비리얼 정리

역학에서, 비리얼 정리는 전위력에 의해 결합되는 이산 입자의 안정적인 시스템의 총 운동 에너지의 시간 경과에 따른 평균을 시스템의 총 위치 에너지의 평균과 관련짓는 일반적인 방정식을 제공한다.수학적으로, 정리는 다음과 같이 말한다.

\displaystyle \left\rangle T\right\rangle =-{\frac {1}{2},\sum _{k=1}^{N}{\bigl \n}\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}_{\bigrangle }}}

여기

서 T는

N개

입자의 총 운동

에너지

이고_k, F는

위치 k

r에 위치한 k번째 입자에 대한 힘을 나타내며, 각도 괄호는 닫힌 양의 시간 경과에 따른 평균을 나타냅니다.방정식의 오른쪽에 대한 virial이라는 단어는 "힘" 또는 "에너지"를 뜻하는 라틴어 vis에서 유래했으며, 1870년 ^[1]루돌프 클라우시우스에 의해 기술적 정의가 주어졌습니다.

바이럴 정리의 의의는 통계역학에서 고려되는 것과 같이 정확한 해법을 거스르는 매우 복잡한 시스템에서도 평균 총 운동 에너지가 계산될 수 있게 한다는 것입니다; 이 평균 총 운동 에너지는 등분할 정리에 의해 시스템의 온도와 관련이 있습니다.하지만, 바이럴 정리는 온도의 개념에 의존하지 않고 열평형 상태에 있지 않은 시스템에도 적용된다.바이럴 정리는 다양한 방법으로, 특히 텐서 형태로 일반화되어 왔다.

만약 시스템의 두 입자 사이의 힘이 입자간 $거리$ r의 어떤 $제곱$ n에 비례하는 $전위$ 에너지 $V ($ r) = $αr$ 에서ⁿ 나온다면, 바이럴 정리는 간단한 형태를 취한다.

\ displaystyle 2 \ rangle = n \ rangle V _ { \ text {TOT}}\rangle .}

따라서 평균 총 운동 에너지 " $T "$ 의 2배는 평균 총 $위치 TOT$ 에너지 " $V$ $"$ 의 n배입니다.V $(r)$ 는 $거리$ r의 두 입자 사이의 위치 에너지를 나타내는 $반면$ , $V$ 는_TOT 시스템의 전체 위치 $에너지$ , 즉 시스템의 모든 입자 쌍에 걸친 위치 에너지 V $(r)$ 의 합을 나타냅니다.이러한 계의 일반적인 예는 자체 중력에 의해 함께 유지되는 별이며, $여기$ 서 n은 -1이다.

역사

1870년, 루돌프 클라우시우스는 열역학에 대한 20년간의 연구 끝에 "열기에 적용되는 기계 정리에 대하여"라는 강의를 라인 강 하류의 자연 및 의학 협회에 전달했다.강의는 시스템의 평균 vis viva가 virial과 같거나, 또는 평균 운동 에너지가 다음과 같다고 말했습니다. 평균 퍼텐셜 에너지 1/2.비리얼 정리는 라그랑주가 1772년에 출판한 "세 개의 물체의 문제에 대한 설명"에 포함된 고전 중력 역학에서 적용된 라그랑주의 정체성으로부터 직접 얻을 수 있다.칼 야코비의 N개의 물체와 라플라스의 현재 형태에 대한 동일성의 일반화는 고전적인 비리얼 정리와 매우 유사하다.그러나, 방정식의 개발로 이어진 해석은 매우 달랐다. 왜냐하면 개발 당시 통계 역학이 열역학 및 고전 ^[2]역학 분야의 개별 연구를 아직 통합하지 않았기 때문이다.이 정리는 나중에 제임스 클락 맥스웰, 레일리 경, 앙리 푸앵카레, 수브라마니안 찬드라세카르, 엔리코 페르미, 폴 레두, 리처드 바더, 유진 파커에 의해 이용되고, 대중화되고, 일반화되었고 더욱 발전되었다.프리츠 츠비키는 보이지 않는 물질의 존재를 추론하기 위해 바이러스성 정리를 사용한 최초의 사람이다.리처드 베이더는 전체 시스템의 전하 분포를 바이럴 정리에 ^[3]따르는 운동 에너지와 전위 에너지로 나눌 수 있다는 것을 보여주었다.이것의 많은 응용 사례 중 또 다른 예로, 바이럴 정리는 백색 왜성의 안정성에 대한 찬드라세카르 한계를 도출하기 위해 사용되어 왔다.

예시적 특례

서로 끌어당기는 힘에 의해 작용되는 동일한 질량 $m$ 의 $N$ = 2개의 입자를 $고려$ 합니다.입자가 $반지름$ 이 r인 원형 궤도의 정반대 지점에 있다고 가정합니다.속도는 v $($ $t 2$ $)$ 및 $v 2$ $(t)$ = $-v 1 (t)$ 이며₁, 이는 힘 $F 1$ ( $t$ ) 및 F $(t)$ = $-F 1 (t)$ 에 정규적이다.각 등급은 $v$ 와 $F$ 로 고정됩니다.시스템의 평균 운동 에너지는

T\rangle =\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}m_{k}\left \mathbf {v}_{k}\right ^{2}=parcf {1}m\mathbf {v}_{1}_{1}\frac} {{{{1}}

질량 중심을 원점으로 하여, 입자는 고정된

크기

r의

위치 1

r(

t)

와₂ r

(t)

=

-r 1 (t)

을 가진다.인력은 위치로서 반대 방향으로

작용

하므로₁ F

(t) r 1

r

(t)

=

F 2 (t) r 2

r

(t)

=

-Fr

이다.구심력

공식

F =

mv 2 / r

을 적용하면 다음과 같이 된다.

- {\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}{\bigr \rangle }=-{\frac1}{2}}(Fr-Fr-Fr-Fr)=Fr=frac {mv^{2}}{r}\cdot r=mv^{2}=\fragle T\rangle ,

필요에 따라서.주의: 원점이 바뀌어도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.이는 동일하고

반대

되는₁ 힘 F

(t),

F 2 (t)

를 갖는 변위의 점곱이 순 상쇄를 초래하기 때문이다.

명세서 및 파생

비록 비리얼 정리가 총 운동 에너지와 전위 에너지의 평균화에 의존하지만, 여기서의 설명은 평균화를 마지막 단계로 연기합니다.

N개의 점 입자의 $집합$ 에서 원점에 대한 $관성$ 모멘트의 스칼라 모멘트는 다음 방정식으로 정의된다.

{{displaystyle I=\sum _{k=1}^{n}m_{k}\왼쪽 \mathbf {r}_{k}\오른쪽 ^{2}=\sum _{k=1}{N}m_{k}r_{k}^{2}}

여기

서_k

m

과_k r은 k번째 입자의 질량과 위치를 나타낸다.

r k k

= r은 위치 벡터 크기이다.

스칼라

G는 다음 식에 의해 정의된다.

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k

여기

서_k p는 k번째 ^[4]입자의 운동량 벡터입니다.질량이 일정하다고

가정

하면, G는 이 관성 모멘트의 1/2 시간 미분이다.

{\frac {1}{2}}{\frac {d}I}{dt}}&=sum frac {1}{dt}}{\sum _{k=1}^{N_{k}\mathbf {r}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}\&=_sum {k=1}^{n}{dt}{k}{k}, frac {r

차례로, G의

시간

도함수를 쓸 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{디옥시 구아노신}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf{p}_{k}\cdot{\frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}}+\sum(_{k}}{dt}}\cdot\mathbf{r}_{k}\\&,=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}}\cdot{\frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}};=2T _{k=1}^{N}\mathbf{F}_{k}\cdot\mathbf{r}_{k}\\& +\sum.+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}\end{aligned}}

여기

서_k m은 k번째 입자의 질량,

F k

=

dp k / dt

는 해당 입자에 대한 순 힘,

T

는 각 입자의

v k

=

dr k / dt

속도에 따른 시스템의 총 운동 에너지입니다.

T=mathbfrac {1}{2}\sum _{k=1}v_{k}^{2}=m_{1}{N}m_{k}{\frac {d\mathbfrac {r}_{k}{cd}\cdfrac {cdfrac {d}

입자 간 전위 에너지와의 연결

$입자$ k에 대한 총 $힘 k$ F는 시스템의 다른 $입자$ j로부터의 모든 힘의 합입니다.

\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk

여기

서_jk F는

입자

j가 입자 k에 가하는 힘이다.따라서 virial을 쓸 수 있습니다.

-{\frac {1}{2}},\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}=-{\frac {1}{2},\sum _{k=1}^{J=1}^{N}_mathbf {F}_mathbf {F}_F}

어떤 입자도 스스로 작용하지 않기 $때문$ 에_jj( $즉,$ 1µj $µN$ 에 $대해$ F = 0), 이 대각선 위 및 아래 항으로 합계를 나누어 쌍으로 합산한다.

{{displaystyle {displaystyle}\sum _{k=1}^{N}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}_mathbf}_{k={k}_k}_mathbf}_k}_k}_{f}_k}_mathbf_k}_mathbf_mathbf_mathbf_k={n}_{n}_{n}_{\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F}_{jk}\cdot \mathbf {r}_{jk}-\mathbf {F}_{jk}\right}_k=2_sum^{n}

여기서 우리는 뉴턴의 운동 제3법칙, 즉 F =

-F kj

(반대 반응)가_jk 성립한다고 가정했다.

종종 힘은 점 $입자$ $j$ 와 k 사이의 $거리 jk$ r만의 함수인 전위 $에너지 jk$ V에서 도출될 수 있다.힘이 위치 에너지의 음의 구배이기 때문에, 이 경우 우리는

\mathbf {F}_{jk}=-\mathbf {r}_{k}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {mathbf {r}-{k}-{k})_jk}} {jr} {jr

이는 명시적 계산으로 확인할 수 있듯이 $입자$ k가 $입자$ j에 가하는 힘인 F $= r j$ -θV $= r j -θV$ 와_kj_jk $동일$ 하고_kj 반대이다.이런 이유로,

{\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{k=1}^{N}\mathbf{F}_{k}\cdot\mathbf{r}_{k}&,=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf{F}_{jk}\cdot \left(\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{j}\right)\\&,=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac{dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac{\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{j}^{2}}{r_{jk}}}\\&,=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}.^{k-1}{\frac{dV_{jk}}{dr_{jk}}r_{jk}.\end { aligned}}

이렇게 해서

({displaystyle {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k=2}^{N}\sum {j=1}^{k-1}\fRAC {f})}

멱함수의 특례

일반적인 특수한 경우, 두 입자 사이의 위치 $에너지$ V는 $거리 ij$ r의 $파워$ n에 비례한다.

V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n

여기서

계수

α

와 지수 n은 상수입니다.이러한 경우, 바이럴은 다음 식에 의해 주어진다.

{{displaystyle}-{\frac {1}{2}},\sum _{k=1}^{N},\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}&=mathbf {rc},\sum _{k=1}^{N},\sum _{k_fr}{d}{fr}, {fr},\fr},\fr}, {fr}, {fr}, {fr}, {fr}, {f}, {fr}, {TOT}}\end {aligned}}

여기

서_TOT V는 시스템의 총 잠재 에너지입니다.

\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk},}

이렇게 해서

{{displaystyle\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}=2T-nV_{\text{\text}TOT}},

중력계의 경우 $지수$ n은 -1이 되며, 라그랑주의 동일성을 나타낸다.

{\frac {dG} {dt} = specfrac {1} {2} } {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}=2T+V_{\text{TOT}}

그것은 조셉 루이 라그랑지에 의해 파생되었고 칼 자코비에 의해 확장되었다.

평균 시간

시간 경과에 따른 이 도함수의 평균인 $θ$ 는 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \left \ frac { dG } \ right \ rangle _ { \ flac } = spair frac {1} { \ flac } { \ flac } { \ dt } 、 dt = spaug frac { 1 } { \ g （ 0 ） 。

거기서 우리는 정확한 방정식을 얻는다.

\displaystyle \left \ frac { dG } \ right \ rangle _ { \ sum _ { k = 1 } { N } \ left \ langle \ mathbf { F } _ { k } \ cdot \ mathbrangle _ { k } _ right }

바이럴 정리는 만약 $" dG / dt " τ$ = $0$ 이면,

\displaystyle 2\left\rangle _{\sum }=-\sum _{k=1}{N}\left\langle \mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}\right\rangle _{\rangle }}.

시간 도함수의 평균이 사라질 수 있는 이유는 여러 가지가 $있습니다 .$ " $dG /dt" τ$ = 0입니다.자주 인용되는 이유 중 하나는 안정적으로 결합된 시스템에 적용됩니다. 즉, 영원히 함께하며 매개 변수가 유한한 시스템입니다.이 경우, 시스템 입자의 속도와 좌표는 상한과 하한을 $가지므로 bound$ G는 $G$ 와_max G의 두 극단 $사이$ 에_min 경계가 있고, 평균은 매우 긴 시간 한계에서 0이 된다 $δ$ :

\displaystyle \lim _{\displaystyle \to \infty }\left \frac {dG^{\mathrm {bound}}}}\right \rangle _{\lim }\lim ={\to \infty }\left {\frac {G(\tau})-G(0\t}}}}}}} } } } }}

G의 $시간$ 도함수의 평균이 약 0이라고 해도, 바이럴 정리는 같은 정도의 근사치를 유지한다.

$지수$ n을 갖는 멱함수 힘의 경우 일반 방정식은 다음을 유지합니다.

T\rangle _{\display }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\text}{\text}{\text}TOT}}\rangle_{\tau}

중력에서, $n$ 은 -1과 같고 평균 운동 에너지는 평균 음의 위치 에너지의 절반과 같다.

\displaystyle T\rangle _{\display }=-{\frac {1}{2}}\displaystyle V_{\text}TOT}}\rangle_{\tau}}

이 일반적인 결과는 태양계나 은하계와 같은 복잡한 중력계에 유용합니다.

바이러스 정리의 간단한 적용은 은하단에 관한 것이다.만약 우주의 한 영역이 비정상적으로 은하로 가득 차 있다면, 그것들이 오랫동안 함께 있었다고 가정해도 안전하며, 바이러스 정리가 적용될 수 있다.도플러 효과 측정은 상대 속도에 대한 하한을 제공하며, 바이럴 정리는 암흑 물질을 포함한 성단의 총 질량에 대한 하한을 제공합니다.

에르고드 가설이 고려 대상 시스템에 적용되는 경우, 시간에 따라 평균을 취할 필요가 없다. 앙상블 평균도 동등한 결과와 함께 취할 수 있다.

양자역학에서

원래 고전 역학을 위해 도출되었지만, 에렌페스트 정리를 사용한 Fock에^[5] 의해 처음 보여진 것처럼, 바이럴 정리는 양자 역학에도 적용된다.

해밀턴의 정류자를 평가하다

H=V{\bigl (}\X_{i}\}{\bigr}}+\sum _{n}{\frac {P_{n}{2}}{2m}}

위치

연산자 n

X 및 운동량 연산자와 함께

{displaystyle P_{n}=-i\hbar {frac {d}{dX_{n}}}}

입자

n의 경우

\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}-i\hbar {P_{n}^{2}}{m}~.}

모든 입자의 합계를 구하면

Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}

정류자는 에 달한다.

{i}{\hbar}}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}

{\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

서 T

=

P

{\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

{\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

{\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

m {\

textstyle

T=\

sum

_

{n}{\frac {P_{n}^2}}{2m}}

은

{\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}

운동 에너지이다.하이젠베르크 운동 방정식에 따르면 이 방정식의 왼쪽은

dQ / dt일

뿐입니다.이 시간 도함수의 기대치

"

dQ / dt "

는 정지 상태에서 사라지며 양자 비리얼 정리로 이어진다.

2\rangle =\sum _{n}\left\rangle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}\right\rangle ~

포코자예프의 동일성

양자역학 분야에서, 정상 비선형 슈뢰딩거 방정식 또는 클라인-고든 방정식의 국부적 해법에 적용할 수 있는 다른 형태의 바이럴 정리가 존재하는데, 포코자예프의 항등식은 데릭의 정리로도 알려져 있다.

$g(0)=0$ ( $g(s)$ $g(0)=0$ $g(s)$ ) { $displaystyle$ g ( $s$ ) $g(0)=0$ { $displaystyle$ g ( $0$ ) $= 0$ } 의 연속값으로 $g(s)$ .

${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ ( ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ s ) ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ g ( ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ ) ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ t ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ { $textstyle$ G ( s ) = \ $int$ _ { $0}^{s}g (t)$ , $dt$ 。

\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc}^{\infty }(\mathbb {R}^{n}), \qquad \nabla u\in L^{n2}(\mathbb {R}), \qquad G(u(\cdot)\in L^{n})

방정식의 해답이다

-\displayla ^{2}u=g(u),

분배라는 의미에서요.

그러면

u

\displaystyle

u는

u

관계를 만족시킵니다.

(n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n} ^{n} \mathbb {R} G(u(x) , dx

특수 상대성 이론에서

특수 상대성 이론의 단일 입자에 대해, $T$ $=$ 1/ $2p$ · $v$ 는 아니다. $대신$ , T $=$ ( $θ 2$ - 1) mc, $여기$ 서 θ는 로렌츠 계수이다.

{\displaystyle\displayfrac {1}{\displayfrac {1-{\frac {v^{2}}}}{c^{2}}}}

및

β

=

v/

c

.우리는 가지고 있다.

{\frac {1}{2}}\mathbf {p}\cdot \mathbf {v} &=boldfrac {1}{2}{\boldsymbol {\c}c\cdot {\boldsymbol }\cdmbol {\cd}{\cd}{\cdp}{5pt } ={2}T,.\end {aligned}

마지막 표현은 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

\displaystyle \leftfrac {1+{\displayrt {1-\display ^{2}}}}{2}}\rightT\qquad {text {or}\qquad \left({\frac {gamma +1}{2\gamma }}\오른쪽)T}

.

따라서 (상대성이론에도 불구하고 뉴턴의 $제3운동법칙 jk$ F = $-F kj$ 포함) 이전 절에서 설명한 조건 하에서, 멱함수법칙 전위를 갖는 N개의 입자에 $대한$ 시간 평균은 다음과 같다.

{frac {n}{{2}}\left\mathrm {TOT}=\left\left\rangle \sum _{k=1}{N}\left({\frac {1+{\fracrt {1-\frac}{k}{2}}}}{2}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\rangle }=\left\sum \sum _{k=1}^{N}\left({\frac _{k}+1}{2\frac _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle_{\tau},

특히, 위치 에너지 대비 운동 에너지의 비율은 더 이상 고정되지 않지만 반드시 다음과 같은 간격으로 떨어진다.

{2\langle T_{\mathrm {TOT}\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT}}\rangle }\in \left [1,2\right],},

상대성이론적인 시스템이 더 큰 비율을 보이는 곳이죠.

일반화

Rayleigh 경은 ^[6]1903년에 바이러스 정리의 일반화를 발표했다.앙리 푸앵카레는 1911년 원시 항성 구름(당시 우주론이라고 알려져 있음)^[7]으로부터 태양계를 형성하는 문제에 바이럴 정리의 한 형태를 증명하고 적용했다.바이럴 정리의 변형 형태는 1945년 르두스에 ^[8]의해 개발되었다.비리얼 정리의 텐서 형식은 파커,^[9] 찬드라세카르^[10], 페르미에 ^[11]의해 개발되었다.1964년 폴라드는 역제곱 ^[12]^[13]법칙의 경우에 대해 다음과 같은 비리얼 정리의 일반화를 확립했다.

\displaystyle 2\lim _{\display \to +\infty }\displayle T\rangle _{\display \to +\infty }\displaystyle U\rangle _{\display \to +\infty }\qquad {text {if and only if}\lim _{\disterf} }\lim _{\disterf}^{{\disterf} } } } } } ^{\displaysty

그렇지 않으면 경계 용어를 ^[14]추가해야 합니다.

전자장 포함

바이럴 정리는 전기장과 자기장을 포함하도록 확장될 수 있다.그^[15] 결과는

{1}{2}}{\frac {d^{2}}I}{dt^{2}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial t}},d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E}}+W^{\mathrm {M}}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik},dS_{i}

$여기$ 서 I는 관성 모멘트, $G$ 는 전자기장의 운동 밀도, $T$ 는 유체의 운동 에너지, $U$ 는 입자의 무작위 "열" 에너지, $W$ 와^E^M W는 고려된 부피의 전기 및 자기 에너지 함량이다.마지막으로, $p$ 는_ik 국소 이동 좌표계에서 표현되는 유체-압력 텐서이다.

p_{ik}=\Sigma n^{\sigma}m^{\sigma}\sigma v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }n^{\sigma

$T$ 는_ik 전자기 응력 텐서이고

T_{ik}=\left({\frac {varepsilon _{0}E^{2}})+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}\right}\frac _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i})E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}\right}.

플라스모이드는 자기장과 플라즈마의 유한한 구성이다.바이럴 정리에서는 외력에 의해 억제되지 않으면 그러한 구성이 확장되는 것을 쉽게 알 수 있습니다.압력 지지벽 또는 자기 코일이 없는 유한 구성에서는 표면 적분이 사라집니다.오른쪽에 있는 다른 모든 항은 양의 값이기 때문에 관성 모멘트의 가속도도 양의 값입니다.또, 확장 시간 $τ$ 을 추정하기 쉽다. $총질량$ M이 $반경$ R 내에 갇히면 관성모멘트는 $대략 2$ MR이고 바이럴정리의 왼쪽은 MR $/ θ$ 이다²².오른쪽에 있는 항의 합계는 약 $pR$ 입니다³. $여기$ 서 p는 플라즈마 압력 또는 자기 압력 중 더 큽니다.이 두 용어를 동일시하고 ,에 대해 해결하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \tau \sim {c_{\mathrm {s}}}

$여기$ 서_s c는 이온 음파(또는 자기 압력이 플라즈마 압력보다 높은 경우에는 Alfvén파)의 속도입니다.따라서 플라스모이드의 수명은 음향(또는 Alfvén) 통과 시간의 순서로 예상된다.

상대론적 균등계

물리계에서 압력장, 전자기장, 중력장 및 입자의 가속도장이 고려되는 경우 비리얼 정리는 다음과 ^[16]같이 상대론적 형태로 작성된다.

\displaystyle \left\rangle W_{k}\rangle \약 -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}\rangle,}

여기서 값 $W k$ δ $δ c$ T는 시스템 중심에 있는 입자의 로렌츠 계수 $δ$ 와_c 동일한 계수만큼 $입자$ T의 운동 에너지를 초과합니다.정상적인 조건에서 우리는 $θ c 1$ 1을 가정할 수 있고, 그러면 바이럴 정리에서는 운동 에너지가 계수의 1/2이 아니라 오히려 0.6에 가까운 계수에 의해 위치 에너지와 관련이 있음을 알 수 있다.기존의 경우와의 차이는 시스템 내부의 압력장 및 입자 가속장을 고려하여 발생하지만 $스칼라$ G의 도함수는 0이 아니므로 재료 도함수로 간주해야 한다.

일반화된 바이럴의 적분정리를 분석하면 ^[17]온도의 개념을 사용하지 않고도 시스템의 일반적인 입자의 평균 제곱근 속도의 공식을 구할 수 있다.

v_{\mathrm {c}=cccrt {1-{\frac {4\pi \rho _{0}r^{2}\sin ^{2}\sin ^{c}}\displaystyle \frac {r}{c}{c}{\frac {c}\pi \rho}{0}_0}_rho}_rho}_rho}_rho}_rho{{{{}}}}}}}}{{{}}}}}}},

$여기$ 서 c ${\displaystyle$ ~c $}$ 는 빛의 속도, $~\eta$ {\ $displaystyle$ ~\ $eta}$ 는 $~\eta$ 가속도장 상수, $~\rho _{0}$ 0 $(\$ ~\ $rho _0}$ 은 $~\rho _{0}$ 입자의 질량 밀도, $r$ {\ $displaystyle ~r}$ 은 $~r$ 현재 반지름입니다.

입자에 대한 바이럴 정리와 달리, 전자기장에 대한 바이럴 정리는 다음과 ^[18]같이 쓰여집니다.

\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}

~j^{\alpha }

서

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

f

=

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

α -

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

1

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

{\

display

~

E_{

kf}=\

int

A_

{\

alpha

}

j^{\displayrt

{-

g}{\displayrt

{-g

}},

gclamb

^{1

},clamb

^{2},clamb^{3}},

~j^{\alpha }

~W_{f}=paramfrac {1}{4\mu _{0}}\int F_{\alpha \maram}{\parama \maram}{\paramf}{\paramfrt {-g}},paramb^{1},paramb^{3}

전자기 텐서의 성분을 통해 찾을 수 있는 전위 전계 에너지를 설정합니다.

천체물리학에서

비리얼 정리는 천체 물리학에서 자주 적용되며, 특히 시스템의 중력 위치 에너지를 운동 에너지 또는 열 에너지와 연관짓습니다.일반적인 남성관계는^{[citation needed]}

{\frac {GM} {R} = frac {3} {2} } {\frac {k_{\mathrm {p}} } = frac {1} {2}

질량

M

,

반지름

R,

속도

v 및

온도

T의 경우.상수는 뉴턴 상수

G, 볼츠만 상수k

B

, 양성자

질량 p

m이다.이러한 관계는 근사치일 뿐이며 종종 선행 수치 요인(예: 35 또는1/2)은 완전히 무시된다.

은하 및 우주론(바이럴 질량 및 반지름)

천문학에서 은하의 질량과 크기는 각각 "바이럴 질량"과 "바이럴 반지름"으로 정의된다.연속 유체의 은하와 과밀도는 매우 확장될 수 있기 때문에(일부 모델의 경우 등온구와 같은 무한대까지), 질량과 크기에 대한 구체적이고 유한한 측정값을 정의하는 것은 어려울 수 있습니다.바이럴 정리 및 관련 개념은 종종 이러한 특성을 정량화하는 편리한 수단을 제공합니다.

은하역학에서, 은하의 질량은 종종 원형의 케플러 궤도를 가정하여 가스와 별의 회전 속도를 측정함으로써 추측됩니다.바이럴 정리를 이용하여 $분산속도θ$ 를 동일하게 사용할 수 있다.시스템의 운동 에너지(입자당)를 T $=$ 1/ $2v 2$ ~ $32 /$ 2µ로 $하고$ , 위치 에너지(입자당)를 $U$ ~ $3$ / $5 GM$ / $R$ 로 하여 쓸 수 있습니다.

(\displaystyle\frac{GM}{R}\약\sigma^{2}).}

$R$ 서 R $(\displaystyle$ R $)$ 은 $R$ 속도분산을 측정하는 $반지름$ 이며, M은 그 반지름 내의 질량입니다.바이럴 질량과 반지름은 일반적으로 속도 분산이 최대인 반지름에 대해 정의된다.

{GM_{\text{vir}}{R_{\text{vir}}}}\about \sigma _{\max }^2}.

수많은 근사가 이루어짐에 따라, 이러한 정의의 대략적인 성격에 더하여, 순서-통합 비례 상수는 종종 생략된다(위의 방정식처럼).따라서 이러한 관계는 크기순으로 또는 자가 일관되게 사용될 때만 정확합니다.

바이럴 질량과 반지름의 대체 정의는 종종 우주론에서 바이럴 평형이 유지되는 은하나 은하단을 중심으로 한 구체의 반지름을 가리키는 데 사용됩니다.이 반지름은 관측적으로 판단하기 어렵기 때문에 종종 평균 밀도가 임계 밀도보다 큰 반지름으로 근사된다.

{\displaystyle\rho_{\text{crit}}=syslogfrac{3}H^{2}}{8\pi G}}

여기

서 H는 허블

매개변수

이고 G는 중력 상수입니다.인자에 대한 일반적인 선택은 200이며, 이는 대략 구면 톱 햇 붕괴의 전형적인 과밀도와 일치한다(바이럴 질량 참조). 이 경우 바이럴 반지름은 다음과 같이 근사된다.

r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho = 200\cdot \rho _{\text{crit}}}.

그리고 나서 이 반지름에 상대적인 바이럴 질량은 다음과 같이 정의된다.

({displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}=pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho_{\text{crit}}).}

별자리

비리얼 정리는 중력 위치 에너지와 열 운동 에너지(온도) 사이의 관계를 설정함으로써 별의 중심핵에 적용할 수 있다.주계열상의 별들이 중심핵에서 수소를 헬륨으로 바꾸면, 중심핵의 평균 분자량은 증가하며, 중심핵은 자신의 무게를 지탱할 수 있는 충분한 압력을 유지하기 위해 수축해야 합니다.이 수축은 그것의 잠재 에너지를 감소시키고, 바이러스 정리에 따르면, 그것의 열 에너지를 증가시킨다.코어 온도는 에너지가 손실되어도 증가하며, 사실상 음의 ^[19]비열입니다.압력이 온도에 의존하지 않게 되고 $n과$ 의 바이러스 관계가 -1이 ^[20]되지 않기 때문에 코어가 퇴화하지 않는 한, 이것은 주계열을 넘어 계속된다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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