어댑티브 메시 정교화

Adaptive mesh refinement
이 글은 수치해석에서 적응 메싱의 사용에 관한 것이다. 컴퓨터 그래픽 모델링에서 적응형 기법을 사용하려면 하위 분할 표면을 참조하십시오.

수치해석에서는, 적응 메쉬 정제(AMR)는 특정 시뮬레이션의 민감하거나 난류 영역 내에서, 동적으로, 그리고 솔루션이 계산되는 시간 동안에, 솔루션의 정확도를 적응시키는 방법이다. 해법이 숫자로 계산되는 경우, 계산 그리드 또는 '메쉬'를 구성하는 데카르트 평면에서와 같이 사전 결정된 정량화된 그리드에 한정되는 경우가 많다. 그러나 수치해석의 많은 문제들은 그래프 플로팅이나 계산 시뮬레이션에 사용되는 수치 그리드의 균일한 정밀도를 요구하지 않으며, 정밀도가 필요한 그래프의 특정 영역을 정량화 시 추가 정밀도가 필요한 지역에서만 정제할 수 있다면 더 적합할 것이다. 적응형 메시 정밀도는 다차원 그래프의 다른 영역은 낮은 정밀도와 분해능 수준으로 유지하면서 정밀도가 필요한 다차원 그래프의 특정 영역에서 계산 문제의 요구 사항을 기반으로 한 수치 계산의 정밀도를 적응시킬 수 있는 동적 프로그래밍 환경을 제공한다.ution

특정 요건에 연산 정밀도를 적응시키는 이 동적 기법은 지역 적응 메시 정교화라고 불리는 동적 그리드링 알고리즘을 개발한 마르샤 베르거, 조셉 올리거, 필립 콜렐라에게 인정되었다. 그 후 AMR의 사용은 광범위한 사용이 증명되었고 볼쇼이 우주론 시뮬레이션에서와 같이 천체물리학의 대규모 구조 연구뿐만 아니라 수역역학에서의 난류 문제를 연구하는 데 사용되었다.

적응형 메쉬 정교화 개발

위 이미지는 기울어진 경사면에 영향을 미치는 충격에 대한 AMR 계산의 그리드 구조를 보여준다. 각각의 상자는 격자형이며, 상자들이 더 많이 내포될수록 정제 수준이 높아진다. 이미지에서 알 수 있듯이 알고리즘은 필요한 물리적 위치와 시간에만 고해상도 그리드를 사용한다.

일련의 논문에서 마샤 버거, 조셉 올리거, 필립 콜렐라는 국부적 적응 메쉬 정교화라고 불리는 동적 그리딩 알고리즘을 개발했다.[1][2] 알고리즘은 거칠게 분해된 베이스 레벨의 정규 카르테시안 그리드로 덮인 전체 컴퓨팅 도메인에서 시작한다. 계산이 진행됨에 따라 사용자가 제공할 수 있는 기준(예: 셀당 질량이 일정하게 유지되므로 고밀도 영역이 더 많이 분해됨)을 사용하거나 리처드슨 외삽에 기초하여 개별 그리드 셀에 정제 태그가 붙는다.

그런 다음 태그가 붙은 모든 세포가 정제되며, 이는 더 미세한 격자가 거친 세포에 겹쳐진다는 것을 의미한다. 미세화 후, 단일 고정 레벨의 미세화 단계에 있는 개별 그리드 패치를 적시에 셀을 발전시키는 통합업체에 전달한다. 마지막으로, 한 셀에서 남겨지는 보존 수량의 양이 정확히 경계 셀로 들어가는 양의 균형을 이루도록 하기 위해 거친 미세 그리드 인터페이스를 통한 전송을 교정하기 위한 보정 절차가 시행된다. 어느 시점에서 셀의 정교화 수준이 필요 이상으로 클 경우, 고해상도 그리드를 제거하고 코어저 그리드로 교체할 수 있다.

이를 통해 사용자는 균일한 그리드에서 완전히 다루기 어려운 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어, 천체물리학자들은 붕괴하는 거대 분자 클라우드 코어를 균일한 그리드의 10개15 셀의 분해능에 해당하는 초기 클라우드 반지름당 131,072 셀의 효과적인 분해능으로 모델링하기 위해 AMR을 사용해 왔다.[3]

고급 메시 정교함이 기능성을 통해 도입되었다.[4] 기능성은 그리드를 생성하고 메쉬 적응을 제공할 수 있는 능력을 허용한다. 일부 고급 기능에는 윈슬로우 기능 및 수정된 요 기능들이 포함된다.[5]

적응형 메쉬 정교화 적용

얕은 수식에 대한 용액을 계산할 때, 용액(수위)은 몇 피트 간격으로 점들에 대해서만 계산될 수 있으며, 그 점들 사이에서 높이가 완만하게 변동한다고 가정할 수 있다. 용액의 분해능에 대한 제한 요인은 격자 간격이다. 격자 간격보다 작은 척도에서는 숫자 용액의 특징이 없을 것이다. 적응형 메쉬 정제(AMR)는 그리드 포인트의 간격을 변경하여 솔루션이 해당 영역에 얼마나 정확하게 알려져 있는지를 변경한다. 얕은 물의 예에서 격자는 일반적으로 몇 피트마다 간격을 둘 수 있지만, 큰 파도가 있는 장소에서는 몇 인치마다 격자점을 가지도록 적응적으로 정제할 수 있다.

높은 분해능을 원하는 영역이 계산 과정에서 국부적으로 남아 있는 경우, 정적 메시 정밀도를 사용할 수 있다. 이 경우 그리드는 다른 영역보다 더 미세하게 간격을 두고 있지만 시간이 지남에 따라 모양을 유지한다.

동적 그리드 방식의 장점은 다음과 같다.

  1. 정적 그리드 접근 방식에 비해 컴퓨팅 비용 절감액 증가
  2. 정적 그리드 접근 방식에 따른 스토리지 절감액 증가
  3. 정적 그리드 접근방식의 고정 분해능 또는 평활 입자 수역학(smoothed particle hydynamics)의 라그랑지안 기반 적응성과 비교하여 그리드 분해능의 완전한 제어.
  4. 사전 조정된 정적 메시에 비해 적응형 접근방식은 솔루션 진화에 대한 사전 지식이 덜 필요하다.
  5. 계산 비용은 물리적 시스템의 속성을 상속한다.[6]

참조

  1. ^ Berger, Marsha J.; Oliger, Joseph (1984). "Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations" (PDF). Journal of Computational Physics. 53 (3): 484--512. doi:10.1016/0021-9991(84)90073-1,access-date=2021-07-22.
  2. ^ Berger, Marsha J.; Colella, Philipp (1989). "Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics" (PDF). Journal of Computational Physics. 82 (1): 64--84. doi:10.1016/0021-9991(89)90035-1.
  3. ^ Klein, Richard (1999). "Star formation with 3-D adaptive mesh refinement: the collapse and fragmentation of molecular clouds". Journal of Computational and Applied Mathematics. 109 (1–2): 123–152. doi:10.1016/S0377-0427(99)00156-9.
  4. ^ Huang, Weizhang; Russell, Robert D. (2010). Adaptive Moving Mesh Method. Springer. ISBN 978-1-4419-7916-2.
  5. ^ Khattri, Sanjay Kumar (2007). "Grid generation and adaptation by functionals". Computational & Applied Mathematics. 26 (2): 235--249. Retrieved 2021-07-22.
  6. ^ Popinet, Stéphane (2015). "A quadtree-adaptive multigrid solver for the Serre–Green–Naghdi equations". Journal of Computational Physics. 302: 336–358. doi:10.1016/j.jcp.2015.09.009. Retrieved 2021-07-22.

참고 항목