일반 종이접기 순서

수학에서 용곡선 수열이라고도 하는 규칙적인 종이접기 수열은 0과 1의 무한 수열이다.반복 부분 시퀀스에서 얻을 수 있습니다.

전체 시퀀스의 다른 복사본을 사용하여 물음표를 채웁니다.결과 시퀀스의 처음 몇 개의 항은 다음과 같습니다.

1매의 용지를 같은 방향으로 반으로 $접는$ 것을 반복하면$,$ $일반{\displaystyle }$ $접이식$ $순서$의 첫 번째 2i$$ -$1$에서 0과 1의 패턴으로 방향(왼쪽 또는 $오른쪽)$이 주어지는$$ $-$$1$이 $됩니다.$직각 코너를 만들기 위해 각 폴드를 열면(또는 종이접기 시퀀스의 패턴을 따라 일반 그리드를 통해 좌회전 및 우회전 시퀀스를 만들면) 용곡선 프랙탈에 접근하는 ^[1]폴리곤 체인 시퀀스가 생성됩니다.

1	1 1 0	1 1 0 1 1 0 0	1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0	...

특성.

n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${ $displaystyle$ n $=$$1$)로 $시작$하는 일반 페이퍼폴딩 시퀀스에서 주어진 ${\displaystyle {tn}_{}}${$displaystyle t_{n}$의 값은 다음과 같이 재귀적으로 구할 수 있습니다.$(\displaystyle$ n$)$을 가능한 한 2로 나누어 n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ k$2$ 2 k = m$\cdot$ 2$^{k}$ $형식$의 인수분해를 구합니다. $여기$서 m$(\displaystyle$ n$)$은 홀수입니다.그리고나서

$따라서{\displaystyle {}_{}}$ 예를 들어 t ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ { $displaystyle t_{12$=$t_{3$}=$0$ : 12를 2로 나누면 홀수 3이 남습니다.또 다른 예로서 ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle 13}$ $=$ 1 {$displaystyle t_${13$}=1$}은 13이 1 mod 4와 동일하기 때문입니다.

일반 종이접기 시퀀스의 용어를 연결하여 만든 종이접기 단어 1101100111001...은 형태론 또는 문자열 대체 규칙의 고정점입니다.

11 → 1101

01 → 1001

10 → 1100

00 → 1000

다음과 같습니다.

11 → 1101 → 11011001 → 1101100111001 → 110110010011101011001...

종이접기 단어가 포함하는 형태론 규칙에서 최대 3개의 연속 0, 최대 3개의 연속 1을 알 수 있습니다.

종이접기 시퀀스는 대칭 관계도 충족합니다.

${\displaystyle t_{n}=case}1&{\text{if}}n=2^{k}-n}&{\text{if}}2^{k-1}<n<2^{k}\end{case}}}}$

이는 종이접기 단어를 다음과 같이 다른 반복 프로세스의 한계로 구성할 수 있음을 나타냅니다.

1

1 10

110 100

1101100 1 1100100

110110011001001 1 110110001100100

이 프로세스의 각 반복에서 1은 이전 반복 문자열의 끝에 배치되고 이 문자열은 0을 1로 대체하며 역순으로 반복됩니다.

생성함수

종이접기 시퀀스의 생성 함수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle G(t_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty}t_{n}x^{n},}$

종이접기 시퀀스의 구성으로부터 G가 기능 관계를 만족함을 알 수 있다.

${\displaystyle G(t_{n};x)=G(t_{n};x^{2})+\sum _{n=0}^{\infty}x^{4n+1}=G(t_{n};x^{2})+{\frac {x}{1-x^{4}}}},}$

종이접기 상수

생성 함수에 x = 0.5를 대입하면 2진수 확장이 종이 접기 단어인 0과 1 사이의 실수를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle G(t_{n};{\frac {1}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {t_{n}}{2^{n}}}}$

이 숫자는 종이접기^[2] 상수라고 하며 값이 있습니다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\sum \underset{}{\overset{}{k}}=\underset{\mathrm{}}{\overset{}{0}}\frac{{8{\mathrm{}}^{}}^{}}{}\frac{{8^{}}^{}}{}\frac{{{}^{}}^{}}{{\mathrm{}}^{}}\frac{{k{\mathrm{}}^{}}^{}}{}\frac{{{2\mathrm{k}}^{}}^{}}{}+\frac{2}{}-\; 1\frac{}{}\mathrm{=}0.850736188}$${\displaystyle 20186\underset{}{\overset{}{...}}}$$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {8^{2^{k}}{2^{k+2}}-1}=0.850736188 20186...$$}($OEIS 시퀀스 A143347)

일반적인 종이접기 순서

일반 종이접기 시퀀스는 같은 방향으로 종이를 일정하게 접는 것과 일치합니다.각 단계에서 접히는 방향이 달라지도록 하면 보다 일반적인 등급의 시퀀스를 얻을 수 있습니다.2진수열 f가_i 주어지면 접는 명령 f로_i 일반적인 종이접기 순서를 정의할 수 있다.

이진어 w의 경우 w는^‡ w의 보수의 역수를 나타냅니다.연산자_a F를 다음과 같이 정의합니다.

$\displaystyle F_{a:w\mapsto wa^{\dagger}\ }$

그런_i 다음 (f)에₀ 따라 w = = diagnost로 단어의 순서를 정의한다.

$(\displaystyle w_{n}=F_{f_{1}}(\cdots F_{f_{n}\varepsilon)\)}$

시퀀스_n w의 제한 w는 페이퍼폴딩 시퀀스입니다.일반 종이접기 시퀀스는 모든 i에 대해 접기 시퀀스_i f = 1에 해당합니다.

n = m·2인^k 경우, 여기서 m은 홀수이다.

${\displaystyle t_{n}=sys}f_{j}&{\text{if}}m\mod 1\mod 4\\1-f_{j}&{\text {if}m\equiv 3\mod 4\end {cases}}$

이것은 종이접기 ^[3]시퀀스의 정의로 사용될 수 있습니다.

특성.

• 종이접기 시퀀스는 궁극적으로 ^[3]주기적이지 않습니다.
• 종이접기 시퀀스는 접기 시퀀스가 최종적으로 주기적인 경우에만 2-자동이다(1-자동).

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