바리 중심에서 일정한 거리를 두고 궤도
이 다이어그램의 왼쪽 상단 사분면에 원형 궤도가 그려져 있는데, 중심 질량의 중력 전위 우물이 전위 에너지를 나타내고, 궤도 속도의 운동 에너지가 적색으로 표시된다.운동 에너지의 높이는 일정한 속도 원형 궤도 전체에 걸쳐 일정하게 유지된다.
이 다이어그램의 상단에는 시계방향 원형 궤도(노란색 점)의 위성이 무시할 수 있는 질량의 물체를 발사한다.(1 - 파란색)은 지구를 향해,(2 - 빨간색) 지구에서 떨어져 있고,(3 - 회색) 이동 방향 및(4 - 검은색) 이동 방향의 뒤로 이동한다.점선 타원은 지구와 관련된 궤도를 말한다.고체 곡선은 위성에 상대적인 동요로, 하나의 궤도에서 (1)과 (2) 위성의 양쪽에서 시계방향 루프를 만든 위성으로 되돌아간다.무감각하게 (3) 나선은 점점 더 뒤쳐지는 반면, (4) 나선은 앞에 있다. 원궤도는 바리중심 둘레에 일정한 거리를 두고 있는 궤도, 즉 원의 모양을 하고 있는 궤도를 말한다.
아래에 열거된 것은 표준 가정 하에서 우주역학이나 천체역학에서 원형 궤도를 나타낸 것이다.여기서 구심력은 중력이며, 위에서 언급한 축은 운동면에 수직인 중심 질량의 중심을 통과하는 선이다.
이 경우 거리뿐 아니라 속도, 각도 속도, 전위, 운동에너지도 일정하다.나는 그것이 얼마나 중요한지 알고 싶다.이 궤도는 방사형 버전이 없다.
원형가속도
가로 방향 가속도(속도에 수직으로)는 방향의 변화를 일으킨다.크기가 일정하고 속도에 따라 방향이 바뀌면 원형 동작이 이어진다.시간과 관련하여 입자의 좌표 중 두 개의 파생물을 취하면 구심 가속이 된다.
![a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd69f3df5380ac9fa7c48bc89c4dea038be094f4)
여기서:
- v는
선회하는 차체의 궤도 속도, - r은
(는) 원의 반지름이다. - 은
(는) 단위 시간당 라디안 단위로 측정한 각도 속도다.
공식은 치수가 없으며, 공식에 걸쳐 균일하게 적용되는 모든 측정 단위에 대한 비율을 설명한다.의 숫자 값을 초당 미터로 측정하면
초당 미터로 하고r {\ r 미터로
측정하며 이
(가)가 라디안으로 측정된다
.
속도
중심 물체에 대한 속도(또는 속도의 크기)는 일정하다.[1]: 30
![v = \sqrt{ GM\! \over{r}} = \sqrt{\mu\over{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64dbfbd4469bd36a45abcfa8d472ca02c4ff2e70)
여기서:
- 은
는) 중력 상수임 - 은
는) 양쪽 선회하는 물체의 질량 1+ 2) 이지만
일반적으로 큰 질량이 현저하게 크면 작은 질량은 종종 무시되며 결과의 변화는 거의 없다. - = 은
는) 표준 중력 파라미터다.
운동 방정식
극좌표에서의 궤도 방정식은 일반적으로 θ의 관점에서 r을 주는 것으로 다음과 같이 감소한다.[clarification needed][citation needed]
![r={{h^{2}} \over {\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08de66385d483c859b5caa50363912a20c8fbd63)
여기서:
- = 는
궤도를 선회하는 본체의 특정한 각도 운동량이다.
=
각도 속도 및 궤도 주기
![\omega ^{2}r^{3}=\mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e0031d8cb4b8cdf797c135a8dfdb1863953ba1)
따라서 궤도 주기(
)는 다음과 같이 계산할 수 있다.[1]: 28
![T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc3266bd3e3e42019cbdc46bb00a3a7828afcdb)
자유 낙하 시간(휴식 상태에서 점 질량으로 떨어지는 시간)이라는 두 비례 수량을 비교하십시오.
- = 2
원형 궤도 주기의 17.7%)
방사상 포물선 궤도에서 점 질량까지 떨어지는 시간
- = 2
원형 궤도 주기의 7.5%)
공식이 상수 인자에 의해서만 다르다는 사실은 치수 분석과는 선결하다.[citation needed]
에너지
특정 궤도 에너지(
)는 음이고,
![{\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335ab1075cf1b9630b30ed615ee6454234d11b34)
![{\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e76cdb0d6b54fa8474008d993ab6118356c09b)
따라서 정리는[1]: 72 시간 평균을 취하지 않아도 적용된다.[citation needed]
- 체계의 운동 에너지는 총 에너지의 절대값과 같다.
- 시스템의 잠재적 에너지는 총 에너지의 두 배와 같다.
어떤 거리에서든 탈출 속도는 그 거리에서 원형 궤도에서 √2의 속도로 운동 에너지가 2배 더 많으므로 총 에너지는 0이다.[citation needed]
원궤도에 도달하기 위한 델타-v
정지궤도와 같은 큰 원형궤도로 기동하려면 탈출궤도보다 더 큰 델타-v가 필요하지만, 후자는 임의로 멀리 떨어져서 원형궤도의 궤도 속도에 필요한 에너지보다 더 많은 에너지를 갖는 것을 의미한다.궤도에 진입하는 것도 기동의 문제다.Hohmann 전송 궤도를 참조하십시오.
일반 상대성에서의 궤도 속도
슈바르츠실트 메트릭에서 r 을(를) 가진 원형 궤도의 궤도 속도는 다음 공식에 의해 제시된다
.
![v={\sqrt {{\frac {GM}{r-r_{S}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214fd2ed1905699f1e642e662a48143952ac3362)
여기서 = 는 중심체의 슈바르츠실트 반지름이다
.
파생
편의를 위해 = = } 단위로 파생문을 작성한다![\scriptstyle c=G=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3cbea945edfbb165d1529d782019861a4907e8)
원형 궤도에 있는 신체의 4폭은 다음과 같은 방법으로 주어진다.
![u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ed05e0438b67af8796c9d2d933267e4bc0d545)
( 은(는) 원형 궤도에서 일정하며
, 좌표를 선택하여 = 를 선택할 수 있다.
변수 위의 점은 적절한 시간 에 대한 파생을 나타낸다![\scriptstyle \tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de348b85ea9371d4278355de59ca49cf359f8be3)
거대한 입자의 경우 4폭의 성분은 다음과 같은 방정식을 만족시킨다.
![\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c955d8460b74675948468de6b2899a346497616)
우리는 측지 방정식을 사용한다.
![{\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb69ae960a68f07bb8d949e39059732721fe5344)
유일한 비교 방정식은 = 에 대한 것이다
이 방정식은 다음을 제공한다.
![{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875e54161c7d40eaf37954354f705daf522d0e96)
이를 통해 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.
![{\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57e33cb450448b91ac6a14ecf5f1b12b64e6c43)
이것을 거대한 입자의 방정식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
![\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f019acb6e0f5f0cc346073abc1d5ca0103cfbfb9)
따라서 다음과 같다.
![{\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f030f0071a0c98552ef8b087ecceb1117605c1cd)
반경 에 있는 관찰자가 있다고 가정해 보십시오
이들은 중심체(central body)에 대해 움직이지 않으며, 즉, 4-belocity는 벡터 에 비례한다
정규화 조건은 다음과 같다는 것을 의미한다.
![v^{\mu }=\left({\sqrt {{\frac {r}{r-2M}}}},0,0,0\right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2a92bf796da4e288c8988f0c292015e84edd18)
관측자와 궤도를 선회하는 본체의 4개 영역 점 산물은 관측자에 상대적인 궤도를 선회하는 본체의 감마 인자와 동일하므로 다음과 같다.
![\gamma =g_{{\mu \nu }}u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {{\frac {r}{r-3M}}}}{\sqrt {{\frac {r}{r-2M}}}}={\sqrt {{\frac {r-2M}{r-3M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9683c3569f867f347f6479afae2294bc7ebf3c5)
이렇게 하면 다음과 같은 속도를 얻을 수 있다.
![v={\sqrt {{\frac {M}{r-2M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1da49a209c0c0cbf6ac659f99d42ac10c5acc0e)
또는 SI 단위로 다음을 수행하십시오.
![v={\sqrt {{\frac {GM}{r-r_{S}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214fd2ed1905699f1e642e662a48143952ac3362)
참고 항목
참조
- ^ a b c Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability. New York, NY, USA: Cambridge University Press. p. 604. ISBN 9781108411981.