디데킨드-무한세트

수학에서 A의 일부 적절한 부분집합 B가 A와 등분할 경우 집합 A는 데데킨드-무한(독일 수학자 리처드 데데킨드의 이름)이다. 명백하게, 이것은 A의 적절한 부분집합 B에 A로부터 어떤 생체적 함수가 존재한다는 것을 의미한다. 한 세트가 데데킨드-무한(즉, 그러한 편향은 존재하지 않는다)이 아닌 경우 데데킨드-핀리트(Dedekind-finite)이다. 1888년 데데킨드에 의해 제안된 데데킨드-적극성은 자연수의 정의에 의존하지 않는 "무한"의 첫 번째 정의였다.^[1]

간단한 예는 자연수 집합인$$$N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이다. 갈릴레오의 역설에서, 모든 자연수 n을 제곱² n에 매핑하는 편견이 존재한다. 정사각형 집합은 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 적절한 부분 집합이므로$,$ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 데데킨드-무한이다$$.

수학의 근본적 위기가 세트 이론에 대한 보다 세심한 치료의 필요성을 보여줄 때까지, 대부분의 수학자들은 한 세트가 데데킨드-무한일 경우에만 무한하다고 가정했다. 20세기 초에는 오늘날 가장 일반적으로 사용되는 자명 집합 이론의 형태인 제르멜로-프라엔켈 집합 이론이 러셀의 역설과 같은 역설에서 자유로운 집합 이론을 공식화하기 위한 자명 체계로서 제안되었다. (ZFC)는 원래 논란이 많았던 선택의 공리가 포함된 제르멜로-프라엔켈 집합 이론의 공리를 이용하여 일반적인 의미로 유한할 경우에만 집합이 데데킨드-핀라이트라는 것을 보여줄 수 있다. 그러나 ZF의 공리가 무한히 존재하는 데데킨트-피니트 집합(ZF)이 없는 제르멜로-프렌켈 집합론 모델이 존재하여, ZF의 공리가 디데킨트-핀라이트라는 모든 집합이 유한하다는 것을 증명할 만큼 강하지 않음을 보여준다.^[2][1] 선택의 공리에 의존하지 않는 데데킨드가 준 것 외에 세트의 미세성과 부정성에 대한 정의가 있다.

막연하게 연관된 개념은 데데킨드 핀잔 반지의 개념이다. ab = 1이 어떤 두 링 요소 a와 b에 대해 ba = 1을 의미한다면 링은 데데킨드 피니트 반지라고 한다. 이 고리들은 직접 유한 고리라고도 불린다.

무한대의 일반적인 정의와 비교

이 "무한 집합"의 정의는 통상적인 정의와 비교되어야 한다: 집합 A는 유한 서수, 즉 어떤 자연수 n에 대해 형식 {0, 1, 2, ..., n-1}을(를) 넣을 수 없을 때 무한집합이다 – 무한집합이란 말 그대로 "유한집합이 아닌 것"이라는 의미에서 무한집합이다.

19세기 후반에 대부분의 수학자들은 단순히 한 세트가 데데킨드-무한한 경우에만 무한하다고 가정했다. 그러나 이러한 등가성은 선택(AC)의 공리(일반적으로 "ZF"로 표기됨)가 없으면 제르멜로-프라엔켈 집합 이론의 공리로는 증명할 수 없다. 등가성을 입증하기 위해 AC의 최대 강도는 필요하지 않다. 실제로 두 정의의 등가성이 계수 가능한 선택(CC)의 공리보다 엄격히 약하다(아래 참조 참조).

ZF의 데데킨드 무한 세트

A 집합은 다음과 같은 동등한 (ZF 초과) 조건 중 하나와 모두를 만족하는 경우 Dedekind-무한이다.

• 셀 수 없을 정도로 무한 부분 집합이 있다.
• 카운트할 수 있는 무한 세트 A에서 주입 지도가 존재함.
• f : A → A 함수는 주입적이지만 굴절적이지 않은 함수가 있다.
• N은 모든 자연수의 집합을 나타내는 주입 함수 f → A가 있다.

다음과 같은 경우 Dedekind-infinite이다.

• f : A → A 함수는 있지만 주입은 아닌 것이 있다.

다음과 같은 (ZF 초과) 조건 중 어떤 조건과 모든 조건을 만족시킨다면 약하게 데데킨드-무한이다.

• A에서 카운트할 수 있는 무한 집합에 이르는 절망적인 지도가 존재한다.
• A의 파워셋은 데데킨드-무한이다.

다음과 같은 경우 무한하다.

• 자연수 n에 대해, {0, 1, 2, ..., n-1}에서 A로 편향되지 않는다.

그 후, ZF는 다음과 같은 함의를 증명한다. 데데킨드-무한한 d데데킨드-무한한 dedekind-무한한 infinite 약하게 데데킨드-무한한 ⇒ 무한.

무한 디데킨드 피니트 세트를 가진 ZF 모델이 존재한다. A를 그러한 집합으로 하고, B를 A로부터 유한한 주입 시퀀스의 집합으로 한다. A는 무한하기 때문에 B에서 그 자체로 "마지막 원소를 떨어뜨린다"는 함수는 허탈하지만 주입은 하지 않기 때문에 B는 dially dedekind-무한 것이다. 단, A는 데데킨드-핀라이트이기 때문에 B도 그렇다(B가 셀 수 있을 정도로 무한 부분집합을 가지고 있다면 B의 원소가 주입 시퀀스라는 사실을 이용하여 A의 무한 부분집합을 나타낼 수 있다).

세트에 추가 구조가 있을 때, 두 종류의 초기성은 때때로 ZF에 대해 동등한 것으로 증명될 수 있다. 예를 들어, ZF는 잘 정렬된 세트가 무한인 경우에만 디데킨드-무한이라는 것을 증명한다.

역사

이 용어는 독일 수학자 리처드 데데킨드의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 이 정의를 처음 명시적으로 소개했다. 이 정의는 자연수의 정의에 의존하지 않는 '무한'의 첫 번째 정의였다는 점이 눈에 띈다(Poincaré를 따르고 숫자의 개념을 집합의 개념 이전으로 간주하지 않는 한). 그러한 정의가 베르나르 볼자노에게 알려졌지만, 1819년 프라하 대학에서 정치 망명했다는 조건에 의해 그는 그의 작품을 가장 불명확한 어떤 저널에도 게재하지 못하게 되었다. 더구나 볼자노의 정의는 한 se 당 무한 집합의 정의라기보다는 두 무한 집합 사이에 있는 관계였다.

오랫동안 많은 수학자들은 무한 집합의 개념과 데데킨드-무한 집합의 개념 사이에 구분이 있을지도 모른다는 생각조차 즐기지 않았다. 사실 에른스트 제르멜로가 명시적으로 AC를 공식화한 후에야 그 구별은 실제로 실현되었다. 무한대의 데데킨드-피니트 세트의 존재는 1912년 베르트랑 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드에 의해 연구되었다; 이 세트는 처음에는 중재 추기경 또는 데데킨드 추기경이라고 불렸다.

수학 공동체들 사이에서 선택의 공리가 일반적으로 받아들여짐에 따라, 무한과 데데킨드-무한 집합과 관련된 이러한 문제들은 대부분의 수학자들에게 덜 중심적이 되었다. 그러나 디데킨드-무한세트의 연구는 유한자와 무한대의 경계를 명확히 하려는 시도에 중요한 역할을 하였으며, AC의 역사에서도 중요한 역할을 하였다.

선택공리와의 관계

모든 무한정 잘 정돈된 집합은 데데킨드-무한형이고, AC는 모든 집합이 잘 정돈될 수 있다는 것을 명기한 잘 정돈된 정리와 같기 때문에, 분명히 일반 AC는 모든 무한 집합이 데데킨드-무한형이라는 것을 암시한다. 그러나 두 정의의 등가성은 AC의 최대 강도보다 훨씬 약하다.

특히 ZF 모델은 무한 부분집합이 카운트다운할 수 없는 무한 집합이 존재하는 모델도 있다. 따라서 이 모델에는 무한대의 데데킨드-핀리트 집합이 존재한다. 이상에 의해 이러한 세트는 이 모델에서 잘 정렬될 수 없다.

만약 우리가 공리 CC(즉_ω AC)를 가정한다면, 모든 무한 집합은 데데킨드-무한이라는 것을 따른다. 그러나 이 두 가지 정의의 등가성은 사실 CC보다 엄격히 약하다. 명시적으로 ZF 모델은 모든 무한 집합이 데데킨드-무한이지만 CC는 실패한다(ZF의 일관성을 가정한다).

셀 수 있는 선택 공리를 가정하여 무한대에 동등하다는 증거

모든 데데킨드-무한 집합이 무한하다는 것은 ZF에서 쉽게 증명될 수 있다: 모든 유한 집합은 정의에 의해 어떤 유한한 서수 n을 가진 편차를 가지고 있으며, n에 대한 유도를 통해 이것이 데데킨드-무한이 아님을 증명할 수 있다.

셀 수 있는 선택의 공리(부정: 공리 CC)를 사용함으로써, 역, 즉 모든 무한 집합 X가 다음과 같이 데데킨드-무한이라는 것을 증명할 수 있다.

First, define a function over the natural numbers (that is, over the finite ordinals) f : N → Power(Power(X)), so that for every natural number n, f(n) is the set of finite subsets of X of size n (i.e. that have a bijection with the finite ordinal n). f(n) is never empty, or otherwise X would be finite (as can be proven by induction on n).

f의 이미지는 countable set {f(n) n ∈ N}이며, 멤버 자체는 무한(그리고 아마도 탑재할 수 없는) 집합이다. 셀 수 있는 선택의 공리를 사용함으로써 우리는 이들 세트 각각에서 하나의 멤버를 선택할 수 있으며, 이 멤버 자체는 X의 유한 부분집합이다. 더 정확히 말하면, 계산 가능한 선택이라는 공리에 따르면, G = {g(n)n ∈ N} 집합이 존재하기 때문에, 모든 자연수 n에 대해 g(n)은 f(n)의 멤버로, 따라서 크기 n의 X의 유한 부분집합이 된다.

이제 우리는 U를 G. U의 구성원의 조합은 무한히 셀 수 있는 X의 부분집합이라고 정의하고, 자연수로부터 U, h : N → U로의 편향은 쉽게 정의할 수 있다. 이제 우리는 모든 멤버를 U에 있지 않게 하고 모든 자연수에 대해 h(n+1)를 h(n+1)로 하는 B : X → X ∖ h(0)를 정의할 수 있다. 따라서 X는 데데킨드 무한이며, 우리는 끝장이다.

일반화

범주이론적 용어로 표현하면 집합 A는 데데킨드 피나이트(Dedekind-finite)이다. 집합의 범주에서 모든 단형성 f : A → A는 이형성이다. 폰 노이만 일반 링 R은 R에서 xy = 1이 yx = 1을 의미하는 경우에만 R-모듈의 범주에 유사한 속성을 가진다. 더 일반적으로, 데데킨드-핀란드 링은 후자의 조건을 만족시키는 어떤 반지라도 된다. 링의 기본 집합이 디데킨드-무한(예: 정수)인 경우에도 링이 디데킨드-피니트일 수 있으므로 주의하십시오.

메모들

참조

• 믿음, 칼 클리프턴 수학 설문 조사와 단문 분석. 제65권. 미국 수학 협회 2부. AMS 서점, 2004. ISBN 0-8218-3672-2
• 무어, 그레고리 H, 제르멜로의 '선택의 공리', 스프링거-베를라크, 1982년(인쇄되지 않음), ISBN 0-387-90670-3, 특히 22-30쪽과 322-323페이지의 표 1, 2
• Jech, Thomas J, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN 0-48624-8
• 램, 쯔위엔. 첫 번째 코스는 비협조적인 링이다. 제131권 수학 대학원 본문 2부. 2001년 스프링거 ISBN 0-387-95183-0
• Herrlich, Horst, Axiom of Choice, Springer-Verlag, 2006, 수학의 강의 노트, ISSN 인쇄판 0075–8434, ISSN 전자판: 1617-9692, 특히 4.1절.