구성 공간(수학)

수학에서 구성 공간은 물리학에서 상태 공간이나 위상 공간과 밀접하게 연관된 구조다.물리학에서 이것들은 전체 시스템의 상태를 고차원 공간에서 하나의 점으로 묘사하는 데 사용된다.수학에서, 그것들은 위상학 공간에서 위치들에 대한 점들의 집합의 할당을 묘사하는 데 사용된다.좀 더 구체적으로 말하면, 수학의 구성 공간은 여러 개의 비 충돌 입자의 특정한 경우 물리학의 구성 공간의 특별한 예들이다.

정의

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경우$,$ X의 n^th(순서가 지정된) 구성 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 쌍으로 구분되는 점의 n-tules 집합이다$.$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=\prod ^{n}X\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\\text{}\cext{{}}}}, 일부 }.}$^[1]

This space is generally endowed with the subspace topology from the inclusion of ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ into ${\displaystyle X^{n}}$. It is also sometimes denoted ${\displaystyle F(X,n)}$, ${\displaystyle F^{n}(X)}$, or ${\dis$$Playstyle$ {\$mathcal{C}^{n$}(X$)}$^[2].

다음과 같이 제공된$$ ${\displaystyle {\mathrm{Conf}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)$의 지점에 대칭$$ 그룹 $S{\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 자연 동작이 있다.

${\displaystyle {\reasoned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{정렬}}}$

이 동작은 의 순서 없는 구성 공간을 발생시킨다.

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n}}$

그게 그 행동의 궤도 공간이야직관은 이 행동이 "점들의 이름을 잊어버린다"는 것이다.정렬되지 않은 구성 공간은 $때때로{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ U ${\displaystyle {\mathcal{C}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {\uc}^{n}(X$^[2] ${\displaystyle B_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle B_{n}($${\displaystyle X}$$)$또는 ${\displaystyle C_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$X${\displaystyle )}$ ${\displaystystyle C_{n}(X)$로 표시된다$.$모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 걸쳐 정렬되지 않은 구성 공간 모음은 Ran 공간이며, 자연$$ 토폴로지와 함께 제공된다.

대체 제형식

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 유한$$ $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 경우 다음에$$의해 레이블이 지정된 입자가 있는 의 구성 공간은

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{는 주입식}\}.}$

n∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N} 들어},}. 그리고 X의 n배 위 공간은Conf n⁡(X){\displaystyle \operatorname{Conf}_{\mathbf{n}}(X)}, 그리고 단순히 Conf n⁡ 표시됩니다.(X){\displaystyle \operatorname{회사 n:){1,2,…, n}{\displaystyle \mathbf{n}:=\{1,2,\ldots ,n\}을 정의하nf}$_{n}(X)}$^[3].

예

• The space of ordered configuration of two points in ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ is homeomorphic to the product of the Euclidean 3-space with a circle, i.e. ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$.^[2]
• 보다 일반적으로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 두 점의 구성 공간은$$ ${\displaystyle S^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle$ S$^{n-1}$과 동등한 호모토피다$.$^[4]
• $R{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$2}}$의 $n$ ${\displaystyle n}$ 포인트 구성 $공간$은 n ${\displaystyle n}$ th$$ 브레이드 그룹(아래 참조)의 분류 공간이다$$.

브레이드 그룹에 연결

연결된 위상학 공간의 -스트랜드 브레이드 그룹X이다

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X),}$

그 근본집단.n^th 주문되지 않은 구성 공간X. -스트랜드 퓨어 브레이드 그룹 onX이다^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

The first studied braid groups were the Artin braid groups ${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$. While the above definition is not the one that Emil Artin gave, Adolf Hurwitz implicitly defined the Artin braid groups as fundamental groups of confiArtin의 정의(1891년)보다 상당히 앞선 복잡한 평면의 ganging 공간.^[5]

It follows from this definition and the fact that ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ and ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ are Eilenberg–MacLane spaces of type ${\displaystyle K(\pi ,1)}$, that the unordered configuration space of the plane ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ is a classifying space for the Artin braid group, and ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ is a classifying space for the pure Artin braid group, when both are consideed를 별개의 그룹으로 표시.^[6]

다지관의 구성 공간

원래 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 매니폴드인 경우, 정렬된 구성 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 파워로 열린 하위 공간이며, 따라서$$ 그 자체가 다지관이다.구분되지 않은 점의 구성 공간도 다지관인 반면, 구분되지 않은 점의 구성 공간은 반드시 구분되지^{[clarification needed]} 않는 것이 아니라 오비폴드다.

구성 공간은 공간 또는 (세밀한) 모듈리 공간을 분류하는 유형이다.In particular, there is a universal bundle ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$ which is a sub-bundle of the trivial bundle ${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$, and which has the property that the fiber over each point ${\displaystyle p\in C_{n}}$ is the n element p로 분류된$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 부분 집합.

호모토피 불협화음

구성 공간의 호모토피 유형은 호모토피 불변성이 아니다.For example, the spaces ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ are not homotopy equivalent for any two distinct values of ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$ is empty for ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$ is not connected for ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ is an Eilenberg–MacLane space of type ${\displaystyle K(\pi ,1)}$, and ${\displaystyle {\mathrm{Conf}}_n(}$${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathb {R} ^{m})$은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle m\geq$ 3$}$에 간단히 연결된다$.$

호모토피 등가지만 비 호모토피 등가 구성 공간을 가진 소형 다지관의 예가 있는지 여부는 공개 질문이었다. 그러한 예는 리카르도 롱고니와 파올로 살바토레에 의해 2005년에야 발견되었다.이들의 예는 두 개의 3차원 렌즈 공간과 그 안에 최소 두 개의 점의 구성 공간이다.Massey 제품은 각 범용 커버에서 이러한 구성 공간이 호모토피 등가물이 아님을 탐지했다.^[7]단순하게 연결된 폐쇄 다지관의 구성 공간에 대한 호모토피 공조는 일반적으로 개방되어 있으며, 기초 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ R ${\$을(를) 지탱하는 것으로 입증되었다$.$^[8][9] 단순하게 연결된 콤팩트 다지관의 실제 호모토피 공명도 최소 4차원 경계로 입증되었다.^[10]

그래프의 구성 공간

일부 결과는 그래프의 구성 공간에 따라 다르다.이 문제는 로봇과 모션 계획과 관련이 있을 수 있다: 여러 대의 로봇을 트랙에 놓고 충돌 없이 다른 위치로 이동시키려 하는 것을 상상할 수 있다.트랙은 그래프의 (가장자리)에 대응하고, 로봇은 입자에 대응하며, 성공적인 항해는 그 그래프의 구성 공간에 있는 경로에 해당한다.^[11]

어떤 그래프 Γ{\displaystyle \Gamma} 들어 K타입(π, 1){K(\pi ,1)\displaystyle}[11]의, Conf n⁡(Γ){\displaystyle \operatorname{Conf}_ᆲ(\Gamma)}은Eilenberg–MacLane 공간과 강한 변형 치수 b(Γ){\displaystyle b(\Gamma)}의 b(Γ){\displays CW단지에를 움츠린다.tyle$b(\Gamma )}$는 3도 이상의 정점 수입니다.^[11][12]Moreover, ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$ and ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ deformation retract to non-positively curved cubical complexes of dimension at most ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$.^[13][14]

기계적 연결의 구성 공간

또한 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ 그래프와$$ 기계적 연결의 구성 공간을 정의한다.이러한 그래프는 일반적으로 강성 막대 및 경첩의 결합으로 구성되는 것으로 가정한다.이러한 연결의 구성 공간은 적절한 측정 지표를 갖춘 유클리드 공간에서 허용되는 모든 위치의 총합성으로 정의된다.일반적인 연결의 구성 공간은 매끄러운 다지관인데, 예를 들어 $회전{\displaystyle }$ 이음매와 연결된 n ${\displaystyle n}$강체$$ 로드로 이루어진 사소한 평면 연결의 경우 구성 공간은 n-토러스 ${\displaystyle T^{}}$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ T$^{n}}$이다$.$^[15][16]그러한 구성 공간에서 가장 단순한 특이점은 유클리드 공간에 의한 동질 2차 초경면 상의 원뿔의 산물이다.이러한 특이점 지점은 각각의 엔드포인트 추적 경로가 비횡단 방식으로 교차하는 두 개의 하위 링크(예: 선으로 완전히 접히는 연결)로 분할될 수 있는 링크에 나타난다.^[17]

참고 항목

• 구성 공간(물리학)
• 상태 공간(물리학)

참조