시트니코프 문제

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시트니코프 문제는 러시아 수학자 Kirill Alexandrovitch Sitnikov의 이름을 딴 삼체 문제의 제한판이다.시트니코프 문제의 특별한 사례는 1911년 미국인 과학자 윌리엄 던컨 맥밀런에 의해 처음 발견되었지만, 현재 그 문제는 시트니코프에 의해 1961년까지 발견되지 않았다.

정의.

이 시스템은 같은${\displaystyle }$질량을 가진 두 개의 주요 물체(${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 1 $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $=$ ${\displaystyle m\frac{}{}\frac{2}{}}$ $)({$}=$m_{2$}=$btfrac {m}{2}}\오른쪽$로 구성되어 있으며, 이들은 질량 중심을 중심으로 원형 또는 타원형의 케플러 궤도를 그리며 움직인다.세 번째 물체는 1차 물체에 비해 상당히 작고${\displaystyle }$질량을 0($m$ 3$=$ $0$)으로 설정할 수 있으며, 1차 물체의 궤도면에 수직인 평면에서 1차 물체의 영향을 받아 움직인다($그림$1 참조).이 시스템의 기원은 주요 기관의 초점에 있다.본 시스템에서는 본체 $m{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle 1}$({$디스플레이 스타일$ m$=1$ $본체{\displaystyle \mathrm{}}$ 2의 $({디스플레이 스타일$ 2$\pi$ 및 $본체{\displaystyle }$ 1$({디스플레이 스타일$ a$=1$)의 궤도반경을$$합한 질량을 사용한다.또한 중력정수는 1이다.세 번째 바디가 한 차원에서만 움직이는 시스템에서는 z축을 따라만 이동합니다.

운동 방정식

주체의 원형 궤도의 경우 운동 방정식을 도출하기 위해 총 ${\displaystyle 에너지}$ E$(\display$ style $\,E)$는 다음과 같다.

${{displaystyle E=frac {1}{2}}\leftfrac {dz}{dt}}\right}^{2}-{\frac {1}{r}}}$

시간에 따라 차이를 둔 후 방정식은 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle {d^{2}z}{dt^{2}}=-{\frac {z}{r^{3}}}}}$

그림 1에 따르면 이는 또한 사실이다.

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}}}$

따라서 운동방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {d^{2}z}{dt^{2}}=-{\frac {z}{\left\flacrt {1+z^{2}}}\right)^{3}}}}$

이것은 하나의 자유도를 가지고 있기 때문에 통합 가능한 시스템을 묘사합니다.

반면 주체가 타원 궤도로 움직인다면 운동 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {d^{2}z}{\frac {z}=-{\frac {z}{\left\frho(t)^{2}+z^{2}}\right}{3}}}}$

여기서${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$ ) $=$ (${\displaystyle t}$ + ${\displaystyle 2\theta }$ )$${$displaystyle \rho ($t)=\$rho (t+2\pi$)}는$$ 공통 질량 중심으로부터의 어느 1차 거리이다.현재 이 시스템은 1.5도의 자유도를 가지고 있으며 혼란스러운 것으로 알려져 있다.

중요성

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시트니코프 문제처럼 정확히 세 개의 천체를 찾거나 배열하는 것은 현실에서 거의 불가능하지만, 문제는 여전히 수십 년 동안 폭넓고 집중적으로 연구되고 있다: 비록 그것은 더 일반적인 삼체 문제의 단순한 경우지만, 그럼에도 불구하고 혼란스러운 시스템의 모든 특성은 여전히 문제 안에서 발견될 수 있다.m, 시트니코프 문제는 혼란스러운 동적 시스템의 영향에 대한 일반 연구에 이상적입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 천체역학
• 카오스 이론
• 이체 문제

문학.

• K. A. 시트니코프: 삼체문제의 진동운동의 존재.입력: Doklady Akademii Nauk SSR, 133/1960, 페이지 303-306, ISSN0002-3264(소련 물리 영어 번역). Doklady., 1960년 5월, S. 647–650)
• K. 보드나:Sitnikov의 오리지널 기사– 새로운 통찰력인: 천체역학과 동적천문학, 56/1993, 99-101, ISSN 0923-2958, pdf
• D. Hevia, F. Ranada:3체문제의 혼란: 시트니코프 사건.인: 유럽물리학저널, 1996/17, 295-302, ISSN 0143-0807, pdf
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurth, 행성계의 혼돈과 안정성, Springer, 2005, ISBN 3540282084
• J. Moser: Princeton University, "안정적이고 랜덤한 운동"프레스, 1973년, ISBN 978-0691089102

레퍼런스

외부 링크

• Sitnikov 문제 – Scholarpedia