스프레이(수학)

미분 기하학에서 스프레이는 접선 번들 TM에 있는 벡터 필드 H로, 베이스 다지관 M에 일반적인 미분 방정식의 퀘이린 2차 순서 시스템을 인코딩한다. 일반적으로 스프레이는 그 적분 곡선 t→φ_H^t(ξ)∈의 의미에서 균일해야 한다.TM은 긍정적인 재평가로 φ_H^t(λ)==(ξ) 규칙을_H^λt 준수한다. 이 요건이 삭제되면 H를 세미스프라이라고 한다.

리만과 핀들러 기하학에서 자연적으로 지오데틱 스프레이로서 스프레이가 발생하는데, 그 일체형 곡선은 곡선을 최소화하는 국소 길이의 접선 곡선이다. 반미스프레이는 라그랑기 역학에서 행동 통합의 극한 곡선으로 자연스럽게 발생한다. 이러한 모든 예를 일반화하면, M의 (비비선형) 연결은 반미스프레이 H를 유도하고 반대로 반미스프레이 H는 M의 비틀림 없는 비선형 연결을 유도한다. 원래 연결부가 비틀림 없는 경우 H에 의해 유도된 연결부와 일치하며 균일한 비틀림 없는 연결부는 완전한 분무와 일대일 일치한다.^[1]

형식 정의

M을 차별성 있는 다지관이 되게 하고 (TM, TM_TM, TM, M) 그 접선다발이 되게 하라. TM의 벡터 필드 H(즉, 이중 접선 번들 TTM의 섹션)는 다음 세 가지 등가 조건 중 하나가 유지되는 경우, M의 벡터 필드 H이다.

(π_TM)_*H_ξ = ξ.
JH=V. 여기서 J는 TM의 접선 구조, V는 TM\0의 표준 벡터장이다.
JJH=H, 여기서 j:TTM→TTTM은 표준 플립이며 H는 지도 TM→로 보인다.TTM.

M의 반미스레이 H는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 (완전) 분무이다.

H_λξ = λ_*(λH_ξ), 여기서 λ_*:TTM→TTTM은 곱셈 λ의 푸시 포워드다.TM→TM by 양성 스칼라 λ>0.
표준 벡터장 V를 따른 H의 거짓말이변수는 [V,H]=H를 만족시킨다.
적분 곡선 t→THW_H^t(()∈H의 TM\0은 어떤 λ>0에 대해서도 φ_H^t(λ)=λφ(_H^λtξ)을 만족한다.

( $(x^{i},\xi ^{i})$ $(x^{i},\xi ^{i})$ , $(x^{i},\xi ^{i})$ i $(x^{i},\xi ^{i})$ ) $(x^{i},\xi ^{i}}$ 을(를) 각 접선 공간의 좌표를 사용하여 $M$ $M$ $M$ 의 로컬 좌표 $(x^{i}$ i ${\$ 와 연결된 $TM$ $TM {\displaystystystystystytype$ TM $}$ 의 로컬 좌표가 되도록 $(x^{i},\xi ^{i})$ 한다. 그러면 $H$ $H$ 이(가) $M$ $M$ 에 대한 세미스레이(semispray)로 $H$ , 양식의 로컬 표현이 있는 경우 $M$

H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big  }_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big  }_{(x,\xi )}.

TM의 각 관련 좌표계에 대하여. 분무 계수 G가ⁱ 만족하는 경우에만 반분무 H가 (완전) 분무다.

G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,

라그랑기 역학의 세미스프레이즈

물리적 시스템은 라그랑지안 역학에서 라그랑지안 함수 L:일부 구성 공간 M의 접선 번들에 대한 TM→R. 동적 법칙은 해밀턴 원리에서 얻어지는데, 이 원리는 시간 진화 γ: [a,b]→M은 작용 적분 작용에 대해 정지해 있다고 기술하고 있다.

{\displaystyle

=\int _{a}^{b}L(\gamma(t),{\dot {\gamma }}}dt}

.

TM의 관련 좌표에서 동작 통합의 첫 번째 변동은 다음과 같이 읽는다.

{\frac {d}{ds}}{\Big  }_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big  }_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}X^{i}dt,

여기서 X:[a,b]→R은 γ(t) = γ₀(t) 주위의 γ_s:[a,b]→M과 관련된 변동 벡터장이다. 이 첫 번째 변동 공식은 다음과 같은 개념을 도입함으로써 보다 유익한 형태로 다시 작성할 수 있다.

The covector $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i} _{x}\in T_{x}^{*}M$ with $\alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )$ is the conjugate momentum of $\xi \in T_{x}M$ $\xi \in T_{x}M$ $\xi \in T_{x}M$ $\xi \in T_{x}M$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M$
The corresponding one-form $\alpha \in \Omega ^{1}(TM)$ with $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i} _{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*$ $TM}$ 은 $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*}TM$ 라그랑지안과 연관된 힐버트 양식이다.
The bilinear form $g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j}) _{x}$ with $g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}(x,\xi )$ is th $\xi \in T_{x}M$ $\xi \in T_{x}M$ $\xi \in T_{x}M$ x $\xi \in T_{x}M$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M$ 에 있는 라그랑지안의 기본 텐서.
The Lagrangian satisfies the Legendre condition if the fundamental tensor $\displaystyle g_{\xi }$ is non-degenerate at every $\xi \in T_{x}M$ . Then the inverse matrix of $\displaystyle g_{ij}(x,\xi )$ is denoted by $\displaystyle g^{ij}(x,\xi )$ $\displaystyle g^{ij}(x,\xi )$ ${\$ g $^{ij}(x,\xi$ $\displaystyle g^{ij}(x,\xi )$
라그랑지안과 연관된 에너지는 $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ( $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ) $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ = $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ( $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ) $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ - $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ( $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ) - L ( ξ $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$ ) ${\$ 이다 $\displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )$

레전드레 조건이 충족되면 dα∈Ω²(TM)은 합성형이며, 해밀턴 함수 E에 해당하는 TM에는 다음과 같은 고유한 해밀턴 벡터 필드 H가 존재한다.

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

E

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

= -

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

H

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

{\

\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha

(Xⁱ,Yⁱ)는 TM의 관련 좌표에서 해밀턴 벡터 필드 H의 구성품이 되도록 한다. 그러면

\iota _{H}d\alpha =Y^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}

그리고

dE={\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{i}

따라서 우리는 해밀턴 벡터 필드 H가 스프레이 계수를 가진 구성 공간 M의 반미스라이임을 알 수 있다.

G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.

이제 첫 번째 변동 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

{\frac {d}{ds}}{\Big  }_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big  }_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,

그리고 만약 그것의 접선 곡선이 ''인 경우에만 end[a,b]→M이 고정된 엔드 포인트와 통합된 작용에 대해 정지되어 있음을 알 수 있다:[a,b]→TM은 해밀턴 벡터 필드 H의 일체형 곡선이다. 따라서 기계 시스템의 역학은 작용 통합에서 발생하는 반미스프레임으로 설명된다.

지오데식 스프레이

리만과 핀들러 다지관의 곡선을 최소화하는 국부적인 길이를 지오데틱스라고 부른다. 라그랑기 역학의 틀을 사용하면 이러한 곡선을 스프레이 구조로 설명할 수 있다. TM에서 다음을 기준으로 Lagrangian 함수 정의

L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),

여기서 F:TM→R은 핀슬러 기능이다. 리만니아의 경우 F²(x,sv) = g_ij(x)ξξ을ⁱ^j 사용한다. 이제 위의 섹션의 개념을 소개한다. 리만니아의 경우, 기본적인 텐서_ij g(x, ξ)는 단순히 리만인의 미터법_ij g(x)인 것으로 밝혀졌다. 일반적인 경우 동질성 조건

F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0

핀슬러 기능의 공식은 다음과 같다.

{\displaystyle \alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{2}=g_{ij}\xi ^{i}}\quad E=\alpha _{i}\xi ^i}-L={\tac{1}{2}}F^{2}}}.

고전적인 기계적 측면에서 마지막 방정식은 시스템의 모든 에너지(M,L)가 운동 형태라고 말한다. 또한 동질성 특성을 얻는다.

g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i}(x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),

마지막 하나가 이 기계 시스템에 대한 해밀턴 벡터 필드 H가 완전 분무라고 했네 기본 핀슬러(또는 리만니아) 다지관의 일정한 속도 지오데오디컬은 다음과 같은 이유로 이 스프레이에 의해 설명된다.

g는_ξ 핀슬러 공간에 대해 양수성이므로, 길이 기능에 충분한 모든 짧은 정지 곡선은 길이를 최소화하는 것이다.
작용 적분의 모든 정지 곡선은 일정한 속도 $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$ ( $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$ ( t ) $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$ , $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$ t ) = $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda$ ${\displaystyle F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)$ 이다.에너지는 자동으로 움직임의 상수이기 때문에 $because$ the Energy is a constant of motion.
$\gamma :[a,b]\to M$ 곡선 $\gamma :[a,b]\to M$ : [ $\gamma :[a,b]\to M$ , $\gamma :[a,b]\to M$ $\gamma :[a,b]\to M$ → M $\gamma :[a,b]\to M$ 에 $\gamma :[a,b]\to M$ 대해 작용 적분과 길이 기능은 다음에 의해 관련된다.

{\mathcal{S}(\gamma )={\frac {(b-a)\lambda^{2}}={\frac {\ell(\gamma )^{2}}(b-a)}}}}.

따라서 $\gamma :[a,b]\to M$ : $\gamma :[a,b]\to M$ [ $\gamma :[a,b]\to M$ , $\gamma :[a,b]\to M$ $\gamma :[a,b]\to M$ → $\gamma :[a,b]\to M$ $\gamma :[a,b]\to M$ 곡선이 일정한 속도인 경우에만 동작 통합에 고정되어 있고 $\gamma :[a,b]\to M$ , 길이가 기능할 때까지 고정되어 있다. 해밀턴 벡터 필드 H를 핀슬러 다지관(M,F)의 지오데틱 스프레이라고 하고, 해당 흐름 φ_H^t(ξ)을 지오데틱 플로라고 한다.

비선형 연결부와의 대응성

A semispray $H$ on a smooth manifold $M$ defines an Ehresmann-connection $T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)$ on the slit tangent bundle through its horizontal and vertical projections

h:T(TM\setminus 0)\t(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{1}:{1}{big(}I-{\mathcal {L})_{{{{}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{H}J{\big )}

v:T(TM\setminus 0)\t(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{1}:{1}{big(}I+{\mathcal {L})_{{{}}}}}}{{{}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}H}J{\big )}.

TM\0의 이 연결부에는 항상 Frölicher-Nijenhuis 브래킷 T=[J,v]로 정의된 소멸 비틀림 텐서가 있다. 보다 기본적인 용어로 비틀림이란 다음과 같이 정의될 수 있다.

[\displaystyle \displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY]-v[hX,JY]}

TM\0에 표준 벡터장 V와 유도 연결부의 부선 구조 θ을 도입하면 세미스라이의 수평 부분은 hH==V로 표기할 수 있다. 반미스프레이의 수직 부분 ε=vH는 최초의 분무 불변제로 알려져 있으며, 반미스프레이 H 자체가 분해된다.

H=\displaystyle H=\세타 V+\엡실론 .}

첫 번째 스프레이 불변제는 장력과 관련이 있다.

\tau ={\mathcal {L}_{V}v={\tfrac {1}{1}:{2}}: {\mathcal {L}_{[V,H]-H}J

일반 미분 방정식을 통한 유도 비선형 연결의

{\mathcal{L}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \tau \tau.

따라서 첫 번째 분무 불변성 ε (따라서 전체 반분무 H)은 비선형 연결에서 복구될 수 있다.

\epsilon _{\xi }=\int \limits _{0}^{0}e^{s}(\Phi _{V}^{-s})_{\Phi _{V}s}(\tau \tau \ta)_{{V}s}ds}ds}.

또한 이 관계에서 H가 완전한 분무인 경우에만 유도 연결부가 균일하다고 본다.

스프레이와 세미스프레이의 자코비장

반미스프레이의 자코비 분야의 좋은 출처는 4.4절, 부크타루와 미론의 핀슬러-라그랑주 기하학의 반미스프레이 방정식이다. 특히 주목할 것은 역동적인 공변량 파생상품에 대한 그들의 개념이다. 또 다른 논문 Bucătaru에서 콘스탄틴스쿠와 달은 이 개념을 코삼비 양분 연산자의 개념과 연관시킨다.

코삼비의 방법에 대한 좋은 소개는 코삼비-카르탄-북방 이론이란 무엇인가라는 기사를 참조하라.

참조

^ I. 부카타루, R. 미론, 핀슬러-라그랑주 기하학, 이디투라 아카데미에 로망, 2007.

Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall.
Lang, Serge (1999), Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag.

[1] I. 부카타루, R. 미론, 핀슬러-라그랑주 기하학, 이디투라 아카데미에 로망, 2007.

[1]

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