토우톨로지 번들

수학에서 tautological bundle은 자연적인 tautological 방식으로 Grassmannian에서 발생하는 벡터 $번들$로,$$K ${\displaystyle k$$}$ $-displaystyle$ $V}$의 Grassmannian에 $해당$하는 점이 주어지는 $V{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ k${\displaystyle \}}$ -down$$$$ subspace에 해당한다.$Playstyle W\subseteq$ V$\},$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 위에 있는 섬유는 하위 $공간{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$ 그 자체다$$$$.투영 공간의 경우 tautological 번들은 tautological line bundle로 알려져 있다.

tautological bundle은 tautological bund의^[1] 한 부분이기 때문에 보편적인 bundle이라고도 불린다. 즉, Grassmannian은 벡터 번들을 분류하는 공간이다.이 때문에 특성계급의 연구에서는 tautological bund가 중요하다.

tautological 번들은 대수적 위상과 대수 기하학 둘 다에서 구성된다.대수 기하학에서 tautological line bundle (수직 불가능한 sheaf로서)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathb {P}^{n}(-1),}$

하이퍼플레인 번들 또는 Serre의 비틀림 쉬프 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{{\mathbb{}}^{}}}$( $){\displaystyle {\mathcal {O}_{\mathb{P} ^{n}(1)}$.하이퍼플레인 번들은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n1$}$의 하이퍼플레인(divisor) P${\displaystyle {}^{}}n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle \mathb$ {p} ^{n1$}$에 해당하는$$ 라인 번들과 하이퍼플레인 번들은 정확하게 투사 공간의 Picard 그룹의 두 생성자들이다.^[2]

마이클 아티야의 "K-이론"에서는 복잡한 투사적 공간 위에 있는 tautological line bundle을 표준선 묶음이라고 부른다.표준다발의 구체다발은 보통 홉프다발(cf)이라고 한다.Bot 생성기).

보다 일반적으로는, 그라스만 번들뿐만 아니라 벡터 번들의 투사적 번들에도 tautological 번들이 있다.

수학적 용어로는 표준이 있는 그대로 과부하되어 있고 (악화) 대수 기하학에서 표준 계급과의 혼동을 거의 피할 수 없다는 이유로 구식 표준 번들은 인기가 떨어졌다.

직관적 정의

Grassmanians는 정의에 따라 주어진 벡터 $공간{\displaystyle }$ W ${\displaystyle$ W$}$에서 주어진 차원의 선형 서브스페이스에 대한 매개변수 공간이다$.$ 만약 $G{\displaystyle }${\$displaystyle$$G$}이$$(가) Grassmannian이고, ${\displaystyle V_{}}${\$displaystyle V_{g}$이 G$}$에 $해당$하는 $W{\displaystyle }$$$${\displaystystystystystystystystystystystystyleannowstyone$ W$}$의 하위 $공간$이다.$Playstyle G}$, 이것은 이미 벡터 번들에 필요한 거의 데이터 즉, 각 $점{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$에 대한 벡터 공간이며$,$ 지속적으로 변화한다.이 표시에서 tautological 번들의 정의를 중지할 수 있는 것은 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$가 교차하는$$ 어려움뿐이다.이것을 고치는 것은 분리 유니온 장치의 일상적인 응용으로, 번들 투영법은 이제 교차하지 않는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$g}$의 동일한 복사본으로 구성된 총 공간에서 이루어지도록 한다.이것과 함께, 우리는 보따리를 가지고 있다.

투영 우주 케이스가 포함되어 있다.관례 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle P(V)}$에 의해 이중 공간 감각의 tautological 번들을 유용하게 운반할 수 있다$$.That is, with ${\displaystyle V^{*}}$ the dual space, points of ${\displaystyle P(V)}$ carry the vector subspaces of ${\displaystyle V^{*}}$ that are their kernels, when considered as (rays of) linear functionals on ${\displaystyle V^{*}}$. If ${\displaystyle V}$ has dimension ${\displaystyle n+}$${\displaystyle 1}$ $[\$$displaystyle$ $n+1$ tautological line bundle은 tautological bundle이며, 방금 설명한 다른 것은 n $등급$이다$.$

형식 정의

Let ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ be the Grassmannian of n-dimensional vector subspaces in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$ as a set it is the set of all n-dimensional vector subspaces of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$$$ 예를 들어 n = 1이면 실제 투영 k-공간이다.

우리는 다음과 같이$$ ${\displaystyle {Gn}_{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle k^{}}$) ${\displaystyle G_{n}(\mathb {R}$^{$n+k})$에 대한 tautological 번들 γ을_{n, k} 정의한다.The total space of the bundle is the set of all pairs (V, v) consisting of a point V of the Grassmannian and a vector v in V; it is given the subspace topology of the Cartesian product ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$$$ 투영 지도 π은 π(V, v) = V로 주어진다. 만약 F가 π 아래 V의 사전 이미지라면, a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw)에 의해 벡터 공간의 구조가 주어진다.마지막으로, 지역사소함을 보려면 Grassmannian에서 X점을 부여하고, X맵에 직교 투영 p를 이형적으로 X에 대해 V를 이형적으로 표시한 다음, U를 모든 V의 집합으로 설정한다.^[3]

${\displaystyle {\begin}\pi ^{-1}(U)\time X\subseteq G_{n}(\mathb {R}^{n+k})\time X\\\\\\pi(V)=(V,p(v)\case{case}}}}}}}}}}}}}}$

분명히 동형상일 거야따라서 결과는 n등급의 벡터다발이 된다.

$위$의 정의는 R ${\$를) 복합 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {C}$로 대체하면 계속 타당하다$.$

정의에 의해 Gn({\displaystyle G_{n}(\mathbb{R}^{n+k})}의 k→ ∞로서, 그 무한한 Grassmannian Gn{\displaystyle G_{n}}는 제한한다.{\displaystyle k\to \infty.}단 γn의 직접적인 제한, kGn의 중언부언하는 다발 γn을 준다.{\displaystyle G_{n}.}나t은의미에서의 보편적 번들: 각각의 콤팩트한 공간에 대해 X, 자연적인 편향성이 있다.

${\displaystyle {\begin}[X,G_{n}]\operatorname {Vect} _{n}^{n}{n}\mathb {R}}}\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n}\case{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

왼쪽의 브래킷은 호모토피 클래스를 의미하고 오른쪽은 n등급의 실제 벡터 번들의 이형성 클래스를 의미한다.역지도는 다음과 같이 주어진다:X는 콤팩트하기 때문에, 모든 벡터 번들 E는 사소한 번들의 하위 번들이다.${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$+ k ${\$^{$n+k}}$ 일부 k에 대해$$ \mathb {R}^{n+k}}}}}을(를) 지정하여 E가 지도를 결정한다.

${\displaystyle {\begin}f_{E:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{case}}}}$

호모토피까지 독특한

비고: 다시 말하면, tautological 번들을 보편적인 번들로 정의할 수 있다; 자연적인 편견이 있다고 가정하자.

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathb {R}(X)}$

모든 파라콤팩트 공간 X에 대해.${\displaystyle {Gn}_{}}$ ${\$은(는) 콤팩트 공간의 직접 한계이므로 파라콤팩트(paracompact)이며, ${\displaystyle {따라서}_{}}$Gn$${\$displaystyle G_$${$n}}에 있는 ID 맵에 해당하는$$ Gn {\$displaystyle G_{n$}}}에 대한 고유한 벡터 번들이 있으며, 제한에$$ 의해 tautologica를 얻는다.l 모든 ${\displaystyle {Gn}_{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle k^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle G_{n}(\mathb {R} ^{n+k})$에 번들로 묶는다.$}$

하이퍼플레인 번들

실제 투사형 k-space의 하이퍼플레인 번들 H는 다음과 같이 정의된다.H의 총 공간은 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ {\$displaystyle \mathb{R} ^{k+1$}의$$ 원점을 통과하는 선 L로 구성된 모든 쌍(L, f)의 집합이며, L의 선형 기능이다.투영 지도 π은 π(L, f) = L(L 위의 섬유는 L의 이중 벡터 공간)으로 주어진다.나머지는 정확히 tautological line bunds와 같다.

즉 H는 tautological line bundle의 이중 묶음이다.

대수 기하학에서 하이퍼플레인 번들은 하이퍼플레인 디비저에 해당하는 선다발(수직 불능 피복)이다.

${\displaystyle H=\mathb {P} ^{n-1}\subset \mathb {P} ^{n}}}$

x가_0i 균일한 좌표인 경우 x = 0으로 지정된다.이것은 다음과 같이 볼 수 있다.$만약{\displaystyle {}^{}}$가 ${\displaystyle {}^{}}$= P$$n , {\$displaystyle X$=\$mathb${P}$^{n$}}에서 (Weil) divisor인 경우, 다음$$ 방법으로 X에 해당하는 선다발 O(D)를 정의한다.

${\displaystyle \Gamma(U,O(D))=\{f\in K(f)+D\geq 0{\text{{}{{{{U\}}}}}}$

여기서 K는 X에 대한 합리적인 기능의 영역이다.D를 H로 간주하여 다음과 같이 처리한다.

${\displaystyle {\begin}O(H)\simeq O(1)\f\mapsto fx_{0}\case}}}$

여기서 x는₀ 평소와 같이 비틀림 피복 O(1)의 글로벌 섹션으로 간주된다(사실상 위의 이형성은 Weil divisors와 Cartier divisors 사이의 통상적인 대응의 일부임).마지막으로 비틀림 피복의 이중은 tautological line bundle에 해당한다(아래 참조).

대수기하에서의 Tautological line bundle

대수 기하학에서 이 개념은 어떤 분야 k에도 존재한다.구체적인 정의는 다음과 같다.$A$ = ${\displaystyle k}$[ y ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle y_{}}$n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A=k[y_{0},\dots,y_{n}]$ 및 ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{Proj}{}^{}}$ ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle \mathb {P}$^{$n}=\operatorname {Proj}A}}$에 유의하십시오$.$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

여기서 Spec은 상대 Spec이다.자, 이제 다음을 넣으십시오.

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \왼쪽({\mathcal {O}_{\mathb {P}) ^{n}}{n},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

여기서 i는 글로벌 섹션 x ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해 생성되는 이상적인 피복이다$.$Then L is a closed subscheme of ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$ over the same base scheme ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$; moreover, the closed points of L are exactly those (x, y) of ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb$${P} ^n}$^{n}}. 즉, ${\displaystyle {}^{}}$가 0이거나$$P n {\displaystyle \$mathb{P} ^n}$에서 x의 이미지가 y인 경우$$.따라서 L은 k가 실제 또는 복잡한 숫자의 필드인 경우 이전에 정의한 것과 같은 tautological line bundle이다.

좀 더 간결하게 말하면, L은 부속 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$n + ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle \mathb{A}^{n+$1}의 원점 확대인데$,$ 여기서 L의 로커스 x = 0은 예외적인 구분자(cf.하르트손, Ch. I, § 4의 끝)

일반적으로 $S{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{p}}$ ${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\displaystyle \mathbf{c}(\mathrm{Sym}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$) ${\displaystyle \mathbf {Spec}(\operatorname {Sym} {\check {E})$는 유한 등급의 국소적으로 자유로운 피복 E에 해당하는 대수 벡터 번들이다.^[4]정확한 순서가 있으니까

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

tautological line bundle L은 위에서 정의한 바와 같이 Serre의 비틀림 피복의 이중$$ O ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{{\mathbb{}}^{}}}$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{O}_{\mathb{P}$^{$n}(-1)$에 해당한다.실제로 두 개념(자동 선다발과 비틀림 피복의 이중)은 서로 교환하여 사용된다.

필드 위에 있는 이중 선 번들은 하이퍼플레인 분할자 H와 관련된 선 번들로, 전역 섹션은 선형 형태다.체르노급은 -H급이다.이것은 반샘플 선다발의 예다.$C{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {C}을($를) 넘어서는$$ 이것은 음선다발이라고 말하는 것과 맞먹는데, 이는 체르누스 클래스를 빼면 표준 Kahler 형태의 de Rham 클래스라는 것을 의미한다.

사실들

• tautological line bundle γ은_{1, k} k ≥ 1에 대해 국소적으로는 사소한 것이지만 사소한 것이 아니다.이것은 다른 분야에서도 여전히 사실이다.^{[citation needed]}

사실, k = 1의 경우, 진짜 tautological 선다발은 다름아닌 전체 공간이 뫼비우스 띠인 잘 알려진 다발이라는 것을 보여주는 것은 간단하다.위의 사실에 대한 충분한 증거를 위해, 참조하라.^[5]

• $P{\displaystyle \mathbb{}(V}$) ${\displaystyle \mathb {P}(V)}$에 있는 라인 번들의 Picard 그룹은 무한 순환이며, tautological 라인 번들은 생성자다.

• In the case of projective space, where the tautological bundle is a line bundle, the associated invertible sheaf of sections is ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$, the tensor inverse (ie the dual vector bundle) of the hyperplane bundle or Serre twist sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$; in other words하이퍼플레인 번들은 (분수기로서) 양의 정도를 가지는 피카르 그룹의 발전기이며, tautological 번들은 그 반대인 음의 정도를 발생시킨다.

참고 항목

• 홉 번들
• 스티펠위트니급
• 오일러 시퀀스
• 체르누스 계급(토우톨로지 번들의 북부 계급은 무한 그라스만족의 코호몰로지 링의 대수학적으로 독립적인 생성자들이다.)
• 보렐 정리
• Thom 공간(tautological 번들의 Thom 공간은_n n →spear로 불림)
• 그라스만 묶음

참조

원천

• Atiyah, Michael Francis (1989), K-theory, Advanced Book Classics (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-09394-0, MR 1043170
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052.
• [M+S] 존 밀너와 짐 스타셰프, 프린스턴 특성 클래스, 1974년.
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3