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가와사키 정리

Kawasaki's theorem
이 예제에서 각도의 교대 합(아래에서 시계 방향)은 90° - 45° + 22.5° - 22.5° + 45° - 90° + 22.5° - 22.5° = 0°입니다. 0을 더하기 때문에 주름 패턴이 평평하게 접힐 수 있습니다.

가와사키 정리 또는 가와사키-저스틴 정리는 종이 접기 수학에서 평평한 도형을 만들기 위해 접을 수 있는 하나의 꼭짓점으로 주름 패턴을 설명하는 정리입니다. 정점을 중심으로 연속된 접힘 각도를 교대로 더하고 뺄 때 교대로 0의 합을 제공하는 경우에만 패턴이 평평하게 접힐 수 있다고 명시합니다. 두 개 이상의 꼭짓점을 가진 주름 패턴은 이러한 단순한 기준을 따르지 않으며 NP 접기가 어렵습니다.

이 정리는 발견자 중 한 명인 가와사키 토시카즈의 이름을 따서 지어졌습니다. 그러나 몇몇 다른 사람들도 발견에 기여했으며, 다른 기여자인 자크 저스틴과 코디 후시미의 이름을 따서 가와사키-저스틴 정리 또는 후시미 정리라고 불리기도 합니다.[1]

진술

한 꼭짓점 무늬는 평평한 종이 위에 그려진 선이나 주름으로 구성되며, 모두 같은 점 내부에서 시트까지 발산됩니다. (이 점을 무늬의 꼭짓점이라고 합니다.) 각 주름은 접어야 하지만, 패턴은 접힘이 산 접힘인지 계곡 접힘인지 지정하지 않습니다. 모든 주름이 접히고, 다른 곳에서는 접히지 않으며, 접힌 종이 전체가 평평하게 눕도록 종이를 접는 것이 가능한지 여부를 판단하는 것이 목표입니다.[2]

평평하게 접으려면 주름의 수가 균등해야 합니다. 예를 들어 마에카와의 정리는 평평하게 접힌 꼭짓점에서 산의 접힘 수와 계곡의 접힘 수가 정확히 두 접힘 수가 다르다는 것을 의미합니다.[3] 따라서 주름 패턴이 짝수 개의 2n개의 주름으로 구성되어 있다고 가정하고, α, α, ⋯, α를 정점 주위의 주름 사이의 시계 방향으로 시작하는 연속적인 각도라고 가정합니다. 그러면 가와사키의 정리에 따르면 각도의 합과 차가 0이 되는 경우에만 주름 패턴이 평평하게 접힐 수 있습니다.

α - α + α - ⋯ + α - α = 0

동일한 조건을 나타내는 동일한 방법은 각도가 두 개의 교대 부분집합으로 분할된 경우 두 부분집합 중 하나에 있는 각도의 합이 정확히 180도가 된다는 것입니다.[4] 그러나 이 동등한 형식은 평평한 종이의 주름 패턴에만 적용되는 반면 조건의 교대 합 형식은 정점에 결함이 0이 아닌 원뿔형 종이의 주름 패턴에도 유효합니다.[2]

로컬 및 글로벌 플랫 폴딩성

임의의 주름 패턴의 꼭짓점 각각에 적용되는 가와사키의 정리는 주름 패턴이 국부적으로 평평하게 접힐 수 있는지 여부를 결정하는데, 이는 꼭짓점 근처에 있는 주름 패턴의 부분이 평평하게 접힐 수 있다는 것을 의미합니다. 그러나 국소적으로 평평하게 접을 수 있지만 전체 주름 패턴에 한 번에 작동하는 전역적인 평평한 접힘이 없는 주름 패턴이 있습니다.[3] Tom Hull(1994)은 주름 패턴의 각 정점에서 가와사키 정리를 확인한 다음 주름 패턴과 관련된 무방향 그래프의 이분성을 테스트함으로써 전역 평탄도를 테스트할 수 있다고 추측했습니다.[5] 그러나 이 추측은 Hull의 조건이 충분하지 않다는 것을 보여준 Bern & Hayes(1996)에 의해 반증되었습니다. 좀 더 강력하게, Bern and Hayes는 글로벌 플랫 폴딩성을 테스트하는 문제가 NP-완전하다는 것을 보여주었습니다.[6]

증명

가와사키의 조건이 어떤 평평한 접힌 도형에서도 반드시 성립한다는 것을 보여주기 위해서는 접을 때마다 종이의 방향이 반대가 된다는 것을 관찰하는 것으로 충분합니다. 따라서 평면 접힌 도형의 첫 번째 주름이 x축과 평행한 평면에 놓이면 다음 주름은 α1 각도만큼 회전하고 그 다음1 주름은 α - α2 각도만큼 회전해야 합니다(두 번째 각도는 첫 번째 각도와 반대 방향이기 때문에). 종이가 마지막 각도에서 자신과 다시 만나기 위해서는 가와사키의 조건이 충족되어야 합니다.[3][4][7][8]

조건도 충분조건임을 보여주는 것은 주어진 주름 패턴이 평평하게 접히도록 접히는 방법을 설명하는 문제입니다. 즉, 산을 접을 것인지 계곡을 접을 것인지 선택할 것인지, 종이를 어떤 순서로 포개어 놓아야 하는지를 보여주어야 합니다. 한가지 방법은 숫자 i를 선택하여 부분 교대합을 갖는 것입니다.

α - α + α - ⋯ + α - α

가능한 한 작습니다. i = 0이고 부분합도 0인 빈 합이거나 i의 0이 아닌 일부 선택에 대해 부분합은 음수입니다. 그런 다음, 아코디언은 각도 α에서2i + 1 시작하여 산과 계곡 접기를 번갈아 하면서 종이의 각 쐐기를 이전 접기 아래에 놓습니다. 최종 접기 전까지의 각 단계에서 이러한 유형의 아코디언 접기는 절대 자체 교차하지 않습니다. i를 선택하면 첫 번째 웨지가 접힌 다른 모든 종이 조각의 왼쪽으로 튀어나와 마지막 웨지가 다시 연결될 수 있습니다.[5]

다른 충분한 증거를 사용하여 다양한 평면 접힘이 있음을 보여줄 수 있습니다. 가장 작은 각도 α와i 그 양쪽에 있는 두 개의 주름을 생각해 보세요. 이 두 주름 중 하나는 산으로 접고 다른 하나는 계곡으로 접어서 주름에 사용할 접기를 임의로 선택합니다. 그런 다음 결과로 나온 종이 플랩을 주름 패턴의 나머지 부분에 접착합니다. 이 접착의 결과는 원뿔형 종이에 주름이 두 개 더 적은 주름 패턴이 될 것이며, 이는 여전히 가와사키의 조건을 만족시킵니다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 이 과정을 반복하면 결국 평평한 접힘으로 이어지게 됩니다. 인덕션의 기본 케이스는 2개의 주름과 2개의 등각 쐐기가 있는 원뿔형으로 양쪽 주름에 마운틴 폴드를 사용하여 분명히 평평하게 접을 수 있습니다. 이 방법의 각 단계에서 사용할 접기를 선택하는 방법은 두 가지이며 각 단계에서는 두 개의 주름을 제거합니다. 따라서 가와사키의 조건을 만족시키는 2n 주름이 있는 모든 주름 패턴은 산과 계곡 중 적어도 2가지n 다른 선택 사항을 가지고 있으며 이는 모두 유효한 플랫 폴딩으로 이어집니다.[9]

역사

1970년대 후반, 코디 후시미와 데이비드 A. 허프만은 독립적으로 네 개의 주름이 있는 평평하게 접힌 도형이 반대 각도를 가지며 가와사키 정리의 특별한 경우인 π를 더한다는 것을 관찰했습니다. 허프만은 1976년 곡선 주름에 관한 논문에 그 결과를 포함시켰고,[12] 후시미는 아내 후시미 미츠에와 함께 종이접기 기하학에 관한 책에 네 주름 정리를 발표했습니다.[13] 같은 결과가 더 일찍 S에 의해 1966년부터 한 쌍의 논문으로 발표되었습니다. 무라타는 마에카와 정리의 일반적인 경우와 여섯 개의 경우도 포함했습니다.[14]

임의로 많은 주름이 있는 주름 패턴이 반드시 π에 추가되는 각도의 합을 교대로 갖는다는 사실은 가와사키, 스튜어트 로버트슨, 그리고 자크 저스틴에 의해 1970년대 말과 1980년대 초에 발견되었습니다. 문제에 대한 저스틴의 기여 때문에 가와사키 정리는 가와사키-저스틴 정리라고도 불립니다.[19] 이 조건이 충분하다는 사실, 즉 균일하게 많은 각도를 갖는 주름 패턴이 π에 교대로 합될 수 있다는 사실은 Hull(1994)에 의해 처음 언급되었을 수 있습니다.

가와사키 자신은 결과를 코디 후시미의 이름을 따서 후시미의 정리라고 불렀으며, 다른 저자들도 이 용어를 따르고 있습니다.[7][20] 카와사키의 정리라는 이름은 카사하라 쿠니히코와 타카하마 도시에(1987년 일본 출판사)가 코노이스처를 위한 종이접기에서 처음으로 붙인 것입니다.[3]

Hull(2003)은 1990년대 초 Azuma, [21]Justin 및 [17]Ewins and Hull이 정리 조건을 충족하는 주름 패턴의 다양한 플랫 폴딩 수에 대한n 하한 2를 독립적인 작업으로 인정합니다.[9]

가와사키의 정리는 평평한 접힘 상태를 갖는 접힘 패턴을 완전히 설명하지만, 그 상태에 도달하는 데 필요한 접힘 과정을 설명하지는 않습니다. 일부 (다원형) 접이식 패턴의 경우, 종이의 나머지 부분을 평평하게 유지하고 접을 때마다 양면 각도만 변경하는 것이 아니라, 평평한 시트에서 평평한 접이식 상태로 변형시키면서 종이를 휘거나 구부릴 필요가 있습니다. 단단한 종이접기(접기를 제외하고 표면을 평평하게 유지하는 접기 유형으로, 유연한 종이가 아닌 단단한 재료의 힌지 패널에 적합)의 경우, 가와사키 정리의 조건은 단일 정점 주름 패턴이 펼쳐진 상태에서 평평한 접기 상태로 이동하는 데 충분합니다.[22]

참고문헌

  1. ^ 가와사키에 등장하는 "야스지 후시미"라는 이름은 코디 후시미의 이름에 있는 한자 "康治"를 잘못 읽은 것입니다.
  2. ^ a b Hull, Tom (2002), "The combinatorics of flat folds: a survey", Origami3: Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education, AK Peters, pp. 29–38, arXiv:1307.1065, Bibcode:2013arXiv1307.1065H, ISBN 978-1-56881-181-9.
  3. ^ a b c d Hull, Tom, MA 323A Combinatorial Geometry!: Notes on Flat Folding, retrieved 2011-04-12.
  4. ^ a b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010), Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 42, Mathematical Association of America, p. 57, ISBN 978-0-88385-348-1.
  5. ^ a b c Hull, Tom (1994), "On the mathematics of flat origamis" (PDF), Congressus Numerantium, 100: 215–224.
  6. ^ a b Bern, Marshall; Hayes, Barry (1996), "The complexity of flat origami", Proc. 7th ACM-SIAM Symposium on Discrete algorithms (SODA '96), pp. 175–183, ISBN 9780898713664.
  7. ^ a b Kawasaki, Toshikazu (2005), Roses, Origami & Math, Japan Publications Trading, p. 139, ISBN 978-4-88996-184-3.
  8. ^ Demaine, Erik (Fall 2010), "Sept. 15: Single-vertex crease patterns", Course Notes for 6.849: Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Massachusetts Institute of Technology, retrieved 2011-04-13.
  9. ^ a b Hull, Thomas (2003), "Counting mountain-valley assignments for flat folds" (PDF), Ars Combinatoria, 67: 175–187, MR 1973236.
  10. ^ a b Hull, Tom (Fall 2010), "Maekawa and Kawasaki's Theorems Revisited and Extended", Guest lecture, 6.849, Massachusetts Institute of Technology.
  11. ^ Wertheim, Margaret (June 22, 2004), "Cones, Curves, Shells, Towers: He Made Paper Jump to Life", New York Times.
  12. ^ Huffman, David A. (1976), "Curvature and creases: A primer on paper", IEEE Transactions on Computers, C-25 (10): 1010–1019, doi:10.1109/TC.1976.1674542, S2CID 17965418.
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  14. ^ Murata, S. (1966), "The theory of paper sculpture, I", Bulletin of Junior College of Art (in Japanese), 4: 61–66; Murata, S. (1966), "The theory of paper sculpture, II", Bulletin of Junior College of Art (in Japanese), 5: 29–37.
  15. ^ Robertson, S. A. (1977), "Isometric folding of Riemannian manifolds", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A: Mathematics, 79 (3–4): 275–284, doi:10.1017/s0308210500019788, MR 0487893, S2CID 122398261.
  16. ^ Justin, J. (June 1986), "Mathematics of origami, part 9", British Origami: 30헐의 MA 323A 노트에 인용된 Justin, J. (June 1986), "Mathematics of origami, part 9", British Origami: 30바와 같이.
  17. ^ a b Justin, J. (1994), "Towards a mathematical theory of origami", 2nd Int. Meeting of Origami Science, Otsu, JapanJustin, J. (1994), "Towards a mathematical theory of origami", 2nd Int. Meeting of Origami Science, Otsu, Japan{{citation}}CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크). Bern & Hayes(1996)가 인용한 바와 같이.
  18. ^ Kawasaki, T. (1989), "On the relation between mountain-creases and valley-creases of a flat origami", in Huzita, H. (ed.), Origami Science and Technology, pp. 229–237Bern & Hayes(1996)가 인용한 Kawasaki, T. (1989), "On the relation between mountain-creases and valley-creases of a flat origami", in Huzita, H. (ed.), Origami Science and Technology, pp. 229–237바와 같이.
  19. ^ O'Rourke, Joseph (2011), "4.5 The Kawasaki–Justin theorem", How To Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami, and Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 66–68.
  20. ^ Kaino, K. (2007), "Four-dimensional geometry and folding regular tetrahedron", in Fujita, Shigeji; Obata, Tsunehiro; Suzuki, Akira (eds.), Statistical and condensed matter physics: over the horizon, Nova Publishers, pp. 101–112 [102], ISBN 978-1-60021-758-6.
  21. ^ Azuma, H. (1994), "Some mathematical observation on flat foldings", 2nd Int. Meeting of Origami Science, Otsu, JapanAzuma, H. (1994), "Some mathematical observation on flat foldings", 2nd Int. Meeting of Origami Science, Otsu, Japan{{citation}}CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크). Hull이 인용한 바와 같이 (2003)
  22. ^ Abel, Zachary; Cantarella, Jason; Demaine, Erik D.; Eppstein, David; Hull, Thomas C.; Ku, Jason S.; Lang, Robert J.; Tachi, Tomohiro (2016), "Rigid origami vertices: conditions and forcing sets", Journal of Computational Geometry, 7 (1): 171–184, doi:10.20382/jocg.v7i1a9, MR 3491092, S2CID 7181079.

외부 링크