케플러 궤도

천체역학에서, 케플러 궤도(또는 케플러 궤도, 독일 천문학자 요하네스 케플러의 이름을 딴)는 3차원 공간에서 2차원 궤도면을 형성하는 타원, 포물선 또는 쌍곡선으로 다른 물체의 상대적인 운동이다.케플러 궤도는 또한 직선을 형성할 수 있다.그것은 다른 물체와의 중력 상호작용, 대기 항력, 태양 복사 압력, 비구면 중심체 등에 의한 섭동을 무시하고 두 물체의 점 같은 중력 인력만을 고려합니다.따라서 그것은 케플러 문제로 알려진 이체 문제의 특별한 경우에 대한 해결책이라고 한다.고전 역학의 이론으로서, 그것은 또한 일반 상대성 이론의 효과를 고려하지 않는다.케플러 궤도는 다양한 방법으로 6개의 궤도 요소로 매개 변수화 될 수 있다.

대부분의 응용 프로그램에는 질량 중심이 전체 시스템의 질량 중심이라고 가정하는 큰 중심체가 있다.분해에 의해, 비슷한 질량의 두 물체의 궤도는 케플러의 공통된 질량 중심인 중심 주위를 도는 것으로 묘사될 수 있다.

서론

고대부터 16세기와 17세기까지, 행성들의 움직임은 고대 그리스 철학자 아리스토텔레스와 프톨레마이오스가 가르친 것처럼 완벽하게 원형의 지구중심 경로를 따른다고 믿었습니다.행성들의 움직임의 변화는 더 큰 경로에 겹쳐진 작은 원형 경로로 설명되었다.행성들의 측정이 점점 더 정확해지면서, 그 이론에 대한 수정이 제안되었다.1543년, 니콜라우스 코페르니쿠스는 태양계의 태양중심 모델을 발표했지만, 그는 여전히 행성들이 ^[1]태양을 중심으로 한 완벽한 원형 경로를 여행한다고 믿었다.

법률의 정비

1601년, 요하네스 케플러는 타이코 브라헤가 만든 행성들에 대한 광범위하고 세심한 관찰을 얻었다.케플러는 화성의 관측 결과를 다양한 곡선에 맞추기 위해 다음 5년을 보낼 것이다.1609년, 케플러는 행성 운동의 세 가지 법칙 중 첫 번째 두 가지를 발표했다.제1법칙은 다음과 같습니다.

"모든 행성의 궤도는 태양의 초점이 있는 타원형입니다."

보다 일반적으로, 케플러 운동을 하는 물체의 경로는 포물선이나 쌍곡선을 따를 수도 있는데, 이것은 타원들과 함께 원뿔 단면이라고 알려진 곡선의 그룹에 속합니다.수학적으로 중심 물체와 궤도 물체 사이의 거리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle r(\theta)=paramfrac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta)}}$

여기서:

• $\displaystyle$r은$$ 거리입니다.
• $\displaystyle$a는$$ 궤도의 크기를 정의하는 반장축입니다.
• $\displaystyle$e는$$ 궤도의 모양을 정의하는 편심입니다.
• $§$ $(\displaystyle$ \theta$$）는 궤도상의 물체의 현재 위치와 중심체(근점)에 가장 가까운 궤도상의 위치 사이의 각도입니다.

또는 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle r(\theta)=black {p}{1+e\cos(\theta)}}$

$여기$서 p$\displaystyle$p는$$ 곡선의 반직장이라고 합니다.이 방정식의 형식은 반장축이 무한인 포물선 궤적을 다룰 때 특히 유용합니다.

관측으로부터 이러한 법칙들을 발전시켰음에도 불구하고, 케플러는 이러한 움직임을 ^[2]설명하는 이론을 발전시킬 수 없었다.

아이작 뉴턴

1665년과 1666년 사이에, 아이작 뉴턴은 운동, 중력 그리고 미분학과 관련된 몇 가지 개념을 개발했어요.하지만, 이 개념들은 프린키피아에서 1687년까지 출판되지 않았고, 이 책에서 그는 그의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 개략적으로 설명했다.그의 세 가지 운동법칙 중 두 번째는 다음과 같다.

물체의 가속도는 평행하고 물체에 작용하는 순 힘과 정비례하며, 순 힘의 방향이며 물체의 질량에 반비례한다.

$\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m440frac {d^{2}\mathbf {r} } {dt^{2}}}$

장소:

• $(\$는 힘 벡터입니다.
• $\displaystyle$m은$$ 힘이 작용하는 물체의 질량입니다.
• $\$는 가속도 벡터이며 위치 벡터 $\$의 두 번째 시간 ${\displaystyle \mathbf{미분}}$입니다$.$

엄밀히 말하면, 이 방정식의 형태는 일정한 질량의 물체에만 적용되며, 이는 아래의 단순화 가정에 근거해 성립한다.

뉴턴의 만유인력의 법칙은 다음과 같습니다.

모든 점 질량은 두 점을 교차하는 선을 따라 가리키는 힘에 의해 다른 모든 점 질량을 끌어당깁니다.힘은 두 질량의 곱에 비례하며 점 질량 사이의 거리 제곱에 반비례합니다.

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}:{r^{2}}}$

여기서:

• $F(\displaystyle$ F$)$는 두 점 질량 사이의 중력의 크기입니다.
• $G는$$$중력 상수입니다$.$
• ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 1$({$은 첫 번째 점 질량의 질량입니다.
• ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 2$({$는 두 번째 점 질량의 질량입니다.
• $\displaystyle$r은$$ 두 점 질량 사이의 거리입니다.

운동의 법칙과 만유인력의 법칙으로부터, 뉴턴은 천문학에서 궤도 운동에 특정한 케플러의 법칙을 도출할 수 있었다.케플러의 법칙이 관측 자료에 의해 잘 뒷받침되었기 때문에, 이러한 일관성은 뉴턴의 일반화 이론과 천체와 일반 역학의 통합의 타당성을 강력하게 뒷받침했다.이 운동 법칙들은 알버트 아인슈타인이 20세기 초에 특수 및 일반 상대성 이론의 개념을 소개하기 전까지 현대 천체 역학의 기초를 형성했다.대부분의 응용 분야에서 케플러 운동은 행성과 위성의 움직임을 비교적 높은 정확도로 근사하고 천문학 및 우주 역학에서 광범위하게 사용됩니다.

단순화된 두 가지 차체 문제

이체계에서 물체의 움직임을 해결하기 위해 다음과 같은 두 가지 간단한 가정을 할 수 있다.

1. 본체는 구형 대칭이며 점 질량으로 취급할 수 있습니다.
2. 서로의 중력 외에 신체에 작용하는 외부 또는 내부의 힘은 없다.

큰 천체의 모양은 구에 가깝다.대칭에 의해 질량점을 동질구 쪽으로 끌어당기는 순중력은 그 중심을 향해야 한다.(아이작 뉴턴에 의해서도 증명된) 껍데기 정리는 구체의 밀도가 깊이에 따라 변하더라도, 이 힘의 크기는 모든 질량이 구체의 중앙에 집중된 것과 같다고 말한다.이것으로부터 곧바로 두 개의 균일한 구간의 인력은 마치 둘 다 그것의 질량이 중심에 집중된 것처럼 나타난다.

소행성이나 우주선과 같은 작은 물체들은 종종 구체에서 강하게 벗어난 형태를 가지고 있다.그러나 이러한 불규칙성에 의해 생성되는 중력은 일반적으로 중심 물체의 중력에 비해 작다.불규칙한 모양과 완벽한 구체의 차이는 거리에 따라 줄어들며, 대부분의 궤도 거리는 궤도를 도는 작은 물체의 지름과 비교했을 때 매우 크다.따라서 일부 응용 프로그램에서는 정확도에 큰 영향을 미치지 않고 형상의 불규칙성을 무시할 수 있습니다.이러한 효과는 인공 지구 위성, 특히 낮은 궤도에 있는 위성들에게서 상당히 두드러진다.

행성은 다양한 속도로 회전하며 원심력 때문에 약간 타원형의 형태를 취할 수 있다.이렇게 타원형일 경우, 중력은 균일한 구체의 중력에서 다소 벗어날 것이다.거리가 멀수록 이 편평성의 영향은 무시할 수 있게 된다.태양계의 행성 운동을 점 질량으로 취급할 경우 충분한 정밀도로 계산할 수 있습니다.

$질량{\displaystyle {}_{}}$ $({$과 $({$와 위치 $벡터{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $({$${$1})과 $({$})를$$ 가진 2개의 점질량 물체는 일부 관성 기준 프레임에 대해 중력을 경험합니다.

${\displaystyle m_{1}{\ddot {mathbf {r}}_{1}=blac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}\mathbf {r}}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {mathbf {r}}_{2}=blac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}\mathbf {r}}$

$여기$서 r$\$은 질량$$ 2에 대한 질량 1의 상대 위치 벡터이며, 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \mathbf {r} = \mathbf {r} _{1} - \mathbf {r} _{2}$

$^(\$은 해당 방향의 단위 $벡터$이고$$r(\$displaystyle$ r$)$은 해당 벡터의 길이입니다.

각각의 질량으로 나누고 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 두 번째 물체에 대한 첫 번째 물체의 가속도에 대한 운동 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle {\mathbf {r}}=-{\frac {r^{2}}\mathbf {r}}$

(1)

$여기$서$$α(\$displaystyle \alpha)$는 중력 파라미터이며 다음과 같습니다.

$\displaystyle \alpha = G(m_{1}+m_{2})}$

많은 어플리케이션에서 세 번째 단순화를 전제로 하고 있습니다.

3. 중심체에 비해 공전하는 물체의 질량은 미미하다.수학적으로₁ m >> m이므로₂ α = G (m₁ + m₂) gm₁ Gm.종종 μ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle G}$M (\$displaystyle$$\mu = G,M$$)$으로 표기되는 이러한 표준 중력 매개변수는 궤도를 도는 위성들보다 훨씬 더 큰$질량$을 가진 태양, 주요 행성 및 달에 널리 이용 가능하다.

이 가정은 단순화된 두 개의 물체 문제를 해결하기 위해 필요하지 않지만, 특히 지구 궤도를 도는 위성과 태양 주위를 도는 행성들에 대한 계산을 단순화합니다.심지어 목성의 질량은 태양보다 ^[3]1047배 작으며, 이는 α 값의 0.096%의 오차를 구성하게 된다.주목할 만한 예외로는 지구-달계(질량비 81.3), 명왕성-카론계(질량비 8.9), 쌍성계가 있다.

이러한 가정 하에서 두 본체 케이스에 대한 미분 방정식은 수학적으로 완전히 풀 수 있으며, 결과적으로 케플러의 행성 운동 법칙을 따르는 궤도를 "케플러 궤도"라고 부릅니다.모든 행성의 궤도는 케플러가 태양 주위를 도는 정확도가 높다.이러한 작은 편차는 행성들 사이의 중력이 훨씬 약하기 때문이고, 수성의 경우 일반 상대성 이론 때문이다.지구 주변의 인공위성들의 궤도는, 대략적으로, 케플러는 태양, 달, 그리고 지구의 편평성으로 인해 작은 섭동을 일으키며 궤도를 돈다.운동 방정식이 모든 중력 및 비중력(태양 복사 압력 및 대기 항력 등)을 고려하여 수치적으로 통합되어야 하는 고정밀 애플리케이션에서 케플러 궤도 개념은 가장 중요하고 많이 사용됩니다.

케플러 원소

케플러 궤도는 6개의 매개변수로 정의될 수 있습니다.3차원 공간에서 움직이는 물체의 움직임은 위치 벡터와 속도 벡터로 특징지어진다.각 벡터는 3개의 성분이 있으므로 공간을 통과하는 궤적을 정의하는 데 필요한 값의 총 수는 6개입니다.궤도는 일반적으로 위치와 속도로부터 계산될 수 있는 6개의 요소로 정의되며, 그 중 3개는 이미 논의되었다.이들 원소는 6개 중 5개가 교란되지 않은 궤도(항상 변화하는 벡터 2개와 극명한 대조)에 대해 변함이 없다는 점에서 편리하다.궤도 내 물체의 미래 위치를 예측할 수 있고 궤도 요소로부터 새로운 위치와 속도를 쉽게 얻을 수 있습니다.

두 가지는 궤적의 크기와 모양을 정의합니다.

• 세미마조르 ${\displaystyle }$(\$displaystyle$ a$)$
• 편심( ${\displaystyle }$\ $displaystyle$e$$)

세 가지는 궤도 평면의 방향을 정의합니다.

• 기울기($\displaystyle$ i$)$는 궤도 평면과 기준 평면 사이의 각도를 정의합니다.
• 상승 노드의 경도$($ \$displaystyle$ \Omega$\}$ )는 기준 평면(상승 노드)에서 기준 방향과 궤도의 위쪽 교차 사이의 각도를 정의합니다.
• periapsis $(「\displaystyle\obega$는 상승 노드와 근점 사이의 각도를 정의합니다.

그리고 마지막으로:

• 진정한 이상($display$ {\displaystyle $\nu$ $\}$ )은 궤적을 따라 궤도를 도는 물체의 위치를 정의하며 근점으로부터 측정됩니다.실제 이상 대신 몇 가지 대체 값을 사용할 수 있습니다. 가장 일반적인 값은 평균 이상 $M(\displaystyle$ M$)$과 근점 이후의 시간인$$T(\$displaystyle$T$)$입니다.

i$\backslash$$displaystyle{\displaystyle \mathrm{}}$$$i,$$$display$\$displaystyle \Omega$$, {\\displaystyle \Omega$는 기준$$ 프레임에서 궤적의 방향을 정의하는 각도 측정이므로 $궤도{\displaystyle }$ 평면 내에서 물체의 움직임을 설명할 때 반드시 필요한 것은 아닙니다.이 문서들은 완전성을 위해 여기에 언급되어 있지만, 아래의 증명에는 필요하지 않습니다.

위의 미분방정식 (1)의 수학적 해법

중심력, 즉 r에 평행한 힘 하에서의 이동의 경우, 특정 상대 $각운동량{\displaystyle \mathbf{}}$ H $=$ × r$$δ {$displaystyle \mathbf {H}$ =\$mathbf {r}$ \$times {{$dot ${mathbf${r$}}}}$은 일정하게 유지됩니다.

${\displaystyle {\mathbf {H}}=mathbf {d}{dt}\left(\mathbf {r}}\right)=mathbf {r}}\times(\dot {r}})=mathbf {r}\times(\mathbf {rf}}}}}\times$

위치 벡터의 교차곱과 속도는 일정하게 유지되므로 H$${\$displaystyle \mathbf {H$ $에{\displaystyle \mathbf{}}$직교하는 동일한 평면에 있어야 합니다. 이는 벡터 함수가 평면 곡선임을 의미합니다.

방정식은 원점 주위에 대칭이 있기 때문에 극좌표에서 해결하기가 더 쉽습니다.단, 식 (1)은 각도$({\displaystyle \theta \stackrel{}{}}$θ$)$ \left$({\$$ddot$${mathbf {r}}})$\displaystyle \$left$$({\ddot {theta }}\$$right$})${\displaystyle }$또는 ${\displaystyle 방사형\stackrel{}{}}$r({\dddot$${thet$}\$right$})$ {$rot}$이 아니라 선형 가속$($right$)$을 $참조$한다는 $점에 유의하십시오.$따라서 방정식을 변환할 때는 주의해야 합니다.직교 평면 $디스플레이$에 직교하는 평면에서의 데카르트 좌표계$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x\stackrel{}{\mathbf{}}^}$ , ${\displaystyle y\stackrel{}{\mathbf{}}}$ $),$ {\$hat$$$${\$$mathbf${$x$$}}, {\$hat {\$mathbf${y$}}}},$ {\$hat${\hat$}, {\$hat$})$및 극 단위 $r$를 도입합니다.

$(\displaystyle\hat\mathbf {r}}=cos\theta{\hat\mathbf {x}}+sin{theta}{\hat\mathbf {y}}})$

$(\displaystyle\hat\mathbf {q}=-\sin {theta}{\hat\mathbf {x}}+cos {theta}{\hat\mathbf {y}}})$

이제 벡터 $함수{\displaystyle \mathbf{}}$ r$\$ 및$$ 그 도함수를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {r} =r(\cos \theta {\mathbf {x}}+\sin \theta {\mathbf {y}})=rhat {r}$

${\displaystyle {\mathbf {r}}=도트 {r}}{\hat {\mathbf {r}}}+rhat {\theta}}{\hat {\mathbf {q}}}$

${\displaystyle {\mathbf {r}}=rdot {r}-rdot {theta }^{2}}{\hat {theta }}+2dot {r}{\dot {theta }}}{\hat {t}}$

("벡터 미적분" 참조).이것을 (1)에 대입하면, 다음과 같이 됩니다.

$({ displaystyle { \ dot { r } } - rhat { mathbf { r } } } + ( rhat dot { theta } } + 2 dot { r } } { \ hat { q } = \ left { \ frac { r } } } } } ){{mathbf {r}}}+(0){\hat {mathbf {q}}}$

이는 다음과 같은 비표준 극미분 방정식을 제공합니다.

$({displaystyle {r}}-rdot dot {theta }}^{2}=-{\frac {alpha }{r^{2}}})$

(2)

이 방정식을 풀기 위해서는 모든 시간 도함수가 제거되어야 한다.그 결과, 다음과 같습니다.

$\displaystyle H= \mathbf {r} \times {\theta} = (r\cos(\theta), r\sin(\theta), 0)\times(\dot {r}\cos(\theta)-r\sin(\theta) {\theta}, {\ta}, {\ta})$

$({displaystyle {dot {theta }} = frac {H} {r^{2}} )$

(3)

(3)의 시간 미분을 취하면

$({displaystyle {ddot {theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {r}}{r^{3}}})$

(4)

$식{\displaystyle }$ (3)과 (4)에서는 §$${\$displaystyle \theta$의 시간 미분을 제거할 수 있습니다.r$${\$displaystyle$ r$\}$의 시간 미분을 제거하기 위해 체인 규칙을 사용하여 적절한 치환을 찾습니다.

$({displaystyle {r}}=param frac {dr}{d\theta}}}\cdot {\theta}})$

(5)

$({displaystyle {ddot {r}}=paramfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}+{\frac {dr}{d\theta}}}\cdot {d\theta}}})$

(6)

이러한 4가지 치환을 사용하면 (2)의 전시간 도함수를 $제거$할 수 있으며, $§.\displaystyle \theta$의 함수로서 r$\displaystyle$r에$$ $대한{\displaystyle }$ 일반 미분 방정식을 얻을 수 있다$.$

$({displaystyle {r}}-rdot dot {theta }}^{2}=-{\frac {alpha }{r^{2}}})$

$({displaystyle {d^{2}r}{d\theta ^{2}}\cdot {dr}{d\theta }}\cdot {dr}{d\theta }}}-rcdot {dta }{2}=-{\frac {\theta } {r^2}}}}}}}})$

$({displaystyle {d^{2}r}{d\theta ^{2}}\cdot \left\frac {H}{r^{2}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta}}}\cdot {2\frac {2\cdot H\cdot}}{right}}}{r}}}}{r}}}}}}{right}}}}{r}}}}}}{dot {cdot {dot {dot {dot {dot}}}$

$({displaystyle {H^{2}}{r^{4}}\cdot \leftfrac {d}{d\theta ^{2}}-2\cdot {dr}{d\theta }}{d\r}\right}={2}-frac^{frcd}{rcd}{rcdot {r})$

(7)

미분 방정식(7)은 변수 치환을 통해 분석적으로 풀 수 있다.

${\displaystyle r=svsfrac {1}{s}}$

(8)

구별에 체인 규칙을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {dr}{d\theta}=-{\frac {1}{s^{2}}\cdot {ds}{d\theta}}$

(9)

${{displaystyle {d^{2}r}{d\theta ^{2}}=cdot\left\frac {ds}{d\theta}}{d}-{\frac {1}{s^{2}}\cdot {dfrac {d^2}\ta}{d}{d}}$

(10)

${\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ d ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$2 { $displaystyle${ $d^$ { d$$^ { $r$} } $d$ d ${\displaystyle \frac{}{}}$ r d ${$ d r ^ {$d$ \ $theta$^ { } ${\displaystyle \frac{d}{}}$ d $displaystyle${$frac$ { $dr$} {$d$ \ $theta$} $d{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$$$ d d d d d d d d ( 10 )및 ( 9 )를 사용하면,

${\displaystyle H^{2}\cdot\leftfrac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}+s\right}=\alpha }$

(11)

일반적인 해결책으로

${\displaystyle s=svsfrac {H^{2}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0}\right)}$

(12)

여기서 e 및 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 ( \$displaystyle$ \$theta _${ $0$ } )는 s 및 ${\displaystyle \frac{d}{}\frac{d}{}}$의 초기값에 따라 통합 상수입니다$.{$ $displaystyle$\ $tfrac${ $ds$} {$d$ \ $theta }$ } 。$}$

적분 상수 $(\displaystyle$ \$theta _{0$})을$$ 사용하는 대신, 오비탈 평면에서 좌표계를 정의하는 단위 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x${\displaystyle \stackrel{}{}^,}$ $^{$ {$x}, {\hat${y$$}}}}를 ${\displaystyle {선택}_{}}$하면 0$(\$이 v를 취한다는 규칙을 명시적으로 도입한다.alue 0과 e는 양수입니다.즉$,$ $s$가 $최대$인 지점에서는$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle$\$theta)$가 0이므로 $(\$ r$=stfrac {1}{s})$는 최소입니다.파라미터$$ p를 $({$

${\displaystyle r=marchfrac {1}{s}}=marchfrac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}$

대체파생성

극미분방정식을 사용하지 않고 이 방정식을 푸는 또 다른 방법은 다음과 같습니다.

$단위{\displaystyle \mathbf{}}$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$${\displaystyle u}$(${\displaystyle r\mathbf{}}$ $=$ r $\displaystyle \mathbf$${u}),$ ${\displaystyle \frac{}{}}$${\displaystyle =}$ r \$displaystyle$ \$mathbf${${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\}}$ {r} = r$\$$$\$mathbf{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$${u}$$$$=$ r$\mathbf${u$$$}$ {r$}$ {r$\})$을 $정의$합니다.아아아

$\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} =r\mathbf {u} \times {frac {d} {dt} =r\mathbf {u} \times (r\mathbf {u} } =r\mathbf {u} \times$

자, 생각해 봅시다.

${\displaystyle {\dot {mathbf {r}}\times \mathbf {H} =-{\frac {r^{2}}\mathbf {u} \times \dot {mathbf {u} =-\times \mathbf {u}$

(벡터 삼중곱 참조).주의해 주세요

$\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} = \mathbf {u} ^{2}=1}$

$\displaystyle \mathbf {u} \cdot {dot {dot {dot {dot {mathbf {u} } = scdot \mathbf {u} = scdot \mathbf {2} {dac} {d}$

이러한 값을 이전 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle\ddot\mathbf {r}}\times\mathbf {H}=\alpha(\dot\mathbf {u}})$

양면 통합:

${\displaystyle {\mathbf {r}}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$

여기서 c는 상수 벡터입니다.여기에 r을 붙이면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.

$(\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\dot \mathbf {r} } =\mathbf {r} +\mathbf {c} ) \cdot \mathbf {r} \mathbf {r} \cdot {r} \mathbf {r} )$

$여기$서 ${\$ {\$displaystyle \theta$}는$$r {\$displaystyle \mathbf {r}$과 c$${\$displaystyle \mathbf {c$ $사이$의 각도입니다. r에 대한 해결:

${\displaystyle r=mathbfrac {r} \cdot {\dot {\mathbf {r}} \times \mathbf {r}} =mathbf {r} \times \mathbf {r} } = cdot \mathbf {h} {\c}}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle )}$) {$style$( $r$, \$theta$)}은 벡터 함수의 극좌표입니다.p ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$α {\$displaystyle$ p$=tfrac${\$mathbf {H}$^{$2}}$ {\$alpha$}} 및$$ $e{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ α {\$displaystyle$ e$=tfrac {c}{\alpha$를 $대입$하면 다시 방정식에 도달한다.

${\displaystyle r=sysfrac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}$

(13)

이것은 원점이 초점에 있는 원뿔 단면의 극좌표 방정식입니다.$인수{\displaystyle }$ ${\$ ( \ $displaystyle \theta$)는$$ "true anomaly"라고 불립니다.

편심 벡터

또한$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$theta$$}$는 위치 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$r {\$displaystyle$ \$mathbf${r$}}$과 적분 $상수{\displaystyle \mathbf{}}$c ${\displaystyle$ \$mathbf {c$ 사이의 각도이므로 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$c {\$displaystyle \mathbf {c}$는 궤도 근점 방향을 가리켜야 합니다.그런 다음 궤도와 관련된 편심 벡터를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {e} \frac {\frac {\alpha } = phrac {\dot {\mathbf {r}} } \times \mathbf {H} } = phrac {\mathbf {u} } = times \mathbf {h}$

$여기$서 H ${\displaystyle =r\mathbf{}}$ × ${\displaystyle r\stackrel{}{\mathbf{}}}$ $=$r × ${\displaystyle v\mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {H}$ =\$mathbf {r} \times$ \$mathbf {v}$ =\$mathbf {r}$ \$times$\mathbf {v} $}$는 궤도의 일정한 각운동량 벡터 위치이며$,$ $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle$ \$mathbf {r}$은 벡터 위치}입니다$.$.

$적분상수{\displaystyle \mathbf{}}$ c$\$와$$같은 방향의 편심 벡터는 궤도 근점 방향을 가리키며 궤도 편심 크기를 가진다.따라서 상태 벡터 [${\displaystyle \mathbf{}}$, ${\displaystyle r\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\$ \ $displaystyle \mathbf {r}$ , \$mathbf$${$$r}$} ] 또는${\displaystyle }$[${\displaystyle \mathbf{}}$ , $\ displaystyle$ \$mathbf${r} , \$mathbf$ {v$\}$ $}$ ]가 알려진 경우 궤도의 궤도 요소에 대한 궤도 결정(OD)에서 매우 유용합니다.

궤적 방정식의 특성

e ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ e$=0)$의 경우 반지름이 p인 원입니다.

0< < 、 { $display$0 <$e$ < 1,}의 경우, 이것은 다음과 같은 타원입니다.

${\displaystyle a=snarfrac {p}{1-e^{2}}}}$

(14)

${\displaystyle b=syslogfrac {p}{\syslogrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\syslogrt {1-e^{2}}}}$

(15)

e$$ ${\displaystyle =}$의 $경우{\displaystyle }$({$displaystyle$ e$=1)$초점 $거리{\displaystyle \frac{}{}}$ $({$의 포물선입니다.

e> { $displaystyle$ e > $1$}의 경우, 이것은 다음 값을 가진 쌍곡선입니다.

${\displaystyle a=syslogfrac {p}{e^{2}-1}}$

(16)

${\displaystyle b=marchfrac {p}{\marchrt {e^{2}-1}}=a\cdot {marchrt {e^{2}-1}}$

(17)

다음 이미지는 원(회색), 타원(빨간색), 포물선(녹색) 및 쌍곡선(파란색)을 나타냅니다.

초점에서 오른쪽으로 나가는 수평선상의 지점은 초점까지의 거리가 $최소값{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{p\mathrm{}}{}}$1 + $,$ \$displaystyle \tfrac {p}{1+e$$},$ $둘레$ = ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle$ \$theta = 0$}타원의 경우 초점까지의 거리가 $최대값{\displaystyle \frac{}{}}$ p${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}\frac{e}{}}$를 취하는 원점도 $있습니다.\$displaystyle${p$}{$1-e}}$ 쌍곡선의 경우$\delta {\displaystyle }$ \$displaystyle \theta$}의$$$$ 범위는 다음과 같습니다.

${\displaystyle -\cos ^{-1}\leftflac {1}{e}}\오른쪽)<\theta <\cos ^{-1}\leftflac{1}{e}}\right}}$

포물선의 범위는

$\displaystyle -\pi <\theta <\pi>$

분화에 대한 연쇄 규칙(5), 방정식(2) 및 ${\displaystyle \frac{p^{}}{}}$의 $({$style$\frac$ {$H^{2}}}{\$alpha$}})$를 사용하면 반경 속도 성분이 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle V_{r}=cdot {H}{p}}\cdot e\cdot \sin \theta =cdot e\cdot \sin \theta }$

(18)

접선 구성 요소($V$에 수직인 속도 구성 요소$)$가

${displaystyle V_{t}=r\cdot {dot {theta }=frac {H} {r}=cdot (1+e\cdot \cos \theta)}$

(19)

polar 인수$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \theta)$와 시간 t 사이의 연결은 타원 궤도와 쌍곡 궤도에서 약간 다릅니다.

타원 궤도의 경우 다음과 같은 "이심 이상" E로 전환한다.

${\displaystyle x=a\cdot\cos E}$

(20)

${\displaystyle y=b\cdot\sin E}$

(21)

그 결과적으로는

$({displaystyle {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {E})$

(22)

${\displaystyle {y}=b\cdot \cos E\cdot {E}}$

(23)

각운동량 H는

$\displaystyle H=x\cdot {y}-y\cdot {x}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {E}$

(24)

시간 t에 대한 통합은 다음을 제공합니다.

$(\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E))$

(25)

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ t$=0}$이(가) 적분 상수가 0이 되도록 선택된다고 가정한다.

p의 정의대로라면

${\displaystyle H=sqrt {alpha \cdot p}}$

(26)

이것은 쓸 수 있다

${\displaystyle t=a\cdot {a}{\alpha}}(E-e\cdot \sin E)$

(27)

쌍곡선 궤도의 경우 매개변수화를 위해 쌍곡선 함수를 사용한다.

${\displaystyle x=a\cdot(e-\cosh E)}$

(28)

${\displaystyle y=b\cdot\sinh E}$

(29)

가지고 있는 것

$({displaystyle {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {E})$

(30)

$(\displaystyle\dot{y}=b\cdot\cosh E\cdot\dot{E})$

(31)

각운동량 H는

${\displaystyle H=x\cdot {y}-y\cdot {x}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {E}}$

(32)

시간 t에 대한 통합

$(\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot\sinh E-E))$

(33)

예.

$({displaystyle t=a\cdot {a}{\alpha}}) (e\cdot \sinh E-E)}$

(34)

특정 참 변칙$\delta$에 해당하는 시간 t를 구하려면 (\$displaystyle \theta$}) 타원형의$$ 경우 시간 관계(27) 및 쌍곡선 궤도의 경우 관계(34)와 연결된 해당 파라미터 E를 계산합니다.

관계(27)와 (34)는 범위 간의 매핑을 정의합니다.

$\displaystyle \left[-\infty \right]\long 왼쪽 화살표 \left[-\infty \right]$

몇 가지 추가 공식

타원 궤도의 경우 다음과 같은 (20)과 (21)에서 구한다.

${\displaystyle r=a\cdot(1-e\cdot\cos E)}$

(35)

그렇기 때문에

${\displaystyle \cos \theta = frac {x} {r} = frac {\cos E-e} {1-e\cdot \cos E} }$

(36)

From (36)은 다음 내용을 따릅니다.

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=csfrac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E-e}}{1+{\frac \cos E-e}}}{1-cos }$

편심 이상을 정의하는 기하학적 구조에서 벡터$({\displaystyle \cos eE}$, sin${\displaystyle e}$E$)$ 및$({\displaystyle \cos e}$ E$,\sin$${\displaystyle }$E${\displaystyle )\backslash }$$displaystyle(\cos$$\theta,\sin \theta)\displaystyle(\cos$ \theta))\displaystyle(\cos ${\displaystyle \sin }$ E,\sin \theta$)$이 X축의 같은 쪽에 있음을 알 수 있습니다.여기서부터${\displaystyle \mathrm{벡터}}$(cos${\displaystyle \frac{2}{}\mathrm{E2}}$, sin$$E2)\$displaystyle$\left$(\cos$ {$tfrac${$E}{2$}),\$sin($cos$$2, ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ $)\${$E}{$2}}\$right)$와${\displaystyle }$(${\displaystyle \cos }$$$${\displaystyle 2\frac{}{}}$ 2, sin ⁡ 2 ){\tfractfrac {\$ta$} {\ta} {\ta} {\$ta$} {\$ta$} {\ta} {\tfracta} {\ta} {\그래서 그런 게 있어요

$\displaystyle \tan \frac {1+e} {1-e} = cdot \tan \frac {E} {2}$

(37)

그리고 그것

$\displaystyle \theta = 2 \cdot \cdot \cdot \cs\frac {1 - e} \ cos \ sqrt { 1 + e} \ cdot \ sin \ frac { E } { 2 \ right } + n \ cdot 2 \ pi }$

(38)

$\displaystyle E=2\cdot \cdot \cdot {1+e}\cdot \cos \frac {1-e}, {\cdot \sin \frac {ta } {2}\right}+n\cdot 2\pi }$

(39)

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 arg ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) { $displaystyle$\ $arg ( x$${\displaystyle }$,$y$${\displaystyle }$)$$ the 、 \$display style$( $x$, y ) 、 n is、 -${\$ < \ $display E$- \ $theta$< \ pi$}$가 선택됩니다.

arg${\displaystyle }$δ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) {$displaystyle \arg (x , y$ ) }의$$ ${\displaystyle \mathrm{수치}}$ 계산에는 예를 들어 FORTRAN 언어에서 사용할 수 있는 표준 함수 ATAN2(y , x ) (2 , x )를 사용할 수 있습니다.

이것은 범위 간의 매핑입니다.

$\displaystyle \left[-\infty\right]\long 왼쪽 화살표 \left[-\infty <\infty\right]$

쌍곡선 궤도의 경우, 다음과 같은 (28)과 (29)로부터 얻을 수 있다.

${\displaystyle r=a\cdot(e\cdot\cosh E-1)}$

(40)

그렇기 때문에

${\displaystyle \cos \theta = flac {x} {r} = flac {e-\cosh E} {e\cdot \cosh E-1} }$

(41)

~하듯이

$\displaystyle \tan ^{2}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=cosfrac {1-{\frac {e-\cosh E}}{e\cosh E-1}}{1+\frac {\cosE-cosH}$

tan ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$($displaystyle$\ $frac$\ $theta$} {$$} )${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2f173dc4e3332a7bdcd8e083191b439defd1062c"\; style="vertical-align:\; -1.838ex;\; width:5.745ex;\; height:5.343ex;">}}$ tanh$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{E}}{}}$2 ( \ $displaystyle$\$frac${ $E$} {$$}{2}}는$$ ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 부호를 가집니다.

$tan\fracdisplaystyle\tan\frac{e-1}{e-1}\cdot\tanh\frac{E}{2}}$

(42)

이 관계는 "진정한 이상"과 파라미터 E 사이의 전달에 편리하며, 파라미터 E는 관계(34)를 통해 시간에 접속된다.이것은 범위 간의 매핑입니다.

$^{-(-{\1}{eright)\displaystyle \left[-\flac{eflac {}\frightleft {e}\}\right}\light \left right<\theta <\cos ^{-1}\left {\frac {1}{e}}\right}\right] \ long 쪽쪽 \ left [ - \ infty < \ right ]$

$(\$는 다음 관계를 사용하여 계산할 수 $있습니다{\displaystyle \frac{}{}}$.

$\}x frac displaystyle \tyle \tanh ^{-1}x=bln \flac {1}{1}{1}\ln \fln \fln \fln \flac {1-x}{1-right}$

관계(27)로부터 타원 궤도에 대한 궤도 주기 P는 다음과 같다.

$P a{\frac {\ (\displaystyle P=2\pi\cdot a\cdot {frac {a} {\alpha}})$

(43)

관계력장에 대응하는 위치 에너지가 (1)일 때

${ \ { r } \ displaystyle - \ frac \ alpha } { r }$

(13), (14), (18) 및 (19)에서 이어지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합계는 다음과 같다.

${{2}-{\displaystyle {{displaystyle {{V_{r}^2}+{V_{t}^22}-{\frac {{t}}}{2}-{{\frac}{{{{{r}}}}}}}}$

θθθθθθ이다.

${\ a {\displaystyle - {\frac} {2\cdot a}$

(44)

그리고 (13), (16), (18) 및 (19)로부터 쌍곡선 궤도에 대한 운동과 잠재 에너지의 합계가

$adisplaystyle\frac{2\cdot a})$

(45)

${displaystyle\hat{x}, {\hat{y})$

x$(\$가 있는 궤도 평면에서 속도 성분이 (18)과 (19)로부터 얻을 수 있다.

${t}=-{\}{ \theta }{\display style V_{x}=\cdot \cdot V_cdta \cdot \cdta \cdta \cdta \cdta \cdta \cdot V_{r}$

(46)

$\ V_ ( \cdot V_{y}=\sin \cos \cdot V_{ta}\cos$

(47)

'중심 방정식' 참조 – 해석

중심 방정식은 작은 수치 이심률에 대한 타원 궤도의 평균 이상과 실제 이상과 관련이 있습니다.

초기

이것은 6차원 "상태 벡터$"({\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle )}$ $)$의 1차 방정식인 미분방정식 (1)의 "초기값 문제"입니다.\style$({\bar$ {$r}$ , ${\bar$ {$v}})$는 다음과 같이 표기됩니다.

$\displaystyle\dot{v}=-\alpha\cdot\frac{r}{2})$

(48)

$displaystyle\dot {r})=mars {v})$

(49)

초기 "상태 벡터$"({\displaystyle {\stackrel{}{}0}_{\mathrm{}}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}0}_{\mathrm{}}}$ 0$)$ {$displaystyle({\bar {r}_{0},$ {\$bar {v}}_{0}})$에 대한 모든 값에 대해 이 초기값 문제의 해결책에 해당하는 케플러 궤도는 다음 알고리즘으로 찾을 수 있습니다.

직교 단위 벡터$({\displaystyle }$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}^}$ , ${\displaystyle t\stackrel{}{}^}$) {$displaystyle({\hat {r}}$ , ${\hat$ {t$}})$를 정의합니다.

$displaystyle {r_{0}}=r\cdot {r}}$

(50)

$displaystyle {v_{0}=V_{r}\cdot {t}\cdot {r}+{t}\cdot {t}$

(51)

> { $displaystyle$ r > $0$} V > 0 { $displaystyle$V $_${ t }> 0 ） 。

From (13), (18) 및 (19)는 다음 설정에 따라 다음을 수행합니다.

$pdisplaystyle p=param{r\cdot V_{t}^2}}{\alpha }}}$

(52)

e${\displaystyle 0}$ 0$$( \ $display style e$ \ $geq$0 )및$$ $（$ \ $display$style \ $theta$）를$$ $정의함$으로써 다음과 같이 됩니다.

$\ \theta { {\displaystyle e\cdot \cos \theta = flac {V_{t} {V_{0}}-1}$

(53)

$\theta {V_}}}}:(displaystyle e\cdot \sin \theta = scfrac {V_{0})$

(54)

서 ''는

$}{pdisplaystyle V_{0}=sqrt {frac {alpha} {p}}}}$

(55)

케플러 궤도는 실제 이상$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \theta)$의 경우 (50) 및 (51)에서 정의한 것과 동일한 r, $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ V_${r}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$t {$displaystyle V_{t}$ 값을$$ 갖는다.

이 케플러 궤도에${\displaystyle }$(r${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ , ${\displaystyle t\stackrel{}{}^}$ ) ${\displaystyle {r},$ {\$hat$$$${t}}}}}$개의$$ 벡터가 있는 경우, (50) 및 (51)에 의해 정의된${\displaystyle }$상태$$${\displaystyle 벡터\stackrel{}{}}$($r$, v${\$ )({\displaystyle ${r}, \bar$ {$v})$는 케플러 궤도의 원하는 벡터를 취합니다.lues${\displaystyle }$( ${\displaystyle r\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{0\mathrm{}}_{}}\stackrel{}{{}_{}}}$ v ${\displaystyle \stackrel{}{{0\mathrm{}}_{}}}$） $、$ { $displaystyle$（ \ $bar${ r$_$ { 0 } } 、 { \$bar$ { $v$_ { $0$} ） 。$진정$한 이상 징후는 {\ $style$\$theta$ $。$

궤도$$ 평면$({\displaystyle }$$x$${\displaystyle \stackrel{}{}}$$^$ ^ , y$$ )의 표준 관성 고정 좌표계(x${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle ^}$ , ${\displaystyle y\stackrel{}{}}$^ )(\$hat$ {$x} )$는 $원뿔$ 단면($타원형$$,$ $포물선$ 또는$$ 쌍곡선)의 방향을 정의한다.혈연에 따라 결정되다

${tdisplaystyle\hat {x}=\cos\theta\cdot\hat {r}-\sin\cdot\hat {t})$

(56)

$\ {displaystyle\hat {y}=\sin\theta\cdot\hat {r}+\cos\cdot\hat {t})$

(57)

${\displaystyle V_{}}$ r $=$({$displaystyle V_${r}=$0})$과 (54)의 관계에는 특이점이 있습니다.

${{2}}{\alphadisplaystyle }={frac}}{\}}{\displaystyle V_{t}={0}}{frac}{frac}{frac}}{frac}}}{frac}}}{frac}}}}{frac}{frac}}}}}{frac}}}}{frac}}$

ㅇㅇㅇ.

${alpha ({displaystyle V_{t}=sqrt {frac {alpha} {r})$

(58)

초기${\displaystyle }$상태에 맞는 원형 궤도(${\displaystyle \stackrel{}{{r\mathrm{}}_{}}}$ 0 ${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{v\mathrm{}}_{}}}$ 0$))$인 경우({$style${\$bar {r_{0}},$ {\$bar {v_{0}})})$

하는 케플러

모든 상태 벡터$({\displaystyle }$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle )}$ )$${$displaystyle({\bar {r},$ {\$bar {v}}})$에 대해 이 상태에 대응하는 케플러 궤도를 위에서 정의한 알고리즘으로 계산할 수 있습니다.우선 r${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}{r}_{}}$, ${\displaystyle V_{}}$ t$,$ {$displaystyle$ r,$V_{r$}, $V_{t}}$에서${\displaystyle \mathrm{파라미터}}$ p, e${\displaystyle ,}$ {$displaystyle$ p,$e,$ \$theta}$를 구한 후 (56 및 {\$hat})$을 사용하여 $궤도면{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x${\displaystyle }$^,${\displaystyle \stackrel{}{}y\stackrel{}{}}$ ${\$의 직교 단위 벡터를 구한다.

만약 지금 운동방정식이

${\displaystyle {ddot {r}}=\operatorname {F}({\bar {r}}, {\dot {r}},t})$

(59)

어디에

${\displaystyle \operatorname {F}}({\bar {r}}, {\dot {r}},t})$

이외의 함수입니다.

$(\displaystyle -\alpha \cdot {frac {r} {r^{2}})$

결과 파라미터

${\displaystyle p,e,\theta,{\hat {x},{\hat {y}}}$

r ${\displaystyle ,}$ 、 ${\displaystyle r\stackrel{}{\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{、}}}$ r $¯$ { $displaystyle${ $r$}, { \$$$dot$ {$r$$}}$에 $의해{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 정의되는 파라미터만 $변화$하는 케플러 궤도의 경우와 달리 모두 시간에 따라 변화합니다$.$

이와 같이 계산된 케플러 궤도는 시간 t의 "운동 등가"(59)에 대한 해와 같은 "상태 벡터"를 가지고 있으며, 이때는 "진동"하고 있다고 한다.

이 개념은 예를 들어 다음과 같은 경우에 유용합니다.

${\displaystyle \operatorname {F} {\bar {r}}, {\dot {r}}, t)=-\alpha \cdot {cdot {r} {r} +\operatorname {f}({r}, {\bar {r}}, t})$

어디에

${\displaystyle\operatorname{f}{\bar {r}},{\dot {r}},t}}$

예를 들어 다른 천체의 미미한 중력에 의한 작은 "파격력"입니다.접촉하는 케플러 궤도의 매개변수는 천천히 변화할 뿐이며, 접촉하는 케플러 궤도는 접촉 시간 전후 상당 기간 동안 실제 궤도에 대한 근사치입니다.

이 개념은 동력 비행 중 로켓에 유용하게 쓰일 수 있는데, 그 이유는 추력이 꺼질 경우 어떤 케플러 궤도가 계속될지 알려주기 때문이다.

"원형에 가까운" 궤도의 경우, ${\displaystyle e\stackrel{}{}=}$ ${\displaystyle e\stackrel{}{}}$ $^$ {style ${e}} = e\cdot$ {x$}$로 $정의$된 개념의 "도 벡터"가 유용하다.(53)부터 (54) 및 (56)은 다음과 같다.

$({displaystyle {e}}=har frac {(V_{t}-V_{0})\cdot {r}-V_{r}\cdot {t}}{V_{0}}})$

(60)

$,$ e(\$displaystyle {e})$는 상태 벡터$({\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ¯,}$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$ $)({\bar {r},$ {\$bar {v})$의 부드러운 미분 가능 함수입니다. 이 상태가 원형 궤도에 해당하는 경우에도 마찬가지입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 이체 문제
• 중력 이체 문제
• 케플러 문제
• 케플러의 행성 운동 법칙
• 타원 궤도
• 쌍곡선 궤도
• 포물선 궤도
• 반지름 궤도
• 궤도 모델링

인용문

레퍼런스

• El'Yasberg "인공 지구 위성 비행 이론", 이스라엘 과학 번역 프로그램(1967년)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60061-0.
• Copernicus, Nicolaus (1952), "Book I, Chapter 4, The Movement of the Celestial Bodies Is Regular, Circular, and Everlasting-Or Else Compounded of Circular Movements", On the Revolutions of the Heavenly Spheres, Great Books of the Western World, vol. 16, translated by Charles Glenn Wallis, Chicago: William Benton, pp. 497–838

외부 링크

• 타원형 케플러 궤도에서 위성의 궤도에 애니메이션을 부여하는 JAVA 애플릿으로, 반장축과 이심률에 대한 값을 모두 갖습니다.