도트 제품

수학에서, 도트 곱(dot product^{[note 1]}) 또는 스칼라 곱(scalar product)은 같은 길이의 두 개의 수열(일반적으로 좌표 벡터)을 취하여 하나의 숫자를 반환하는 대수 연산이다.유클리드 기하학에서는 두 벡터의 데카르트 좌표의 점곱이 널리 사용된다.유클리드 공간에서 정의할 수 있는 유일한 내적물이 아님에도 불구하고, 종종 유클리드 공간의 내적물(또는 드물게 투영적물)이라고 불린다(자세한 내용은 내적물 공간 참조).

대수적으로, 도트곱은 두 수열의 대응하는 엔트리의 곱의 합이다.기하학적으로, 그것은 두 벡터의 유클리드 크기와 그들 사이의 각도의 코사인 산물이다.이러한 정의는 데카르트 좌표를 사용할 때 동일합니다.현대 기하학에서 유클리드 공간은 종종 벡터 공간을 사용하여 정의된다.이 경우 도트곱은 길이(벡터의 길이는 벡터 자체의 도트곱의 제곱근)와 각도(두 벡터 사이의 각도의 코사인은 그 길이의 곱에 의한 도트곱의 몫)를 정의하기 위해 사용된다.

"도트 곱"이라는 이름은 이 ^[1]연산을 나타내기 위해 자주 사용되는 중심 점 " · "에서 유래했다. 대체 이름 "스칼라 곱"은 3차원 공간에서의 벡터 곱의 경우와 마찬가지로 결과가 벡터가 아닌 스칼라임을 강조한다.

정의.

점곱은 대수적 또는 기하학적으로 정의될 수 있다.기하학적 정의는 각도와 거리(벡터의 크기)의 개념에 기초한다.이 두 정의의 등가는 유클리드 공간에 대한 데카르트 좌표계를 갖는 것에 의존한다.

유클리드 기하학의 현대적 표현에서, 공간의 점들은 그들의 데카르트 좌표의 관점에서 정의되고, 유클리드 공간 자체는 일반적으로 실제 좌표ⁿ 공간 R과 동일시된다.이러한 프레젠테이션에서 길이와 각도의 개념은 점곱에 의해 정의된다.벡터의 길이는 벡터 자체의 도트 곱의 제곱근으로 정의되며, 길이 1의 두 벡터 사이의 (비방향) 각도의 코사인은 도트 곱으로 정의된다.그래서 점곱의 두 정의의 등가는 유클리드 기하학의 고전적 공식과 현대적 공식의 등가성의 일부입니다.

대수적 정의

2개의 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$= [ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}}$、${\displaystyle {}_{},}$ , ${\displaystyle n_{}}$]{ $displaystyle$ { red } [ $a _$ { 1} , a$$_ {2} , \ $cdots$$$, a$_$ { $n$} }${\displaystyle }$ b b b b ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$= [ ${\displaystyle {}_{}}$ 1, ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 2,$$ $b,$n$]{$ $display$ {$b$ _$cdots }$ }의 도트 곱

$\displaystyle \mathbf {color {blue} \cdot \mathbf {color {blue} = \sum _ {i=1}^{n} {\color {blue}_{i} = color {blue}a}_{1+color}$

여기서 δ는 합계를 나타내고 n은 벡터 공간의 치수이다.예를 들어, 3차원 공간에서 벡터 [1, 3, -5] 및 [4, -2, -1]의 도트곱은 다음과 같다.

$({displaystyle}\[{\color {red}1,3,-5})\cdot[{\color {blue}4,-2,-1})&=cdot\color {{\color {blue}4}+({\color {blue})+({\color {color})\color {blue})$

마찬가지로 벡터 [1, 3, -5]의 도트 곱은 다음과 같습니다.

${displaystyle {red}\[{\color {red}1,3,-5}\cdot [{\color {red}1,3,-5}]&=cdot\color {red}1\times {red}+({\color {red}3}+({\color {red}-5})$

행 행렬로 벡터가 식별되면 점곱도 행렬 곱으로 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {color {blue}\cdot \mathbf {color {b}=\mathbf {color {b}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 B$(\${color ${b}^{\mathsf$ {T$}})$는 b$(\$의 전치입니다$.$

위의 예제를 이 방법으로 표현하면, 1 × 3 행렬(행 벡터)에 3 × 1 행렬(열 벡터)을 곱하여 고유한 입력으로 식별되는 1 × 1 행렬을 얻을 수 있습니다.

- [ -$- 1 ]=$ { $display$style {$bmatrix$} $1$& \$color$ { $red$} $3$& \$color$ { $red$} 3 & $\ color${$bmatrix$} 3 & \$color$ { bmatrix } { \$color$ { \ $color${ \ $bmatrix }$

기하학적 정의

유클리드 공간에서 유클리드 벡터는 크기와 방향을 모두 가진 기하학적 물체이다.벡터는 화살표로 그려질 수 있다.크기는 길이이고 방향은 화살표가 가리키는 방향입니다.벡터 a의 크기는${\displaystyle \theta \mathbf{}}$ a$(\$ \right$\backslash \})$로 표시됩니다. 2개의 유클리드 벡터 a와 b의 점곱은 다음과 같이 정의됩니다^[3][4][1].

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \ \ mathbf {a} \ \ \ \ \ cos \ theta , }$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도입니다.

특히 벡터 a와 b가 직교하는 경우(즉, 각도가 θ / 2 또는 90°), ${\displaystyle \cos \frac{\mathrm{\theta }}{}}$ 2 ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle \ cos$ \ $frac$\ $pi$} {2} $= 0$이므로 다음과 같은 의미가 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = 0}$

다른 쪽 극단에서, 그것들이 상호 방향일 경우, 그들 사이의 각도는 ${\displaystyle 0}$이고, cos${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ $=$ 1$(\style$ \$cos$ 0 $= 1$)이고,

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\mathbf {a} \right\,\left\mathbf {b} \right\}$

이것은 벡터 a의 점곱이 그 자체임을 암시한다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\mathbf {a} \right\^{2}$

그러면

$(\displaystyle \left \ mathbf {a} \ right \ = rt { mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} )$

벡터의 유클리드 길이의 공식

스칼라 투영 및 첫 번째 특성

유클리드 벡터 b의 방향에서 유클리드 벡터 a의 스칼라 투영(또는 스칼라 성분)은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle a_{b}=\left\mathbf {a}\right\cos \theta,}$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도입니다.

도트 제품의 기하학적 정의 측면에서, 이것은 다시 쓰여질 수 있습니다.

${displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {widehat {mathbf {b}}$

$여기$서 b${\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\displaystyle =b\mathbf{}}$ / ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle b\mathbf{}}$‖${\displaystyle }$‖ \ $displaystyle${ \ $mathbf { b$ } = \ $mathbf {$ b } / \$left$\ \ $mathbf { b$} \$right$ \ $}$는 b 방향의 단위 벡터입니다.

따라서 도트곱은 다음과 같이 기하학적으로^[5] 특징지어진다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b} \left \ mathbf {a} \right \ \ mathbf {a} \ right \ }$

이러한 방식으로 정의된 도트 곱은 각 변수의 스케일링 하에서는 균질하다. 즉, 스칼라 α의 경우,

$\displaystyle (\alpha \mathbf {a})\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot ) =\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} )}$

이것은 또한 분배 법칙을 만족시키기도 하는데, 이는 다음과 같은 것을 의미한다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c})=\mathbf {a} \mathbf {a} +\mathbf {c}$

이러한 특성은 도트 생성물이 쌍선형 형태라고 하는 것으로 요약할 수 있다.또한, 이 쌍선형 형태는 양의 유한형이며, 이는${\displaystyle \theta \mathbf{}}${\$displaystyle$$\mathbf {a}$ \$cdot \$$mathbf$ ${a$$}$ $}$이(가) 음이 아니며, a ${\displaystyle =}$ $=$ \$mathbf {0$인 $경우$에만 0임을 의미한다.

따라서 도트곱은 b의 노름(길이)에 a over b의 투영 노름을 곱하는 것과 같다.

정의의 동등성

만약₁ e, ..., e가_n R의ⁿ 표준 기저 벡터라면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {displaystyle {n} \mathbf {a} \mathbf {a} \sum _{i} a_{i} \mathbf {b} &=[b_1} \mathbf {n} =\sum _i} mathbf {a}\end { aligned}}$

벡터_i e는 직교 정규 기저이며, 즉 단위 길이를 가지며 서로 직각임을 의미합니다.따라서 이 벡터들은 단위 길이를 가지고 있기 때문에

$\displaystyle \mathbf {e}_{i}\cdot \mathbf {e}_{i}=1}$

서로 직각을 이루고 있기 때문에 i, j가 되면

$\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$

따라서 일반적으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {e} \cdot \mathbf {e} _{j}=\displaystyle _{ij}.}$

여기서 is은 크로네커 델타입니다.

또한, 기하학적 정의에 의해, 모든 벡터_i e와 벡터 a에 대해, 우리는 주목한다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i} = \left \mathbf {e} _{i} \cos \theta _{i} = \left \mathbf {a} \right \cos \ta {i} {e} {i} ,$

여기서_i a는 e방향_i 벡터 a의 성분이다.평등의 마지막 단계는 그림에서 알 수 있다.

이제 도트 곱의 기하학적 버전의 분배율을 적용하면

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \sum _{i} \sum _{i} \sum {e} _{i} \mathbf {i} _i}$

정확히 도트곱의 대수적 정의입니다.그래서 기하학적 점곱은 대수적 점곱과 같습니다.

특성.

a, b 및 c가 실제 벡터이고 r이 ^[2][3]스칼라일 경우 닷 곱은 다음 속성을 충족합니다.

1. 교환:

   $\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$

   이는 정의에서 비롯된다(a와 ^[6]b 사이의 각도).

   $\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \left \mathbf {b} \right \cos \theta = \left \mathbf {b} \right \ cos \ta = \mathbf {a } \right \cos \ta = \mathbf {bf} \cdf {a }$

2. 벡터 덧셈에 대한 분포:

   $\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c})=\mathbf {a} \mathbf {a} +\mathbf {c}$

3. 쌍선형:

   $\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c})=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$

4. 스칼라 곱셈:

   $\displaystyle(c_{1}\mathbf {a})\cdot(c_{2}\mathbf {b})=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})}$

5. 스칼라(a b b)와 벡터(c) 사이의 도트곱이 정의되어 있지 않기 때문에 연관성이 없습니다.즉, 관련성(a b b) c c 또는 a ((b c c)에 관련된 식 모두 정의되어 ^[7]있지 않습니다.그러나 앞에서 언급한 스칼라 곱셈 특성은 때때로 "스칼라 ^[8]및 도트곱에 대한 연관법칙"이라고 불리거나 c (a ) b) = (c a) b b = a c (c b)^[9] 때문에 "스칼라 곱셈과 관련하여 점곱이 연관된다"고 말할 수 있습니다.
6. 직교:

   0이 아닌 두 벡터 a와 b는 a µ b = 0인 경우에만 직교합니다.

7. 취소 없음:

   ab = ac이면 b는 a가 0이 아닌 한 항상 c인 일반 숫자의 곱과는 달리, 도트 곱은 소거 법칙을 따르지 않습니다.

   a b b = a c c 및 a 0 0일 경우, a ( (b - c) = 0으로 쓸 수 있습니다. 위의 결과는 a가 (b - c)에 수직임을 의미하며, 이는 여전히 (b - c) 0 0을 허용하므로 b c c를 허용합니다.

8. 제품 규칙:

   a와 b가 (소수값) 미분함수일 경우, a의 도함수(소수값 θ에 의한)는 규칙 (a θ b)θ = a θ b + a θ bθ에 의해 주어진다.

코사인 법칙의 적용

두 벡터 a와 b각도 θ(바로 이미지 참조하십시오)에 의해 분리된 그들은이 제3자의 c와 같이 삼각형은−. b이다.을 형성하기이 자체에 점의 제품 있으세요.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\color{오렌지}c}\cdot \mathbf{\color{오렌지}c}&=(\mathbf{\color{}일 경우 빨간 색은}-\mathbf{\color{}일 경우 파란 b})\cdot(\mathbf{\color{}일 경우 빨간 색은}-\mathbf{\color{}일 경우 파란 b})\\&, =\mathbf{\color{ 빨간}a}\cdot \mathbf{\color{ 빨간}a}-\mathbf{\color{ 빨간}a}\cdot \mathbf{\color{ 푸른}b}-\mathbf{\color{ 푸른}b}.\cdot)Mathbf{\color{ 빨간}a}+\mathbf}\cdot \mathbf{\color{ 푸른}b}\\&, =\mathbf{\color{ 빨간}a}^{2}-\mathbf{\color{ 빨간}a}\cdot \mathbf{\color{ 푸른}b}-\mathbf{\color{ 빨간}a}\cdot \mathbf{\color{ 푸른}b}+\mathbf{\color{ 푸른}b}^{2}\\&, =\mathbf{\color{ 빨간}a}^{2}-2\mathbf{\color{ 빨간}a}\cdot \mathbf{\color{ 푸른}b}{\color{ 푸른}b.+\mathbF{\color{ 푸른}b}^{2}\\\mathbf}^{2}&, =\mathbf{\color{ 빨간}a}^{2}+\mathbf{\color{ 푸른}b}^{2}-2\mathbf{\color{ 빨간}a}\mathbf{\color{ 푸른}b}\cos \mathbf{\color{보라 색}\theta}\\\end{정렬}}}{\color{오렌지}c.$

코사인 법칙입니다.

트리플 프로덕트

도트곱과 크로스곱의 3원 연산이 있습니다.

세 벡터의 스칼라 삼중곱은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} \cdot )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b})}$

이 값은 세 벡터의 데카르트 좌표가 컬럼인 행렬의 결정식입니다.3개의 벡터에 의해 정의되는 평행입방체의 부호부피로, 3개의 벡터의 외부곱의 3차원 특수 케이스와 동형이다.

벡터 삼중곱은 다음과 같이 정의된다^[2][3].

$\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ), \mathbf {b} - (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ), \mathbf {c}.$

라그랑주 공식으로도 알려진 이 항등식은 "ACB - ABC"로 기억될 수 있으며, 어떤 벡터가 함께 점점이 되어 있는지 기억한다.이 공식은 물리학에서 벡터 계산을 단순화하는 데 응용된다.

물리

물리학에서 벡터 매그니튜드는 물리적인 의미에서의 스칼라(즉, 좌표계로부터 독립된 물리량)이며, 단순히 숫자가 아닌 수치와 물리 단위의 곱으로 표현된다.도트곱은 좌표계와는 무관하게 공식에 의해 주어진 스칼라이기도 합니다.예를 ^[10][11]들어 다음과 같습니다.

• 기계적 작업은 힘과 변위 벡터의 점곱이다.
• 힘은 힘과 속도의 산물이다.

일반화

복소 벡터

복잡한 엔트리가 있는 벡터의 경우 주어진 도트 곱의 정의를 사용하면 상당히 다른 속성을 얻을 수 있습니다.예를 들어, 벡터가 0 벡터가 되지 않으면 벡터 자체의 점곱이 0이 될 수 있다(예를 들어 벡터 a = [1 i]).이것은 차례로 길이와 각도와 같은 개념에 영향을 미칠 것이다.양의 정의 노름과 같은 특성은 대체 정의를^[12][2] 통해 도트 곱의 대칭 및 이중 선형 특성을 포기하는 비용으로 회수할 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \sum _ {i} {{a_{i}}, {\overline {b_{i}}}}$

${\displaystyle \stackrel{}{{여기}_{}}}$서 b i ${\$ { \ $displaystyle {$ b$_$ { $i$} } } $is$ b ${\displaystyle i_{}}$ {$displaystyle b$_ { $i$}} $is{\displaystyle {}_{}}$ 。 벡터가 열 벡터로 표현될 때 점곱은 켤레 전치 행렬 곱으로 표현될 수 있으며, H:

$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \mathbf {b} ^{\mathsf {H}} \mathbf {a} .$

실제 성분이 있는 벡터의 경우 이 정의는 실제 경우와 동일합니다.어떤 벡터의 도트곱도 음이 아닌 실수이며, 0 벡터를 제외하고는 0이 아니다.단, 복합 도트 생성물은 a에서 선형적이지 않고 공역 선형이기 때문에 쌍선형이라기보다는 세스선형이다.도트 곱은 대칭이 아닙니다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = 오버라인(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} } ).$

두 복소 벡터 사이의 각도는 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle \cos \theta = parc frac {Re}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ){\left\right\,\left\mathbf {b} \right\}}} 。}$

복잡한 도트 곱은 수학과 물리학에서 널리 사용되는 에르미트 형태와 일반적인 내적 공간의 개념으로 이어집니다.

행 벡터의 켤레 전치(conjection $)$를 포함하는 복소 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ a $=$ ${\displaystyle {\mathsf{}}^{}}$ H$$ {\$displaystyle \mathbf {a}$ \$mathbf {a} ^{\mathbf {a}$}의 자기 점곱은 $={}^{}$ ${norm\mathrm{}}^{}$ $square\mathbf{}$ a라고도 한다$.$유클리드 노름 이후; 그것은 복소 스칼라의 절대 제곱의 벡터 일반화이다.

내부 제품

내부 곱은 실수 R $(\$ 또는$$ $복소수{\displaystyle \mathbb{}}$C 필드(\$displaystyle \mathbb {C$ 중 하나)의 스칼라 필드(\displaystyle \$langl$)에 걸쳐 벡터 공간을 추상화하도록 일반화되어 있습니다.일반적으로 ${\displaystyle 각\mathbf{}}{\displaystyle }$괄호${\displaystyle a\mathbf{}}$, b$,$ \$displaystyle \l$로 표시됩니다.$e \mathbf {a} ,\mathbf {b}$ \$right\rangle$ $\}$ 。

복소수 영역에 걸친 두 벡터의 내부 곱은 일반적으로 복소수이며 쌍선형 대신 세스키라인이다.내적 공간은 노름 벡터 공간이며, 벡터 자체의 내적은 실재하고 정의 정의이다.

기능들

닷 곱은 제한된 수의 엔트리를 가진 벡터에 대해 정의됩니다.따라서 이들 벡터는 이산함수로 간주할 수 있다.길이 n벡터 u는 도메인 {k n N 1 1 k k n n}을 갖는 함수이며_i, u는 함수/벡터 u에 의한 i의 화상의 표기법이다.

이 개념은 연속 함수로 일반화할 수 있습니다. 벡터의 내적곱이 대응하는 성분보다 합을 사용하는 것처럼 함수의 내적곱은 일정 간격 a µ x µ b([a, b]^[2]로도 표시됨)에 걸쳐 적분으로 정의됩니다.

${\displaystyle \left\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)v(x)param}$

위의 복잡한 내적과 유사하게 복잡한 함수 δ(x) 및 δ(x)로 더욱 일반화하면 다음과^[2] 같은 효과를 얻을 수 있다.

$\displaystyle \left \psi ,\chi \rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}개요$

무게 함수

내부 제품은 가중치 함수(즉, 내부 제품의 각 항에 값을 가중치하는 함수)를 가질 수 있습니다.명시적으로 무게 r >($x)$에 대한 $u(x)$ 및 $)$ {$displaystyle$v$(x)}$의 내부 곱은 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle \left\right\rangle =\int _{a}^{b(x)r(x)u(x)v(x)}개요$

다이나믹스 및 행렬

행렬에 대한 이중 도트 곱은 프로베니우스 내부 곱으로, 벡터 상의 도트 곱과 유사합니다.이는 크기가 동일한 두 행렬 A와 B의 해당 성분들의 곱의 합으로 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij} {\overline {B_{ij}} =\operatorname {tr}(\mathbf {H} ^{\mathsf {A}) =opername {trame}$

$=$${T}}=\operatorname {tr}(\mathbf {A}$^{\$mathbf {$T}})=\$operatorname {tr}(\mathbf$ {B} \$mathbf {A} ^{\mathsf {T}} ）$ 。 (실제 매트릭스의 경우)

행렬을 2진법으로 작성하면 다른 이중 도트 곱을 정의할 수 있지만(Dyadics product 2진법과 2진법의 곱 참조), 내부 곱은 아닙니다.

텐서

순서 n의 텐서와 순서 m의 텐서 사이의 내적곱은 순서 n + m - 2의 텐서이다. 자세한 내용은 텐서 축소를 참조한다.

계산

알고리즘

벡터의 부동소수점 곱을 계산하는 간단한 알고리즘은 치명적인 취소가 발생할 수 있습니다.이를 피하기 위해 Kahan summary 알고리즘 등의 접근법이 사용됩니다.

라이브러리

도트 제품 함수는 다음 항목에 포함됩니다.

• BLAS 레벨 1 실제 SDOT, DDOT; 복합 CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
• 줄리아 as.A' * B
• Matlab을 로서A' * B또는conj(transpose(A)) * B또는sum(conj(A) .* B)
• GNU 옥타브 assum(conj(X) .* Y, dim)
• 인텔 oneAPI 마스 커널 라이브러리 real p?dot dot = sub(x)'*sub(y);복잡한 p?dotc dotc = conseg(sub(x)')*sub(y)

「 」를 참조해 주세요.

• 코시-슈바르츠 부등식
• 크로스 프로덕트
• 그래프의 도트 제품 표현
• 유클리드 노름, 셀프 도트 곱의 제곱근
• 행렬 곱셈
• 미터법 텐서
• 벡터의 곱셈
• 외부 제품

메모들

레퍼런스

외부 링크

• "Inner product", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 복잡한 벡터를 포함한 도트 제품에 대한 설명
• Bruce Torrence의 "Dot Product", Wolfram 데모 프로젝트, 2007.