태양계 수치모델

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태양계의 수치모델은 수학 방정식의 집합으로, 풀리면 시간의 함수로서 행성의 대략적인 위치를 제공한다.그러한 모델을 만들려는 시도는 보다 일반적인 천체역학 분야를 확립했다.이 시뮬레이션의 결과는 정확성을 확인하기 위해 과거의 측정과 비교할 수 있으며, 이후 미래 위치를 예측하는 데 사용될 수 있다.그러므로 그것의 주된 용도는 연감 준비다.

노년의 노력

시뮬레이션은 데카르트 좌표 또는 구형 좌표 중 하나로 수행될 수 있다.전자제품은 더 쉽지만, 극도로 계산 집약적이며, 오직 전자 컴퓨터에서만 실용적이다.이와 같이 전시대에는 후자만 사용되었다.엄밀히 말하면 후자는 계산 집약도가 훨씬 덜한 것은 아니었지만, 몇 가지 간단한 근사치에서 시작한 다음 원하는 정확도에 도달하기 위해 필요한 만큼 동요를 더할 수 있었다.

본질적으로 태양계의 이 수학적인 시뮬레이션은 N-body 문제의 한 형태다.기호 N은 태양, 8개의 행성, 수십 개의 달, 그리고 무수한 행성, 혜성 등을 포함하면 상당히 크게 자랄 수 있는 몸의 수를 나타낸다.그러나 태양이 다른 어떤 신체에 미치는 영향은 매우 크고, 다른 모든 신체가 서로에게 미치는 영향은 매우 작기 때문에, 그 문제는 분석적으로 해결할 수 있는 2-신체 문제로 축소될 수 있다.각 행성에 대한 결과는 궤도인데, 시간의 함수로서 그 위치를 간단히 설명한다.일단 이것이 해결되면 달과 행성이 서로에게 미치는 영향은 작은 보정으로 추가된다.이것들은 전체 행성 궤도에 비해 작다.일부 보정은 여전히 몇 도 정도 큰 반면, 측정은 1㎛ 이상의 정확도로 이루어질 수 있다.

비록 이 방법이 더 이상 시뮬레이션에 사용되지 않지만, 비교적 간단한 주 해결책을 취하고, 아마도 가장 큰 동요를 몇 개 더하고, 원하는 행성 위치에 너무 많은 노력 없이 도착할 수 있기 때문에 대략적인 후각을 찾는 것이 여전히 유용하다.단점은 섭동 이론이 매우 발달한 수학이라는 것이다.

모던 메서드

현대적 방법은 3차원 공간의 수치적 통합으로 구성된다.하나는 위치(x, y, z)와 관련된 각 신체의 속도(v_x, v, v_yz)에 대한 높은 정확도 값으로 시작한다.각 몸의 질량도 알려지면 가속도(a_x, a_y, a_z)는 뉴턴의 중력 법칙에서 계산할 수 있다.각각의 몸은 서로 끌어당긴다. 총 가속도는 이 모든 명소의 합이다.다음으로 작은 시간 단계 Δt를 선택하고 뉴턴의 제2 운동 법칙을 적용한다.가속도에 Δt를 곱하면 속도가 보정된다.Δt를 곱한 속도는 그 위치에 보정을 준다.이 절차는 다른 모든 신체에도 반복된다.

그 결과는 모든 신체의 위치와 속도에 대한 새로운 값이다.그런 다음 이 새로운 값을 사용하여 다음 시간 단계 Δt에 대한 전체 계산에 대해 시작한다.이 절차를 충분히 자주 반복하면, 결국 시간이 지남에 따라 모든 신체의 위치를 설명하는 것으로 끝난다.

이 방법의 장점은 컴퓨터의 경우 매우 쉬운 작업이며, 복잡하고 어려운 섭동 결정 절차를 없애면서 동시에 모든 신체에 대해 매우 정확한 결과를 산출한다는 것이다.단점은 처음부터 매우 정확한 수치부터 시작해야 한다거나, 그렇지 않으면 그 결과가 시간 내에 현실에서 멀어진다거나, 보다 실용적인 황도좌표나 적도좌표로 변환되기 위해 종종 먼저 x, y, z 위치를 얻는다는 것, 그리고 그것이 전부 또는 아무것도 아닌 접근이라는 것이다.특정 시간에 한 행성의 위치를 알고 싶다면 다른 모든 행성과 모든 중간 시간 단계도 계산해야 한다.

통합

앞의 절에서는 가속도가 작은 시간 Δt에 걸쳐 일정하게 유지되어 계산이 단순히 V × Δt를 R 등에 추가하는 것으로 감소한다고 가정했다.Δt를 너무 작게 취하면 조치 횟수가 엄청나게 많을 경우를 제외하면 실제로는 그렇지 않다.왜냐하면 언제든지 가속도에 의해 위치가 변경되는 동안 가속도의 값은 순간 위치에 의해 결정되기 때문이다.분명히 완전한 통합이 필요하다.

몇 가지 방법을 사용할 수 있다.필요한 방정식을 먼저 파악하십시오.

${\displaystyle {\vec{a}_{j}=\sum _{i}{n}G{\frac {M_{i}}{\vec{r}-{r}-{r}}}}}{\vec {r}-{{r}}-{vec {r_}}-{r_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이 방정식은 특정 신체 j에 대해 1에서 N 운동으로 달리는 모든 신체의 가속도를 설명한다.벡터 방정식이므로 X, Y, Z 성분 각각에 대해 3개의 방정식으로 분할하여 다음과 같이 산출한다.

${\displaystyle (a_{j})_{x}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{((x_{i}-x_{j})^{2}+(y_{i}-y_{j})^{2}+(z_{i}-z_{j})^{2})^{3/2}}}(x_{i}-x_{j})}$

부가적인 관계로

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ d ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle d\frac{}{}}$ x ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$

마찬가지로 Y와 Z도 마찬가지다.

이전의 방정식(중력)은 예감해 보일지 모르지만 그 계산은 문제없다.후자의 방정식(운동법칙)은 더 간단해 보이지만 아직 계산할 수 없다.컴퓨터는 통합할 수 없고, 극소수의 값으로 작동할 수 없기 때문에 dt 대신 Δt를 사용하여 결과 변수를 왼쪽으로 가져온다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle v_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle \Delta v_{x}=a_{x}\Delta t}$및: ${\displaystyle \Delta }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle \Delta x=v_{x}\delta t}$

a는 여전히 시간의 함수라는 것을 기억하라.이것들을 해결하는 가장 간단한 방법은 오일러 알고리즘일 뿐인데, 본질적으로 위에서 설명한 선형 덧셈이다.일부 일반적인 컴퓨터 언어에서만 1차원만 사용할 수 있음)으로 제한:

a.old = 중력 기능(x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt

본질적으로 타임스테프의 전체 지속시간에 사용되는 가속도가 타임스테프의 시작과 같은 가속도인 것처럼, 이 간단한 방법은 높은 정확도를 가지고 있지 않다.평균 가속도, 시작 값과 예상(반복되지 않은) 최종 값 사이의 평균을 취함으로써 훨씬 더 나은 결과를 얻을 수 있다.

a.old = 중력 기능(x.old) x.old = x.old = x.old + v.old * a.t = 중력 기능(x.ld) v.new = v.old + (x.ld) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.old) * 0.5 * * dt

물론 중간 값을 취함으로써 더 나은 결과를 기대할 수 있다.룬게-쿠타 방법을 사용할 때 일어나는 일인데, 특히 4등급이나 5등급의 방법이 가장 유용하다.가장 일반적인 방법은 장기적 에너지 절약이 잘 되어 있어 비약적인 방법이다.

전혀 다른 방법은 테일러 시리즈의 사용법이다.그런 경우: $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ r ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$+${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . . . . . . . . . .$\displaystyle$ r$=r_{0}+r_{0}t+r"_{0}{0$}}}{\$frac$ {$t^{2}}!}}+}+}...$$}$

그러나 r에서만 어떤 상위 파생상품까지 개발하기보다는 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle g}$ r $′{\$0$}}}}}$를 작성하여 r과 v(즉 r')로 개발할 수 있다$$.

근사치

가속도를 계산하기 위해서는 서로 다른 신체에 대한 각 신체의 중력 흡인력이 고려되어야 한다.따라서 시뮬레이션에서 계산량은 신체 수의 제곱과 함께 증가한다.시체의 수를 두 배로 늘리면 4인자로 작업이 늘어난다.시뮬레이션의 정확도를 높이기 위해 더 많은 소수점뿐만 아니라 더 작은 시간단계를 취하여 다시 작업량을 빠르게 증가시킨다.일의 양을 줄이기 위해 분명히 속임수를 써야 한다.이런 묘기들 중 일부는 여기서 주어진다.

단연코 가장 중요한 수법은 위에서 설명한 바와 같이 적절한 통합 방법을 사용하는 것이다.

단위의 선택은 중요하다.SI 단위에서 일하기 보다는, 어떤 값은 극히 작고 어떤 단위는 매우 커야 하며, 모든 단위는 1의 인접 지역에 있도록 확장되어야 한다.예를 들어, 태양계의 거리의 경우 천문학 단위는 가장 간단하다.이렇게 하지 않으면 유동점 오버플로나 과소 흐름에서 계산 도중 버려진 시뮬레이션이 거의 확실하고, 그렇게 나쁘지만 않으면 잘림 오류로 인해 여전히 정확도가 상실될 가능성이 높다.

N이 크면(태양계 시뮬레이션에서는 그리 크지 않지만 은하 시뮬레이션에서는 더 많음) 신체들의 동적 그룹을 만드는 것이 관례다.그 순간 계산되고 있는 기준체로부터 특정 방향과 큰 거리에 있는 모든 신체를 함께 취하여 그들의 중력 끌어당김을 그룹 전체에 걸쳐 평균화한다.

폐쇄된 시스템의 에너지 총량과 각운동량은 보존량이다.매 단계마다 이러한 양을 계산함으로써 시뮬레이션은 유의하게 변화하지 않으면 단계화 Δt를 증가시키고, 그렇게 하기 시작하면 감소하도록 프로그래밍할 수 있다.이전과 같이 무리를 지어 시체를 결합하여 가까운 시체에 비해 먼 시체에 더 큰 시차를 두고 적용하는 것도 가능하다.

특정 본체가 기준 본체에 가까울 때 가속도의 지나치게 빠른 변경을 허용하려면 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle G\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{M}{}}$ r ${\displaystyle \frac{2{}^{}}{}}$+ e ${\$이(가) 되도록 작은 매개 변수 e를 도입하는 것이 관례다.

합병증

가능한 한 높은 정확도가 필요할 경우 계산이 훨씬 복잡해진다.혜성의 경우 방사선 압력과 가스 드래그와 같은 비전투력을 고려해야 한다.수성과 다른 행성의 경우 장기적 계산을 위한 상대론적 영향을 무시할 수 없다.그러면 총 에너지도 더 이상 상수가 아니다(선형 운동량을 가진 4개의 벡터 에너지가 있기 때문이다).빛의 속도가 한정적이기 때문에 고전적 효과와 상대적 효과 둘 다 광시간 효과를 허용하는 것도 중요하다.행성들은 더 이상 입자로 간주될 수 없지만, 그 모양과 밀도 또한 고려되어야 한다.예를 들어 지구가 평평해지면 전열이 일어나 축방향 기울기가 변하게 되고, 이는 모든 행성의 장기적인 움직임에 영향을 준다.수천만 년을 넘어서는 장기 모델은 태양계의 안정성이 떨어져 불가능하기 때문이다.

참고 항목

• 에페메리스
• VSOP(계획표)

참조

• Boulet, Dan L. (1991). Methods of orbit determination for the microcomputer. Richmond, Virginia: Willmann-Bell, Inc. ISBN 978-0-943396-34-7. OCLC 23287041.^{[페이지 필요]}