1\오른쪽 }$

이것을 다른 높이에서 수평인 궤도와 외삽이 지구 표면 아래에 수평인 궤도로 확장하면, 우리는 방사형 궤도를 제외한 모든 궤도의 분류가 되는데, 이 궤도는, 참고로, 궤도 방정식을 사용할 수 없다.이 범주화에서 타원은 두 번 고려되기 때문에 표면 위의 양쪽이 모두 있는 타원은 기준 면으로 낮은 쪽을 택하는 반면, 한쪽만 표면 위에 있는 타원은 그 쪽을 택하는 것을 제한할 수 있다.

참고 항목

• 케플러의 제1법칙
• 원궤도
• 타원 궤도
• 포물선 궤적
• 쌍곡선 궤적
• 로켓 방정식
• 궤도 속도
• 탈출속도
• 천체역학

메모들

참조