쇤파리 표기법
Schoenflies notation독일의 수학자 아서 모리츠 쇤파리(Arthur Moritz Schen파리)의 이름을 딴 쇤파리(또는 쇤파리) 표기법은 주로 점 그룹을 3차원으로 지정하기 위해 사용하는 표기법이다. 점군만으로도 분자의 대칭을 설명하는 데 완전히 적합하기 때문에, 표기법은 분광법에 충분하고 흔히 사용된다. 그러나 결정학에서는 추가적인 변환 대칭이 있으며, 점군은 결정의 완전한 대칭을 묘사하기에 충분하지 않기 때문에 보통 전체 공간 그룹이 대신 사용된다. 전체 우주 그룹의 명칭은 보통 국제 표기법이라고도 알려진 헤르만-마우구인 표기법에서 따르게 된다.
위첨자가 없는 쇤파리 표기법은 순수한 점군 표기법이지만, 선택적으로 위첨자를 추가하여 개별 공간군을 추가로 지정할 수 있다. 그러나 우주 그룹의 경우 헤르만-마우구인 표기법에서는 기초 대칭 원소와의 연결이 훨씬 명확하기 때문에 후자 표기법은 보통 우주 그룹에 선호된다.
대칭 원소
대칭 요소는 반전 중심인 경우 i, 적절한 회전 축인 경우 C, 거울 평면의 경우 σ, 부적절한 회전 축(회전 반사 축)인 경우 S로 나타낸다. C와 S는 보통 회전 순서를 나타내는 첨자 번호(추상적으로 n으로 표시됨)가 뒤따른다.
관례에 따라, 가장 큰 질서의 적절한 회전 축은 주 축으로 정의된다. 다른 모든 대칭 원소들은 그것과 관련하여 설명된다. 수직 미러 평면(주축 포함)은 σ으로v 표시되고, 수평 미러 평면(주축에 수직으로 표시)은 σ로h 표시된다.
점 그룹
3차원으로 보면 점군이 무한히 많지만, 모두 여러 패밀리로 분류할 수 있다.
- Cn(순환의 경우)는 n-폴드 회전 축을 가진다.
- C는nh 회전의 축(수평면)에 수직인 거울(반사) 평면이 추가된 C이다n.
- C는nv 회전 축(수직 평면)을 포함하는 n개의 미러 평면이 추가된 C이다n.
- C는s 거울 평면(슈피겔의 경우 독일어 거울의 경우)만 있고 다른 대칭 요소는 없는 그룹을 의미한다.
- S2n(슈피겔의 경우, 독일어 거울의 경우)는 2n배 회전반사 축만 포함하고 있다. n이 홀수일 때 n-폴드 회전반사축은 n-폴드 회전축과 수직면의 조합과 같기 때문에 이 지수는nnh 짝수여야 한다.
- C는ni 회전축만 가지고 있다. 이러한 기호는 중복되는데, 이는 모든 회전반사 축이 회전반사2n 축으로 표현될 수 있기 때문이다. 따라서 홀수 nni = S2ni = Snh = Cn, 그리고 심지어 n C2ni = S의2n 경우 Ci(C를1i 의미)만 일반적으로 사용되지만 일부 텍스트에서는 C3i, C와5i 같은 기호를 볼 수 있다.
- Dn(이면 또는 양면)는 해당 축에 수직인 n-폴드 회전 축에 n-폴드 회전 축을 더한다.
- 또한nh D에는 수평 미러 면과 그 결과 n-폴드 축과 2-폴드 축 중 하나를 포함하는 수직 미러 면도 있다.
- D에는nd D의n 요소 외에도 2중 축(대각면) 사이를 통과하는 n개의 수직 미러 평면이 있다.
- T(치랄 사면체군)는 사면체의 회전 축(2배 축 3개, 3배 축 4개)을 가지고 있다.
- T는d 대각선 미러 평면을 포함한다(각2d 대각선 평면은 D에서와 같이 두 개의 다른 두 개의 축 사이를 통과하며 하나의 두 개의 축만을 포함한다). 이러한 대각선 평면 추가는 세 번의 부적절한 회전 작업 S를4 초래한다.
- T는h 세 개의 수평 미러 평면을 포함한다. 각 평면은 두 개의 두 개의 두 개의 축을 포함하며 세 번째 두 개의 축에 수직이 되어 역방향 중심 i가 된다.
- O(치랄 팔면체군)는 팔면체 또는 정육면체(사면체 3개, 3면체 4개, 대각선 2면체 6개)의 회전축을 가지고 있다.
- O는h 수평 미러 평면과 그 결과 수직 미러 평면을 포함한다. 뒤집기 중심과 부적절한 회전 동작도 포함하고 있다.
- I(치랄 이코사면군)는 집단이 이코사면체 또는 도데카면체의 회전축(5배축 6개, 3배축 10개, 2배축 15개)을 가지고 있음을 나타낸다.
- 나는h 수평 미러 평면을 포함하며 반전 중심과 부적절한 회전 연산을 포함한다.
여러 개의 고차축(주문 3 이상)을 포함하지 않는 모든 그룹은 아래 그림과 같이 표에 배열할 수 있으며, 빨간색으로 표시된 기호는 사용하지 않아야 한다.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 | C7 | C8 | C∞ | |
| Cnv | C1v = C1h | C2v | C3v | C4v | C5v | C6v | C7v | C8v | C∞v | |
| Cnh | C1h = Cs | C2h | C3h | C4h | C5h | C6h | C7h | C8h | C∞h | |
| Sn | S1 = Cs | S2 = Ci | S3 = C3h | S4 | S5 = C5h | S6 | S7 = C7h | S8 | S∞ = C∞h | |
| Cni(중복) | C1i = Ci | C2i = Cs | C3i = S6 | C4i = S4 | C5i = S10 | C6i = C3h | C7i = S14 | C8i = S8 | C∞i = C∞h | |
| Dn | D1 = C2 | D2 | D3 | D4 | D5 | D6 | D7 | D8 | D∞ | |
| Dnh | D1h = C2v | D2h | D3h | D4h | D5h | D6h | D7h | D8h | D∞h | |
| Dnd | D1d = C2h | D2d | D3d | D4d | D5d | D6d | D7d | D8d | D∞d = D∞h |
결정학에서 결정학적 제약의 정리 때문에 n은 1, 2, 3, 4, 6의 값으로 제한된다. 비결정적 그룹은 회색 배경으로 표시된다. 또한4d D와6d D는 각각 n = 8과 12로 부적절한 회전을 포함하기 때문에 금지된다. 표에 T, Td, Th, O, O를h 더한 27개 점군은 32개의 결정학적 점군을 구성한다.
n = ∞을 가진 그룹을 limit groups 또는 Curie 그룹이라고 한다. 표에는 나열되지 않은 두 개의 제한 그룹이 더 있는데, 3차원 공간의 모든 회전 그룹인 K(쿠겔의 경우 독일어 공의 경우, 구체의 경우)와 모든 회전과 반사의 그룹인 K이다h. 수학 및 이론 물리학에서 그들은 각각 특수 직교 그룹과 3차원 공간에서의 직교 그룹으로 알려져 있으며 SO(3)와 O(3) 기호를 가지고 있다.
공간 그룹
주어진 점 그룹이 있는 공간 그룹은 1, 2, 3, ...(국제 번호와 동일한 순서로) 번호로 번호가 매겨지며, 이 숫자는 해당 점 그룹에 대한 쇤파리 기호에 위첨자로 추가된다. 예를 들어, C가 포인트2 그룹인 그룹 번호 3부터 5까지에는 쇤파리 기호 C1
2, C가2
23
2 있다.
점군의 경우 숄나리 기호는 집단의 대칭요소를 명료하게 정의하지만, 공간집단의 추가 상위표에는 공간집단의 변환대칭(격자 중심, 축과 평면의 변환요소)에 대한 정보가 없으므로, 정보표시를 포함한 특수표를 참조할 필요가 있다.쇤파리와 헤르만-마우긴 표기법 사이의 일치에 대하여. 이러한 표는 공간 그룹 목록 페이지에 제시되어 있다.
참고 항목
참조
- 허둥지둥, R. L. 대칭군 : 이론과 화학적 응용 프렌티스 홀, 1980년 ISBN978-0-13-80013-0 LCCN: 79-18729
- 코튼, F. A. 그룹 이론의 화학적 응용, 존 와일리 & 선즈: 뉴욕, 1990. ISBN 0-471-51094-7
- Harris, D, Bertolucci, M, Symmetry and Spectroscopy. 뉴욕, 도버 출판사, 1989년
