프레임 번들

수학에서 프레임 번들은 벡터 번들 E와 연관된 주요 섬유 번들 F(E)이다.점 x에 대한 F(E) 섬유는 E에_x 대해 정렬된 모든 베이스 또는 프레임의 집합이다.일반 선형 그룹은 기준 변경을 통해 F(E)에 자연적으로 작용하여 프레임 번들에는 주 GL(k, R)-번들(여기서 k는 E의 등급)의 구조를 부여한다.

매끄러운 다지관의 프레임 다발은 그것의 접선 다발과 관련된 것이다.이 때문에 접선 프레임 번들이라고도 한다.

정의 및 시공

E → X는 위상학적 공간 X 위에 랭크 k의 실제 벡터 번들이 되게 하라.점 x ∈ X에 있는 프레임은 벡터 공간 E에_x 대한 순서 기반이다.동등하게, 프레임을 선형 이형성으로 볼 수 있다.

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

x에서 모든 프레임 집합 F로_x 표시되며, 변환 불가능한 k × k 행렬의 일반 선형 그룹 GL(k, R)에 의한 자연적 우측 작용: 그룹 요소 g ∈ GL(k, R)이 구성을 통해 프레임 p에 작용하여 새로운 프레임을 부여한다.

${\displaystyle p\circle g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

F에_x 대한 GL(k, R)의 이 작용은 자유롭기도 하고 전이적이기도 하다(이것은 하나의 기초를 다른 것으로 보내는 독특한 반전성 선형 변환이 있다는 표준 선형 대수 결과에서 따온 것이다).위상학적 공간으로서 F는_x 그룹 구조는 부족하지만 GL(k, R)에 대해서는 '선호 프레임'이 없기 때문에 동형이다.공간 F는_x GL(k, R)-토너라고 한다.

F(E) 또는 F_GL(E)로 표시된 E의 프레임 다발은 모든 F_x:

${\displaystyle \mathrm {F}(E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

F(E)의 각 점은 쌍(x, p)이며 여기서 x는 X의 점이고 p는 x의 프레임이다.자연 투영 π : F(E) → X에 (x, p)를 보내는 X가 있다.그룹 GL(k, R)은 위와 같이 오른쪽 F(E)에 작용한다.이 작용은 분명히 자유롭고 궤도는 π의 섬유일 뿐이다.

프레임 번들 F(E)는 E의 토폴로지와 번들 구조로 결정할 수 있다.Let_i (U, φ_i)는 E의 지역적 사소한 것이 되게 한다.그리고 각 x ∈ U에_i 대해 선형 이형성 φ_i,xx : E → R을^k 가진다.이 데이터는 편차를 결정한다.

${\displaystyle \psi _{i}\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\time \mathrm {GL}(k,\mathbf {R} )}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle \p _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\p)).}$

이러한 편차를 통해 각 π⁻¹(U_i)에 U_i × GL(k, R)의 토폴로지를 부여할 수 있다.F(E)의 위상은 포함 지도 π⁻¹(U_i) → F(E)에 의해 도출된 최종 위상 코인이다.

위의 모든 데이터를 사용하여 프레임 번들 F(E)는 구조 그룹 GL(k, R)과 로컬 사소한 부분화({U_i}, {message_i})가 있는 X 위에 주요 섬유 번들이 된다.F(E)의 전이 기능이 E와 동일하다는 것을 확인할 수 있다.

위의 모든 것이 부드러운 범주에서도 작용한다: E가 매끄러운 다지관 M 위에 매끄러운 벡터 다발이라면 E의 프레임 다발에는 매끄러운 기본 다발의 구조가 주어질 수 있다.

관련 벡터 번들

벡터 번들 E와 그 프레임 번들 F(E)는 연관된 번들이다.각각이 서로를 결정한다.프레임 번들 F(E)는 위와 같이 E로부터 시공하거나, 섬유 번들 시공 정리를 이용하여 보다 추상적으로 시공할 수 있다.후자의 방법으로 F(E)는 E와 같은 베이스, 구조군, 사소한 이웃, 전이 기능을 가지는 섬유다발이지만 추상적인 섬유 GL(k, R)을 가지고 있으며, 여기서 섬유 GL(k, R)에 대한 구조군 GL(k, R)의 작용은 왼쪽 곱셈의 작용이다.

임의의 선형 표현 representation : GL(k, R) → GL(V,F)은 벡터 번들이 있다.

${\displaystyle \mathrm {F}(E)\time _{\rho }V}$

제품 F(E) × V modulo에 의해 GL(k, R)의 모든 g에 대해 동등성 관계(pg, v) ~ (p, v(g)v)가 주어지는 F(E)와 관련된다.동등성 클래스를 [p, v]로 표시한다.

벡터 번들 E는 자연적으로 번들 F(E) ×_ρ R과^k 이형성이며 여기서 ρ은 R에^k GL(k, R)을 기본적으로 나타낸다.이형성은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

여기서 v는 R에서^k 벡터, p^k : R → E는_x x에서 프레임이다. 이 지도가 잘 정의되어 있는지 쉽게 확인할 수 있다.

E와 연관된 벡터 번들은 위의 구조로 주어질 수 있다.예를 들어 E의 이중다발은 F(E) ×_ρ* (R^k)*에 의해 주어지며 여기서 **는 기본표현의 이중이다.E의 텐서 묶음은 유사한 방식으로 제작할 수 있다.

접선 프레임 번들

매끄러운 다지관 M의 접선 프레임 번들(또는 단순히 프레임 번들)은 M의 접선 번들과 연관된 프레임 번들이다.M의 프레임 묶음은 F(TM)가 아닌 FM이나 GL(M)으로 표기되는 경우가 많은데, M이 n차원이라면 접선다발에는 n등급이 있으므로 M의 프레임 묶음은 M 위에 있는 주요 GL(n, R) 묶음이다.

부드러운 프레임

M의 프레임 다발의 국부적인 부분을 M의 매끄러운 프레임이라고 한다.원주 묶음의 단면 정리는 프레임 묶음이 매끄러운 프레임을 인정하는 M의 U에 있는 어떤 오픈 세트보다 사소한 것이라고 명시하고 있다.부드러운 프레임 s가 주어지면 : U → FU, 소소화 ψ : FU → U × GL(n, R)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \p)=(x,s(x)^{-1}\p)}$

여기서 p는 x에서 틀이다.M의 프레임 다발이 글로벌 구간을 수용하는 경우에만 다지관이 병렬화될 수 있다는 것이다.

M의 접선 묶음은 M의 조정된 이웃에 대해 사소한 것이기 때문에 프레임 묶음도 마찬가지다.실제로 좌표(x¹,…,xⁿ)가 있는 좌표 주변 U에 좌표 벡터 필드가 있는 경우

${\displaystyle \left \frac {\reft x^{1}},\ldots, {\frac {}{\frac }{\flt x^{n}}}\right)}$

U에 매끄러운 프레임을 정의한다. 프레임 번들로 작업할 때의 장점 중 하나는 좌표 프레임 이외의 프레임으로 작업할 수 있게 한다는 것이다. 당면한 문제에 적응한 프레임을 선택할 수 있다.이것을 액자를 움직이는 방법이라고 부르기도 한다.

납땜형

다지관 M의 프레임 다발은 그 기하학이 M의 기하학과 근본적으로 결부되어 있다는 점에서 특수한 형태의 주성다발이다.이 관계는 땜납 형태(기본적 또는 tautological 1-form이라고도 함)라고 하는 FM 상의 벡터 값 1-폼을 이용하여 표현할 수 있다.x가 다지관 M의 지점이 되게 하고 x에서 프레임을 p로 한다.

${\displaystyle p:\mathbf {R}^{n}\to T_{x}M}$

X에서 M의 접선 공간을 갖는 R의ⁿ 선형 이형성이다.FM의 땜납 형태는 R 값 1-형식ⁿ θ에 의해 정의된다.

${\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi(\xi )}$

여기서 ξ은 점(x,p)에서 FM에 대한 접선 벡터로서⁻¹, p_x : TMⁿ → R은 프레임 맵의 역이며, dπ는 투영 맵 : : FM → M의 차등이다.땜납 형태는 π의 섬유에 접하는 벡터(벡터)에 소멸한다는 의미에서 수평이며, sol의 우측 등가변성이라는 의미에서 땜납 형태는 수평이다.

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }$

여기서 R은_g g ∈ GL(n, R)에 의한 올바른 번역이다.이러한 성질을 가진 형태를 FM에서는 기본형 또는 시제형이라고 부른다.이러한 양식은 M 상의 TM 값 1 형식과의 1-1 서신, 즉 매끄러운 번들 맵 TM → M 상의 TM과 1-1 서신이다.이 조명으로 보면 θ은 TM의 신분 지도일 뿐이다.

명명 규칙으로서, "자동적인 단일 형태"라는 용어는 일반적으로 여기서와 같이 형식에 표준적인 정의가 있는 경우에 대해 유보되는 반면, "솔더 형태"는 형식에 표준적으로 정의되지 않은 경우에 더 적합하다.이 관습은 여기서 지켜지지 않는다.

직교 프레임 묶음

벡터 번들 E에 리만 번들 메트릭이 장착되어 있다면 각각의 섬유 E는_x 벡터 공간일 뿐만 아니라 내부 제품 공간이다.그리고 나서_x E를 위한 모든 정형 프레임의 집합에 대해 말하는 것이 가능하다.E에_x 대한 직교 프레임은 E에_x 대해 정렬된 직교 기준 또는 동등하게 선형 등가측정법이다.

${\displaystyle p:\mathbf {R}^{k}\to E_{x}}}$

여기서 R은^k 표준 유클리드 측정기준을 갖추고 있다.직교 그룹 O(k)는 올바른 구성을 통해 모든 직교 프레임의 세트에서 자유롭고 전달적으로 작용한다.즉, 모든 직교 프레임의 집합은 오른쪽 O(k)-토르이다.

F_O(E)로 표시된 E의 정형 프레임 번들은 기본 공간 X의 각 지점 x에 있는 모든 정형 프레임의 집합이다.그것은 일반적인 프레임 다발의 그것과 완전히 유사한 방법으로 구성될 수 있다.순위 k 리만 벡터 번들 E → X의 정형 프레임 묶음은 X에 대한 O(k) 번들 주임이다.다시 말하지만, 건설은 순조로운 범주에서도 잘 된다.

벡터 번들 E가 방향성을 가질 수 있는 경우, F_SO(E)로 표시된 E의 방향 직교 프레임 번들을 모든 양방향 직교 프레임의 주 SO(k) 번들로 정의할 수 있다.

M이 n차원 리만 다지관이라면 FM 또는_O O(M)로 표기된 M의 정형 프레임 다발은 M의 접선다발과 연관된 정형 프레임 다발이다(정의상 리만 메트릭스가 탑재되어 있다).만약 M이 방향성을 가질 수 있다면, 그 중 하나는 방향의 직교 프레임 묶음 FM도_SO 가지고 있다.

리만 벡터 번들 E가 주어지는 정형 프레임 번들은 일반 선형 프레임 번들의 O(k)-subbundle이다.즉, 포함 지도

${\displaystyle i}{\mathrm {F} }_{\mathrm {O}}(E)\to {\mathrm {F}_{\mathrm {GL}(E)}}}}}에 연결$

주 번들 맵이다.F_O(E)는 F(E_GL)의 구조군을 GL(k, R)에서 O(k)로 줄인 것이라고 한다.

G-구조체

부드러운 다지관 M이 추가적인 구조와 함께 제공되는 경우, 주어진 구조에 적응된 M의 전체 프레임 다발의 하위 번들을 고려하는 것은 자연스러운 경우가 많다.예를 들어 M이 리만족 다지관이라면 M의 정형 프레임 다발을 고려하는 것이 당연하다는 것을 위에서 보았다.직교 프레임 다발은 직교_GL 그룹 O(n)로 F(M)의 구조 그룹을 축소하는 것에 불과하다.

일반적으로 M이 매끄러운 n-manifold이고 G가 GL(n, R)의 Lie-subgroup인 경우, 우리는 M에 대한 G-구조물을_GL F(M)의 구조군을 G(G)로 축소하는 것으로 정의한다. 명시적으로 이것은 G-quivariant 번들 맵과 함께 M에 대한 주요 G-bundle_G F(M)이다.

${\displaystyle {\mathrm {F}}_{G}(M)\to {\mathrm {F}{\mathrm {GL}(M)}$

M에 걸쳐서

이 언어에서 M에 대한 리만족 측정기준은 M에 O(n) 구조를 발생시킨다.다음은 몇 가지 다른 예들이다.

• 모든 지향적인 다지관은 M에 GL⁺(n, R) 구조일 뿐인 지향적인 프레임 번들을 가지고 있다.
• M의 볼륨 폼은 M의 SL(n, R) 구조를 결정한다.
• 2n차원 공감각 다지관은 자연적인 Sp(2n, R) 구조를 가지고 있다.
• 2n차원 복합체 또는 거의 복잡한 다지관은 자연적인 GL(n, C) 구조를 가지고 있다.

이러한 대부분의 경우, M의 G-구조는 M의 해당 구조를 고유하게 결정한다.예를 들어, M의 SL(n, R) 구조는 M의 체적 형태를 결정한다.단, 복합 및 복합 다지관의 경우 등 경우에 따라 통합성 조건이 추가되어야 한다.M의 Sp(2n, R) 구조는 M의 비감속형 2-폼을 고유하게 결정하지만, M이 동일성을 가지려면 이 2-폼도 닫아야 한다.

참조

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30, retrieved 2008-08-02
• Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry ((2nd ed.) ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4