뫼비우스 띠

뫼비우스 띠(Möbius strip), 뫼비우스 띠(Möbius band) 또는 뫼비우스 고리(Möbius loop^[a])는 수학에서 종이의 끝을 반쯤 비틀어 붙여서 만들 수 있는 표면입니다. 수학적 대상으로 요한 베네딕트 리스트와 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1858년 발견했지만, 이미 서기 3세기부터 로마 모자이크에 등장했습니다. 뫼비우스 띠는 방향을 잡을 수 없는 표면이며, 이는 그 안에서 시계 방향으로 돌아가는 것과 반시계 방향으로 돌아가는 것을 일관되게 구별할 수 없다는 것을 의미합니다. 방향을 잡을 수 없는 모든 표면에는 뫼비우스 띠가 포함되어 있습니다.

추상적인 위상 공간으로서 뫼비우스 띠는 다양한 방법으로 3차원 유클리드 공간에 삽입될 수 있습니다. 시계 반 비틀림은 반시계 반 비틀림과 다르며 1보다 큰 홀수 개의 비틀림 또는 매듭이 있는 중심선과 함께 삽입될 수도 있습니다. 중심선에 대해 매듭이 같고 비틀림의 수와 방향이 같은 임의의 두 임베딩은 위상적으로 동등합니다. 이 모든 임베딩은 한 면만 있지만 다른 공간에 임베딩될 때 뫼비우스 스트립은 두 면을 가질 수 있습니다. 단 하나의 경계 곡선만 있습니다.

뫼비우스 띠의 몇 가지 기하학적 구조는 추가 구조를 제공합니다. 회전하는 평면에서 회전하는 선분에 의해 지배 표면으로 쓸 수 있으며, 자기 교차 여부에 관계없이 쓸 수 있습니다. 뫼비우스 띠를 형성하기 위해 끝이 접합된 얇은 종이 띠는 발달 가능한 표면으로서 부드럽게 구부러지거나 평평하게 접힐 수 있으며, 평평한 뫼비우스 띠는 삼육각형을 포함합니다. 수단 뫼비우스 띠는 초구에서 최소 표면이고, 믹스 뫼비우스 띠는 일반 유클리드 공간에서 자기 교차 최소 표면입니다. 수단 뫼비우스 띠와 또 다른 자기 교차 뫼비우스 띠인 교차 캡은 모두 원형 경계를 가지고 있습니다. 열린 뫼비우스 띠라고 불리는 경계가 없는 뫼비우스 띠는 일정한 곡률의 표면을 형성할 수 있습니다. 점들이 평면에서 선을 나타내는 특정한 높은 대칭 공간은 뫼비우스 띠 모양을 갖습니다.

뫼비우스 스트립의 많은 응용 분야는 양쪽에 고르게 착용되는 기계식 벨트, 두 트랙 사이에 캐리지가 교대로 배치되는 이중 트랙 롤러 코스터, 반대쪽이 나타나도록 인쇄된 세계 지도 등이 있습니다. 뫼비우스 스트립은 새로운 전기 및 전기 기계적 특성을 가진 분자 및 장치에 나타나며, 사회 선택 이론에서 불가능한 결과를 증명하는 데 사용되었습니다. 대중문화에서는 M. C. Escher, Max Bill 등의 작품과 재활용 상징 디자인에 뫼비우스 스트립이 등장합니다. 나스카 명예의 전당의 건물 디자인을 포함하여 많은 건축 개념이 뫼비우스 띠에서 영감을 받았습니다. Harry Blackstone Sr.와 Thomas Nelson Downs를 포함한 공연자들은 뫼비우스 띠의 특성에 기초한 무대 마술을 가지고 있습니다. J. S. Bach의 캐논은 뫼비우스 스트립을 사용하여 분석되었습니다. 사변 소설의 많은 작품들은 뫼비우스 스트립을 특징으로 합니다. 더 일반적으로 뫼비우스 스트립을 기반으로 한 플롯 구조는 반전과 함께 반복되는 사건들이 소설에서 일반적입니다.

역사

뫼비우스 띠가 수학적 대상으로 발견된 것은 1858년 독일의 수학자 요한 베네딕트 리스트와 아우구스트 페르디난트 뫼비우스에 의해 독립적으로 밝혀졌습니다.^[2] 그러나, 이것은 물리적인 물체와 예술적인 묘사 모두에서 오래 전부터 알려져 왔습니다; 특히, 이것은 기원전 3세기의 몇몇 로마 모자이크에서 볼 수 있습니다.^[3][4] 많은 경우에 이것들은 단순히 휘어진 리본을 경계로 묘사합니다. 코일의 수가 홀수일 때 이러한 리본은 뫼비우스 스트립이지만 짝수 개의 코일에 대해서는 비틀림이 없는 고리와 위상적으로 동일합니다. 따라서 리본이 뫼비우스 띠인지 아닌지는 의도적인 선택이 아니라 우연의 일치일 수 있습니다. 적어도 한 경우에는 다른 면에 다른 색을 가진 리본을 홀수 개의 코일로 그려서, 그 예술가는 색이 맞지 않는 지점에서 어설픈 수정을 할 수 밖에 없었습니다.^[3] 센티눔 마을의 또 다른 모자이크(그림)에는 아이온 신이 들고 있는 황도대가 한 번의 반전만 있는 밴드로 표시되어 있습니다. 천상 시간의 시각적 표현의 일방성이 의도적이었다는 명확한 증거는 없습니다. 단지 띠의 모든 별자리가 띠의 보이는 면에 나타나도록 하기 위한 방법으로 선택되었을 수도 있습니다. 뫼비우스 띠를 묘사한 것으로 추정되는 고대의 오로부로스나 8자 모양 장식의 다른 묘사도 있지만, 어떤 유형의 평평한 띠를 묘사하기 위한 것인지는 불분명합니다.^[4]

수학적 전통과는 별개로 기계적 벨트가 뫼비우스 띠를 형성할 때 반 정도 빨리 마모된다는 것은 오래전부터 기계적 벨트가 뒤틀리지 않은 벨트의 내부 표면만을 사용하는 것이 아니라 벨트 전체 표면을 사용하기 때문이라는 것을 기계학자들은 알고 있었습니다.^[3] 또한, 이러한 벨트는 좌우로 말리는 경향이 적을 수 있습니다. 이 기술에 대한 초기 기록은 1871년으로 거슬러 올라가며, 이는 뫼비우스 띠에 관한 최초의 수학 출판 이후입니다. 훨씬 이전에 1206년의 Ismail al-Jazari의 작품에서 체인 펌프의 이미지는 드라이브 체인을 위한 뫼비우스 스트립 구성을 보여줍니다.^[4] 파리의 재봉사들은 (불특정 날짜에) 뫼비우스 띠를 옷에 옷깃으로 꿰매도록 요구함으로써 초보자들을 시작했습니다.^[3]

특성.

뫼비우스 띠에는 몇 가지 신기한 특성이 있습니다. 비대칭 2차원 물체가 스트립 주위를 한 번 미끄러지면 거울 이미지의 시작 위치로 돌아갑니다. 특히 시계 방향(↻)을 가리키는 곡선 화살표는 반시계 방향(↺)을 가리키는 화살표로 되돌아올 것이며, 이는 뫼비우스 띠 내에서 시계 방향 또는 반시계 방향이 무엇을 의미하는지 일관성 있게 정의하는 것이 불가능함을 의미합니다. 이것은 가장 단순한 비방향성 표면입니다. 다른 표면은 부분 집합으로 뫼비우스 띠가 있는 경우에만 비방향성입니다.^[5] 이와 관련하여 뫼비우스 띠는 유클리드 공간에 삽입될 때 한 면만 있습니다. 스트립의 표면 주위를 한 번 미끄러지는 3차원 물체는 미러링되지 않고, 그 대신에 다른 면으로 보이는 스트립의 동일한 지점으로 되돌아가서 두 위치가 정말로 한 변의 일부임을 보여줍니다. 이러한 동작은 표면의 한쪽 면이 다른 면과 연결되지 않은 평평한 종이 시트, 원통형 음용 빨대 또는 중공 공으로 모델링된 것과 같은 3차원에서 친숙한 방향성 표면과는 다릅니다.^[6] 그러나 이것은 뫼비우스 띠 자체의 고유한 속성이 아니라 공간에 임베딩된 속성입니다. 뫼비우스 띠가 두 개의 면을 갖도록 임베딩될 수 있는 다른 위상 공간이 존재합니다.^[7] 예를 들어, 정육면체의 앞면과 뒷면을 좌우 거울반사로 서로 접착시키면, 그 결과 정육면체의 위와 아래 절반을 양면 뫼비우스 띠로 분리할 수 있는 3차원 위상 공간(간격을 가진 뫼비우스 띠의 데카르트 곱)이 됩니다.^[b] 디스크, 구 및 실린더와 달리 셀 수 없이 많은 분리된 복사본 세트를 3차원 공간에 동시에 내장할 수 있지만 셀 수 없는 수의 뫼비우스 스트립만 동시에 내장할 수 있습니다.^[9][10][11]

뫼비우스 띠의 가장자리를 따라 하나의 연속 곡선에서 시작점으로 되돌아올 때까지 추적되는 경로는 뫼비우스 띠의 모든 경계점을 포함합니다. 직사각형을 붙이고 비틀어 만든 뫼비우스 띠의 경우 띠 중심선의 두 배 길이를 갖습니다. 이런 의미에서 뫼비우스 띠는 하나의 경계를 갖는다는 점에서 뒤틀리지 않은 고리와 다르고 원 원반과 같습니다.^[6] 유클리드 공간에 있는 뫼비우스 띠는 거울 이미지로 이동하거나 늘일 수 없습니다. 그것은 오른손 또는 왼손을 가진 카이랄 물체입니다.^[12] 홀수의 반 트위스트 수가 1보다 크거나 접착 전에 매듭이 있는 뫼비우스 스트립은 모두 2차원 위상 표면과 동일하더라도 3차원 공간의 내장된 부분 집합으로 구별됩니다.^[13] 좀 더 정확하게 말하면, 두 개의 뫼비우스 띠들은 그들의 중심선이 같은 매듭을 결정하고 그들이 서로 같은 비틀림 수를 가질 때 3차원 공간에 동등하게 박혀 있습니다.^[14] 그러나 짝수 번의 반전을 통해 환형이라고 불리는 다른 위상 표면을 얻습니다.^[15]

뫼비우스 띠는 점을 중심선에 고정하면서 좁게 함으로써 연속적으로 중심선으로 변환할 수 있습니다. 이 변형은 변형 후퇴의 한 예이며, 그 존재는 뫼비우스 띠가 위상적으로 원인 중심선과 같은 많은 특성을 가지고 있음을 의미합니다. 특히 그 기본군은 무한 순환군인 원의 기본군과 같습니다. 따라서 동일한 지점에서 시작하고 끝나는 뫼비우스 띠의 경로는 띠를 순환하는 횟수만으로 위상적으로(최대 호모토피) 구별할 수 있습니다.^[16]

중앙선을 따라 가위로 뫼비우스 띠를 자르면 두 개의 분리된 띠가 아니라 반쯤 꼬인 긴 띠 하나가 나옵니다. 하프 트위스트 중 두 개는 원래 뫼비우스 띠에서 이 얇은 띠가 하프 트위스트를 두 번 통과한다는 사실에서 비롯되고, 나머지 두 개는 두 개의 얇은 띠가 서로 감겨지는 방식에서 비롯됩니다. 그 결과는 뫼비우스 띠가 아니라 원기둥과 위상적으로 동등합니다. 이 이중 트위스트 스트립을 중앙선을 따라 다시 절단하면 두 개의 연결된 이중 트위스트 스트립이 생성됩니다. 대신 뫼비우스 띠를 너비의 1/3인 길이로 자르면 두 개의 연결된 띠가 만들어집니다. 둘 중 하나는 중앙에 있는 더 얇은 뫼비우스 띠이고, 다른 하나는 반쯤 꼬인 띠가 두 개 있습니다.^[6] 다양한 폭을 가진 뫼비우스 스트립들의 길이방향 슬라이스들에 의해 형성된 이러한 서로 연결된 모양들은 때때로 파라드로믹 링(paradromic ring)이라고 불립니다.^[17][18]

뫼비우스 띠는 서로 인접한 6개의 영역으로 절단될 수 있으며, 뫼비우스 띠 표면의 지도는 평면에 대한 4가지 색상 정리와 대조적으로 때때로 6가지 색상을 필요로 할 수 있음을 보여줍니다.^[19] 6가지 색상이면 항상 충분합니다. 이 결과는 링겔의 일부입니다.영스 정리는 각 위상 표면에 필요한 색상 수를 나타냅니다.^[20] 이 6개 영역의 모서리와 꼭짓점은 티에제의 그래프를 형성하는데, 이 그래프는 6개의 꼭짓점 전체 그래프에 대해 이 표면 위의 이중 그래프이지만 평면 위에서 교차하지 않으면 그릴 수 없습니다. 뫼비우스 띠에 포함될 수 있지만 평면에는 포함되지 않는 또 다른 그래프 계열은 뫼비우스 띠를 직사각형으로 세분화하는 경계인 뫼비우스 사다리가 끝에서 끝까지 만나는 것입니다.^[21] 여기에는 뫼비우스 스트립에 포함된 6개의 정점 완전 이분 그래프가 포함됩니다. 이 그래프는 평면과 달리 3개의 유틸리티 문제가 투명한 뫼비우스 스트립에서 해결될 수 있음을 보여줍니다.^[22] 뫼비우스 띠의 오일러 특성은 정점과 간선으로 띠를 영역으로 세분화할 때, $정점$${\displaystyle ,}$$$${\displaystyle \mathrm{간선}}$ 및 $영역$의 수 V ${\$$V},$ E {\$displaystyle$ E}$및$ F {\$displaystyle$ F$}$는 ${\displaystyle \mathrm{V}}$ -$$E + F = ${\displaystyle 0}$ {\$display V-E$ +$F$ = 0$}$을 만족합니다. 예를 들어, Tietze의 그래프에는 ${\displaystyle \mathrm{12개}}$의 ${\displaystyle 12}$ 정점, ${\displaystyle \mathrm{18개}}$의 ${\displaystyle 18}$ 에지 및 $6개$의 ${\displaystyle 6}$ 영역이 있습니다. ${\displaystyle 12}$- ${\displaystyle 18}$+ ${\displaystyle 6}$ = ${\$displaystyle 12-18+6=0}.

시공

뫼비우스 띠의 위상으로 기하학적 표면을 정의하는 방법은 여러 가지가 있으며, 추가적인 기하학적 특성으로 실현을 산출합니다.

선분 스위핑

뫼비우스 띠를 3차원 유클리드 공간에 내장하는 한 가지 방법은 평면에서 회전하는 선분에 의해 띠를 쓸어내리고, 선분 중 하나를 중심으로 회전하는 것입니다.^[23] 스위핑 표면이 반 비틀린 후에 자신과 만나려면 선분은 평면 회전 각속도의 절반으로 중심을 중심으로 회전해야 합니다. 이것은 점들의 직각좌표에 대한 방정식으로 정의되는 매개변수 표면으로 설명될 수 있습니다.

< π ${\displaystyle 0\leq u$<2$\backslash$pi}${\displaystyle 및}$- 1 $≤$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ≤ 1 {\$displaystyle -1\leq$v$\backslash$leq 1}의 경우$매개변수$ u${\displaystyle$ u}는 중심 축을 중심으로 평면의 회전 각도를 설명하고 다른$매개변수$ v ${\displaystyle$ v}는 회전하는 선분을 따라 점의 위치를 설명합니다. 이렇게 하면 중심 원의 반지름이 1이고 ${\displaystyle \mathrm{xy}}$ ${\displaystyle xy}$ 평면에$$ 있으며${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle (0, 0)}$에 중심이 있는 너비 1의 뫼비우스 스트립이 생성됩니다$.$^[24] 동일한 방법은 평면에서 세그먼트를 더 빠르게 회전시킴으로써 홀수 반 트위스트 수의 뫼비우스 스트립을 생성할 수 있습니다. 회전하는 세그먼트는 회전하는 평면의 원형 디스크를 쓸어내리며, 생성되는 뫼비우스 스트립은 이 디스크가 쓸어내리는 고체 원환면을 통해 슬라이스를 형성합니다. 이 슬라이스의 편면성 때문에 슬라이스된 토러스가 연결된 상태를 유지합니다.^[25]

다른 운동으로 휩쓸고 있는 선이나 선분은 원점을 중심으로 수평면으로 회전하면서 위아래로 움직이면서 스스로 교차하는 뫼비우스 띠 형태의 대수적 지배 표면인 플뤼커의 원뿔형 또는 원통형을 형성합니다.^[26] 기어 디자인에 응용 프로그램이 있습니다.^[27]

다면체 표면 및 평면 접힘

$종이$ 한 장은 정삼각형을 따라 $중앙선$이 놓이도록$$뫼비우스 ${\displaystyle {\mathrm{띠}}^{}}$를 ∘ {\$displaystyle$ 60^{\circ}}각으로 접고 끝을 붙이면 평면에서 평평한 뫼비우스 띠를 형성할 수 있습니다. 이것이 가능한 가장 짧은 띠는 두 개의 삼각형이 만나는 모서리에서 접힌 세 개의 정삼각형으로 구성됩니다. 가로 세로 비율(스트립의 길이와 너비의 비율)은 ${\displaystyle 3}$≈ 1.73 ${\displaystyle {\sqrt$ {3$약$ 1.73}이며, 동일한 접이식 방법이 더 큰 가로 비율에도 적용됩니다. 9개의 정삼각형 띠의 경우, 그 결과는 표면의 다른 부분을 드러내기 위해 구부릴 수 있는 3각형 삼각형입니다.^[30] 이 방법을 직접 적용하기에는 너무 짧은 스트립의 경우, 먼저 짝수 개의 접기를 사용하여 스트립을 앞뒤로 넓은 방향으로 "아코디언 접기"할 수 있습니다. 예를 들어, 두 번 $접으면{\displaystyle \mathrm{}}$1 × ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$1\$times$1} $스트립$이 ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$× ${\displaystyle \frac{13}{}}${\$displaystyle$1\$times${\$tfrac {1}{3}}$ 접힌$$ 스트립이 되며 단면은 'N' 모양이고 반 바퀴만 돌면 'N'으로 유지됩니다. 그런 다음 더 좁은 아코디언 접힌 스트립을 더 긴 스트립과 동일한 방식으로 접고 결합할 수 있습니다.^[28][29]

뫼비우스 띠는 공간에서 다면체 표면으로 매립되거나 평면에서 평평하게 접힐 수 있으며, 5개의 삼각형 면만 5개의 꼭짓점을 공유합니다. 이런 의미에서 단순한 복합체로 추상적으로 표현해도 삼각형 6개와 꼭짓점 6개가 필요한 원통보다 단순합니다.^[31][d] 5삼각형 뫼비우스 띠는 4차원 정삼각형의 10개의 정삼각형 중 5개로 가장 대칭적으로 표현될 수 있습니다. 이 4차원 다면체 뫼비우스 띠는 완전한 4차원이며 초평면에 의한 모든 절단이 디스크 또는 원과 위상적으로 동등한 두 부분으로 분리되는 유일한 팽팽한 뫼비우스 띠입니다.^[32]

뫼비우스 스트립의 다른 다면체 임베딩에는 면으로 4개의 볼록한 사방체가 있는 것, 3개의 볼록하지 않은 사방체 면이 있는 것,^[33] 삼각형 경계가 있는 정팔면체의 꼭지점과 중심점을 사용하는 것이 포함됩니다.^[34] 투영 평면의 모든 추상 삼각형은 면 중 하나를 제거한 후 삼각형 경계를 갖는 다면체 뫼비우스 띠로 3D에 삽입될 수 있습니다.^[35] 예를 들어, 각 경계 가장자리에 삼각형으로 연결된 5개의 정점 뫼비우스 띠에 하나의 정점을 추가하여 얻은 6개의 정점 투영 평면이 있습니다.^[31] 그러나 뫼비우스 띠의 모든 추상 삼각형을 다면체 표면으로 기하학적으로 표현할 수 있는 것은 아닙니다.^[36] 실현 가능하기 위해서는 삼각측량에서 두 개의 서로소인 계약 불가능한 3-사이클이 존재하지 않는 것이 필요하고 충분합니다.^[37]

매끈하게 박힌 사각형

종이 직사각형의 끝을 붙여 만든 직사각형 뫼비우스 띠는 가로 세로 $비율$이 ${\displaystyle 3}$≈ 1.73 {\$displaystyle {\$sqrt {3}}\$약$1.73}보다 클 때마다 입체 공간에 매끄럽게 삽입될 수 있으며, 이는 뫼비우스 띠의 평평한 접이식 정삼각형 버전과 동일한 비율입니다. 이 평평한 삼각형 임베딩은 3차원에서 매끄러운^[e] 임베딩으로 들어올릴 수 있으며, 스트립은 3개의 원통형 롤러 사이의 3개의 평행한 평면에 평평하게 놓여 있으며, 각각은 2개의 평면에 접합니다.^[38] 수학적으로 매끄럽게 내장된 종이 시트는 구부릴 수는 있지만 늘어날 수는 없는 개발 가능한 표면으로 모델링할 수 있습니다.^[39][40] 가로 세로 비율이 $3{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$로 감소함에$$따라 모든 매끄러운 임베딩이 동일한 삼각형 형태에 접근하는 것처럼 보입니다.^[41]

아코디언 접이식 평면 뫼비우스 스트립의 길이방향 주름은 주름에서 구겨지거나 늘어나지 않고 층이 서로 분리되어 부드럽게 휘어지는 입체적인 임베딩을 형성하는 것을 방지합니다.^[29] 대신 평평하게 접힌 경우와 달리 매끄러운 직사각형 뫼비우스 스트립의 종횡비에 대한 하한이 있습니다. 가로 세로 비율은 자체 교차가 허용되더라도${\displaystyle }$π${\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2}$ ≈ 1.57 ${\displaystyle \pi$/ 2\약 1.57}보다 작을 수 없습니다. 이 경계 위의 모든 종횡비에 대해 자기 교차 매끄러운 뫼비우스 스트립이 존재합니다.^[29][42] 자가 교차가 없으면 종횡비가 적어도^[43]

이 바인딩과 $3{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 사이의 종횡비의$$경우 자체 교차 없이 매끄러운 임베딩이 존재하는지 여부는 미해결 문제였습니다.^[29][42][43] 2023년에 Richard Schwartz는 그들이 존재하지 않는다는 증명을 발표했지만, 이 결과는 여전히 동료 검토와 출판을 기다리고 있습니다.^[44][45] 연속적으로 미분 가능한 표면을 허용하기 위해 매끄러움의 요구 사항이 완화된다면, 내쉬-카이퍼 정리는 가로 세로 비율이 아무리 작더라도 직사각형의 두 개의 반대쪽 가장자리를 접착하여 내장된 뫼비우스 띠를 형성할 수 있음을 의미합니다.^[g] 두 평행선 사이의 평면의 무한 띠에서 서로 반대 방향으로 접착된 표면인 리미트 케이스는 무한 뫼비우스 띠 또는 실수 자동선 다발이라고 합니다.^[46] 3차원 공간에 매끄러운 닫힌 임베딩은 없지만 4차원 유클리드 공간의 닫힌 부분집합으로 매끄럽게 임베딩할 수 있습니다.^[47]

직사각형에서 접착된 매끄러운 뫼비우스 띠의 최소 에너지 모양은 알려진 분석 기술이 없지만 수치로 계산할 수 있으며 1930년 마이클 사도스키의 이 주제에 대한 초기 연구 이후 판 이론에서 많은 연구 대상이 되었습니다.^[39][40] 또한 직사각형으로 전개 가능한 뫼비우스 스트립을 포함하는 대수적 표면을 찾는 것도 가능합니다.^[48][49]

경계를 원형으로 만들기

뫼비우스 띠의 모서리 또는 경계는 위상적으로 원과 같습니다. 일반적인 형태의 뫼비우스 띠는 원과 다른 모양을 갖지만 매듭이 없기 때문에 띠 전체를 교차하지 않고 늘어뜨려 모서리를 완벽하게 원형으로 만들 수 있습니다.^[50] 그러한 예 중 하나는 3차원 공간에 내장될 수는 없지만 침지될 수 있는 경계가 없는 일방적인 표면인 클라인 병의 위상을 기반으로 합니다(표면이 특정한 제한된 방식으로 교차하도록 허용). 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 스트립을 가장자리에서 가장자리로 접착할 때 발생하는 표면이며, 이 과정을 거꾸로 하여 클라인 병을 신중하게 선택한 절단을 따라 절단하여 두 개의 뫼비우스 스트립을 생성할 수 있습니다.^[51] Lawson's Klein bottle이라고 알려진 Klein bottle의 형태의 경우, 그것이 잘리는 곡선을 원형으로 만들 수 있고, 그 결과 모서리가 원형인 Möbius 스트립이 생성됩니다.^[52]

Lawson's Klein bottle은 4차원 공간의 단위 초구, 형태의 점들의 집합에서 자기 교차 최소 표면입니다.

≤θ<π, 0 $≤$ϕ $<$π${\displaystyle$ 0$\$leq \theta <\pi,0\leq \phi <2\pi}의 $경우$ 0$≤$ ϕ < π {\displaystyle 0\leq \phi <\pi}의 하위 $집합$인 이의 절반은 초구에 내장된 뫼비우스 스트립을 큰 원을 경계로 하는 최소 표면으로 제공합니다. 이 임베딩은 1970년대에 이를 발견한 위상수학자 수 굿맨과 다니엘 아시모프의 이름을 따서 "수단 뫼비우스 띠"라고 불리기도 합니다.^[55] 기하학적으로 로손의 클라인 병은 3구면에서 대원운동을 통해 대원을 쓸어 담으면 만들 수 있고, 수단 뫼비우스 띠는 원이 아닌 반원을 쓸어 담거나, 쓸어 담았던 모든 원에 수직인 원을 따라 클라인 병을 깎으면 동등하게 얻어집니다.^[52][56]입체 사영은 이 모양을 3차원 구면 공간에서 3차원 유클리드 공간으로 변형시켜 경계의 원형성을 보존합니다.^[52] 가장 대칭적인 투영은 각각의 반원의 중간점을 통과하는 거대한 원 위에 있지만 투영 점이 중심선에서 제거된 경계 없는 임베딩을 생성하는 투영 점을 사용하여 얻어집니다.^[54] 대신 수단 뫼비우스 띠를 투영하지 않은 채 3-구에 두면 원의 대칭$$그룹인 직교 ${\displaystyle \mathrm{}}$ O${\displaystyle (2}$)$${\$displaystyle \mathrm {O}(2)$와 동형인 무한 대칭 그룹이 남게 됩니다.^[53]

수단 뫼비우스 띠는 경계원의 모든 면에 걸쳐 있는데, 표면이 교차하는 것을 피하기 위해 부득이하게입니다. 크로스캡 또는 크로스캡이라고 불리는 뫼비우스 띠의 또 다른 형태도 원형의 경계를 가지고 있지만, 그렇지 않은 경우에는 이 원의 평면의 한 면에만 ^[57]머무르기 때문에 다른 면의 원형 구멍에 부착하기가 더 편리합니다. 그러기 위해서는 스스로 교차합니다. 그것은 반구의 꼭대기에서 사각형을 제거하고, 사각형의 가장자리를 서로 다른 방향으로 향하게 한 다음, 이 방향과 일관되게 이 모서리들의 반대 쌍을 붙임으로써 형성될 수 있습니다.^[58] 두 개의 접착된 모서리 쌍에 의해 형성된 표면의 두 부분은 교차 부분의 양쪽 끝에 휘트니 우산처럼 핀치 포인트를 가지고 서로 교차하는데,^[59] 이는 Pücker의 원뿔형에서 볼 수 있는 것과 같은 위상 구조입니다.^[26]

일정한 곡률의 표면

열린 뫼비우스 띠는 경계 가장자리의 점을 생략하여 형성된 표준 뫼비우스 띠의 상대적 내부입니다. 일정한 양, 음, 또는 0 가우스 곡률의 리만 기하학을 부여할 수 있습니다. 음의 곡률과 0의 곡률의 경우는 지오데틱적으로 완전한 표면을 형성하며, 이는 모든 지오데틱("표면의 직선")이 어느 방향으로든 무한히 확장될 수 있음을 의미합니다.

무곡률

두 평행선 사이에 평면 스트립의 반대쪽 면을 접착하여 곡률이 0인 개방 스트립을 구성할 수 있으며, 이는 전술한 자동 선 번들(totological line bundle)로 설명됩니다.^[46] 결과적인 메트릭은 열린 뫼비우스 스트립을 (지리적으로) 완전한 평면으로 만듭니다(즉, 모든 곳에 가우스 곡률이 0인). 이것은 균일한 스케일링까지 뫼비우스 스트립의 고유한 메트릭으로 평평하고 완전합니다. 그것은 활공 반사에 의한 평면의 몫 공간이며, (평면, 원기둥, 토러스, 클라인 병과 함께) 오직 5개의 2차원 완전한 평면 다양체 중 하나입니다.^[60]

음곡률

열린 뫼비우스 스트립은 일정한 음의 곡률의 완전한 메트릭도 인정합니다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 쌍곡면의 상단 절반 평면(Poincaré) 모델로 시작하는 것으로, 선이 $x{\displaystyle }$ ${\display}-축$과 직각으로 만나는 반원으로 모델에 표현되는 일정한 곡률의 기하학입니다. 중첩된 두 반원 사이에서 위쪽 반평면의 부분 집합을 취하고, 안쪽 반원의 왼쪽-오른쪽 반전이 있는 바깥쪽 반원을 식별합니다. 그 결과는 위상적으로 일정한 음의 곡률을 갖는 완전하고 비콤팩트한 뫼비우스 띠입니다. 그것은 완전한 쌍곡 반평면(실제로는 두 개, 활공-반사 축의 반대쪽에 있음)을 포함한다는 의미에서 "비표준" 완전 쌍곡 표면이며, 단지 13개의 비표준 표면들 중 하나입니다.^[61] 다시 말하지만, 이것은 활공 반사에 의한 쌍곡면의 몫으로 이해될 수 있습니다.^[62]

양곡률

일정한 양의 곡률을 갖는 뫼비우스 띠는 완전할 수 없습니다. 왜냐하면 일정한 양의 곡률을 갖는 완전한 표면은 구와 사영 평면뿐이라고 알려져 있기 때문입니다.^[60] 그러나 열린 뫼비우스 띠는 사영 평면에서 한 점을 제거하여 얻은 표면인 한 번 천공된 사영 평면과 동형이기 때문에 완전한 표면에서 한 점만 떨어져 있습니다.^[63]

최소 표면은 일정한 가우스 곡률 대신 일정한 0 평균 곡률을 갖는 것으로 설명됩니다. 수단 뫼비우스 띠는 3구에 큰 원으로 둘러싸인 최소 표면으로 구성되었지만 열린 뫼비우스 띠의 위상을 가진 유클리드 공간에 잠긴 독특한 완전한(경계 없는) 최소 표면도 있습니다. 1982년 윌리엄 해밀턴 믹스(William Hamilton Meeks, III)의 설명을 ^[64]따서 믹스 뫼비우스 스트립(Meks Möbius strip)이라고 불립니다.^[65] 최소 표면으로서 전 세계적으로 불안정하지만, 표면 내에서 수축할 수 없는 곡선에 의해 경계를 이루는 작은 패치는 최소 표면으로서 안정적으로 내장된 뫼비우스 스트립을 형성할 수 있습니다.^[66] 뫼비우스 띠와 뫼비우스 띠의 위상이 있는 모든 고차원 최소 표면은 경계 곡선과 이 곡선을 따라 접평면으로부터 고유하게 최소 표면을 정의하는 비외를링 문제의 해결책을 사용하여 구성할 수 있습니다.^[67]

선의 공간

평면에 있는 선들의 족은 매끄러운 공간의 구조를 부여받을 수 있으며, 각 선은 이 공간에서 점으로 표현됩니다. 결과적인 선들의 공간은 열린 뫼비우스 띠와 위상적으로 동등합니다.^[68] 이것을 볼 수 있는 한 가지 방법은 무한대의 선을 하나 더 추가하여 유클리드 평면을 실제 사영 평면으로 확장하는 것입니다. 사영 이중성에 의해 사영 평면에 있는 선들의 공간은 점들의 공간인 사영 평면 자체와 동일합니다. 무한대에서 선을 제거하여 유클리드 선의 공간을 생성하면 이 사영 선의 공간을 구멍 내게 됩니다.^[69] 따라서 유클리드 선들의 공간은 열린 뫼비우스 띠의 형태 중 하나인 구멍이 뚫린 사영 평면입니다.^[63] 쌍곡면에 있는 선들의 공간은 원 위의 서로 다른 점들의 순서 없는 쌍들, 각 선들의 무한대에 있는 점들의 쌍들에 의해 매개변수화될 수 있습니다. 이 공간은 다시 열린 뫼비우스 띠의 위상을 갖습니다.^[70]

이 선들의 공간은 매우 대칭적입니다. 유클리드 선의 대칭에는 아핀 변환이 포함되고 쌍곡 선의 대칭에는 뫼비우스 변환이 포함됩니다.^[71] 아핀 변환과 뫼비우스 변환은 모두 6차원 Lie 그룹을 형성하며, 위상 공간은 대칭의 구성을 설명하는 호환 가능한 대수 구조를 가지고 있습니다.^[72][73] 평면에 있는 모든 선은 다른 모든 선과 대칭이기 때문에 열린 뫼비우스 띠는 모든 점을 다른 모든 점으로 가져가는 대칭을 갖는 동차 공간입니다. Lie 그룹의 균질한 공간을 솔브마니폴드라고 하며, 뫼비우스 스트립을 반례로 사용할 수 있으며, 이는 모든 솔브마니폴드가 닐마니폴드가 아니며, 모든 솔브마니폴드가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$인 콤팩트 솔브마니폴드의 직접적인 산물로 인수분해될 수 없음을 보여줍니다$.$ 이러한 대칭은 또한 뫼비우스 띠 자체를 이러한 리 군의 군 모델로 구성하는 또 다른 방법을 제공합니다. 그룹 모델은 Lie 그룹과 그 작용의 안정화 부분군으로 구성됩니다. 부분군의 코세트를 점으로 수축하면 기본적인 균질 공간과 같은 토폴로지를 갖는 공간이 생성됩니다. 유클리드 선의 대칭의 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 축의$$ 안정기는 축을 자기 자신으로 가져가는 모든 대칭으로 구성됩니다. 각 선$$ℓ {\displaystyle$$\ell}은(는) ℓ {\displaystyle$$\$ell$}을(를) $x${\displaystyle x} 축에$매핑하는$ 대칭 집합인 코세트에 해당합니다. 따라서 코세트당 한 점을 가지며 대칭의 공간으로부터 위상을 이어받는 공간인 몫공간은 선의 공간과 같고, 다시 열린 뫼비우스 띠입니다.^[74]

적용들

이미 논의된 뫼비우스 스트립의 적용 외에도 전체 표면에 균일하게 마모되는 기계적 벨트의 설계와 기어의 설계에 대한 플루커 원뿔체의 적용 외에도 뫼비우스 스트립의 다른 적용은 다음과 같습니다.

• 나선자성을^[75] 포함한 새로운 전자적 특성을 가진 뫼비우스 스트립을 형성하기 위해 꼬인 그래핀 리본
• 분자 구조가 사이클을 형성하는 유기 화학 물질의 특성인 뫼비우스 방향성, 분자 궤도가 뫼비우스 띠의^[76][77] 패턴으로 사이클을 따라 정렬됨
• 뫼비우스 저항기는 유전체 뫼비우스 띠의 한 면을 덮는 전도성 물질 띠로서, 자체적인 자기 인덕턴스를^[78][79] 상쇄하는 방식입니다.
• 동일하게 구성된 선형 코일의^[80][81] 절반 수준의 소형 설계 및 공진 주파수를 갖는 공진기
• q-플레이트에서^[82] 나타나는 빛의 편광 패턴
• 사회선택이론에서^[83] 연속적, 익명적, 만장일치적 양당집약규칙의 불가능성에 대한 증명
• 뫼비우스 루프 롤러 코스터(Möbius loop 롤러 코스터)는 두 트랙이 서로 홀수번 회전하는 이중 트랙 롤러 코스터의 한 형태로 객차가 출발한 트랙이^[84][85] 아닌 다른 트랙으로 되돌아갑니다.
• 뫼비우스 띠에 투영된 세계 지도는 동서 경계가 없고, 지도의 어떤 점의 반대방향도 뫼비우스 띠의^[86][87] 같은 점에 있는 표면의 다른 인쇄된 면에서 찾을 수 있다는 편리한 성질을 가지고 있습니다.

과학자들은 또한 뫼비우스 띠 모양의 비누 필름의 에너지,^[88][89] 뫼비우스 띠 모양의 분자의 화학적 합성,^[90][91] DNA 종이 접기를 이용한 더 큰 나노 크기의 뫼비우스 띠의 형성을 연구했습니다.^[92]

대중문화에서는

뫼비우스 띠를 특징으로 하는 2차원 예술품에는 코라도 칼리(찰스 올슨의 시에 추모화)의 제목 없는 1947년 그림과 ^[93][94]M. C. 에셔의 두 판화가 포함되어 있습니다. 뫼비우스 띠 I(1961년)는 서로의 꼬리를 물어뜯는 세 마리의 접힌 광어를 묘사한 것이고, 뫼비우스 띠 II(1963년)는 뫼비우스 띠 주위를 기어가는 개미를 묘사한 것입니다.^[95][96] 그것은 또한 막스 빌(Endless Ribon, 1953), 호세 데 리베라(José de Rivera, 1967), 세바스티안(Sebastian)의 작품을 포함한 수학적 조각의 인기 있는 주제이기도 합니다.^[93] 존 로빈슨의 불멸(1982)에는 트레포일 매듭 뫼비우스 띠가 사용되었습니다.^[97] 찰스 오. 페리의 연속체(Perry's Continuum, 1976)는 뫼비우스 띠의 변형을 탐구하는 페리의 여러 작품 중 하나입니다.^[98]

쉽게 인식되는 형태 때문에 뫼비우스 스트립은 그래픽 디자인의 일반적인 요소입니다.^[97] 1970년에 디자인된 재활용을 위한 친숙한 3개의 화살표 로고는 뫼비우스 띠의 매끄러운 삼각형 형태에 기반을 두고 있으며,^[99] 환경을 주제로 한 엑스포 '74'의 로고도 마찬가지입니다.^[100] 재활용 심볼의 일부 변형은 하나가 아닌 세 개의 반 트위스트가 있는 다른 임베딩을 사용하며,^[99] 구글 드라이브 로고의 원래 버전은 다른 유사한 디자인과 마찬가지로 평평하게 접힌 세 개의 트위스트 뫼비우스 스트립을 사용했습니다.^[101] IMPA(Brazil Institute to Nacional de Matemática Pura Aplicada)는 매끄러운 뫼비우스 띠를 로고로 사용하고 있으며, 건물에 뫼비우스 띠와 일치하는 대형 조각을 전시하고 있습니다.^[102] 뫼비우스 띠는 또한 브라질, 벨기에, 네덜란드 및 스위스를 포함한 국가의 우표 작품에 등장했습니다.^[103][104]

뫼비우스 스트립은 건물과 다리의 건축 디자인에 자주 영감을 주었습니다. 그러나 이들 중 많은 부분은 구성된 객체가 아닌 프로젝트 또는 개념 설계이거나 뫼비우스 띠를 수학적 형태 또는 구조의 기능적 부분으로 인식할 수 있는 범위를 넘어 해석합니다.^[105][106] 카자흐스탄 국립도서관이 대표적인 예로, 뫼비우스 띠 모양으로 건물을 계획했지만 원래 건축가들이 프로젝트에서 철수한 후 다른 디자인으로 마감했습니다.^[107] 뫼비우스 띠를 포함하는 주목할 만한 건물 중 하나는 나스카 명예의 전당(NASCAR Hall of Fame)입니다. 나스카 명예의 전당은 스테인리스 스틸로 된 커다란 꽈배기 리본으로 둘러싸여 있어 정면과 캐노피 역할을 하며 레이싱 트랙의 곡선 모양을 자아냅니다.^[108] 좀 더 작은 규모로 보면, 페드로 레이예스의 뫼비우스 의자(2006)는 밑면과 옆면이 뫼비우스 띠 모양인 코트 벤치입니다.^[109] 수학과 섬유 예술의 한 형태로서 스카프는 1980년대 초 엘리자베스 짐머만의 작업 이후로 뫼비우스 스트립으로 짜여졌습니다.^[110] 음식 스타일링에서 뫼비우스 스트립은 베이글을 ^[111]자르고 베이컨으로 루프를 만들고 ^[112]파스타의 새로운 모양을 만드는 데 사용되었습니다.^[113]

수학적으로 뫼비우스 띠와 4차원은 모두 순수한 공간 개념이지만, 종종 사변 소설에서 무의식적인 희생자가 갇힐 수 있는 시간 루프의 기초로 언급되었습니다. 마틴 가드너의 "무측면 교수"(1946), 아르민 조셉 도이치의 "모비우스라는 이름의 지하철"(1950), 그리고 이를 바탕으로 한 영화 뫼비우스(1996) 등이 이에 해당합니다. 뫼비우스 띠 모양의 전체 세계가 아서 C의 배경입니다. 클라크의 "어둠의 벽" (1946)은 전통적인 뫼비우스 스트립이 1940년대 윌리엄 해즐렛 업슨의 여러 이야기에서 영리한 발명품으로 사용됩니다.^[114] 다른 소설 작품들은 줄거리의 요소들이 반전과 함께 반복되는 뫼비우스 띠와 같은 구조를 가지고 있는 것으로 분석됩니다; 이것들은 마르셀 프루스트의 잃어버린 시간을 찾아서 (1913–1927), 루이지 피란델로의 작가를 찾아서 (1921), 프랭크 카프라의 멋진 인생 (1946), John Barth's Lost in the Funhouse (1968), Samuel R. 델라니의 달그렌(1975)과 영화 도니 다르코(2001).^[115]

J. S. Bach의 음악적 캐논 중 하나인 J. S. Bach는 1974년 Bach의 Goldberg Variations 사본에서 발견된 14개의 캐논 중 다섯 번째 캐논(BWV 1087) 중 하나로, 앞서 두 가지 측정에서 동일한 모티브인 반전된 음과 함께 캐논의 각 목소리가 반복되는 활공 반사 대칭이 특징입니다. 이 대칭성 때문에 이 캐논은 악보가 뫼비우스 띠에 적혀 있다고 생각할 수 있습니다.^[116][h] 음악이론에서는 일반적으로 1옥타브 차이가 나는 음을 등가음으로 간주하며, 가능한 음의 공간은 원, 즉 반음계를 형성합니다. 뫼비우스 띠는 원 위의 순서 없는 두 점의 구성 공간이기 때문에 모든 2음 화음의 공간은 뫼비우스 띠 모양을 취합니다. 이 개념과 더 많은 점에 대한 일반화는 오르비폴드를 음악 이론에 중요하게 적용한 것입니다.^[117][118] 뫼비우스 띠에서 이름을 따온 현대 음악 그룹에는 미국의 일렉트로닉 록 트리오 뫼비우스 밴드와^[119] 노르웨이의 프로그레시브 록 밴드 링 반 뫼비우스가 있습니다.^[120]

뫼비우스 스트립과 그 특성은 무대 마법의 디자인에 사용되었습니다. 아프간 밴드로 알려진 그러한 트릭 중 하나는 뫼비우스 스트립이 세로로 자를 때 하나의 스트립으로 남아 있다는 사실을 사용합니다. 1880년대에 시작되었고, 20세기 전반에 매우 인기가 있었습니다. 이 트릭의 많은 버전이 존재하고 해리 블랙스톤 시니어와 토마스 넬슨 다운스와 같은 유명한 착시가들에 의해 공연되었습니다.^[121][122]

참고 항목

• 입력 비트로 피드백되기 전에 출력 비트가 보완되는 쉬프트 레지스터인 뫼비우스 카운터
• 펜로즈 삼각형, 뫼비우스 띠로 그 경계를 둘러싸는 것처럼 보이는 불가능한 도형
• 리본 이론, 매듭지은 공간 곡선을 따르는 무한히 얇은 띠의 수학적 이론
• 공간 곡선을 뫼비우스 띠로 반복적으로 두껍게 만든 다음 경계 모서리로 대체하여 형성된 프랙탈인 스몰-윌리엄스 어트랙터
• 엄밀한 토러스

메모들

참고문헌

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Möbius Strip". MathWorld.