커버 공간

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수학, 특히 대수적 토폴로지에서 커버 맵(또한 투영법을 포함한다)은 위상학적 $공간{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$에서 위상학적 공간 X ${\displaystyle X}$까지 연속 함수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$이며, $X$의 각 지점이 $p$로 고르게 덮인 열린 근방을 가지고 있다$$$$.$($이미지에 표시된 $바$와 같이$)$^[1] 이 경우 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 피복 공간이라고 하고$$ X ${\$디스플레이 $스타일$ X$} 피복$ 투영의 기본 공간을 피복 $공간$이라고 한다. 그 정의는 모든 커버 맵이 지역적 동형상이라는 것을 암시한다.

공간을 커버하는 것은 호모토피 이론, 조화 분석, 리만 기하학, 미분 위상에 중요한 역할을 한다. 예를 들어 리만 기하학에서 라미화는 지도를 다룬다는 개념을 일반화한 것이다. 덮개 공간도 호모토피 집단, 특히 근본 집단에 대한 연구와 깊이 얽혀 있다. $중요$한 애플리케이션은$$X {\$displaystyle$ X$$$}$이(가) "충분히 양호한" 위상학적 공간인$$경우 X {\$displaystyle$ X$}$의 $연결$된 커버링의 모든 이형성 클래스와 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty$ X$}$의 기본 그룹 하위 그룹의 결합성 클래스 사이에 편차가 있다는 결과에서 나온다$.$

형식 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간으로 두십시오$$. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 포함하는 공간은 위상학적 $공간{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$과(와) 연속적인 과부하 지도가 함께$$ 표시됨

$C\to X} 표시식 P\colon C\to X}$

such that for every ${\displaystyle x\in X}$, there exists an open neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle x}$, such that ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ (the pre-image of ${\displaystyle U}$ under ${\displaystyle p}$) is a union of disjoint open sets in ${\displaystyl$$e C$ 각각 $p$에$$의해$$$U$ {\$displaystyle$ $U$$}$에 가정형식으로 매핑된다$.$^[2][3]

마찬가지로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 피복 공간은 이산 섬유를 가진 섬유$$ $번들{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$: C${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\colon C\to X}$로 정의할 수 있다$$.

맵 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 커버 맵이라고 하고,^[3] $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$을(를$$) 커버의 기본 공간이라고 하며, 공간 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$을 커버의 총 공간이라고 한다$$. 밑면에 있는$$ 임의의 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}$의 역 영상은 반드시 x $위$에$$섬유라고 하는 이산 공간이다^[3]$.$

이 정의에$$ $주어진{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x}의$$ 특수 열린 이웃 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) 고르게 커버된 이웃이라고 한다. 고르게 덮여 있는 동네들은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$공간의 개방된 커버를 형성한다$.$ 균일하게 덮여 있는 $이웃{\displaystyle }$ U$${\$displaystyle$U}의 C$${\$displaystyle$C}에 있는 동종복사본을 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 위에 있는 시트라고 부른다$$$.$ 일반적으로 $C{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ $C$$}$를 "$위로{\displaystyle }$ 회전$"$ X {\$displaystytype$ X}와$$함께 $p{\displaystyle }$ ${\$dapp를$$ "아래로 표시한다.서로 위로 수평으로 쌓이고 $있는$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle$ U$}$과$($와) "수직적으로 위에" x ${\displaystyle$ x$} 위$에 $놓여$ 있는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 점들로 $구성$된 X ${\displaystystyle$ x$}$과$($와)의 섬유. 특히 지도는 지역적으로 사소한 것이다. This means that locally, each covering map is 'isomorphic' to a projection in the sense that there is a homeomorphism, ${\displaystyle h}$, from the pre-image ${\displaystyle p^{-1}(U)}$, of an evenly covered neighborhood ${\displaystyle U}$, onto ${\displaystyle U\times F}$, where ${\displ$$aystyle F}$ is the fiber, satisfying the local trivialization condition, which states the following: if ${\displaystyle \pi \colon U\times F\to U}$ is the projection onto the first factor, then the composition ${\displaystyle \pi \circ h:p^{-1}(U)\to U}$ equals ${\displaystyle p}$ locally($p{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle$ p$^{-1}(U)}$ 내).$$

대체 정의

많은 저자들이 커버 맵의 정의에서$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $C$ ${\displaystyle C}$ 공간에 일부 연결 조건을 부과한다. 특히 많은 저자들은 두 공간 모두 경로연계(path-connected)와 국소연계(local path-connected)^[4][5]를 이것은 많은 이론들이 문제의 공간들이 이러한 특성을 가지고 있을 때만 유지되기 때문에 도움이 될 수 있다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 연결되어 있고 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 비어 있지 않으면 커버 맵의 허탈성은 실제로 다른 공리에서 따르기 때문에 일부 저자는 허탈성의 가정을 생략한다.

예

• 모든 공간은 사소한 것 하나하나가 자신을 덮고 있다.
• 연결되고 로컬로 연결된 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 반 로크로 간단히 연결되는 경우에만 범용 커버를 가지고$$ 있다.
• ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ${\$은(는) 원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$의 범용 표지${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{1}.$
• 스핀 그룹 ${\displaystyle \mathrm{스핀}(n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname$ {$Spin}(n)}$은 특수 직교 그룹의 이중 커버로, > ${\displaystyle n>2}$일 때 범용 커버로 되어 있다$$ 그런 다음, Lie 그룹에게 우연적이거나 예외적인 이소모르프즘은 낮은 차원의 스핀 그룹과 고전적인 Lie 그룹 사이에 이소모르프성을 부여한다.
• 유니터리 $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$ U ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {$${\displaystyle U\mathbb{}}$$}(n)}$에는 범용 커버 ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \times }$ R ${\$}}이$$(가) 포함되어 있다$.$
• n-sphere ${\displaystyle {Sn}^{}}$ ${\$ S$^{n}}$은(는) 실제 투사 공간 P ${\displaystyle n_{}}$ $){\displaystyle P_{n}(\mathb {R}$)의 이중 커버로$$$$, > 1 ${\displaystyn>1}$의 범용 커버다
• 모든 다지관에는 다지관이 방향성이 없는 경우에만 연결되는 방향성이 있는 이중 커버가 있다.
• 균일화 정리는 모든 리만 표면이 리만 구체, 복합 평면 또는 단위 원반과 일치하는 범용 덮개를 가지고 있다고 주장한다.
• $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$개의$$ 쐐기 모양의 범용 표지는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ 생성기에$$ 있는 자유 그룹의 Cayley 그래프(예: 베테 격자)이다.
• 토러스는 클라인 병을 이중으로 덮은 것이다. 이는 토러스 병과 클라인 병용 폴리곤을 사용하고, $원$의 이중 커버가 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$1 → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${{\$}:{1}($$$C{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle\mathb{C}}}$에 내장되어 $z{\displaystyle }$↦ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ z$^{2}}).$
• 모든 그래프에는 초당적인 이중 커버가 있다. 모든 그래프는 원의 쐐기 부분과 동일시되기 때문에, 그것의 보편적 표지는 Cayley 그래프다.
• 콤팩트한 다지관에서 같은 차원의 다지관에 이르기까지의 모든 몰입은 그 이미지를 덮는 것이다.
• 커버 공간을 구성하는 또 다른 효과적인 도구는 자유 유한 집단 작용에 의한 인용구를 사용하는 것이다.
• For example, the space ${\displaystyle L_{p/q}}$ is defined by the quotient of ${\displaystyle S^{3}}$ (embedded into ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) via the ${\displaystyle \mathbb {Z} /q}$-action ${\displaystyle (z_1,z_2)\mapsto (e^{2\pi i/q}{z}_1,e^{2\pi ip/q}{z}_{}}$${\displaystyle 2_{}}$) ${\displaystyle (z_{1},z_{2}}\mapsto(e^{2\pi i/q}z_{1}, e^{2\pi ip/q}z_{2$ 렌즈 공간이라 불리는 이 공간은 $기본{\displaystyle \mathbb{}}$ 그룹 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathb {Z} /q}$이(가) 있고 범용 커버 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$이$($가) 있다.
• The map of affine schemes ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ forms a covering space with ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ as its group of deck trans형성 이것은 주기적인 갈루아 커버의 예다.

특성.

공통 로컬 속성

• 모든 커버 p:C→ X{\displaystyle p\colon C\to X}이 지역에서는 유질 동상.;[6]그것은, 모든 c에서 C{\displaystylec\in C}∈, c이 있는 지역 UC⊆{U\subseteq C\displaystyle}및 p(c)이 이웃 V⊆ X{\displaystyle V\subseteq X}과는 그 제한{\displaystyle p(c)}존재한다.의 p to U는 U에서 V까지 동형성을 산출한다. 이는 C와 X가 모든 로컬 속성을 공유한다는 것을 의미한다. X가 단순하게 연결되고 C가 연결되면 이 역시 세계적으로 유지되며, 커버링 p는 동형상이다.
• If ${\displaystyle p\colon E\to B}$ and ${\displaystyle p'\colon E'\to B'}$ are covering maps, then so is the map ${\displaystyle p\times p'\colon E\times E'\to B\times B'}$ given by ${\displaystyle (p$$\times p'$ ($e,e')=(p(e),p'(e$^[7]

섬유질 동형성

X의 모든 X에 대해 x 위의 섬유는 C의 이산형 부분집합이다.^[3] X의 모든 연결된 구성 요소에서 섬유는 동형이다.

만약 X로 연결될 수 있는 이산 공간 F가 영화를 위해 x에 X가 섬유 x은homeomorphic에 F, 더 나아 가 모든 x에 X을 모을 수 있는 동네 U의 등은 전체 pre-image p−1(U)은homeomorphic에 U×F에서 특히 카디널리티의 섬유 x와 카디널리티의 F와 그것은 이 정도 o.f표지 p : C → X 따라서 모든 섬유에 n개의 성분이 있으면 n-폴드 커버(사례 n = 1의 경우 피복은 사소한 것이고, n = 2일 경우 피복은 이중 커버, n = 3일 경우 피복은 삼중 커버 등)에 대해 언급한다.

리프팅 특성

If p : C → X is a cover and γ is a path in X (i.e. a continuous map from the unit interval [0, 1] into X) and c ∈ C is a point "lying over" γ(0) (i.e. p(c) = γ(0)), then there exists a unique path Γ in C lying over γ (i.e. p ∘ Γ = γ) such that Γ(0) = c. The curve Γ is called the lift of γ. If x and y are two points in X connected by a path, then that 경로는 리프팅 특성을 통해 x 위의 섬유와 y의 섬유 사이에 편차를 제공한다.

보다 일반적으로 f : Z → X를 연결된 경로와 국소 경로로 연결된 공간 Z에서 X에 대한 연속적인 지도가 되도록 한다. 베이스 포인트 z ∈ Z를 고정하고, 포인트 c ∈ C "over over" f(z) (즉, p(c) = f(z))를 선택한다. 그 다음에 f의 상승(즉, 유도동형성 f : ∘ g = f, g(z) = c)의 상승이 존재하며, 만일 유도동형성 f_# : π₁(Z, z) → π_1#(X, f(z) 및 p : π₁(C, c) → π₁(X, f(z))의 상승이 기본군 수준에서 충족되는 경우에만 존재한다.

$${\displaystyle f_{\#}(\pi _{1}(Z,z))\subset p_{\#}(\pi _{1}(C,c)).}$$

(♠)

더욱이 그러한 f의 리프트 g가 존재한다면 그것은 독특하다.

특히 공간 Z가 단순하게 연결되어 있다고 가정할 경우(Z, z) 조건₁( ()이 자동으로 충족되며, Z에서 X까지의 모든 연속 지도가 해제될 수 있다. 단위 간격[0, 1]은 단순하게 연결되므로 경로에 대한 리프팅 특성은 위에 기술된 지도에 대한 리프팅 특성의 경우다.

If p : C → X is a covering and c ∈ C and x ∈ X are such that p(c) = x, then p_# is injective at the level of fundamental groups, and the induced homomorphisms p_# : π_n(C, c) → π_n(X, x) are isomorphisms for all n ≥ 2. Both of these statements can be deduced from the lifting property for continuous maps. n ≥ 2에 대한 p의_# 과부하율은 그러한 모든 n에 대해 n-sphere S가ⁿ 간단히 연결되고 따라서 S에서ⁿ X까지의 모든 연속 지도가 C로 들어올릴 수 있다는 사실에서 나타난다.

등가성

p₁ : C₁ → X와 p₂ : C₂ → X를 두 커버로 한다. 하나는 동형상 p₂₁ → C가₂₁ 존재하는 경우 두 커버링 p와₁ p가₂ 동등하다고 하며, 이러한₂ 커버링의 동등성₁ 등급은 X의₂₁ 기본 그룹의 하위 그룹의 결합 등급에 해당한다. 만약₂₁ p : C₂ → C가₁ (동형성이 아닌) 피복이고 p₂ = p₁ p₂₁ p가₂ p를₁ 지배한다고 말한다.

다지관 덮개

피복은 국부적 동형상이기 때문에 위상학적 n-매니폴드의 피복은 n-manifold이다.(다지관의 기본 집단이 항상 계수할 수 있다는 사실에서 피복공간이 제2의 계수임을 증명할 수 있다.) 그러나 n-manifold에 의해 덮인 공간은 Hausdorff가 아닌 다지관일 수 있다. 예를 들면 C를 원점이 삭제된 평면으로 하고 X를 (2x, y/2)로 모든 점(x, y)을 식별하여 얻은 몫의 공간을 X로 하여 제시한다. p : C → X가 지수 지도라면, f(x, y) = (2x, y/2)에 의해 생성되는 C에 대한 Z의 작용이 자유롭고 방황(그러나 적절히 불연속하지는 않음)하기 때문에 커버가 된다. p(1, 0)와 p(0, 1) 포인트는 X에 분리된 이웃을 가지고 있지 않다.

다른 다지관의 피복 공간에는 p(해당 피복지도)를 국부적인 차이점형(해당 피복지도)으로 바꾸는 (자연적) 피복형 구조가 장착될 수 있다. 즉, 순위는 일정하게 n이다.

유니버설 커버

커버 공간은 간단히 연결된다면 보편적인 커버 공간이다. 유니버설 커버라는 명칭은 다음과 같은 중요한 속성에서 유래한다: 맵핑 q → X가 스페이스 X의 유니버설 커버이고 맵핑 p : C → X가 커버 스페이스 C가 연결되는 스페이스 X의 커버라면, p ∘ f = q와 같은 커버 맵 f : D → C가 존재한다. 이것은 다음과 같이 표현될 수 있다.

(X 공간의) 범용 커버는 (X 공간의) 연결된 모든 커버를 덮는다.

지도 f는 다음과 같은 점에서 독특하다: 공간 X에 점 x를, 공간 D에 점 d를 q(d) = x로 고정하고 공간 C에 점 c를 p(c) = x로 고정하면, p ∘ f = q와 f(d) = c와 같은 독특한 표지 지도 f : D → C가 존재한다.

공간 X에 범용 커버가 있다면 그 범용 커버는 본질적으로 독특하다: 매핑₁ Q : D → X와₁ Q₂ : D₂ → X가 공간 X의 범용 커버라면, q₂ q f = q와₁ 같은 동형상 f : D → D가₁₂ 존재한다.

공간 X는 연결되고 국소 경로로 연결되며 반 로크로 간단하게 연결될 경우 범용 커버를 가지고 있다. 공간 X의 범용 커버는 공간 X의 특정 경로 공간으로 건설될 수 있다. 좀 더 명시적으로, 기본 그룹₁ ((X)을 구조 그룹으로 하여 주체 번들을 형성한다.

위의 예 R → S는¹ 범용 커버다. 단위 쿼터니온에서 쿼터니온과 공간 회전에 이르는 지도 S³ → SO(3)도 유니버설 커버다.

공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 일부 추가 구조를 포함하는$$ 경우 일반적으로 범용 커버가 해당 구조를 상속한다.

• 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 다지관일 경우 범용 커버 D도 다지관일 수 있다.
• 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Riemann 표면이라면 범용 커버 D도 마찬가지$,$ p {\$displaystyle p}$은 홀모픽 맵이다.
• 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 리만 다지관이라면 범용 커버도 마찬가지, p ${\displaystyle p}$은 국부 등위계다.
• 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로렌츠 다지관이라면 범용 커버도 마찬가지일 것이다. Furthermore, suppose the subset p⁻¹(U) is a disjoint union of open sets each of which is diffeomorphic with U by the mapping ${\displaystyle p}$. If the space ${\displaystyle X}$ contains a closed timelike curve (CTC), then the space ${\displaystyle X}$ is timelike multiply connected (no CTC can be timelike homotopic to a p연고, 그 점은 인과적으로 잘 행동하지 않을 것이기 때문에, 그것의 보편적(이형성) 커버는 단순히 시간적으로 연결되어 있다(CTC를 포함하지 않는다).
• X가 (위의 두 예에서와 같이) Lie 그룹이라면, 그 유니버설 커버 D도 마찬가지인데, 매핑 p는 Lie 그룹의 동형상이다. 이 경우 유니버설 커버를 유니버설 커버 그룹이라고도 한다. 보편적 피복집단(D)의 통상적 표현은 원래 (일반적)집단(X)의 투영적 표현이기 때문에 이것은 표현 이론과 양자역학에 특히 적용이 된다.

보편적 커버는 분석적 연속성의 자연영역으로서 분석적 기능의 이론에서 처음 생겨났다.

G커버링

G는 위상학적 공간 X에 작용하는 별개의 그룹이 되도록 하자. This means that each element g of G is associated to a homeomorphism H_g of X onto itself, in such a way that H_{g h} is always equal to H_g ∘ H_h for any two elements g and h of G. (Or in other words, a group action of the group G on the space X is just a group homomorphism of the group G into the group Homeo(X) of self-homeomorphisms of X.) X에서 궤도공간으로의 투영 X/G는 어떤 조건에서 커버 맵인가를 묻는 것은 당연하다. 동작에 고정된 포인트가 있을 수 있기 때문에 항상 그렇지는 않다. 이에 대한 예로는 비식별 요소가 (x, y) ↦ (y, x) ↦ (y, x)에 의해 작용하는 트위스트 작용에 의해 제품 X × X에 작용하는 순서 2의 순환 그룹이 있다. 따라서 X와 X/G의 기본 그룹 사이의 관계에 대한 연구는 그리 간단하지 않다.

그러나 G 그룹은 X의 기본 그룹형에서 작용하기 때문에 그룹형에서 작용하는 그룹과 해당 궤도 그룹형들을 고려함으로써 연구를 가장 잘 처리한다. 이에 대한 이론은 아래에 언급된 위상과 조로이드라는 책의 11장에 명시되어 있다. 주요 결과는 범용 커버를 허용하는 하우스도르프 공간 X에서 그룹 G의 불연속 작용에 대해, 궤도 공간의 기본 그룹 X/G는 X의 기본 그룹오이드의 궤도 그룹오이드, 즉 그룹 G의 작용에 의한 해당 그룹오이드의 몫에 이형성이라는 것이다. 이것은 예를 들어 공간의 대칭 제곱의 기본 그룹의 명시적 연산으로 이어진다.

갑판(덮개) 변환 그룹, 일반 커버

덮개 $변환{\displaystyle }$ 또는 갑판 변환 또는 자동 ${\displaystyle \mathrm{형태}:}$ ${\displaystyle C}$→ X ${\displaystyle p:$$C\to X}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{동형상}}$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ C ${\displaystyle f:$${\displaystyle P}$to f = p ${\displaystyle p\circ f=p}$과 같은 C$\to$ C$\}.$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 모든 데크 변환 집합이 구성 중인 그룹을 형성하며$$, 데크 변환 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle (p}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut}(p$ 데크 변환을 커버하는 변환이라고도 한다. 모든 갑판 변환은 각 섬유소의 원소를 허용한다. 이것은 각 섬유에 대한 데크 변환 그룹의 그룹 동작을 정의한다. 고유한 리프팅 속성에 의해 f ${\displaystyle f}$이(가) ID가 아니고$$ C ${\displaystyle C}$이($가{\displaystyle }$) 연결된 경로인$$ 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에는 고정 지점이 없다는$$ 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathrm{이제}}$ p${\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ X ${\displaystyle p:$$C\to X}$은(는) 커버 맵이며 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}($따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$도$)$가 연결되고 로컬 경로로 연결된다. 각 섬유에서$$ ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \operatorname {Aut}(p)}$의 작업은 무료다. 만약 이 작용이 어떤 섬유에서 전이적이라면, 그것은 모든 섬유에서 전이되는 것이고, 우리는 커버를 정규(또는 정상 또는 갈루아)라고 부른다. 이러한 모든 정규 커버는 $주{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ -분할이며, $여기$서 G${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle (p}$) ${\displaystyle G=\operatorname {Aut}(p)}$은 이산 위상학 그룹으로 간주된다$$.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 범용 커버 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ X ${\displaystyle p:$$D\to X}$은(는) 규칙적이며, 갑판 변환 그룹은 ${\displaystyle {기본\mathrm{}}_{}}$ 그룹 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$( X )$${\$displaystyle \pi _{1$}(X$)\}$에 대해 이형성이 있다.

또 다른 중요한 예로 복합 평면$$$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과(와) $복합$ 평면에서 원점을 뺀 C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$C} ^{\time }}$을(를) 고려하십시오. 그러면 지도 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $p{\displaystyle (z}$) = ${\displaystyle z^{}}$ n$${\$displaystyp$ p$(z)=z^{n}}}}}}$는 정규 표지다$$. The deck transformations are multiplications with ${\displaystyle n}$-th roots of unity and the deck transformation group is therefore isomorphic to the cyclic group ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Likewise, the map ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times$$$${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$가 있는 것이 유니버설 커버다$$.

모노드로미 작용

다시 맞춰:C→ X{\displaystyle p\colon C\to X}은 동봉한 지도와 C(며 따라서 또한 X), 이 지역에서 경로 연결되어 연결되어 있다. 만약 xX에서 c가 섬유질에 x(즉, p(c)에) 속하여 있는 x{\displaystyle p(c)=x}cm이고, γ:[0,1]γ(0)과 → X{\displaystyle \gamma \colon[0,1]\to X}길)γ(1)=-1{\displaystyle \gamma(0)=\gamma(1)=x}, 그 때 이 경로 C에서 유일한 경로에 시작 포인트가 철폐 c 이 없어짐에 따라 경로의 끝 지점일 필요는 없다, c, 그러나 그것은 섬유질이 x에 놓여야 한다 이 종료 시점만 γ의 근본적인 그룹 π1(X, x)에 수업 시간에 달려 있는 것이 밝혀졌다. 이 패션에서 우리는 x에 π1(X, x)의 섬유에 올바른 집단 행동을 얻는다 이것은monodromy 조치로 알려져 있다.

그 섬유로 x2행동:왼쪽에 Aut(p)행위, 오른쪽엔 π1(X, x)적인 행동이 있다. 이 두가지 조치는 다음과 같은 의미에서:모든 f에 Aut(p), π1(X, x)에 p−1())과 γ에 c에서 f⋅(c⋅ γ))(fc⋅)⋅ γ{\displaystyle f\cdot(c\cdot \gamma)=(f\cdot c)\cdot \gamma}호환됩니다.

만약 p은 보편적인 커버도록 Aut(p)의 섬유로x. 노트(로 집단은 언제나 자연스럽게 그 어떤 수의 반대의 throu에 동형이 Aut(p)과 π1(X, x)은 이 경우 동형 이상이 동작과 π1(X, x)일치의 반대편 그룹의 왼쪽 액션. Aut(p)자연스럽게 π1(X, x)의 반대편 단체로 식별할 수 있는 g↦ g−1 cm이다.

p가 일반 커버인 경우, Aut(p)는 naturally₁(X, x)의 인수에 따라 자연적으로 이형화된다.

일반적으로 (좋은 공간의 경우) aut(p)은_* p(c₁) = x인 p(c)에 대한₁ ((X, x)의_* p(c₁, c)의 노멀라이저 인수에 대해 자연적으로 이형적이다.

그룹 구조에 대한 자세한 정보

p : C → X는 X와 C가 모두 경로로 연결된 커버 맵이 되도록 한다. x ∈ X를 X의 기준점으로 하고 c ∈ C는 C의 사전 이미지 중 하나로, 즉 p(c) = x. 기초 집단의 유도 동형성이 있으며, p_#1 : ((C, c) → π₁(X,x)는 피복의 리프팅 성질에 의해 주입된다. 특히 만약 γ는 닫힌 루프 c에서 그러하다는 것이 낫지. γ X에서null-homotopic은∘은 p)([γ]))1다면 지도 f로p∘ γ의 null-homotopy을 고려해 보십시오. D2→ X가 2-disc D2X부터는 f의 경계 S1D2의 제한 이∘ γ과 같습니다. 해제 속성에 의해 그 지도 f가 연속적으로 지도 g:D2→ C는 restri을 들어 올립니다.불완전 d의² 경계 S에 대한¹ g의 값은 γ과 같다. 따라서 γ은 C에서 null-homotopic이므로 p_# : π₁(C, c) → π₁(X, x)의 낟알은 사소한 것이므로 p : π₁(C, c) → π_#1(X, x)는 주입성 동형이다.

따라서 π₁(C, c)은 π₁(X, x)의 부분군 p_#(c₁, c)와 이형성이다. c₁ ∈ C가 c에서 x의 또 다른 사전 이미지인 경우, 부분군 p_#(c₁, c)와 p_#(c₁, c₁)는 c와 c를₁ 연결하는 C에서 곡선의 p-이미지에 의해₁ ((X, x)에서 결합된다. 따라서 표지 지도 p : C → X는 π₁(X, x)의 부분군의 결합 등급을 정의하며, X의 등가 커버는 π₁(X, x)의 부분군의 동일한 결합 등급을 정의함을 보여줄 수 있다.

커버링 p : C → X의 경우, 그룹_# p(C₁, c)도 다음과 같은 것으로 볼 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{p}(c)=\{[\gamma ]:\gamma _{C}{\text{{}}는 }}C{\text{}}}}}}의 닫힌 곡선이다.$

닫힌 곡선의 호모토피 등급 집합은 c에서 시작하여 c에서 시작하는 c에서 닫힌 곡선인 c에서 리프트 lifts를_C x에 기초한다. X와 C가 경로로 연결된 경우, 커버 p의 정도(즉, p의 섬유에 대한 카디널리티)는 π₁(X, x)에 있는 부분군_# p(c₁, c)의 지수[ index₁(X, x) : p_#(π₁, c)]와 같다.

커버 공간 이론의 핵심 결과는 "충분히 양호한" 공간 X의 경우(이름은 X가 경로로 연결되고 국소 경로로 연결되며 반 로크로 단순하게 연결된 경우) X의 경로로 연결된 커버의 동등성 등급과 기본 그룹 π₁(X, x)의 하위 그룹의 결합성 등급 사이에 사실 편차가 있다고 말한다. 이 결과를 증명하는 주요 단계는 π₁(X, x)의 사소한 부분군에 해당하는 커버인 유니버설 커버의 존재를 확립하는 것이다. X의 범용 커버 C의 존재가 확립되면, H ≤ π₁(X, x)가 임의의 서브그룹이라면 공간 C/H는 H에 해당하는 X의 커버가 된다. 또한 π₁(X, x)의 동일한 (주력 등급) 부분군에 해당하는 X의 커버 2개가 등가인지 확인할 필요가 있다. 커넥티드 셀 콤플렉스와 커넥티드 다지관은 '충분히 좋은' 공간의 예다.

N(N_p)을 π₁(X, x)의 γ의_p Normalizer로 한다. 갑판 변환 그룹 Aut(p)는 지수 그룹 N(N_p)(/)/γ과_p 이형이다. p가 범용 커버라면 γ은_p 사소한 그룹이고, aut(p)은 π₁(X)에 이형이다.

이 주장을 뒤집자. N을 π₁(X, x)의 정규 부분군으로 한다. 위의 논거에 의해, 이것은 p : C → X를 포괄하는 (정규)를 정의한다. C in₁ x의 섬유 안에 있게 한다. 그리고 x 섬유 안에 있는 다른 모든 c에₂ 대해, 정확하게₁ c에서 c로₂ 가는 하나의 갑판 변환이 있다. 이 데크 변환은 c와₁ c를₂ 연결하는 C의 곡선 g에 해당한다.

그룹오이드와의 관계

공간을 덮는 이론의 대수적 내용을 표현하는 방법 중 하나는 groupoids와 기본 groupoid를 사용하는 것이다. 후자의 functor는 카테고리의 등가성을 제공한다.

${\displaystyle \pi _{1}:\operatorname {TopCov}(X)\to \operatorname {GpdCov}(\pi _{1}X)}$

꽤 괜찮은 공간 X의 커버 공간 범주와 π₁(X)의 형태론을 커버하는 그룹노이드 범주 사이에. 따라서 특정 종류의 공간 지도가 그룹오이드의 특정한 형태론에 의해 잘 모델링된다. 그룹형 G의 모피즘을 다루는 범주는 또한 세트에서 G의 작용 범주와 동등하며, 이것은 커버링의 더 전통적인 분류의 회복을 가능하게 한다.

공간 분류 및 그룹 코호몰로지와의 관계

만약 X가 모든 n 2 2에 대해 호모토피 그룹_n ((X) = 0을 갖는 연결된 세포 복합체라면, X의 범용 커버 공간 T는 화이트헤드 정리를 T에 적용하면 다음과 같이 수축이 가능하다. 이 경우 X는 G = π₁(X)에 대한 분류 공간 또는 K(G, 1)이다.

더욱이, 매 n ≥ 0에 대해 세포 n-체인 C_n(T) 그룹(즉, T에서 n-세포가 제공한 근거를 가진 자유 아벨리안 그룹)도 자연적인 ZG-모듈 구조를 갖는다. 여기서 T에서 n-세포 σ의 경우, G에서 g의 경우 g σ은 g에 해당하는 T의 커버 변형에 의해 σ의 정확히 번역된다. 더욱이 C_n(T)는 T에 있는 n-세포의 G-궤도 대표자가 주는 무료 ZG-basis가 있는 무료 ZG-module이다. 이 경우 표준 위상 체인 복합체

${\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to }}C_{n-1}(T){\overset {\partial }{\to }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} ,}$

여기서 ε은 증강 지도로서 Z의 자유 ZG 해상도(Z는 사소한 ZG-모듈 구조를 갖추고 있으며, gm = m은 모든 g ∈ G와 모든 m ∈ Z에 대한 것)이다. 이 분해능은 임의 계수를 갖는 G의 집단 코호몰리를 계산하는 데 사용할 수 있다.

Graham Ellis가 J. Symbolic Comp.에 있는 그의 논문과 아래에 열거된 그의 웹페이지에서 볼 수 있듯이, 집단 결의와 동질 대수의 다른 측면을 계산하는 방법은 이 보편적 커버의 수축 호모토피와 동시에 유도적으로 K(G, 1)의 범용 커버를 구축하는 것이다. 계산법을 알려주는 것은 후자다.

일반화

호모토피 이론으로서, 공간을 덮는 개념은 데크 변환 그룹이 별개일 때, 또는 동등하게 공간이 국소 경로로 연결되어 있을 때 잘 작동한다. 그러나 갑판 변환 그룹이 위상이 별개 아닌 위상학 그룹일 경우 어려움이 발생한다. 하와이식 귀걸이와 같이 좀 더 복잡한 공간에 대해 약간의 진전이 있었다. 자세한 정보는 거기서 참조를 참조하라.

제레미 브라자스로 인한 세미코버링의 개념으로 이러한 여러 가지 어려움이 해결되었다. 아래 인용된 논문을 참조하라. 모든 표지 지도는 반반복이지만 반반복은 "3개 중 2개" 규칙을 만족한다: 공간 지도 구성 h = fg로 주어진다면, 두 개의 지도가 반반복인 경우, 세 번째도 마찬가지다. 커버 맵의 구성은 커버 맵이 될 필요가 없기 때문에 이 규칙은 커버링 맵을 보유하지 않는다.

또 다른 일반화는 자유롭지 못한 집단의 행동에 관한 것이다. 로스 거헤건은 1986년 평론(MR)에서M.A. 암스트롱이 작성한 궤도 공간의 기본 그룹에 관한 논문 2편 중 0760769)은 다음과 같이 썼다: "이 두 논문은 우주 이론의 기초적인 부분이 자유 사례에서 자유 사례로 옮겨가는 것을 보여준다. 이는 지난 50년간 기본집단에 관한 표준 교과서에 포함되었어야 할 기본 자료의 일종이다." 현재 이러한 결과를 다룰 수 있는 유일한 기본 토폴로지 텍스트는 아래에 열거된 "토폴로지 및 조로이드"로 보인다.

적용들

커버 공간의 중요한 실용적 적용은 회전 그룹인 SO(3)의 차트에서 발생한다. 항법, 항해공학, 항공우주공학 등에서 3차원 회전이 많이 사용되고 있기 때문에 이 그룹은 공학에서 광범위하게 발생한다. 토폴로지로는 SO(3)가 실제 투영 공간 RP로³, 기본 그룹 Z/2와 (비경쟁) 공간을 커버하는 (비경쟁) 하이퍼스피어³ S는 그룹 스핀(3)으로, 단위 쿼터니온으로 표현된다. 따라서 쿼터니온은 공간 회전을 나타내기 위해 선호되는 방법이다. 쿼터니온과 공간 회전을 참조하라.

그러나 평면 회전에 익숙한 사람이 개념적으로 더 간단하기 때문에 흔히 오일러 각도(수많은 변형에서)로 알려진 3개의 숫자 집합으로 회전을 나타내는 것이 바람직하며, 3개의 김벌 조합을 만들어 3차원으로 회전을 만들 수 있기 때문이다. 위상학적으로 이것은 3-토러스 T에서³ 회전하는 실제 투영 공간 RP까지의³ 지도에 해당하며, 이 지도는 커버 맵이 될 수 없기 때문에 결과 지도에 결함이 있다. 구체적으로는 지도가 특정 지점에서 국부적 동형성이 되지 못하는 것을 짐벌락이라고 하며, 오른쪽 애니메이션에서 증명한다 – (도끼가 동일선일 때) 지도의 순위는 3이 아니라 2가 되는데, 이는 지도의 각도를 변경하여 그 지점부터 2차원의 회전만이 실현될 수 있다는 것을 의미한다.이것은 응용 프로그램에 문제를 일으키고 커버 공간의 개념에 의해 공식화된다.

참고 항목

• Bethe lattice는 Cayley 그래프의 보편적인 표지다.
• 피복 그래프, 비방향 그래프의 피복 공간 및 특별한 경우 초당적 이중 피복
• 커버링 그룹
• 갈루아 접속부
• 지수 공간(토폴로지)

메모들

참조

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