지수집적자

Exponential integrator

지수 통합자는 일반적인 미분 방정식, 특히 초기 가치 문제를 해결하기 위한 수치적 방법의 한 종류다.수치 분석에서 나온 이 큰 등급의 방법은 초기 값 문제의 선형 부분의 정확한 통합에 기초한다.선형 부분은 정확히 통합되기 때문에, 이것은 미분 방정식의 강성을 완화하는데 도움이 될 수 있다.지수 통합자는 수치 일반 미분 방정식대해 명시적이거나 암시적이거나 수치 부분 미분 방정식시간 통합자 역할을 하도록 구성될 수 있다.

배경

적어도 1960년대로 거슬러 올라가면, 이러한 방법들은 슈페와[1] 교황에 의해 인정되었다.[2]후기 기하급수적 통합자들이 연구 활동 영역이 되었다. 자세한 내용은 Hochbruck과 Ostermann(2010)을 참조하십시오.[3]원래 뻣뻣한 미분방정식을 해결하기 위해 개발된 이 방법은 열방정식과 같은 포물선 문제뿐만[4] 아니라 쌍곡선을 포함한 부분미분방정식을 해결하기 위해 사용되어 왔다.

소개

형태의 초기 가치 문제를 고려하지만

여기서 (는) 선형 항으로 구성되며, 은(는) 비선형 항으로 구성된다.이러한 문제는 보다 일반적인 초기 가치 문제에서 발생할 수 있다.

고정 또는 로컬 상태 u에 대해 로컬로 선형화한 후

여기서 u f은 u }(f의 자코비안)과 관련하여 부분파생물을 말한다.

0시부터 까지 이 문제의 정확한 통합은 매트릭스 지수(matrix 지수를 사용하여 정확한 해법에 대한 적분 방정식을 정의할 수 있다[3]

이것은 피카르-린델뢰프 정리에 사용된 정확한 적분과 유사하다. 의 경우 이 공식은 선형 미분 방정식에 대한 정확한 해법이다.

수치적 방법은 등식 (2)의 분리가 필요하다.그것들은 Runge-Kutta discetation,[5][6][7] 선형 다단계 방법 또는 다양한 다른 옵션에 기초할 수 있다.

지수 로젠브로크 방법

기하급수적인 로젠브로크 방법은 경직된 일반 미분 방정식의 큰 시스템을 해결하는 데 매우 효율적인 것으로 나타났는데, 대개 시간 의존적(파라볼릭) PDE의 공간적 소산에서 기인한다.이러한 통합체는 (1)의 연속적인 선형화를 기반으로 숫자 솔루션 에 따라 구성된다.

여기서 = n , n()= f )- n fpartial 이 절차는 각 단계에서 n = u이라는 장점을 누린다 이는 주문 조건의 유도를 상당히 단순화하고 N 을(를) 통합할 때 안정성을 향상시킨다 다시 말하지만, 상수변동식 공식 (2)을 하면 t +}과 같이 정확한 용액을 시간에 제공한다.

이제 아이디어는 노드 중량 ( n 을(를 사용하여 (4)의 적분을 대략적으로 추정하는 것이다.이는 다음과 같은 의 s -s - g 명시적 지수 로젠브록 방법을 산출한다. 자세한 내용은 Hochbruck and Ostermann(2006) Hochbruck, Ostermann 및 Schweitzer(2009)를 참조한다.

( ), U ( n+ i ), = t+ - 계수 a ( z), ( ) )}, 여기서 계수는 으로 전체 함수 )의 선형 조합으로 선택된다

이러한 함수는 재귀 관계를 만족한다.

= ( )- N (n ) 참조)의 차이를 도입함으로써 구현을 위해 보다 효율적인 방법으로 재구성할 수 있다 참조).

적응적 단계 크기로 이 계획을 구현하기 위해서는 현지 오류 추정을 위해 다음과 같은 내장 방법을 고려할 수 있다.

동일한 i {\{ni 사용하지만 가중치

편의상 명시적 지수 로젠브록 방법의 계수와 그 내장 방법의 계수는 다음과 같은 소위 환원된 푸줏대감을 사용하여 나타낼 수 있다.

경직된 주문 조건

더욱이, 개혁적 접근방식은 국부적 오류를 분석하여 지수적 로젠브로크 방법의 경직된 순서 조건을 순서 5까지 도출할 수 있는 새롭고 단순한 방법을 제공하는 것으로 루안 및 오스터만(2014a)[8]에 나타나 있다.B 시리즈 개념의 연장과 함께 이 새로운 기법의 도움으로, 임의 질서의 기하급수적인 로젠브로크 통합자들에 대한 경직된 질서 조건을 도출하기 위한 이론이 마침내 루안과 오스터만(2013년)에서 제시되었다.[9]예를 들어, 그 작업에서는 다음 표에 기술된 지수 로젠브록 방법의 엄격한 순서 조건이 도출되었다.

여기서 Z, , M. 은 임의 제곱 행렬을 나타낸다.

수렴분석

지수 로젠브록 방법에 대한 안정성과 수렴 결과는 일부 바나흐 공간에서 강하게 연속되는 세미그룹의 틀에서 증명된다.

아래에 제시된 모든 계획은 경직된 질서 조건을 충족하므로 경직된 문제를 해결하는 데도 적합하다.

제2차순법

가장 단순한 지수형 로젠브록 방법은 지수형 로젠브록-을러 방식이며, 예를 들어, 호흐브룩 외 연구진 등이 순서 2를 가지고 있다.(2009):

3차 방법

3차 지수 로젠브록 방법의 종류는 호흐브루크 외에서 도출되었다.exprb32로 명명된 (2009)는 다음과 같이 주어진다.

exprb32:

1
0

라고 쓰여 있는.

여기서 = (U )- ( ).

이 계획의 가변 단계 크기 구현을 위해, 지수 Rosenbrock-Euler를 포함시킬 수 있다.

콕스와 매튜스의 4차 ETDRK4 방식

Cox와 Matthews는[5] 그들이 도출하기 위해 Maple을 사용한 4차 방법 지수적 시간 차이점화(ETD) 방법을 설명한다.

우리는 그들의 표기법을 사용하고, 알 수 없는 기능이 이고 알려진 솔루션 t t t_}}에 있다고 가정한다 나아가, 시간 의존성이 있는 우측을 명시적으로 사용할 것이다.= ( , ) {\ .

세 가지 단계 값이 먼저 구성된다.

최종 업데이트는 다음과 같다.

순진하게 구현될 경우, 위의 알고리즘은 부동 소수점 반올림 오류로 인한 수적 불안정성을 겪는다.[10]왜 그런지 알아보려면 첫 번째 기능을 고려하십시오.

ETDRK4의 3단계는 물론, 1차 오일러 방식으로 존재한다. 의 작은 값의 경우 이 기능은 숫자 취소 오류로 인해 문제가 발생한다단, 등고선 적분 접근법 또는 Padé 근사치를 통해 1 함수를 평가하면 이러한 수치 문제를 피할 수 있다.[11]

적용들

지수 통합자들은 예를 들어 분자역학,[12] VLSI 회로 시뮬레이션,[13][14] 컴퓨터 그래픽과 같은 과학 및 시각 컴퓨팅에서 경직된 시나리오의 시뮬레이션에 사용된다.[15]그것들은 또한 하이브리드 몬테카를로 방법의 맥락에서도 적용된다.[16]이러한 애플리케이션에서 기하급수적인 통합업체는 큰 시간 스텝 기능과 높은 정확도의 장점을 보여준다.그러한 복잡한 시나리오에서 매트릭스 함수의 평가를 가속화하기 위해 기하급수적인 통합자들은 종종 Krylov 하위 공간 투영 방법과 결합된다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 슈페(1960)
  2. ^ 교황 (1963년)
  3. ^ a b c 호흐브룩 & 오스터만(2010년)
  4. ^ 호흐브룩 & 오스터만(2006)
  5. ^ a b 콕스 앤 매튜스(2002)
  6. ^ 토크만(2006)
  7. ^ 토크만(2011년)
  8. ^ 루안 & 오스터만(2014a)
  9. ^ 루안 & 오스터만(2013년)
  10. ^ a b 카삼 & 트레페헨(2005)
  11. ^ 베를란드(2007)
  12. ^ Michels & Desbrun (2015년)
  13. ^ 짱(2014년)
  14. ^ Weng(2012년)
  15. ^ 미셸스(2014년)
  16. ^ 차오(2015년)

참조

외부 링크