푸앵카레-벤딕손 정리

Poincaré–Bendixson theorem

수학에서 푸앵카레-벤딕손 정리(Poincaré-Bendixson theorem)는 평면, 실린더 또는 2구에서 연속적인 동적 시스템의 궤도의 장기적인 거동에 대한 진술입니다.[1]

정리

평면의 열린 부분 집합에 정의된 미분 가능한 실제 동적 시스템이 주어졌을 때, 유한하게 많은 고정점만을 포함하는 궤도의 모든 비어 있지 않은 콤팩트한 ω 한계 집합은 다음 중 하나입니다.

게다가, 같은 방향으로 서로 다른 고정점들을 연결하는 궤도는 많아야 하나입니다. 그러나 하나의 고정점을 연결하는 호모클리닉 궤도는 셀 수 없이 많을 수 있습니다.

논의

이 정리의 더 약한 버전은 앙리 푸앵카레(1892)에 의해 처음 구상되었지만, 그는 나중에 Ivar Bendixson(1901)에 의해 제공된 완전한 증거가 없었습니다.

평면(또는 실린더 또는 2구) 이외의 2차원 다양체에서 정의되는 연속 동적 시스템과 고차원 다양체에서 정의되는 시스템은 Poincaré-Bendixson 정리에 따라 세 가지 가능한 경우를 무시하는 ω 한계 집합을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 토러스에서는 반복적인 비주기적 궤도를 가질 수 있으며,[3] 3차원 시스템에는 이상한 인력이 있을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 Arthur J. Schwartz의 일반화로 인해 어떤 2차원 콤팩트하고 연결된 매니폴드에서도 연속 동적 시스템의 최소 세트를 분류할 수 있습니다.[4][5]

적용들

한 가지 중요한 의미는 2차원 연속 동적 시스템이 이상한 인력을 생성할 수 없다는 것입니다. 만약 이상한 끌개 C가 그러한 시스템에 존재한다면, 그것은 위상 공간의 닫힌 부분집합과 경계가 있는 부분집합으로 둘러싸일 수 있습니다. 이 부분집합을 충분히 작게 만들면 근처의 정지점을 제외할 수 있습니다. 그러나 푸앵카레-벤딕손 정리는 C가 전혀 이상한 끌개가 아니라 한계 사이클이거나 한계 사이클로 수렴한다고 말합니다.

Poincaré-Bendixson 정리는 2차원 또는 1차원 시스템에서 혼란스러운 동작이 발생할 수 있는 이산 동적 시스템에는 적용되지 않는다는 점에 유의해야 합니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). "The Poincaré–Bendixson Theory of Two-Dimensional Autonomous Systems". Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill. pp. 389–403. ISBN 978-0-89874-755-3.
  2. ^ Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
  3. ^ D'Heedene, R.N. (1961). "A third order autonomous differential equation with almost periodic solutions". Journal of Mathematical Analysis and Applications. Elsevier. 3 (2): 344–350. doi:10.1016/0022-247X(61)90059-2.
  4. ^ Schwartz, Arthur J. (1963). "A Generalization of a Poincare-Bendixson Theorem to Closed Two-Dimensional Manifolds". American Journal of Mathematics. 85 (3): 453. doi:10.2307/2373135.
  5. ^ Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1995-04-28). Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (1 ed.). Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511809187. ISBN 978-0-521-34187-5.