기수

수학에서 추기경 숫자 또는 짧은 추기경은 집합의 카디널리티(크기)를 측정하는 데 사용되는 자연수의 일반화다.유한 집합의 카디널리티는 자연수, 즉 집합에 있는 원소의 수입니다.히브리어 기호 $\aleph {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \aleph$}($$aleph)에 이어 첨자를 사용하여 표시되는 트랜스핀파인 기수 숫자는 무한 집합의 크기를 설명한다.

카디널리티는 생물학적 함수의 관점에서 정의된다.두 세트는 두 세트의 요소 사이에 일대일 대응(편향)이 있는 경우에만 카디널리티가 동일하다.유한 집합의 경우, 이것은 크기에 대한 직관적인 개념과 일치한다.무한 집합의 경우 행동이 더 복잡하다.게오르크 칸토어로 인한 근본적인 정리는 무한 집합이 서로 다른 기질을 가질 수 있다는 것을 보여주며, 특히 실수 집합의 카디널리티가 자연수 집합의 카디널리티보다 크다는 것을 보여준다.또한 무한 집합의 적절한 부분 집합이 원래의 집합과 동일한 카디널리티를 갖는 것, 즉 유한 집합의 적절한 하위 집합에서 일어날 수 없는 것을 가능하게 한다.

다음과 같은 기수 순서가 있다.

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _,\ldots },\ldots.\}$

이 순서는 0(최종 카디널스)을 포함한 자연수로 시작되며, 그 뒤에 알레프 숫자(순서가 잘 잡힌 세트의 무한 카디널스)가 뒤따른다.알레프 번호는 순서형 번호로 색인화된다.선택 공리의 가정 하에, 이 트랜스피니트 순서는 모든 기본 숫자를 포함한다.그 공리를 거부하면 알렉스가 아닌 무한 추기경들이 추가로 나오는 등 상황이 더 복잡해진다.

카디널리티는 세트 이론의 일부로서 그 자체를 위해 연구된다.그것은 또한 모델 이론, 결합론, 추상 대수학, 수학적 분석을 포함한 수학의 가지에서 사용되는 도구다.범주 이론에서, 추기경 숫자는 집합 범주의 골격을 형성한다.

역사

카디널리티의 개념은 현재 이해되고 있는 바와 같이 세트 이론의 원조인 게오르그 칸토어가 1874–1884년에 공식화한 것이다. 카디널리티는 유한 집합의 측면을 비교하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, {1,2,3}과(와) {4,5,6} 세트는 동일하지 않지만 카디널리티 즉, 3이 동일하다.이는 두 세트 사이에 {1→4, 2→5, 3→6}의 대응과 같은 편향(즉, 일대일 대응)의 존재에 의해 성립된다.

칸토르는 자신의 편향 개념을 무한 세트^[1](예: 자연수 N = {0, 1, 2, 3, ...})에 적용했다.따라서, 그는 모든 세트들이 동일한 기수 번호를 공유하는 N denumulous (countable infinite) 세트로 편향된 모든 세트를 불렀다.이 추기경 번호는 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$alleph-null이라고 한다.그는 무한대의 기수를 기수들의 기수라고 불렀다.

칸토어는 비록 이것이 직관에 반하는 것처럼 보일 수 있지만, N의 어떤 무한 부분집합도 N과 같은 카디널리티를 가지고 있다는 것을 증명했다.그는 또한 모든 순서가 정해진 자연수 쌍의 집합이 폄하될 수 있다는 것을 증명했다; 이것은 모든 이성적인 숫자들의 집합도 폄하될 수 있다는 것을 암시한다. 왜냐하면 모든 이성적인 숫자들은 한 쌍의 정수로 표현될 수 있기 때문이다.그는 나중에 모든 실제 대수적 숫자의 집합도 폄하할 수 없다는 것을 증명했다.각각의 진정한 대수적 수 z의 정수의 그것은 해결책은 다항 방정식 즉, 주문한 n조:n개.(a0, a1,...,), 짓에 붉은 계수는 유한 수열은 다항식의 계수에 있∈ Z함께 rationals의 그런 z(b0, b1)한쌍의 자석을 가진 뿌리(a0, a1,...,)로 인코딩될 수 있다.는 int어벌(b₀, b₁)

칸토르는 1874년 논문 "모든 실제 대수학 번호 수집의 속성"에서 실제 숫자의 집합이 N보다 카디널리티를 더 많이 가지고 있다는 것을 보여줌으로써 더 높은 순위의 추기경 숫자가 존재한다는 것을 증명했다.그의 증거는 내포된 간격을 가진 주장을 사용했지만, 1891년 논문에서 그는 기발하고 훨씬 단순한 대각선 주장을 사용하여 같은 결과를 증명했다.실수 집합의 새로운 추기경 번호를 연속체의 카디널리티라고 하며 칸토어는 이를 위해$$ $기호{\displaystyle \mathfrak{}}$ c ${\$를 사용했다.

칸토르는 또한 추기경 숫자에 대한 일반 이론의 많은 부분을 개발했다; 그는 가장 작은 트랜스피나이트 추기경 숫자가 있다는 것을 증명했다. (${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$alleph-null) 그리고 모든 추기경 수에 대해 더 많은 추기경이 있다는 것을.

${\displaystyle(\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots).}$

그의 연속 가설은 실수 집합의$$ $카디널리티{\displaystyle \mathfrak{}}$ c ${\$가 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}와 같다는 명제다$.$이 가설은 수학적 집합 이론의 표준 공리와는 무관한 것으로 밝혀졌다; 그것은 표준 가정으로부터 증명될 수도 없고 반증될 수도 없다.

동기

비공식적으로 0이 포함된 경우 일반적으로 기수 번호는 계산 번호라고 하는 번호로, 0, 1, 2, ....0으로 시작하는 자연 숫자로 식별할 수 있다.개수는 정확히 한정된 기수로 공식적으로 정의될 수 있는 것이다.무한 추기경은 고등 수학과 논리학에서만 발생한다.

보다 형식적으로 0이 아닌 숫자를 두 가지 목적으로 사용할 수 있다. 즉, 세트의 크기를 설명하기 위해 또는 원소의 위치를 순서대로 설명하기 위해 사용할 수 있다.유한 집합과 시퀀스의 경우 이 두 개념들이 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 왜냐하면 시퀀스의 위치를 설명하는 모든 숫자에 대해 우리는 정확한 크기를 가진 세트를 구성할 수 있기 때문이다.예를 들어, 3은 'c'의 위치를 <'a',b',c',d',...의 순서로 설명하고, 우리는 3개의 원소를 가진 {a,b,c} 세트를 구성할 수 있다.

그러나 무한 세트를 다룰 때는 두 개의 개념이 사실상 무한 세트마다 다르기 때문에 두 개를 구분하는 것이 필수적이다.위치 측면을 고려할 때 서수적 숫자로 이어지는 반면 크기 측면은 여기에서 설명하는 기수적 숫자로 일반화된다.

추기경의 공식적 정의 뒤에 있는 직관은 그것이 가지고 있는 구성원의 종류에 대한 언급 없이 집합의 상대적 크기나 "거짓말"에 대한 개념의 구축이다.유한 집합의 경우 이것은 쉽다. 집합이 가진 원소의 수를 세기만 하면 된다.더 큰 세트의 크기를 비교하기 위해서는 좀 더 세련된 개념에 호소할 필요가 있다.

X의 요소에서 Y의 요소까지의 주입 매핑이 있는 경우, 세트 Y는 최소한 세트 X만큼 크다.주입 매핑은 세트 Y의 고유한 요소로 세트 X의 각 요소를 식별한다.예를 들어 X = {1,2,3} 및 Y = {a,b,c,d} 집합이 있다고 가정하면 다음과 같은 매핑이 있음을 알 수 있다.

1 → a

2 → b

3 → c

즉, Y가 X보다 크거나 같은 카디널리티를 갖는다는 결론을 내린다.원소 d는 그것에 대한 요소 매핑은 없지만, 이것은 주입식 매핑만 필요하므로 허용되며, 반드시 주입식 매핑과 매핑을 필요로 하는 것은 아니다.이 개념의 장점은 무한대로 확장할 수 있다는 것이다.

그리고 나서 우리는 이것을 평등 스타일의 관계로 확장할 수 있다.X와 Y 두 세트 사이에 편차가 존재한다면 X와 Y는 카디널리티가 동일하다고 한다.슈뢰더-베른슈타인 정리에서는 X에서 Y까지의 주입 매핑과 Y에서 X까지의 주입 매핑이 모두 존재하는 것과 동등하다.그리고 나서 우리는 X = Y를 쓴다. X의 기수 그 자체는 a = X를 가진 가장 작은 서수 a로 정의된다.^[2] 이것을 폰 노이만 추기경 과제라고 부른다. 이 정의를 이해하기 위해서는 모든 세트가 어떤 서수들과 동일한 카디널리티를 가지고 있다는 것을 증명해야 한다. 이 진술은 잘 정돈된 원칙이다.그러나 객체에 이름을 명시적으로 지정하지 않고 세트의 상대적 카디널리티에 대해 논의할 수 있다.

힐버트의 그랜드 호텔 역설이라고도 불리는 무한 호텔 역설의 대표적인 예가 바로 그것이다.객실이 무한히 많은 호텔에 여관 주인이 있다고 가정하면.그 호텔은 만원이고, 그리고 나서 새로운 손님이 도착한다.1호실에 있던 손님에게 2호실로 옮기라고 하고, 2호실에 있던 손님에게 3호실로 옮기라고 하는 등 1호실을 비워두면 추가 투숙객을 맞출 수 있다.이 매핑의 세그먼트를 명시적으로 작성할 수 있음:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

이 과제를 통해 우리는 세트 {1,2,3}을(를) 확인할 수 있다.}은(는) 첫 번째와 두 번째 사이의 편견이 나타났기 때문에 세트 {2,3,4,...}과(와) 카디널리티가 동일하다.이것은 같은 카디널리티의 적절한 부분 집합(즉, 디데킨드-무한 집합)을 가진 집합의 무한 집합의 정의에 동기를 부여한다. 이 경우, {2,3,4,...{}은(는) {1,2,3,...}의 적절한 하위 집합이다.

이러한 큰 객체를 고려할 때, 이러한 무한 집합에 대해 위에서 정의한 추기경의 개념과 계수 순서의 개념이 일치하는지 여부도 확인하고자 할 수 있다.그렇지 않은 경우가 있다; 위의 예를 들어 우리는 만약 어떤 물체가 "무한보다 큰 것"이 존재한다면, 그것은 우리가 시작했던 무한 세트와 동일한 카디널리티를 가져야 한다는 것을 알 수 있다.숫자를 세고 각 숫자를 차례로 고려한다는 생각에 근거하여 서수라고 하는 다른 형식적 개념을 사용할 수 있으며, 유한한 숫자에서 벗어나면 카디널리티와 보통성의 개념이 서로 다르다는 것을 발견하게 된다.

실수의 카디널리티가 방금 설명한 자연수의 카디널리티보다 크다는 것을 증명할 수 있다.이것은 칸토어의 대각선 주장을 사용하여 시각화할 수 있다; 카디널리티에 대한 고전적인 질문들(예를 들어 연속 가설)은 몇몇 다른 무한 추기경들 사이에 어떤 추기경이 있는지 발견하는 것과 관련이 있다.보다 최근, 수학자들은 더 크고 큰 추기경들의 성질을 묘사해 왔다.

카디널리티는 수학에서 흔히 볼 수 있는 개념이기 때문에 다양한 명칭이 사용되고 있다.카디널리티의 동일성은 때때로 등가성, 등가성 또는 등가성이라고 불린다.따라서 동일한 카디널리티를 가진 두 세트는 각각 등불능, 등불능 또는 등불수라고 한다.

형식 정의

형식적으로 선택 공리를 가정하면, 집합 X의 카디널리티는 X와 α 사이에 편차가 있을 정도로 최소 서수 α이다.이 정의는 폰 노이만 추기경 임무로 알려져 있다.선택 공리를 가정하지 않으면 다른 접근법이 필요하다.집합 X의 카디널리티에 대한 가장 오래된 정의는 X와 동일한 모든 집합의 클래스 [X]이다.X가 비어 있지 않으면 이 집합이 너무 커서 집합이 되지 않기 때문에 ZFC 또는 자명 집합 이론의 다른 관련 시스템에서는 이 방법이 작동하지 않는다.실제로 X ≠ ∅의 경우 세트 m에서 {m} × X를 매핑하여 우주에서 [X]로 주사하는 것이 있으며, 따라서 크기 제한의 공리에 의해 [X]는 적절한 등급이다.그러나 그 정의는 형식 이론과 새로운 재단 및 관련 시스템에서는 효과가 있다.그러나 이 등급에서 최하위 등급인 X와 같은 부류로 제한하면 효과가 있을 것이다(다이나 스콧에 의한 수법이다:^[3] 주어진 등급이 있는 물체의 집합이 집합이기 때문에 효과가 있다).

형식적으로 기수 사이의 순서는 다음과 같이 정의된다: X ≤ Y는 X에서 Y까지의 주입 함수가 존재함을 의미한다.칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리에서는 X ≤ Y와 Y ≤ X이면 X = Y. 선택 공리는 X and Y 또는 Y ^[4][5]sets X 중 두 세트 X와 Y가 주어진 문장과 동등하다고 기술하고 있다.

X = Y , 그리고 Dedekind-finite가 없는 경우 X의 적절한 부분 집합 Y가 있으면 집합 X는 데데킨드-무한이다.유한한 추기경은 어떤 자연수 n에 대해 X = n = n = n일 경우에만 집합 X가 유한하다는 점에서 단지 자연수일 뿐이다.다른 어떤 세트도 무한하다.

선택의 공리를 가정하면, 데데킨드 개념은 표준 개념에 해당한다는 것을 증명할 수 있다.또한 추기경 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$알레프는 히브리 알파벳의 첫 번째 문자로서 자연수 집합의 $\aleph {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \aleph$이 가장 작은 무한 추기경(즉, 무한정 집합은 카디널리티 ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$0 {\$displa$)이라는 것도 증명할 수 있다.$ystyle \aleph _{0}.$다음으로 큰 추기경은 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$등으로 표시된다.모든 서수 α에 대해 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$이(가) 있으며 이$$ 목록은 모든 무한 추기경 숫자를 소진한다.

추기경 산수

우리는 자연수에 대한 통상적인 연산을 일반화하는 기수들의 산술 연산을 정의할 수 있다.유한한 추기경의 경우 이러한 수술은 자연수에 대한 통상적인 수술과 일치한다는 것을 알 수 있다.게다가, 이러한 연산들은 많은 속성을 보통의 산술과 공유한다.

후임 추기경

만약 선택의 원리, 모든 추기경 κ고 κ과 그 후계자 사이에 추기경들.(선택의 원리 없이, 하르 톡스의 정리를 사용하여, 어떤 기수 κ에는 최소한의 기본 κ+가 κ+≰ κ.{\displaystyle\kappa ^{+}\nleq 년이 나타날 수 있는 후계자, 표시 κ+,κ+>κ다.카파$.}$) 유한한 추기경의 경우 후임 추기경은 단순히 + + 1. 무한 추기경의 경우 후임 추기경은 후임 추기경과 다르다.

추기경 덧셈

X와 Y가 분리된 경우, X와 Y의 조합에 의해 추가가 주어진다.두 세트가 아직 분리되지 않은 경우 동일한 카디널리티의 분리 세트로 교체할 수 있다(예: Xx{0}, Yx{1}로 교체).

$[\displaystyle X + Y = X\컵 Y .}$^[6]

0은 가법성 identity + 0 = 0 + κ = κ이다.

덧셈은 연상( (+μ) + ν = κ+(μ+ν)이다.

덧셈은 정류 κ + μ = μ + κ이다.

추가는 두 변수 모두 감소하지 않는다.

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\오른쪽 화살표 ((\kappa +\nu \leq \nu ){\mbox{과 }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).}$

선택의 공리를 가정하면 무한한 추기경 숫자를 추가하는 것은 쉽다.μ 또는 μ 중 하나가 무한인 경우

$\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa,\mu \}\,}$

뺄셈

선택의 공리를 가정하고 무한정 추기경 and과 추기경 μ를 주어진다면 μ + = μσ인 κ이 존재한다.만일 μ < μ μ σ가 되어야 고유(그리고 σ과 같음)이 된다.

추기경 곱하기

추기경들의 산물은 데카르트 산물에서 나온다.

$[\displaystyle X \cdot Y = X\time Y }$^[7]

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (μ = 0 또는 μ = 0).

하나는 복수정체성 κ·1 = 1,2 = κ이다.

곱셈은 연상( (·μ)·ν = κ·(μ·ν)이다.

곱셈은 μ, μ = μ, μ, μ이다.

곱셈은 두 주장 모두 both μ → (κ·ν μ·ν· and· and· and·μ·μ·μ·μ·μ·μ·μ·μ·μ)가 감소하지 않는다.

곱셈은 덧셈에 걸쳐 분포한다: :·(μ + +) = κ·μ + κ·ν·ν· and·(μ + ν) = μ·κ + ν·κ.

선택의 공리를 가정하면 무한 추기경 수의 곱셈도 쉽다.μ 또는 μ 중 하나가 무한하고 둘 다 0이 아닌 경우

$\displaystyle \kappa \cdot \max\{\kappa ,\mu \}}$

나누기

선택의 공리를 가정하고 무한정 추기경 and과 0이 아닌 추기경 μs를 가정하면, μs와 μs = μs만 있는 추기경이 존재한다.만일 μ < μ μ π가 되어야 고유(그리고 π과 같음)이 된다.

추기경 지수

지수:

${\displaystyle X ^{Y}=\왼쪽 X^{Y}\오른쪽,}$

여기서 X는^Y Y에서 X까지의 모든 함수의 집합이다.^[8]

∆ = 1(특히⁰⁰ 0 = 1)은 빈 함수를 참조하십시오.

1^μ㎛ μ이면 0 = 0.

1^μ = 1.

κ¹ = κ.

κ^{μ + ν} = κ^μ·κ^ν.

κ^{μ · ν} = (κ^μ)^ν.

(κ·μ)^ν = κ^ν·μ^ν.

두 변수 모두 지수가 감소하지 않음:

(1≤ ν, μ μ) → (ν^κ ≤ μ^μ)

(κ ≤ μ) → (κ^ν ≤ μ^ν).

2는 ^X 세트 X의 파워 세트의 카디널리티로, 캔터의 대각선 인수는 세트 X에 대해 2 ^X > X를 나타낸다.이것은 가장 큰 추기경이 존재하지 않는다는 것을 증명한다(어떤 추기경에게도, 우리는 항상 더 큰 추기경을 찾을 수 있기 때문이다^κ).사실 추기경급은 적절한 계급이다.(이 증거는 일부 세트 이론, 특히 뉴 파운데이션에서 실패한다.)

이 절의 나머지 모든 제안은 선택 공리를 가정한다.

μ와 μ가 모두 유한하고 1보다 크며, μ가 무한하면 μ^ν = μ이다^ν.

κ이 무한하고 μ가 유한하고 0이 아닌 경우에는 κ^μ = κ이다.

2㎛ μ와 1㎛ μ μ와 그 중 하나 이상이 무한하면 다음과 같다.

최대 ( (, 2^μ) ≤ κ^μ 최대 (2^κ, 2^μ)

쾨니히의 정리를 이용하면 어떤 무한 추기경이라도 κ < κ과^cf(κ) κ < cf (2)를^κ 증명할 수 있는데, 여기서 cf(κ)는 of의 공완성이다.

뿌리.

선택의 공리와 무한 추기경 κ과 0보다 큰 유한한 추기경 μs =${\displaystyle {}^{}{\mu s}^{}}$ = ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \nu ^{\mu }=\appa }}}$을(를) 만족하는 추기경은 $\kappa$ ${\displaystyle \capa }$이 될 것이다$.$

로그

선택의 공리와 무한 추기경 κ과 1보다 큰 유한한 추기경 μ = =${\displaystyle {}^{}{\mu \lambda }^{}}$ = ${\displaystyle \kappa }$ = $\displaystyle \mu ^{\lambda }=\appa }}}}$을 만족하는 추기경이 있을 수도 있고 없을 수도 있다$.$그러나 그러한 추기경이 존재한다면 그것은 무한하고 1보다 작은 것이며, 어떤 유한 카디널리티 ality도 또한 $satisfy$을 만족시킬 것이다.${\displaystyle {\lambda }^{}}$= ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa$ $\}.$

무한한 기수 κ의 로그 가장 기수로 μ가κ ≤ 2μ 정의된다.심지어 그들이 긍정적인 실제의 숫자가 보유하고 있는 logarithms은 부동산이 부족한 무한한 추기경들의 Logarithms 수학의 일부 분야에서, 위상적인 공간의 기본 불변자의 연구에서 예를 들어, 유용하다.[9][10][11]

연속 가설

연속체 가설(CH)에 따르면 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \aleph _{0}$과 ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}$ 사이에 추기경은 엄격히 존재하지 않는다.$$ 후자의 기수 역시 $c{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 의해 종종 표시된다$;$ 연속체의 카디널리티(실수의 집합)이다.이 경우 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}^{}}$=${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}=\aleph _${1$}.$$}$

마찬가지로 일반화된 연속체 가설(GCH)은 모든 무한 추기경 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$에 대해$$$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$과 ${\displaystyle {2\kappa }^{}}$ ${\$} 사이에 엄격히 추기경이 없다는 것을 명시하고 있다$.$ 연속체 가설과 일반 연속체 가설 모두 독립성이 입증되었다.집합 이론의 일반적인 공리 중 t는 선택 공리(ZFC)와 함께 제르멜로-프라엔켈 공리(Zermelo-Fraenkel) 공리를 사용한다.

Indeed, Easton's theorem shows that, for regular cardinals ${\displaystyle \kappa }$, the only restrictions ZFC places on the cardinality of ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ are that ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$, and that the exponential function is non-decreasing.

참고 항목

참조

메모들

참고 문헌 목록

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• 한스, 한스, 인피니티, 파트 IX, 제2장 수학의 세계 제3권.뉴욕: 1956년 사이먼과 슈스터.
• 할모스, 폴, 순진무구한 집합론.프린스턴, NJ: D.밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다.ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 에디션).
• Schindler, Ralf-Dieter (2014). Set theory : exploring independence and truth. Cham: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-06725-4. ISBN 978-3-319-06725-4.

외부 링크

• "Cardinal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]