Tautological 단일 형식

Tautological one-form

수학에서 tautological one-form다지관 Q 등탄성 번들 Q 에 정의된 특수한 1-폼이다.물리학에서는 기계적 시스템에서 점의 속도와 그 모멘텀 사이에 대응성을 생성하기 위해 사용되며, 따라서 라그랑지안 메치 사이의 다리를 제공한다.해밀턴 역학사용한 양극(Q {\ Q

이 형식의 외부 파생상품 T에게 동심 다지관의 구조를 제공하는 동심원형을 정의한다.tautological one-form은 해밀턴 역학라그랑그 역학의 형식주의를 연관시키는 데 중요한 역할을 한다.tautological one-form은 때때로 Liouville one-form, Poincaré one-form, 표준 one-form, 또는 commonlectic possible led라고도 불린다.유사한 물체는 접선 번들표준 벡터 필드다.

To define the tautological one-form, select a coordinate chart on and a canonical coordinate system on Pick an arbitrary point By definition of cotangent bundle, 여기서 {\ Q t T{\ tautological : T m (는) 다음을 통해 제공됨

= Q Q( 1,, ) U n (p_ {^{은 p}의 좌표현이 된다

preserve Q 에서 이 정의를 총 차등(정확한 형태)까지 보존하는 좌표를 표준 좌표라고 할 수 있으며, 서로 다른 표준 좌표계 간의 변환을 표준 변환이라고 한다.

'푸앵카레 2형식'이라고도 알려진 표준적 공감형식은 다음과 같이 주어진다.

이 개념을 일반 섬유 번들로 확장하는 것을 솔더 형태라고 한다.관례에 따라 형식에 독특하고 규범적인 정의가 있을 때마다 '캐논적 형태'라는 문구를 사용하고, 임의적인 선택을 해야 할 때마다 '솔더 형태'라는 표현을 쓴다.대수 기하학복잡한 기하학에서는 표준계급과의 혼동 때문에 "수동적"이라는 용어가 권장되며, tautological 번들처럼 "자동적"이라는 용어가 선호된다.

물리적 해석

변수 일반화된 좌표로 이해하여 점 이(가) 구성 공간의 점임을 의미한다.접선 공간 은 속도에 해당하므로, 이() 경로 ), 를 따라 이동하는 경우 t= 에서 순간 속도가 한 점에 해당함

접선 다지관 , Q 지점에서 시스템의 특정 위치에 대한 벨로시티는 고전역학의 라그랑지식 공식에 적합하지만, 해밀턴식 공식에서는 속도가 아닌 모멘텀a로 작동한다; tutological one-form은 하나의 장치다.속도를 순간으로 바꾸다

즉, tautological one-form은 각 속도 , 이상에 대해 모멘텀 }에 숫자 값을 할당한다. 즉, "같은 방향으로"를 가리키도록 하고, 크기가 비례적으로 커지도록 선형적으로 한다.「물론」, 「속도」, 모멘텀은 반드시 1안타에 비례하기 때문에 정확하게 「토트론」이라고 한다.그것은 일종의 땜납 형태인데, 왜냐하면 그것은 각각의 속도를 상응하는 운동량으로 "광" 또는 "판매"하기 때문이다.접착의 선택은 독특하다. 각 모멘텀 벡터는 정의상 오직 하나의 속도 벡터에 해당한다.tautological one-form은 라그랑기 역학에서 해밀턴 역학으로 전환하기 위한 장치라고 생각할 수 있다.

좌표가 없는 정의

또한 tautological 1-form은 위상 공간의 형태로서 다소 추상적으로 정의될 수 있다. 을(를) 다지관으로 하고 = Q 을(를) 등각 번들 또는 위상 공간으로 한다.내버려두다

표준 섬유 묶음 투영법이다.
유도 탄젠트 지도가 되다 을(를) 의 점이 되게 두십시오. (가) 등각선 번들이므로 = ) :

즉, 의 섬유 안에 있는 m .} 지점 tautological one-form은 으로 다음과 같이 정의된다.

그것은 선형 지도다.

등등

심포렉틱 포텐셜

공통전위는 일반적으로 좀 더 자유롭게 정의되며, 국부적으로만 정의된다 = - d displaystyle \ 같은 단일 형태 사실상, 동일전위는 폐쇄형 형태에 의해 표준 1-형태와 다르다.

특성.

tautological one-form은 풀백(pullback)을 "취소"하는 유일한 형태다.즉, }을(를) Q{\ {\의 1-form이 되게 하는 : : For an arbitrary 1-form on the pullback of by is, by definition, Here, is the pushforward of Like is a 1-form on The tautological one-form is the only form with the property that \ 모든 \beta}에 대한 \beta }

그래서, 풀백과 외부 파생상품의 교환으로,

액션

(가) 등각 번들에 있는 이고 H{\ 해밀턴식 흐름인 경우, 해당하는 S 이(가) 다음과 같이 주어진다.

보다 친숙한 용어로 해밀턴의 흐름은 해밀턴-자코비 운동 방정식에 따르는 기계 시스템의 고전적인 궤적을 나타낸다.해밀턴 흐름은 해밀턴 벡터 필드의 정수로서, 행동각 변수에 대한 전통적인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓴다.

에너지 (를) 일정하게 유지하여 정의된 다지관을 인수하는 것으로 이해되는 적분:

메트릭 공간

다지관 에 리만 또는 사이비-리만 메트릭 g(가) 있는 경우 일반화된 좌표 관점에서 해당 정의를 만들 수 있다.특히, 만약 우리가 미터법을 지도로 본다면

그 다음에 정의하다
그리고

좌표 ,, n ,q , ˙ 1 , n) {\{{}, q}}}}, { {\dot{n {\dot}}}}}}}, {\dot},}이 있다.

그리고

미터법은 에서 단위 반지름 구를 정의할 수 있도록 허용한다. 이 구에 제한된 표준적인 단일 형태는 접촉 구조를 형성한다. 접촉 구조는 이 메트릭에 대한 지오데틱 흐름을 생성하는 데 사용될 수 있다.

참조

  • 랄프 아브라함제롤드 E. 마스덴, 기계학 재단, (1978) 벤자민 쿠밍스, 런던 ISBN0-8053-0102-XSee 섹션 3.2.