룬게-쿠타 방법 목록

Runge-Kutta 방법은 일반적인 미분 방정식의 수치해결 방법들이다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}=f(t,y).}$

명시적 런지-쿠타 메서드가 형식을 취함

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\\k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right).\end{정렬}}}$

단계별 암묵적 방법에 대한 단계는 보다 일반적인 형태를 취한다.

${\displaystyle k_{i}=f\왼쪽(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\\오른쪽).}$

이 페이지에 열거된 각 방법은 그 푸줏대감으로 정의되는데, 이 방법은 다음과 같이 그 방법의 계수를 표에 넣는다.

${\displaystyle {\begin{array}{c cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}}$

명시적 방법

명시적 방법은 매트릭스$[{\displaystyle i_{}}$j$]$ {\$displaystyle$ [$a_${ij$}]}$이(가) 하위$$ 삼각형인 방법이다.

포워드 오일러

오일러 방법은 첫 번째 순서다.안정성과 정확성의 결여는 그것의 인기를 주로 숫자 솔루션 방법의 간단한 도입 사례로 제한한다.

${\displaystyle {\displaysty}{c}0&0\\hline &1\\\end{array}}}$

명시적 중간점 방법

(명백한) 중간점 방법은 2단계가 있는 2차 방법(아래 암묵적인 중간점 방법 참조):

${\displaystyle {\displaysty}{cc}0&0&0\\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}}$

헌의 방법

헌의 방법은 2단계의 2차법이다.명시적 사다리꼴 규칙, 오일러의 방법 개선 또는 오일러의 방법 수정으로도 알려져 있다. (참고:"eu"는 "Uler"에서와 같은 방식으로 발음되므로 "Heun"은 "코인"과 운율을 맞춘다.

${\displaystyle {\displaysty}{c cc}0&0\\\1&0\1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

랄스턴의 방법

랄스턴의 방법은 두 단계와 최소 국소 오차 한계를 갖는 두 번째 순서 방법이다^[1].

${\displaystyle {\displaysty}{c cc}0&0\\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}}}$

일반2차순법

${\displaystyle {\ccc}0&0&0\\\cHLINE &0\\\\hline &1-{1}{2\fract }}}{1}{2\fract }}{1}{2\cHB\end{array}}}}}}}}}}}}}$

쿠타의 제3순서

${\displaystyle {\displaystyle {\ccc}0&0&0&0\\1/2&0\\1/2&0\1&0\1&0\\hline &1/6&3/6\\end{array}}}}}$

일반 3차법

Sanderse and Veldman(2019)을 참조하십시오.^[2]

α ≠ 0의 경우,2⁄3, 1:

${\displaystyle {\begin{array}{c ccc}0&0&0&0\\\alpha &\alpha &0&0\\1&1+{\frac {1-\alpha }{\alpha (3\alpha -2)}}&-{\frac {1-\alpha }{\alpha (3\alpha -2)}}&0\\\hline &{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6\alpha }}&{\frac {1}{6\alpha (1-\alpha )}}&{\frac {2-3\alpha }{6(1-\alpha )}}\\\end{array}}}$

헌의 삼차법

${\displaystyle {\displaystyle}{ccc}0&0&0&0\\\1/3&1/3&0\\nd{array}}}\2/3&0&0/3&0\\\hline &1/4&0/4\nd}}}}}}$

랄스턴의 3차법

랄스턴의 3차 방법은^[1] 임베디드 보가키-샹파인 방법에 사용된다.

${\displaystyle {\displaystyle}{ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0/2&0\\3/4&0\\\hline &2/9&1/3&4/9\\end{array}}}}}}}}}}$

룬게-쿠타 보존 3차 강안정성(SSUK3)

${\displaystyle {\displaystyle}{ccc}0&0&0&0\\1&0\1&0\1&0\1/1/4&0\\\nd{array}}}}}$

클래식 4차법

"원래" 룬지-쿠타 방법.

${\displaystyle {\displaystyle}{cccc}0&0&0&0&0\\1/2&0&0\\1/0&0&0\\\1/0&0&0\\1&0&0\\&0&#1&1/3&1/6\end{ccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

랄스턴의 네 번째 순서 방식

이 네 번째 주문 방법은^[1] 최소 잘라내기 오류가 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{c cccc}0&0&0&0&0\\.4&.4&0&0&0\\.45573725&.29697761&.15875964&0&0\\1&.21810040&-3.05096516&3.83286476&0\\\hline &.17476028&-.55148066&1.20553560&.17118478\\\end{array}}}$

3/8규칙 제4순법

이 방법은 "클래식" 방법만큼 악명이 높지는 않지만, 같은 논문에서 제안되었기 때문에 고전적인 것과 같다(쿠타, 1901년).

${\displaystyle {\displaystyle}{cccc}0&0&0&0&0\\1/3&0&0\\1/3&0&0\\\2/3&0\\\3&0\&#1&1&0\1&1&0\1&1&#8/8\end}}}}:{ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc&#0&#0&#}}}}$

임베디드 메서드

내장된 방법은 단일 Runge-Kutta 단계의 로컬 잘라내기 오류에 대한 추정치를 생성하도록 설계되었으며, 결과적으로 적응형 단계화(adaptive stepize)로 오류를 제어할 수 있다.이것은 tableau에 order p와 order p-1의 order p와 order p와 order p-1의 두 가지 방법을 가지고 있다.

저차 단계는 다음과 같다.

${\displaystyle y_{n+1}^{*}}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*k_{i}}}}}$

여기서 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 고차방법과 동일하다$$.그렇다면 그 오류는

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*}k_{i}}}}}}}$

$즉{\displaystyle }$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$) ${\displaystyle O(h^{p}})$ 입니다$.$이러한 종류의 방법에 대한 정육점 테이블라우를 ${\displaystyle {확장}_{}^{}}$하여 b i$\$ {\$displaystyle b_{$i}^{*}}}의 값을 부여한다.

${\displaystyle{\begin{배열}{ccccc}c_{1}&, a_{11}&, a_{12}&, \dots &, a_{1}\\c_{2}&, a_{21}&, a_{22}&, \dots, a_{2초씩}\\\vdots, \vdots & &, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\c_{s}&, a_{s1}&, a_{s2}&, \dots &, a_{ss}\\\hline&b_{1}&, b_{2}&, \dots &, b_{s}\\&, b_{1}^{*}&, b_{2}^{*}&, \dots &, b_{s}^{*}.\\\end{배열}}}$

헌-을러

가장 간단한 적응 런지-쿠타 방법은 순서 2인 헌의 방법과 순서 1인 오일러 방법을 결합하는 것을 포함한다.확장된 푸줏대감 테이블라우:

${\displaystyle {\displaysty}{c cc}0&\\1&1&1\\\hline &1/2/2\&1&0\end{array}}}}$

오류 추정치는 단계적 크기를 제어하는 데 사용된다.

Felberg RK1(2)

펠베르크 방식은^[3] 주문 1과 주문 2의 두 가지 방법이 있다.확장된 푸줏대감 테이블라우:

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/512	255/256	1/512
		1/256	255/256	0

b 계수의 첫 번째 행은 2차 순서의 정확한 용액을 제공하며, 두 번째 행은 1차 순서가 있다.

보고키-샹파인

보고키-샹파인 방법은 주문 3과 2의 두 가지 방법이 있다.확장된 푸줏대감 테이블라우:

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		7/24	1/4	1/3	1/8

b 계수의 첫 번째 행은 세 번째 순서의 정확한 해답을 제공하며, 두 번째 행은 순서 2를 가진다.

펠베르크

룬게-쿠타-펠베르크 방법은 주문 5와 4의 두 가지 방법이 있다.확장된 푸줏대감 테이블라우:

${\displaystyle{\begin{배열}{rccccc}0&,&&&&\\1/4&, 1/4&,&&\\3/8&, 3/32&, 9/32&,&\\12/13&, 1932/2197&, -7200/2197&, 7296/2197&, \\1&, 439/216&, -8&, 3680/513&, -845/4104&, \\1/2&, -8/27&, 2&, -3544/2565&, 1859/4104&,-11/40\\\hline&16/135&, 0&, 6656/12825&, 28561/56430&, -9/50&, 2/55\\&, 25/216&, 0&, 1408/2565&, 2197/4104&, -1/5&, 0\end{배열}}}$

b 계수의 첫 번째 행은 5번째 순서의 정확한 해답을 제공하며, 두 번째 행은 4번째 순서를 가진다.

캐시-카프

캐쉬와 칼프는 펠버그의 원래 생각을 수정했다.캐시-카프 방식의 확장된 테이블라우는

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

b 계수의 첫 번째 행은 5번째 순서의 정확한 해답을 제공하며, 두 번째 행은 4번째 순서를 가진다.

도르망-프린스

도만드-프린스 방법의 확장된 테이블라우는

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

b 계수의 첫 번째 행은 5번째 순서의 정확한 용액을, 두 번째 행은 4번째 순서의 정확한 용액을 제공한다.

암묵적 방법

백워드 오일러

후진 오일러 방법은 첫 번째 순서다.선형 확산 문제에 대해 무조건 안정적이고 비수술적이다.

${\displaystyle {\put{array}{c}c}1&1\\hline &1\\\end{array}}$

암묵적 중간점

암묵적 중간점 방법은 제2순이다.그것은 Gauss-Legendre 방법이라고 알려진 결합 방법의 종류에서 가장 간단한 방법이다.그것은 동정적인 통합자들이다.

${\displaystyle {\put{array}{c}{c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}$

크랭크-니콜슨법

크랭크-니콜슨 방법은 암묵적 사다리꼴 규칙에 해당하며 2차 정확하고 A-안정적인 방법이다.

${\displaystyle {\just{array}{c cc}0&0&0\\1&1/2/2\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}}$

가우스-레젠드르 방법

이 방법들은 가우스-레젠드르 사분법(Gauss-Legendre Quadrature)의 점에 기초한다.가우스-레젠드르 순서 4의 방법에는 푸줏대감이 있다.

${\displaystyle{\begin{배열}{ccc}{\frac{1}{2}}-{\frac{\sqrt{3}}{6}}&{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}-{\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{\frac{1}{2}}+{\frac{\sqrt{3}}{6}}&{\frac{1}{4}}+{\frac{\sqrt{3}}{6}}&{\frac{1}{4}}\\\hline&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\&,{\frac{1}{2}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}&{\frac{1}{2}}-{\frac.{\sqrt{3}}{2}}\\\end{배열}}}$

Gauss-Legendre order 6는 Putuch tableau가 있다.

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}{\frac{1}{2}}-{\frac{\sqrt{15}}{10}}&{\frac{5}{36}}&{\frac{2}{9}}-{\frac{\sqrt{15}}{15}}&{\frac{5}{36}}-{\frac{\sqrt{15}}{30}}\\{\frac{1}{2}}&{\frac{5}{36}}+{\frac{\sqrt{15}}{24}}&{\frac{2}{9}}&{\frac{5}{36}}-{\frac{\sqrt{15}}{24}}\\{\frac{1}{2}}+{\frac{\sqrt{15}}{10}}.&{\frac{5}{36}}와{\frac{\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}$

대각선 암묵적 런지-쿠타 방법

대각선 암묵적 룬게-쿠타(DIRK) 공식은 경직된 초기 가치 문제의 수치 해법에 널리 사용되어 왔다.이 클래스에서 가장 간단한 방법은 순서 2 암묵적인 중간점 방법이다.

Kraijevanger와 Spijker의 2단계 Arequire Implicit Runge-Kraijevanger와 Spijker의 2단계 암묵적 런지-쿠타 방법:

${\displaystyle {\displaystyle}{c cc}1/2&1/2&0\\3/2&#2\\hline &-1&3/2\\\\end{array}}}}}$

진과 장의 2단계, 2차 순서, 동정적 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법:

${\displaystyle {\displaystyle}{c cc}1/4&1/4&0\\3/1&1/2/4\\hline &1&1/2\\\\end{array}}}}}}$

파레스치와 루소의 2단계 2단계 어슷한 암묵적 룬게-쿠타 방법:

${\displaystyle {\displaystyle {\c}x&0\\1-x&#1-x&x\\\hline &{{1}{1}{1}{1}{1}:{2}}\\nd{array}}}}}}}}}$

This Diagonally Implicit Runge–Kutta method is A-stable if and only if ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$. Moreover, this method is L-stable if and only if ${\displaystyle x}$ equals one of the roots of the polynomial ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$, i.e. if ${\$텍스트 $스타일 x=1\pm$ {\frac ${\sqrt{2}}:{2$ 진과 장의 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle x=1/4}$의 파레스치 및 루소의 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법에 해당한다$.$

2단계 2차 순서 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법:

${\displaystyle {\displaystyle {\c}x&0\\1-x&x\\\hline &{\frac {1}{1}{1}{1}:{1}{1}:{2}}\\\end{array}}}}}}}}}$

Again, this Diagonally Implicit Runge–Kutta method is A-stable if and only if ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$. As the previous method, this method is again L-stable if and only if ${\displaystyle x}$ equals one of the roots of the polynomial ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$, i.e. if$x$= $1$± $\frac{\mathrm{}}{}$ ${\$

크라우제ix의 2단계, 3단계 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법:

${\displaystyle {\begin{array}{c cc}{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

3단계, 3차 순서, L-안정성 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법:

${\displaystyle {\displaysty}{ccc}x&x&0&0\\\\frac {1+x}{2}}&{\frac {1-x}{2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hline &-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{array}}}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.4358665215}$ ${\displaystyle x=0.4358665215}$ 포함

Nørsett의 3단계, 4번째 순서 Arancharch Implicit Runge-Kutta 방법은 다음과 같은 Putuch tableau를 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{c ccc}x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline &{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}\\\end{array}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 사용하여 입방정식 x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ + x ${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}/2+x/2-1/24=0$ .이 입방정식의 세 근은 $대략{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle 1.06858}$ ${\displaystyle x_{1}=1.06858$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$= 0.${\displaystyle 30254}$ ${\displaystyle x_{2}=0.30254$ x $3{\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle 0.12889}$ ${\displaysty$ x_${3}=0.1289$이다.루트 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}은(는) 초기 값 문제에 대한 최상의 안정성 특성을 제공한다$$.

4단계, 3차 순서, L-안정성 어슷한 암묵적 런지-쿠타 방법

${\displaystyle {\begin{array}{c cccc}1/2&1/2&0&0&0\\2/3&1/6&1/2&0&0\\1/2&-1/2&1/2&1/2&0\\1&3/2&-3/2&1/2&1/2\\\hline &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\end{array}}}$

로바토 방법

로바토 방법에는 3개의 주요 계열이 있는데, IIIA, IIIB, IIIC(고전 수학적 문헌에서 기호 I와 II는 두 종류의 라다우 방법을 위해 유보된다)라고 한다.이것들은 르후엘 로바토의 이름을 따서 지어졌다.모두 암묵적 방법이고, 순서가 2s - 2이고, 모두 c₁ = 0, c = 1이다_s. 명시적 방법과는 달리, 이러한 방법들이 단계 수보다 더 큰 순서를 가질 수 있다.로바토는 고전적인 4차 주문 방식이 룬지와 쿠타에 의해 대중화되기 전에 살았다.

로바토 IIIA 방법

Lobatto IIIA 방법은 결합 방법이다.두 번째 순서 방법은 사다리꼴 규칙으로 알려져 있다.

${\displaystyle {\displaysty}{c cc}0&0&0\\\1&1/2/2/2\\hline &1/1&1/2\&1&0\\\end{array}}}}}}$

4차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

이러한 방법은 A-안정적이지만 L-안정 및 B-안정적이지 않다.

로바토 IIIB 방법

Lobatto IIIB 방법은 결합 방법이 아니지만, 불연속 결합 방법으로 볼 수 있다(Hairer, Lubich & Wanner 2006, §II.1.4).2차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaystyle}{c cc}0&2/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/1&0\\\end{array}}}}}$

4차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Lobatto IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정 및 B-안정성이 없다.

로바토 IIIC 방법

Lobatto IIIC 방법 또한 불연속적인 연접 방법이다.2차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\just{array}{c cc}0&1/2/2\\1&1/2\\1&1/2\\hline &1&1/2\&1&0\\\end{array}}}}}}}$

4차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

그들은 L-안정적이다.그들은 또한 대수학적으로 안정적이어서 B-안정적이어서 딱딱한 문제에 적합하다.

로바토 IIIC* 방법

로바토 IIIC* 방법은 문헌상 로바토 III 방법(Butcher, 2008), 푸쿠르의 로바토 방법(Hairer 등, 1993), 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000년 1월)으로도 알려져 있다.^[4]2차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}{c cc}0&0\\\1&0\1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

푸츄어의 3단계, 4단계 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaystyle {\ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4/4/1&0\\1&0\\\hline &1/6&3/6\\end{array}}}}}}$

이러한 방법은 A-안정적, B-안정적 또는 L-안정적이지 않다.$s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s=2}$에 대한 Lobatto IIIC* 방법을 명시적 사다리꼴 규칙이라고도 한다$$.

일반화된 로바토 방법

형태의 로바토 계수를 고려하여 3개의$$ 실제 매개변수$({\displaystyle {\alpha }_{}}$ A ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ )${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})$를 갖는 매우 일반적인 방법군을 고려할 수 있다.

${\displaystyle a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{$$A}+\알파 _{B}a_{i,j}^{B}+\알파 _{C}a_{i,j}^{C}+\알파 _{C*a_{i,j}^{C$

어디에

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ C ${\$

예를 들어 로바토 IIINW라고도 하는 (Nørsett 및 Wanner, 1981년)에 소개된 로바토 IIID 계열은 다음과 같다.

${\displaystyle {\just{array}{c cc}0&1/2/2/2\\1&-1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}}}$

그리고

${\displaystyle {\buffer{array}{ccc}0&/6&#0&#6\1/2/12&1/12&#0\\1&1/1&1/3/6\hline &1/6&3/1/6\end{array}}}}}}}}}}}}}}}$

These methods correspond to ${\displaystyle \alpha _{A}=2}$, ${\displaystyle \alpha _{B}=2}$, ${\displaystyle \alpha _{C}=-1}$, and ${\displaystyle \alpha _{C*}=-2}$.방법은 L-안정적이다.그들은 대수적으로 안정적이어서 B-안정적이다.

라다우 방법

Radau 방법은 완전히 암묵적인 방법이다(그런 방법의 매트릭스 A는 어떤 구조도 가질 수 있다).Radau 방법은 s단계의 순서 2 - 1을 달성한다.Radau 방법은 A-안정적이지만 구현 비용이 많이 든다.또한 그들은 주문 축소로 인해 고통을 받을 수 있다.제1순서 라다우 방법은 후진 오일러법과 비슷하다.

Radau IA 방법

3차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\just{array}{c cc}0&4/4-4-4/4\\2/3/3&1/4/12\\hline &1/4&3/4\\\\end{array}}}}}}}$

5차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}0&,{\frac{1}{9}}&{\frac{-1-{\sqrt{6}}}{18}}&{\frac{-1+{\sqrt{6}}}{18}}\\{\frac{3}{5}}-{\frac{\sqrt{6}}{10}}&{\frac{1}{9}}&{\frac{11}{45}}+{\frac{7{\sqrt{6}}}{360}}&{\frac{11}{45}}-{\frac{43{\sqrt{6}}}{360}}\\{\frac{3}{5}}+{\frac{\sqrt{6}}{10}}&{\frac{1}{9}}&,{\frac.{11}{45}}+{\frac{43{\sqrt{6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}$

라다우 IIA 방법

이 방법의 c는_i 의 0이다.

${\displaystyle \frac{d^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$( ${\displaystyle x{}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( x${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle s^{}}$) ${\dstyle {\d^{s-1}{dx^{s-1}}(x^{$dx^-1})}($x^{s-1})}}$.

3차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle {\just{array}{c cc}1/3&5/12&-1/12\\1&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\\end{array}}}}}}$

5차 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}{\frac{2}{5}}-{\frac{\sqrt{6}}{10}}&{\frac{11}{45}}-{\frac{7{\sqrt{6}}}{360}}&{\frac{37}{225}}-{\frac{169{\sqrt{6}}}{1800년}}&-{\frac{2}{225}}+{\frac{\sqrt{6}}{75}}\\{\frac{2}{5}}+{\frac{\sqrt{6}}{10}}&{\frac{37}{225}}+{\frac{169{\sqrt{6}}}{1800년}}&{\frac{11}{45}}와{\frac{7{\sq.rt{6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}$

메모들

참조

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4.