지수집적자
Exponential integrator지수 통합자는 일반적인 미분 방정식, 특히 초기 가치 문제를 해결하기 위한 수치적 방법의 한 종류다.수치 분석에서 나온 이 큰 등급의 방법은 초기 값 문제의 선형 부분의 정확한 통합에 기초한다.선형 부분은 정확히 통합되기 때문에, 이것은 미분 방정식의 강성을 완화하는데 도움이 될 수 있다.지수 통합자는 수치 일반 미분 방정식에 대해 명시적이거나 암시적이거나 수치 부분 미분 방정식의 시간 통합자 역할을 하도록 구성될 수 있다.
배경
적어도 1960년대로 거슬러 올라가면, 이러한 방법들은 슈페와[1] 교황에 의해 인정되었다.[2]후기 기하급수적 통합자들이 연구 활동 영역이 되었다. 자세한 내용은 Hochbruck과 Ostermann(2010)을 참조하십시오.[3]원래 뻣뻣한 미분방정식을 해결하기 위해 개발된 이 방법은 열방정식과 같은 포물선 문제뿐만[4] 아니라 쌍곡선을 포함한 부분미분방정식을 해결하기 위해 사용되어 왔다.
소개
형태의 초기 가치 문제를 고려하지만
여기서 은 (는) 선형 항으로 구성되며, 은(는) 비선형 항으로 구성된다.이러한 문제는 보다 일반적인 초기 가치 문제에서 발생할 수 있다.
고정 또는 로컬 상태 u에 대해 로컬로 선형화한 후
여기서 u f은 u }(f의 자코비안)과 관련하여 의 부분파생물을 말한다.
0시부터 까지 이 문제의 정확한 통합은 매트릭스 지수(matrix 지수를 사용하여 정확한 해법에 대한 적분 방정식을 정의할 수 있다[3]
이것은 피카르-린델뢰프 정리에 사용된 정확한 적분과 유사하다. 의 경우 이 공식은 선형 미분 방정식에 대한 정확한 해법이다.
수치적 방법은 등식 (2)의 분리가 필요하다.그것들은 Runge-Kutta discetation,[5][6][7] 선형 다단계 방법 또는 다양한 다른 옵션에 기초할 수 있다.
지수 로젠브로크 방법
기하급수적인 로젠브로크 방법은 경직된 일반 미분 방정식의 큰 시스템을 해결하는 데 매우 효율적인 것으로 나타났는데, 대개 시간 의존적(파라볼릭) PDE의 공간적 소산에서 기인한다.이러한 통합체는 (1)의 연속적인 선형화를 기반으로 숫자 솔루션 에 따라 구성된다.
여기서 = n , n()= f )- n fpartial 이 절차는 각 단계에서 n = u이라는 장점을 누린다 이는 주문 조건의 유도를 상당히 단순화하고 N 을(를) 통합할 때 안정성을 향상시킨다 다시 말하지만, 상수변동식 공식 (2)을 하면 t +}과 같이 정확한 용액을 시간에 제공한다.
이제 아이디어는 노드 와 중량 ( n 을(를 사용하여 (4)의 적분을 대략적으로 추정하는 것이다.이는 다음과 같은 의 s -s - g 명시적 지수 로젠브록 방법을 산출한다. 자세한 내용은 Hochbruck and Ostermann(2006) Hochbruck, Ostermann 및 Schweitzer(2009)를 참조한다.
( ), U ( n+ i ), = t+ - 계수 a ( z), ( ) )}, 여기서 계수는 으로 전체 함수 )의 선형 조합으로 선택된다
이러한 함수는 재귀 관계를 만족한다.
= ( )- N (n ) 참조)의 차이를 도입함으로써 구현을 위해 보다 효율적인 방법으로 재구성할 수 있다 참조).
적응적 단계 크기로 이 계획을 구현하기 위해서는 현지 오류 추정을 위해 다음과 같은 내장 방법을 고려할 수 있다.
동일한 i {\{ni를 사용하지만 가중치 는
편의상 명시적 지수 로젠브록 방법의 계수와 그 내장 방법의 계수는 다음과 같은 소위 환원된 푸줏대감을 사용하여 나타낼 수 있다.
경직된 주문 조건
더욱이, 개혁적 접근방식은 국부적 오류를 분석하여 지수적 로젠브로크 방법의 경직된 순서 조건을 순서 5까지 도출할 수 있는 새롭고 단순한 방법을 제공하는 것으로 루안 및 오스터만(2014a)[8]에 나타나 있다.B 시리즈 개념의 연장과 함께 이 새로운 기법의 도움으로, 임의 질서의 기하급수적인 로젠브로크 통합자들에 대한 경직된 질서 조건을 도출하기 위한 이론이 마침내 루안과 오스터만(2013년)에서 제시되었다.[9]예를 들어, 그 작업에서는 다음 표에 기술된 지수 로젠브록 방법의 엄격한 순서 조건이 도출되었다.
여기서 Z, , M. 은 임의 제곱 행렬을 나타낸다.
수렴분석
지수 로젠브록 방법에 대한 안정성과 수렴 결과는 일부 바나흐 공간에서 강하게 연속되는 세미그룹의 틀에서 증명된다.
예
아래에 제시된 모든 계획은 경직된 질서 조건을 충족하므로 경직된 문제를 해결하는 데도 적합하다.
제2차순법
가장 단순한 지수형 로젠브록 방법은 지수형 로젠브록-을러 방식이며, 예를 들어, 호흐브룩 외 연구진 등이 순서 2를 가지고 있다.(2009):
3차 방법
3차 지수 로젠브록 방법의 종류는 호흐브루크 외에서 도출되었다.exprb32로 명명된 (2009)는 다음과 같이 주어진다.
exprb32:
1 0
라고 쓰여 있는.
여기서 = (U )- ( ).
이 계획의 가변 단계 크기 구현을 위해, 지수 Rosenbrock-Euler를 포함시킬 수 있다.
콕스와 매튜스의 4차 ETDRK4 방식
Cox와 Matthews는[5] 그들이 도출하기 위해 Maple을 사용한 4차 방법 지수적 시간 차이점화(ETD) 방법을 설명한다.
우리는 그들의 표기법을 사용하고, 알 수 없는 기능이 이고 알려진 솔루션 이 t t t_}}에 있다고 가정한다 나아가, 시간 의존성이 있는 우측을 명시적으로 사용할 것이다.= ( , ) {\ .
세 가지 단계 값이 먼저 구성된다.
최종 업데이트는 다음과 같다.
순진하게 구현될 경우, 위의 알고리즘은 부동 소수점 반올림 오류로 인한 수적 불안정성을 겪는다.[10]왜 그런지 알아보려면 첫 번째 기능을 고려하십시오.
ETDRK4의 3단계는 물론, 1차 오일러 방식으로 존재한다. 의 작은 값의 경우 이 기능은 숫자 취소 오류로 인해 문제가 발생한다단, 등고선 적분 접근법 또는 Padé 근사치를 통해 1 함수를 평가하면 이러한 수치 문제를 피할 수 있다.[11]
적용들
지수 통합자들은 예를 들어 분자역학,[12] VLSI 회로 시뮬레이션,[13][14] 컴퓨터 그래픽과 같은 과학 및 시각 컴퓨팅에서 경직된 시나리오의 시뮬레이션에 사용된다.[15]그것들은 또한 하이브리드 몬테카를로 방법의 맥락에서도 적용된다.[16]이러한 애플리케이션에서 기하급수적인 통합업체는 큰 시간 스텝 기능과 높은 정확도의 장점을 보여준다.그러한 복잡한 시나리오에서 매트릭스 함수의 평가를 가속화하기 위해 기하급수적인 통합자들은 종종 Krylov 하위 공간 투영 방법과 결합된다.
참고 항목
메모들
참조
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