일정폭의 곡선

기하학에서 일정한 폭의 곡선은 평면에서 모든 방향에서 폭(평행 지지선 사이의 거리)이 동일한 단순 폐쇄 곡선이다.일정한 폭의 곡선으로 경계된 모양은 일정한 폭의 몸체 또는 궤도형 몸체로, 레온하르트 오일러가 이러한 모양에 붙인 이름이다.^[1]표준적인 예로는 원과 뢰레오 삼각형이 있다.또한 이러한 곡선은 특정 곡선의 무의식으로서 선 배열의 교차점 중심의 원형 호를 사용하거나 부분 곡선을 중심으로 교차 원호를 사용하여 구성할 수 있다.

일정한 폭의 모든 몸체는 볼록한 세트로, 그 경계는 어떤 선에 의해서도 최대 두 번 교차하며, 선이 수직으로 교차하면 두 교차점에서 가로로 분리된다.바르비에의 정리로는 신체의 둘레는 정확히 폭의 times 배이지만, 그 넓이는 렐레오 삼각형이 가능한 가장 작은 넓이를 가지고 있고 원은 가장 큰 것을 가지고 있어 그 모양에 따라 영역이 달라진다.일정한 폭의 몸체의 모든 상부에는 너비보다 더 멀리 떨어져 있는 점 쌍이 포함되며, 일정한 폭의 모든 곡선은 최소 6개의 극한 곡률 지점을 포함한다.뢰레오 삼각형은 평탄하지 않지만, 상수폭의 곡선은 항상 같은 상수폭의 평탄한 곡선에 의해 임의로 근접하게 근사할 수 있다.

일정한 폭의 단면이 있는 실린더를 롤러로 사용하여 평평한 표면을 지지할 수 있다.일정한 폭의 곡선의 또 다른 적용은 코인지 모양에 적용되는데, 여기서 일반 뢰레오 폴리곤은 일반적인 선택이다.원 이외의 곡선이 일정한 폭을 가질 수 있는 가능성은 물체의 둥글둥글함을 확인하는 것을 더욱 복잡하게 만든다.

일정한 폭의 곡선은 더 높은 치수와 비유클리드 기하학으로 여러 가지 방법으로 일반화되었다.

정의들

폭과 상수 폭은 곡선의 지지선 측면에서 정의된다. 이것들은 곡선을 교차하지 않고 곡선에 닿는 선이다.평면의 모든 콤팩트 커브에는 주어진 방향에서 두 개의 지지선이 있으며, 곡선은 그 사이에 끼어 있다.이 두 선 사이의 유클리드 거리는 그 방향의 곡선의 폭이며, 이 거리가 선의 모든 방향에서 동일하면 곡선의 폭은 일정하다.경계 볼록 세트의 폭은 곡선과 동일한 방식으로 정의될 수 있으며, 이를 건너지 않고 세트와 접촉하는 평행선 쌍 사이의 거리에 의해 정의될 수 있으며, 볼록 세트는 이 거리가 0이 아닐 때 일정한 폭의 몸체로서 선의 방향에 의존하지 않는다.일정한 폭의 모든 몸체는 일정한 폭의 곡선을 경계로 하고, 일정한 폭의 모든 곡선은 일정한 폭의 몸을 볼록한 선체로 한다.^[2][3]

콤팩트 곡선 또는 볼록 세트의 폭을 정의하는 또 다른 동등한 방법은 선에 대한 직교 투영을 보는 것이다.두 경우 모두 투영은 선 세그먼트로, 길이는 선에 수직인 지지선 사이의 거리와 같다.따라서 곡선 또는 볼록 세트는 모든 직교 돌출부의 길이가 같을 때 일정한 폭을 가진다.^[2][3]

예

원은 직경과 같은 일정한 폭을 가지고 있다.반면에, 정사각형은 그렇지 않다: 정사각형의 두 반대편에 평행한 지지선이 대각선에 평행한 지지선보다 서로 더 가깝다.보다 일반적으로, 어떤 다각형도 일정한 폭을 가질 수 없다.그러나 일정한 폭의 다른 모양도 있다.표준적인 예는 3개의 원의 교차점인 뢰레오 삼각형이며, 각각 다른 두 개의 원이 교차하는 지점을 중심으로 한다.^[2]그것의 경계 곡선은 120° 각도에서 만나는 이들 원의 3개의 호로 구성되어 있어 매끄럽지 못하며, 사실 이 각들은 일정한 폭의 어떤 곡선에 대해서도 가능한 가장 예리한 것이다.^[3]

일정한 폭의 다른 곡선은 매끄러울 수 있지만 원형이 아니며, 경계에는 원형 호도 없다.예를 들어, 아래 다항식의 0 집합은 일정한 폭의 비원형 평활 대수학 곡선을 형성한다.^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{정렬}}}$$

그것의 정도인 8은 일정한 폭의 비원형 곡선을 정의하는 다항식의 최소 가능한 정도 이다.^[5]

시공

변의 수가 홀수인 모든 정규 폴리곤은 중심에서 가장 먼 두 꼭지점을 통과하는 정점을 중심으로 한 원형 호에서 형성된 일정한 폭의 곡선을 이룬다.예를 들어, 이 구조는 등변 삼각형에서 뢰레오 삼각형을 생성한다.일부 불규칙적인 다각형은 또한 뢰레오 폴리곤을 발생시킨다.^[6][7]마틴 가드너(Martin Gardner)가 "교차선 방법"이라고 부르는 밀접하게 연관된 구조에서 평면 내 선 배열(두 개의 평행은 없지만 다른 것은 임의로)은 선의 기울기에 의해 순환 순서로 정렬된다.그런 다음 선은 일련의 원형 호에서 형성된 곡선으로 연결된다. 각 호는 정렬된 순서로 두 개의 연속된 선을 연결하며, 그 교차점에 중심을 맞춘다.첫 번째 호의 반지름은 모든 연속적인 호가 다음 교차점의 정확한 측면에서 끝나도록 충분히 크게 선택해야 하지만, 모든 충분히 큰 반경이 작동한다.두 개의 선에 대해, 이것은 원을 형성한다; 이것은 정삼각형의 측면에 있는 세 개의 선에 대해, 가능한 최소 반경을 가지고, 렐루 삼각형을 형성하고, 일반 항성 다각형의 선에 대해서는 렐루 폴리곤을 형성할 수 있다.^[2][6]

Leonhard Euler는 각 방향에서 하나의 접선선(즉 투영 고슴도치)만 가지고 있는 홀수 수의 첨사 특이치가 있는 곡선의 무의식적인 폭에서 일정한 폭의 곡선을 구성했다.^[1][8]무의식적인 구조를 설명하는 직관적인 방법은 그러한 곡선을 중심으로 선분할을 굴려, 선분할을 따라 미끄러지지 않고 곡선과 접하도록 유지하는 것이다.선 세그먼트는 곡선의 정점에 도달할 수 있을 정도로 길어야 하고, 각 정지를 지나 곡선의 다음 부분으로 굴러갈 수 있어야 하며, 롤링 프로세스가 끝날 때 시작했던 것과 같은 위치에 있도록 시작 위치를 주의 깊게 선택해야 한다.그럴 때, 선 세그먼트의 끝점에 의해 추적된 곡선은 선 세그먼트의 길이와 같은 일정한 폭을 가진 주어진 곡선을 교차하지 않고 감싸는 비자발적인 곡선이 된다.^[9]출발 곡선이 평활하면(큐스 제외), 일정한 폭의 결과 곡선도 평탄해진다.^[1][8]이 구조에 대한 정확한 특성을 가진 출발 곡선의 예는 델토이드 곡선이며, 그것을 둘러싸는 델토이드의 비자발성이 원형 호를 포함하지 않고 일정한 폭의 부드러운 곡선을 형성한다.^[10][11]

또 다른 구조는 일정한 폭의 곡선의 절반을 선택하고 일정한 폭의 몸체를 형성하여 주어진 곡선을 경계로 한다.시공은 볼록한 곡선 호로 시작되며, 그 끝단은 ${\displaystyle w}$ 떨어져 $있는$ 의도된 폭이다.두 끝점은 서로 ${\displaystyle w}$의 거리에서 평행 지지선을 접촉해야 한다.또한 호의 다른 지점에 닿는 각 지지선은 전체 호를 $포함$하는 ${\displaystyle w}$ 반지름 원에 접해야 한다. 이 요건은 호가 원의 곡선보다 작지 않도록 방지한다.일정한 폭의 완성된 본체는 두 가지 유형, 즉 지지선과 접하는 원과 주어진 원호의 각 점을 중심으로 한 같은 반지름의 더 많은 원의 내부 교차점이 된다.이 구조는 보편적이다: 일정한 폭의 모든 곡선은 이런 방식으로 건설될 수 있다.^[3]19세기 프랑스 수학자인 빅터 푸이섹스는 반엘리프에서 이런 식으로 건설할 수 있는 타원 호를^[12] 포함하는 일정한 폭의 곡선을 발견했다.곡률 조건을 만족시키려면 반엘립스는 타원의 반주축으로 경계해야 하며 타원은 최대 1 ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$의 편심률을 가져야 한다$.$ 동등하게 반주축은 반주축의 최대 2배여야 한다.^[6]

일정한 폭의 두 몸체를 가진 경우, 그들의 민코프스키 합은 일정한 폭의 또 다른 몸체를 형성한다.^[13]민코프스키의 총합은 고슴도치들의 지지함수를 합한 것으로, 그 결과가 볼록한 곡선이 될 때마다 투영적인 고슴도치와 원의 합으로부터 일정한 폭의 곡선을 만들어낸다.일정한 폭의 모든 곡선은 이런 식으로 고슴도치의 합으로 분해될 수 있다.^[14]

특성.

일정한 폭의 곡선은 그 너비로 분리된 두 개의 평행선 사이에서 회전할 수 있는 반면, 항상 그 선들에 닿아 회전된 곡선의 지지선 역할을 한다.같은 방법으로 일정한 폭의 곡선은 회전목마나 사각형 내에서 회전할 수 있으며, 그 반대편의 쌍은 너비로 분리되어 평행 지지선에 놓여 있다.^[2][6][3]일정한 폭의 모든 곡선이 동일한 방법으로 정규 6각형 내에서 회전할 수 있는 것은 아니다. 그 지지선이 항상 정규 6각형을 형성하기 보다는 서로 다른 회전을 위해 서로 다른 불규칙한 6각형을 형성할 수 있기 때문이다.그러나 일정한 폭의 모든 곡선은 평행 지지선에 반대쪽이 있는 최소 하나의 정규 육각형으로 둘러싸일 수 있다.^[15]

곡선에는 각 평행 지지선 쌍에 대해 거리가 선 사이의 분리와 같은 지점에서 두 선에 접촉하는 경우에만 일정한 폭의 곡선이 있다.특히 한 지점에서 각 지지선만 건드릴 수 있음을 시사한다.마찬가지로, 곡선을 가로지르는 모든 선은 폭과 동일한 거리의 정확히 두 지점에서 직각으로 교차한다.따라서 일정한 폭의 곡선은 반드시 볼록해야 하는데, 모든 비콘벡스 단순 닫힘 곡선은 2개 이상의 지점에서 만지는 지지선이 있기 때문이다.^[3][8]일정한 폭의 곡선은 자기 평행 또는 자동 평행 곡선의 예로서, 양쪽 끝점이 선 세그먼트에 수직으로 이동하도록 이동하는 선 세그먼트의 양쪽 끝점에 의해 추적된다.그러나 원의 비자발적으로 형성된 무한 나선형처럼 일정한 폭을 가지지 않는 다른 자기 평행 곡선이 존재한다.^[16]

바비어의 정리에서는 일정한 폭의 곡선의 둘레가 폭에 ${\displaystyle \pi }$을 곱한 것과 같다고 주장한다$.$ 특수한 경우, 이 공식은 직경이 주어진 원의 둘레에 대한$$ 표준식 $formula{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \pi$ d$}$과 일치한다.^[17][18]등측 불평등과 바비에의 정리로는 원은 주어진 일정한 폭의 어떤 곡선의 최대 면적을 가진다.Blaschke-Lebesgue 정리에서는 뢰레오 삼각형이 주어진 일정한 폭의 볼록 곡선 중에서 가장 작은 면적을 가지고 있다고 말한다.^[19]일정한 폭의 신체의 모든 적절한 초대는 지름이 엄격히 더 크고, 이 성질을 가진 모든 유클리드인은 일정한 폭의 신체가 된다.특히 일정한 폭의 한 몸체가 같은 일정한 폭을 가진 다른 몸의 하위 집합체가 되는 것은 불가능하다.^[20][21]일정한 폭의 모든 곡선은 조각처럼 원곡선을 그리거나 같은 일정한 폭의 분석곡선을 이용하여 임의로 근사하게 추정할 수 있다.^[22]

부드러운 곡선의 꼭지점은 곡면성이 국소 최대 또는 최소인 지점이다. 원형 호의 경우 모든 점은 정점이지만, 원곡선이 아닌 곡선은 정점의 유한 이산 집합을 가질 수 있다.곡선이 매끄럽지 않은 경우, 매끄럽지 않은 점은 정점, 무한 곡선의 점으로도 간주할 수 있다.일정한 폭의 곡선의 경우, 국소 최소 곡률의 각 꼭지점은 곡선의 직경에서 곡률의 반대인 국소 최대 곡률의 정점과 쌍을 이루며, 정점이 적어도 6개 이상 있어야 한다.이는 평면의 모든 단순 닫힌 매끄러운 곡선이 최소한 4개의 정점을 갖는 4-Vertex 정리와는 대조적으로 서 있다.타원 같은 일부 곡선은 꼭지점이 정확히 4개지만 일정한 폭의 곡선에 대해서는 이것이 불가능하다.^[14][23]곡률의 국소 최소값이 곡률의 국소 최대값과 반대이기 때문에 중심 대칭이 있는 일정한 폭의 곡선은 원이며, 모든 점에서 곡률이 동일하다.^[13]일정한 폭의 모든 곡선에 대해 곡선의 최소 둘러싸인 원과 그 원 안에 포함된 가장 큰 원은 동심원이며, 직경의 평균은 곡선의 폭이다.이 두 원들이 함께 적어도 세 쌍의 반대점들의 곡선에 닿지만, 이 점들이 꼭지점일 필요는 없다.^[13]

볼록한 몸체는 신체의 민코프스키 합과 180° 회전하는 원반일 경우에만 일정한 폭을 가지며, 만약 그렇다면 신체의 폭은 원반경의 반경이 된다.^[13][15]

적용들

평행선 사이에서 굴리는 일정한 폭의 곡선의 능력 때문에, 일정한 폭의 곡선을 단면으로 하는 어떤 실린더도 "롤러"의 역할을 할 수 있으며, 평면을 지지하고 어떤 평면을 따라 굴릴 때 평평하게 유지할 수 있다.그러나 롤러의 중심은 롤러가 굴릴 때 위아래로 움직이므로 이 구조는 고정 차축에 부착된 이 모양의 바퀴에서는 작동하지 않을 것이다.^[2][6][3]

어떤 동전 모양은 일정한 폭의 원형이 아닌 몸체다.예를 들어, 영국 20p와 50p 동전은 헵타곤이고, 캐나다 룬니는 뢰레오 11곤이다.^[24]이러한 모양들은 자동화된 동전 기계들이 기계 안의 동전의 방향과 상관없이 그들의 폭에서 이러한 동전들을 인식할 수 있게 해준다.^[2][6]반면에, 넓이를 시험하는 것은 물체의 둥근 정도를 결정하기에 불충분하다. 왜냐하면 그러한 시험은 일정한 너비의 다른 곡선과 원을 구별할 수 없기 때문이다.^[2][6]우주왕복선 챌린저호 참사에 이런 사실을 간과한 것은 발사에서 로켓 부분의 둥글게 생긴 것은 폭만 측정해서 시험한 것이었고, 원외형 모양은 재난을 유발하는 요인 중 하나였을 수도 있는 비정상적으로 높은 스트레스를 유발할 수 있기 때문이다.^[25]

일반화

일정한 폭의 곡선은 특정 비콘벡스 곡선, 즉 각 방향에 두 개의 접선선이 있는 곡선으로 일반화할 수 있으며, 이 두 선 사이의 분리가 방향에 관계없이 동일하다.제한적인 경우로서 투영 고슴도치(각 방향에 하나의 접선선이 있는 곡선)도 "영폭의 곡선"^[26]이라고 불려왔다.

이러한 개념을 3차원으로 일반화하는 한 가지 방법은 일정한 폭의 표면을 통해서이다.렐루오 삼각형의 3차원 아날로그인 렐루오 사면체는 일정한 너비를 가지지 않지만, 그것에 대한 사소한 변화로 마이스너 신체가 생성되는데, 그렇게 된다.^[2][13]일정한 폭의 곡선은 또한 일정한 밝기, 2차원 투영이 모두 동일한 면적을 갖는 3차원 형상의 몸체에 일반화될 수 있다; 이러한 모양들은 바비에의 정리 일반화에 따른다.^[13]3차원 일반화하거나, 일정 폭의 공간 곡선의 다른 클래스는 속성으로는 수직 곡선을 각 비행기 어디 그것은 또한 수직이다 정확히 하나의 다른 지점에서 그것을 교차한다면, 그리고 지점의 모든 쌍 직각 면으로 있는 같은 거리 교차 정의되어 있다.[27][28][29][30]

일정한 폭의 곡선과 본체는 비유클리드 기하학^[31] 및 비유클리드 규범 벡터 공간에서도 연구되었다.^[20]

참고 항목

• 평균 너비, 가능한 모든 방향에 걸쳐 평균화된 곡선 너비
• 지들러 곡선, 모든 둘레-변위 화음의 길이가 같은 곡선

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 일정한 폭의 곡선과 관련된 미디어가 있다.

• GeoGebra를 사용하여 만든 일정한 폭의 불규칙한 모양을 보여주는 Michael Borcherds의 인터랙티브 애플릿.
• Weisstein, Eric W. "Curve of Constant Width". MathWorld.
• Mould, Steve. "Shapes and Solids of Constant Width". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2016-03-19. Retrieved 2013-11-17.
• 고정 너비 모양(컷더코트)