타원 궤도

Elliptic orbit
편심성별 궤도 애니메이션
0.0· 0.2· 0.4· 0.6· 0.8
타원 궤도를 가진 공동 바리센터 주위를 공전하는 유사한 질량을 가진 두 개의 몸체.
이 다이어그램의 우측 상단 사분면에 타원형 궤도가 그려져 있는데, 중심 질량의 중력 전위가 전위 에너지를 나타내고 궤도 속도의 운동 에너지가 적색으로 표시된다.운동 에너지의 높이는 케플러의 법칙에 따라 궤도를 선회하는 신체의 속도가 감소하고 거리가 증가함에 따라 감소한다.

우주역학이나 천체역학에서 타원궤도 또는 타원궤도편심도가 1 미만인 케플러 궤도다. 여기에는 편심도가 0과 같은 원궤도의 특별한 경우를 포함한다.보다 엄격한 의미에서 편심도가 0보다 크고 1보다 작은 케플러 궤도(순환궤도를 제외한다)이다.넓은 의미에서 음의 에너지를 가진 케플러의 궤도다.여기에는 편심도가 1과 같은 방사형 타원 궤도가 포함된다.

음의 에너지를 가진 중력 2체 문제에서, 두 신체는 공통의 바리센터 둘레에 동일한 궤도 주기유사한 타원 궤도를 따른다.또한 타원 궤도를 따라 다른 신체에 대한 한 신체의 상대적 위치가 결정된다.

타원 궤도의 예는 다음과 같다.호만 전이 궤도, 몰니야 궤도, 툰드라 궤도.

속도

표준 가정 하에서 타원 궤도를 따라 이동하는 신체의 궤도 속도( vis-viva 방정식을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서:

  • (는) 표준 중력 파라미터로,
  • 은(는) 공전하는 물체 사이의 거리다.
  • [\ a은(는) 반주축의 길이다.

쌍곡선 궤적에 대한 속도 방정식은 + a over 또는이 경우 a가 음수라는 관습과 동일하다.

궤도 주기

표준 가정(μ μ μ \ \\mo \ m)에서 타원 궤도를 따라 이동하는 신체의 궤도 주기( 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서:

결론:

  • 궤도 주기는 궤도 반경이 반주축과 같은 궤도 a의 그것과 동일하다.
  • 주어진 반주축의 경우 궤도 주기는 편심도에 의존하지 않는다(참조: 케플러의 제3법칙 참조).

에너지

표준 가정 하에서 타원 궤도의 특정 궤도 에너지( )는 음이고 이 궤도에 대한 궤도 에너지 절약 방정식(Vis-viva 방정식)은 다음과 같은 형태를 취할 수 있다.

여기서:

결론:

  • 주어진 반주축의 경우 특정 궤도 에너지는 편심률과 독립적이다.

정열을 이용하여 우리는 다음과 같은 것을 발견한다.

  • 특정 전위 에너지의 시간 평균은 -2ε과 같다.
    • r−1 시간 평균은 a이다−1.
  • 특정 운동 에너지의 시간 평균은 ε과 같다.

준주축 측면에서 에너지

에너지를 준주축(및 관련 대중)의 관점에서 알면 도움이 될 수 있다.궤도의 총 에너지는 에 의해 주어진다.

=-

여기서 a는 준주축이다.

파생

중력은 중심력이기 때문에 각운동량은 일정하다.

가장 가깝고 가장 먼 접근에서 각운동량은 궤도에 있는 질량으로부터의 거리에 수직이므로, 다음과 같다.

= = .

궤도의 총 에너지는 에 의해 주어진다.

= -G m

우리는 v를 대신하여 얻을 수 있다.

= 2 m - G 1}{2}}:{\

이는 r이 가장 가깝거나 가장 먼 거리에 있으므로 E:를 위해 해결한 두 개의 동시 방정식을 얻는다.

= + {{\1}, = - {{\ 여기서 엡실론은 궤도의 편심성이므로, 마침내 명시된 결과를 얻었다.

비행 경로 각도

비행 경로 각도는 궤도를 선회하는 신체의 속도 벡터(=순간 궤도에 접하는 벡터)와 국부 수평 사이의 각이다.각운동량 보존에 대한 표준 가정 하에서 비행 경로 각도 은 다음 등식을 만족한다.

여기서:

  • (는) 궤도의 특정한 상대 각도 운동량이다.
  • (는) 선회하는 차체의 궤도 속도,
  • (는) 중심체로부터 궤도를 선회하는 차체의 방사상 거리,
  • 경로 각도

궤도 속도 벡터와 반주축 사이의 각도다. (는) 지역의 진정한 이상 현상이다.= + -{ 그러므로

서 e (는) 편심이다.

각운동량은 위치 및 속도의 벡터 교차 산출물과 관련이 있으며, 이는 이 두 벡터 사이의 각도의 사인(sine)에 비례한다.여기서 은(는) 이것과 90도 차이가 나는 각도로 정의되므로 사인 대신 코사인(cosine)가 나타난다.

운동 방정식

초기 위치 및 속도로부터

궤도 방정식은 시간의 함수로 위치를 지정하지 않고 m 1 중심으로 를 도는 m 2 {\ m_1}\,\!}의 경로를 정의한다편심률이 1보다 작으면 운동 방정식은 타원 궤도를 설명한다.케플러M = - E{\ E에는 평균 이상(M)에 관한 편심 이상(E)에 대한 일반적인 폐쇄형 솔루션이 없기 때문에 시간의 함수로서의 움직임 방정식도 폐쇄형 솔루션이 없다(두 가지 모두에 대한 수치적 해법이 존재하지만).

단, 중심체에 관한 타원 궤도의 폐쇄형 시간 독립 경로 방정식은 초기 위치 와 속도({\에서만 결정할 수 있다.


이 경우 위의 표준 가정과 다소 다른 다음과 같은 가정을 사용하는 것이 편리하다.

  1. 중심체의 위치는 원점에 있으며 타원의 초점으로는 궤도를 선회하는 신체가 유의한 질량을 갖는 경우질량의 중심을 대신 사용할 수 있음)이다
  2. 중심체의 질량(m1)을 알 수 있다.
  3. 궤도를 선회하는 본체의 초기 위치( )와 속도( 는 알려져 있다.
  4. 타원은 XY 평면에 위치한다.

세 가지 점(또는 벡터)은 공통 평면 내에 있어야 하기 때문에 네 번째 가정은 일반성을 잃지 않고 할 수 있다.이러한 가정 하에서 두 번째 초점("빈" 초점이라고도 함)도 XY-평면 내에 있어야 한다. =( x, y) )}.

벡터 사용

벡터를 사용한 이러한 가정 하에서 타원의 일반적인 방정식은 다음과 같다.

여기서:

  • [\ a은(는) 반주축의 길이다.
  • =( x, ) 는 두 번째("빈") 포커스가 된다.
  • = (, ) 오른쪽)은 방정식을 만족하는 (x,y) 값이다


반주축 길이(a)는 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서 = }는 표준 중력 파라미터다.


빈 초점( =( x, f ) 편심 벡터를 먼저 결정하여 찾을 수 있다.

서 h 는) 선회하는 본체의 특정 각도 운동량이다.

그러면

XY 좌표 사용

이 작업은 다음 절차를 사용하여 데카르트 좌표로 수행할 수 있다.

위의 가정 하에서 타원의 일반적인 방정식은 다음과 같다.

주어진:

, 초기 위치 좌표
, 초기 속도 좌표

그리고

= 중력 파라미터

다음:

= - 특정 각도 운동량
= + 초기 거리(원지)
= r - + ) re\x}^{ 반장축 길이


= -h 편심 벡터 좌표


마지막으로, 빈 초점 좌표


이제 결과값 fx, fy, a는 위의 일반 타원 방정식에 적용할 수 있다.

궤도 매개변수

주어진 시간에 궤도를 선회하는 신체의 상태는 중심 신체에 대하여 궤도를 선회하는 신체의 위치와 속도에 의해 정의되는데, 이는 3차원 카르테시안 좌표(x, y, z로 표현되는 궤도를 선회하는 신체의 위치)와 궤도를 선회하는 신체의 속도에 대한 유사한 카르테시안 성분으로 나타낼 수 있다.시간과 함께 이 6개의 변수 집합을 궤도 상태 벡터라고 부른다.두 신체의 질량을 고려하여 그들은 전체 궤도를 결정한다.이 6도의 자유도를 가진 가장 일반적인 두 가지 경우는 타원궤도와 쌍곡궤도다.자유도가 적은 특별한 경우는 원형과 포물선 궤도다.

최소한 6개의 변수가 이 매개변수 집합으로 타원 궤도를 완전히 나타내기 위해 절대적으로 필요하기 때문에, 어떤 매개변수 집합으로 궤도를 나타내기 위해서는 6개의 변수가 필요하다.일반적으로 사용되는 또 다른 6개의 매개변수 집합은 궤도 원소들이다.

솔라 시스템

태양계에서는 행성, 소행성, 대부분의 혜성, 그리고 일부 우주 잔해들은 태양 주위를 대략 타원형 궤도를 가지고 있다.엄밀히 말하면 두 신체는 보다 육중한 신체에 더 가까운 타원의 같은 초점을 중심으로 회전하지만, 지구와 관련된 태양과 같이 한 신체가 훨씬 더 거대할 때는 더 큰 질량체 내에 초점이 포함될 수 있고, 따라서 더 작은 신체는 그 주위를 회전한다고 한다.행성, 왜성, 핼리혜성상피와 부피에 대한 다음 도표는 타원 궤도의 편심 변화를 보여준다.태양으로부터 비슷한 거리의 경우, 더 넓은 막대는 더 큰 편심성을 나타낸다.핼리혜성과 에리스의 거대한 기이성과 비교해 지구와 금성의 거의 0에 가까운 기이성을 주목하라.

Astronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitAstronomical unitHalley's CometSunEris (dwarf planet)Makemake (dwarf planet)Haumea (dwarf planet)PlutoCeres (dwarf planet)NeptuneUranusSaturnJupiterMarsEarthVenusMercury (planet)Astronomical unitAstronomical unitDwarf planetDwarf planetCometPlanet

태양으로부터 태양계 선택된 물체의 거리.각 막대의 왼쪽 가장자리와 오른쪽 가장자리는 각각 신체의 근막근막에 해당하므로 긴 막대는 높은 궤도 이심률을 나타낸다.태양의 반지름은 070만 km이고, 목성(가장 큰 행성)의 반지름은 0.07만 km로 둘 다 너무 작아서 이 이미지에서 해결할 수 없다.

방사형 타원 궤적

반지름 궤적이중선 세그먼트가 될 수 있으며, 이것은 반 미니어 축 = 0, 편심도 = 1의 퇴보 타원이다.이심률은 1이지만 포물선 궤도는 아니다.타원 궤도의 대부분의 특성과 공식이 적용된다.그러나 궤도를 닫을 수는 없다.육체가 서로 닿은 순간부터 퇴보하는 타원 부분에 해당하는 열린 궤도로, 다시 서로 닿을 때까지 서로에게서 멀어진다.점 질량의 경우, 특이점으로 시작하고 끝나는 하나의 전체 궤도가 가능하다.시작과 끝의 속도는 반대 방향으로 무한하며 전위 에너지는 마이너스 무한과 같다.

방사형 타원 궤적은 물체를 떨어뜨리는 경우(공기저항을 무시하는 경우)와 같이 어느 순간 0의 속도에서 발생하는 2체 문제의 해결책이다.

역사

바빌로니아인들은 이것이 왜 그런지 잘 몰랐지만, 황색계를 따라 태양의 움직임이 균일하지 않다는 것을 가장 먼저 깨달았었다; 이것은 오늘날 지구가 태양 주위를 타원 궤도로 이동하기 때문이며, 지구는 태양에 근접한 궤도에서 더 빠르게 움직이고, 멀어질 때 더 느리게 이동하기 때문이라고 알려져 있다.무굴의[1]

17세기에 요하네스 케플러는 행성이 태양 주위를 도는 궤도가 태양을 한 곳에 두고 타원이라는 것을 발견했고, 이것을 그의 첫 번째 행성 운동 법칙에 기술했다.후에 아이작 뉴턴은 이것을 만유인력의 법칙의 진원지라고 설명했다.

참고 항목

참조

  1. ^ David Leverington (2003), Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

원천

외부 링크