최소 카이-제곱 추정

통계에서 카이-제곱 추정치가 되는 최소 분산은 관측된 데이터를 바탕으로 관측되지 않은 수량을 추정하는 방법이다.^[1]

특정 카이-제곱 검정에서는 지정된 검정 통계량이 너무 크면 해당 통계량이 귀무 가설이 참일 경우 카이-제곱 분포를 갖는 경우 모집단 분포에 대한 귀무 가설을 기각한다.최소 카이-제곱 추정에서는 해당 검정 통계량을 가능한 작게 만드는 모수의 값을 찾는다.

그 사용의 결과 중 하나는 실제로 표본 크기가 클 때 검정 통계량이 카이-제곱 분포를 갖는다는 것이다.일반적으로 이 방법으로 추정된 각 모수에 대한 자유도가 1씩 감소한다.

예를 통한 그림

특정 랜덤 변수가 음이 아닌 정수 1, 2, 3, . . . 크기 20의 단순한 랜덤 표본을 추출하여 다음과 같은 데이터 집합을 산출한다고 가정합시다.이 표본을 추출한 모집단이 포아송 분포를 따른다는 귀무 가설을 검정하는 것이 바람직하다.

${\displaystyle {\datable{array}{ccc}{\text{value}\\\\hline 0&1\\1\\\1\\\1&\\\1\\\\\1&\\\\\\\\\\\\\\\\\\\7&0\]8&0\endori1}{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

모집단 평균의 최대우도 추정치는 3.3이다.모집단 분포가 기대값 3.3의 포아송 분포인지 여부에 대한 피어슨의 카이-제곱 검정을 적용할 수 있다.그러나 귀무 가설은 그것이 특정한 포아송 분포라는 것을 명시하지 않고, 다만 어느 정도의 포아송 분포라는 것만을 명시하였으며, 숫자 3.3은 귀무 가설에서 나온 것이 아니라 데이터에서 나온 것이다.경험칙은 모수를 추정할 때 자유도를 1로 줄인다고 하는데, 이 경우 (10개의 셀이 있기 때문에) 9개에서 8개로 줄어든다.귀무 가설이 참일 때 결과 검정 통계량이 대략 카이-제곱 분포를 갖기를 바랄 수 있다.그러나 일반적으로 최대우도 추정을 사용하는 경우는 아니다.그러나 최소 카이-제곱 추정치를 사용할 때는 무증상적으로 사실이다.

최소 카이-제곱 추정치 찾기

모집단 평균 λ의 최소 카이-제곱 추정치는 카이-제곱 통계량을 최소화하는 수입니다.

${\displaystyle \sum {\frac}-{\text{frac}-{\expected}^{2}}:{\text{expected}}}}=\sum _{k=0}^{8}{\frac(셀의 {\text{count})-20\frac{{k}e^!}}}}\오른쪽)^{2}}:{20\왼쪽 \frac{\k}e^{-\messda }}}{k!}}\오른쪽)}}}+{\frac {(0-a)^{2}}{a}}$

여기서 a는 "> 8" 셀의 예상 예상 번호로, "20"은 표본 크기 때문에 나타난다.a 값은 포아송 분포 랜덤 변수가 8을 초과할 확률의 20배이며, 0에서 8에 해당하는 확률의 합을 1에서 뺀 값으로 쉽게 계산된다.사소한 대수학으로, 마지막 학기는 간단히 a로 줄어든다.수치 계산을 통해 카이-제곱 통계량을 최소화하는 λ의 값이 약 3.5242라는 것을 알 수 있다.그것은 λ의 최소 카이-제곱 추정치다.that의 해당 값에 대해 카이-제곱 통계량은 약 3.062764이다.10개의 세포가 있다.귀무 가설이 λ 추정을 요구하지 않고 단일 분포를 지정했다면, 검정 통계량의 귀무 분포는 자유도가 10 - 1 = 9인 카이-제곱 분포일 것이다.λ을 추정해야 했기 때문에, 1도의 자유가 추가로 상실된다.자유도가 8인 카이-제곱 랜덤 변수의 기대값은 8이다.따라서 관측치 3.062764는 상당히 겸손하며 귀무 가설은 기각되지 않는다.

참고 및 참조

외부 링크

• Joseph Berkson의 "최소 카이-제곱, 최대 가능성이 아님!"