리 군모이드

수학에서 Lie groupoid는 ${\displaystyle \mathrm{Ob}}$ ${\displaystyle$ $\$$operatorname {Ob}$객체의 집합$$ Ob와$$Mor {\$displaystyle$ \$operatorname$ {$Mor}$모피즘의 집합$$ ${\displaystyle \mathrm{Mor}}$ {Mor} 모두 다지관이며, 모든 범주 운영(소스 및 대상, 구성, ID 할당 맵 및 반전)이 원활하며, 소스와 대상 운영이 모두 원활하다.오식

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

잠수부들이야

따라서, Lie groupoid는 그룹의 다목적 일반화인 것처럼 Lie 그룹의 "다목적 일반화"라고 생각할 수 있다.따라서, Lie 그룹은 (일반적인) 연속 대칭에 대한 자연 모델을 제공하는 반면, Lie groupoids는 일반화되고 점 의존적인 대칭에서 발생하는 (그리고) 모델로 종종 사용된다.리 그룹과 리 알헤브라의 교신을 연장하여, 리 알헤브로이드의 세계적 교신이다.

찰스 에레스만은^[1][2] 거짓말의 조로이드를 차별성 있는 조로이드라는 이름으로 도입했다.

정의 및 기본 개념

Lie groupoid는 다음과 같이 구성되어 있다.

• 부드러운 다지관 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$
• 두 개의 돌출형 하위조항 $s{\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$: ${\displaystyle G}$→ M ${\displaystyle s,t:$$G\to$ M$}($각각 소스 및 대상 투영)
• 지도 $m{\displaystyle }$:${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle s}$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \}}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m:\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\\$$}\to G}($ 곱셈 또는 구성 맵이라고 함), 여기서 표기 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle :=}$ m${\displaystyle (g}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle gh:=m(g,h)}$을(를) 사용한다.
• 지도 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ G ${\displaystyle u:$$M\to G}($단위 맵 또는 개체 포함 맵이라고 함), 여기서 $표기법{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle :=u}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle 1_{x}=u(x)}$를 사용한다.
• 지도 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ G ${\displaystyle i:$$G\to G}($반전이라고 함), $여기$서 g -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle g}$ )${\displaystyle$ g$^{-1}=i(g)}$

그런

• ${\displaystyle \mathrm{구성}}$은 구성이 정의된 $모든$ $g{\displaystyle }$ ,${\displaystyle h}$g ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ $s(gh)=s(h)}$ $및$ t${\displaystyle (g}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle t}$( ${\displaystyle g}$ )${\displaystyle t$$(gh$$)=$$t(g)}$에 대해$$ $만족$한다${\displaystyle .}$
• 구성은 연관성이 있다. 즉${\displaystyle ,}$ $g{\displaystyle }$ ( $h{\displaystyle }$ l ) =${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$) l ${\displaystyle g(hl)=(gh)l}$은(는) 모든 g , h${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$G ${\displaystyle g,h,l\in G}$에 대해$$ 연관성이$$ 있다.
• u works as a unit, i.e. ${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$ for every ${\displaystyle x\in M}$ and ${\displaystyle g1_{s(g)}=g}$ and ${\displaystyle 1_{t(g)}g=g}$ for every ${\displaystyle g\in G}$
• 나는 역(verse)으로 일한다. 즉, $g{\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$ g${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle s_{}}$( ${\displaystyle g_{}}$ $){\$ g$^{-1}g$$$$=1_{s(g)},$ g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$( ${\displaystyle g_{}}$ $){\$$displaysty gg$$^{-1}=$$1_{$$t$$(g$

카테고리 이론의 언어를 사용하여, Lie groupoid를 보다 콤팩트하게 그룹형(즉, 모든 형태론이 변환 불가능한 작은 범주)으로 정의할 수 있다. 즉, 형태론의$$ $M$ ${\$$displaystyle M}$과 G ${\displaystyle G}$이(가) 다지관, 맵 $s{\displaystyle }$ {\$displaystystyle s$ $t\},$ ${\displaystystyty$t},${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 매끈하고 $s{\displaystyle }$ ${\displaysty s}$ 및$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$은(는) 하위 항목이다$$.

Lie groupoids는 $종종{\displaystyle }$ G ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrows M}$에 의해 표시되는데$,$ 여기서 두 화살표는 소스와 대상을 나타낸다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G 0 {\$displaystyle G_{1}\rightarrow G_{0}}$라는 표기법도 자주 사용되며$$, 특히 범주형(및 단순형) 구조를 강조할 때 더욱 그러하다.

대체 정의

The original definition by Ehresmann required ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle M}$ to possess a smooth structure such that only ${\displaystyle m}$ is smooth and the maps ${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$ and ${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$ are subimmersions (i.e.지위가 일정하다그러한 정의는 너무 약하다는 것이 증명되었고 프라딘으로 대체되었다.^[3]

일부 저자들은^[4] $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$과 t ${\displaystyle t}$을(를) 잠수할$$ 필요가 없는 약한 정의를 도입했지만, 이러한 속성은 groupoids와 알헤브로이드의 전체 Lie 이론을 개발하는 데 기본적이다.

첫 번째 속성

Lie ${\displaystyle \mathrm{groupoid}}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaystyle G\rightarrow M}$의 소스 및 대상 지도가 부드러운 하위 항목이라는 사실은 다음과$$ 같은 즉각적인 결과를 낳는다.

• the s-fibres ${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$, the t-fibres ${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$, and the set of composable morphisms ${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$ are submanifolds;
• 반전 지도는 차이점형이다.
• 동위원소 그룹 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) Lie 그룹이다.
• ${\displaystyle \mathrm{궤도}}$ $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle {\mathcal {O}_{x}\subseteq M}$은(는) 하위매니폴드에 담근다.
• $s-파이버{\displaystyle }$ $s{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( x$$) ${\displaystyle$ s$^{-1}(x)$ 지점 x${\displaystyle }$$∈$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$에 있는 ${\displaystyle {s-fibre}_{}}$ s - 1 ($x$ )는$주$G x {\$displaystyle$ G_${x$}} $-bundle$이다$.$

형태론 및 부분군형

Lie groupoid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\$$rightarrows$ M}의$$ Lie subgroupoid는 ${\displaystyle \mathrm{부분군형}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle }$$\$ N {\$displaystyle$ H\$subseteq$ G$}$이($가{\displaystyle }$) 잠착된 하위 관리형이어야$$ 하는 추가 요구 사항이다$.$

두$$ Lie groupoids $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrows M}$과 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ N ${\displaystyle H\rightarrow N}$ 사이의 Lie groupoid morphism $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ H${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystystysty F:$$G\to H,f:$$M\to N}($$즉{\displaystyle }$, F ${\$$displaystyle G}$과 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$ 범주 $사이$의 functor). 여기서 F $${\$displaystyle$ F$}$과 f ${\displaystyle f}$은 모두 평활하다$$.

바이제스

Lie groupoid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrow M}$의 이분법은 평활 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ b${\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ G ${\displaystyle b:$$M\to G}$ such that ${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$ and ${\displaystyle t\circ b}$ is a diffeomorphism of ${\displaystyle M}$. The set of bisections forms a group, with the multiplication ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$ defined as

그리고 역행은 다음과 같이 정의된다.Note that the definition is given in such a way that, if ${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$ and ${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$, then ${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$ and ${\displaystyle t\circ b_1^{-1}}$${\displaystyle {}_{}^{}=}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$${\$1}^{-$1}=\phi _{1}^{-1}$.

바이제이션 그룹에는 콤팩트 오픈 토폴로지와 함께 그룹 구조와 호환되는 프레셰 다지관의 (무한 차원) 구조가 주어져 프레셰트-리이 그룹으로 만들 수 있다.

국소 이분법 $b{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$→ G ${\displaystyle b:$$U\subseteq M\to G}$은(는) 유사하게 정의되지만, 국소 이질 사이의 곱셈은 물론 부분적으로만 정의된다.

예

사소한 경우 및 극단적인 경우

• 하나의 물체를 가진$$ Lie groupoids $⇉{\$는 Lie groups와 같은 것이다.
• 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을$($를) 지정하면, 페어 그룹오이드라고 불리는$$ Lie groupoid $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ M ⇉ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\time M\wrightarrows$ M$}$이(가) 있으며, 정확히 어떤 물체에서 다른 물체까지 하나의 형태론이 있다.
• 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를$)$ 부여하면 단위 groupoid라고 하는$$ Lie groupoid $u{\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaysty u(M)\rightarrows M}$이 있으며, 정확히 하나의 개체에서 그 자체로 하나의 형태론, 즉 정체성이며, 다른 개체들 사이에는 형태론이 없다.
• 보다 일반적으로 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s=t}$을(를) 가진 Lie groupids는 Lie groups의 묶음(지역적으로 반드시 사소한 것은 아님)과 같은 것이다$$.

다른 Lie groupoids로부터의 구조

• 모든 Lie ${\displaystyle \mathrm{groupoid}}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaystyle G\rightarrow M}$과(와) 굴절성 하역 $\mu s{\displaystyle }$: ${\displaystyle N}$→ M ${\displaystyle \mu$:$N\to M}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$, called its pullback groupoid, where ${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$ contains triples ${\displaystyle (x,g,y)}$ such that ${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$및 $t{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu (}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle t(g)=\mu(x$의 곱셈을 $사용$하여 곱셈을 정의한다$.$ 예를 들어, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 쌍 그룹화 풀백은$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaysty N}$의 쌍 그룹화 입니다$.$
• Given any Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$, called its tangent groupoid, obtained by considering the tangent bundle of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle M}$ and the differential of the structure maps.
• Given any Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$, called its jet groupoid, obtained by considering the k-jets of the local bisections of ${\displaystyle G}$ (with smooth structure inherited from the jet bundle of ${\displaystyle s:G\to M}$${\displaystyle s:$$G\to M}$) and setting ${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$, ${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$, ${\displaystyle m(j_{t(b(x))$$}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$, ${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$ and ${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))$$}^{k}b^{-1$}$$.

차동 지오메트리 예제

• Given a Lie group ${\displaystyle G}$ acting on a manifold ${\displaystyle M}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$, called the action groupoid or translation groupoid, with one morphism for each triple ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$ with ${\d$$isplaystyle gx=y}$.
• Given any vector bundle ${\displaystyle E\to M}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$, called the general linear groupoid, with morphisms between ${\displaystyle x,y\in M}$ being linear isomorphisms between the fibres ${\displaystyle E_{x}}$ and ${\displaystyle E_y}$${\displaystyle E_{y$을(를) 예로 $들면{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ =$$ R n {\$displaystyle$$$E=M$\times$\mathb${R}$$$$^n}}$이$($${\displaystyle 가}$$)$ 순위 k의 사소한 벡터 번들이라면 G ${\displaystyle L(}$E )${\displaystyle }$⇉${\displaystyle M}$ ${\displaystystysty GL(E)\rig$)\righrighrighrigarrowardarrowardarrowe) M$}$이 $동작$ 그룹이다$$.
• Any principal bundle ${\displaystyle P\to M}$ with structure group ${\displaystyle G}$ defines a Lie groupoid ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$, where ${\displaystyle G}$ acts on the pairs ${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$ componentwise, called the gau지형의곱셈은 쌍체 그룹화에서와 같이 호환 가능한 대표자를 통해 정의된다.
• Any foliation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on a manifold ${\displaystyle M}$ defines two Lie groupoids, ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ (or ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$) and ${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathcal{F})\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$, called respectively the monodromy/homotopy/fundamental groupoid and the holonomy groupoid of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, whose morphisms consist of the homotopy, respectively holonomy, equivalence classes of paths entirely lying in a leaf of ${\displa$$ystyle {\mathcal{F$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 하나의 잎만을 가진 사소한 엽일 경우$$, 각각 1개가 회복되며, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 기본 groupoid와 pair groupoid가 된다$.$
• Given any pseudogroup ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$, there is a Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, called its germ groupoid, endowed with the sheaf topology and with structure maps analogous to those of the jet groupoid.

Lie groupoids의 중요한 클래스

다음 클래스 중 일부는 이미 설정 이론적 또는 위상학적 그룹오이드 범주에서 타당하다는 점에 유의하십시오.

타동성그룹로이드

Lie groupoid는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 transitive(이전의 문헌에서는 connected라고도 함)이다.

• 궤도는 하나뿐입니다.
• 적어도 두 물체 사이에는 형태론이 존재한다.
• $($$s$$G\to M\time M}$은(는) 허탈한 지도다$$.

Gauge groupoids constitute the prototypical examples of transitive Lie groupoids: indeed, any transitive Lie groupoid is isomorphic to the gauge groupoid of some principal bundle, namely the ${\displaystyle G_{x}}$-bundle ${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$, for any point ${\displaystyle x\in M}$$$. 예를 들어,

• Lie groups ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ and pair groupoids ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ are trivially transitive, and arise, respectively, from the principal G-bundle ${\displaystyle G\to {*}}$, and from the principal ${\displaystyle \{e\}}$-bundle ${\d$$isplaystyle M\to$ M$\};$
• 그룹 작업이 전이적인 경우에만 작업 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ M × ${\displaystyle M}$ $×$ M {\$displaystyle$G$\time$ M$}$이(가) 전이적이며$$, 이 경우 구조 그룹 동위원소 그룹(임의의사 지점)이$$ 있는 주 번들 $G{\displaystyle }$→ $[\displaystyle G\to M}$에서 발생한다.
• E ${\displaystyle E$${\displaystyle \}}$의 일반 선형 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$은 전이적이며 ${\displaystyle \mathrm{프레임}}$ 번들 F r ( E ) → M $displaystyle Fr(E)\to$ M$\};$
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrows M}$의 풀백 그룹오이드, 제트 그룹오이드 및 접선 그룹오이드 M}은(는)$$G $display$ M {\$displaystyle$ G\rightarrows $M}$이(가) 타전적인 경우에만 타전적이다$$.

Transitive Lie groupoids와 주요 번들 간의 대응의 덜 사소한 예로서, (연결된) 매끄러운 다지관 M의$$ 기본 $groupoid{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle M}$ ) (M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$을 고려하십시오.이것은 자연적으로 위상적 그룹형이며, 더욱이 전이적이다; ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$1 (${\displaystyle M}$ ) ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$가 M의 범용 커버의 게이지 그룹형과 이형성이 있음을$$ 알 수 있다.따라서 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$은 Lie groupoid로 만드는 부드러운 구조를 계승한다.

적절한 조로이드

${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ groupoid는 (${\displaystyle s}$ , t )${\displaystyle }:{\displaystyle }$G${\displaystyle }$→ M ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ {\$displaystyle (s,t):$$G\to M\time M}$이(가) 적절한 지도다$$.결과적으로

• G의 모든 동위원소 그룹은 소형이다.
• G의 모든 궤도는 닫힌 서브매니폴드이다.
• 궤도 우주 M/G는 하우스도르프다.

예를 들어,

• a 거짓말 그룹은 압축된 경우에만 적절하다.
• 한 쌍의 조로이드는 항상 적절하다.
• 단위 분조체는 항상 적절하다.
• 동작 그룹이 적절한 경우에만 해당 동작 그룹이 적절함.
• 기본 그룹이 유한할 경우에만 기본 그룹형(basic groupoid)이 적절하다.

위에서 보듯이, Lie groupoids에 대한 적합성은 Lie groups에 대한 "올바른" 콤팩트함의 아날로그다.또한 소스 맵 s :${\displaystyle }G{\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ s$:$$G{\displaystyle }$$\to M}$이(가) 적절하지만(그러면 $G{\displaystyle }$$$${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ G$\rightarrows$ $M}$은(는) 전체 공간 G {\$displaystyle G$}[\displaystyle G$\righarrow M}$은(는 콤팩트)로$$ 불림) 이러한 요구사항이 많은 예와 적용에 대해 너무 엄격한 것으로 판명되었다.

에탈로이드

Lie groupoid는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 "etale"이라고 불린다.

• G와 M의 치수가 같다.
• s는 지역 차이점형이다.
• s-s는 모두 분리되어 있다.

그 결과, t-파이브, 동위원소 그룹 및 궤적도 분리된다.

예를 들어,

• a 거짓말 집단은 분리된 경우에만 해당된다.
• 한 쌍의 조로이드는 절대 에탄올이 아니다.
• 단위 groupoids는 항상 étale이다.
• G가 분리된 경우에만 활동 그룹(etale groupoid)이 표시된다.
• 기본 조로이드는 항상 étale이다(그러나 기본적인 조로이드는 그렇지 않다).
• 유사 집단들의 세균군들은 항상 에탄올이다.

유효그룹로이드

An étale groupoid is called effective if, for any two local bisections ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$, the condition ${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$ implies ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$. For instance:

• 거짓말 그룹은 사소한 경우에만 효과적이다.
• 단위 groupoids는 항상 효과적이다.
• G-action이 자유롭고 G-action이 이산적일 경우 action groupoid가 효과적이다.

일반적으로, 어떤 효과적인 에테일 그룹도 일부 유사 집단의 세균 그룹으로서 발생한다.그러나 (더 관여된) 효과에 대한 정의도 주어질 수 있는데, 이 정의는 etalt 속성을 가정하지 않는다.

소스에 연결된 조로이드

Lie groupoid는 그것의 모든 s-fibre가 연결되어 있다면 s-connected라고 불린다.마찬가지로 s-단순하게 연결된 groupoids(s-fibres가 단순하게 연결된 경우)나 s-k-연결된 groupoids(s-fibres가 k-연결된 경우, 즉 첫 $번째{\displaystyle }$ k ${\displaysty k}$ 호모토피$$ 그룹은 경미한 경우)에 대해 이야기한다.

화살표 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 전체 공간은 연결 가설을 만족하도록 요청되지$$ 않는다는 점에 유의하십시오.그러나 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $소스$ k$$${\$$displaystyle k}$ 연결 다지관 $$에 연결된 Lie groupoid인 경우$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 자체는$$ $자동$으로 k ${\displaystyle k}$ - 연결된다$$.

예를 들어

• lie 그룹은 소스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 연결된$$$$ $경우$에만 연결됨;
• 쌍체 groupoid는 소스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 연결된$$ 경우에만 연결됨$$;
• 단위 groupoids는 항상 소스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 연결됨$$;
• 작업 그룹노이드는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$인 $경우$에만 소스 k$$ ${\displaystyle$ k} - $연결된다.$
• 모노드로미족(monodromy groupoids, 또한 기본적 groupoids)은 단순히 연결된 원천이다.

관련 개념

작업 및 기본 번들

Recall that an action of a groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ on a set ${\displaystyle P}$ along a function ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ is defined via a collection of maps ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g$$\cdot p}$ for each morphism ${\displaystyle g\in G}$ between ${\displaystyle x,y\in M}$. Accordingly, an action of a Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ on a manifold ${\displaystyle P}$ along a smooth map ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ consists of a group$\mu {\displaystyle {}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}y}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu$ ^{-1}(x$)\to \mu ^{-1$}(y$)} 맵$이 매끄러운$$oid 동작$$.물론 매 $x{\displaystyle \mathrm{\mu M}}$ ${\displaystyle x\in M}$에 대해 섬유 ${\displaystyle {\mathrm{\mu }}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu ^{-1}(x$에 대해 동위원소 그룹 G ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 유도 부드러운 동작이 있다$$.

Given a Lie groupoid ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, a principal ${\displaystyle G}$-bundle consists of a ${\displaystyle G}$-space ${\displaystyle P}$ and a ${\displaystyle G}$-invariant surjective submersion ${\displaystyle \pi :$$그렇게$ P$\to$ N$}$

차이점형이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 값$$ 코코클 또는 로컬 사소한 부분을 사용하여 등가(그러나 더 관련된) 정의를 제공할 수 있다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 점 위에 있는 Lie groupoid인 경우 각각 표준 Lie 그룹 작업과 주 번들로 복구된다.

표현

Lie groupoid ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaystyle G\rightarrow M}$의 표현은 벡터 번들${\displaystyle \pi }$ : E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :$에 대한 Lie groupoid 동작으로 구성된다$$.$E\to M$ 즉 각 바이어스 linear - 1 ( x )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \pi {}^{}}$-${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi ^{-1(x)\to \pi ^{-1}(y)$는 선형$$ 이형성이다.동등하게 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $E$$}$에서 G$$ ${\displaystyle$ G$}$의 표현은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 일반 선형 그룹oid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (E}$) ${\displaysty GL(E)}$까지의 Li groupoid morphism으로 설명할 수 있다$$$.$

물론, 모든 $섬유{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ x$${\$displaystyle E_{x}}$는 동위원소 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ x$${\$displaystyle G_{x}}$의 표현이$$ 된다$.$ 보다 일반적으로, transitive Lie groupids의 표현은 프레임 번들 § Associated 벡터 번들의 구성을 통해 동위원소 그룹의 표현에 의해 고유하게 결정된다.

Lie groupoids 표현 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

• Lie 그룹 G ${\$ 표준 Lie 그룹 표현 복구$$
• 쌍체 groupids $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$× ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\time$ M$\rightarrow$ M$}$의 표현은 사소한$$ 벡터 번들임
• 단위 groupoids ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaystyle M\rightarrow M}$은(는) 벡터 번들임$$
• 작업 그룹화 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ $×$ M {\$displaystyle$ G\$time$ M$\rightarrow M}$은(는) G {\displaystyle $G}$ - 등가$$ 벡터 번들임
• 기본 groupoids ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$은(는) 플랫 연결이 부여된 벡터 번들이다.

Lie groupoid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\$$displaystyle$G\$Rep}(G)$의 표현에 대한 이형성 등급의$$ 세트 $R{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$(${\displaystyle G}$) ${\$$displaystyle G\rightarrow M}$은 벡터 번들의 직접 합과 텐서 곱으로 이루어진 반향의 자연 구조를 가지고$$ 있다.

차별성 코호몰로지

Lie 그룹에 대한 차별성 있는 공호몰로지 개념은 Lie groupoids에도 자연스럽게 일반화된다: 그 정의는 G$$m $M{\displaystyle }${\$displaystyle N$$(G)_{n}=G^{n}}}}$의 신경$$ $N{\displaystyle (}$ ${\displaystyle G}$$$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{(}}$N)의 상징적 구조에 의존한다$.$

더 정확히 말하자면, 공간 $G{\displaystyle {}^{}}$($){\$ G$^{(n)}}}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 합성형$$ 형태론의 문자열로 구성되어 있다는$$ 것을 기억하라.

${\displaystyle G^{(n)}=\{(g_{1}},\ldots,g_{n}}\\times G\times G\mid s(g_{i}})=t(g_{i+1})=1,\dots,n-1\}}$

그리고 ${\displaystyle {\mathrm{지도}}^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$( n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \circ }$ p ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$( n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle M}$,${\displaystyle }$( g ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle g_{}}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle t}$( g $){\displaystyle t^{(n)}=t=c$\c \$mathrm {pr} _{1}:$$G^{(n)}\to M,$ ($g_{1},\ldots, g_{n}}\mapsto t(g_{1})$.

A differentiable n-cochain of ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ with coefficients in some representation ${\displaystyle E\to M}$ is a smooth section of the pullback vector bundle ${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$. One denotes by ${\displaystyl$$e C^{n}(G,E)}}$ 그러한 n-코인 공간이며$$, 차동 $d{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle n_{}{}^{}}$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$→ C ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle G}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle d_{n}:$$C^{n}(G,E)\to$ C$^{n+1}(G,E)},$로 정의됨

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Then ${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$ becomes a cochain complex and its cohomology, denoted by ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$, is called the differentiable cohomology of ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ with coefficients in ${\displaystyle E\to M}$. Note that, since the differential at degree zero is ${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$, one has always ${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$.

물론 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ $∗{\$의 Lie $group$(거짓말 그룹의 경우)으로서의 G ${\displaystyle G}$의 표준 차별화 가능한 cohomology(특히, 이산 그룹의 경우 일반적인 그룹 cohomology를 회복한다)와 일치한다.한편, 적절한 Lie groupoid $G{\displaystyle }${ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\\rightarrow$ M$}$에 대해서는$,$ 0 >마다 H$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ($G,$ E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\d}^{n$}^{n$}(G$$,E)=0}임$을 증명할 수 있다^[5]

Lie groupoid의 리알헤브로이드

Any Lie ${\displaystyle \mathrm{groupoid}}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ M ${\displaystyle G\rightarrows M}$에는 Lie 대수학을 모든 Lie group에 연결하는 구조와 유사한 구조로 얻은 관련 Lie $알헤브로이드{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\to M}$이(가) 있다$$$.$

• 벡터 번들 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\to M}$은 소스 맵에 관한 수직 번들로, ID에 접하는 요소에 제한된다.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (d}$ ${\displaystyle s{}_{}}$) ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$ M$\};$
• Liebracket은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 왼쪽-invariant 벡터 필드로 with$$$){\displaystyle \Gamma(A)}$을(를) 식별하고 해당$$Liebracket을 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ A$}$로 전송하여 얻는다$.$
• 앵커 맵 $A{\displaystyle }$→ T ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\to TM}$은(는) 대상 맵 $t{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t:$$G$$\to M$$}$이(가) $A$로 제한됨$.$

Lie group-Lie 대수학 대응 일반화는 또한 Lie groupoids에까지 확장된다: 처음 두 개의 Lie의 정리(부분군-부분군-부분군-부분군-부분군-부분군 정리 및 동형체 정리라고도 함)는 실제로 이 설정에 쉽게 적응될 수 있다.

In particular, as in standard Lie theory, for any s-connected Lie groupoid ${\displaystyle G}$ there is a unique (up to isomorphism) s-simply connected Lie groupoid ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ with the same Lie algebroid of ${\displaystyle G}$, and a local diffeomorphism ${\displaystyle {\tilde$집단$$ $형태론인 {G$}\to $G}$예를 들어.

• 연결된 모든 매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 쌍 그룹화 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ M$}은($는) s-연결되었지만 s-단순하게 연결되지 않은 반면$$, 기본 그룹화 oid($M{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ) 1(${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$)은$\displaysty \Pi _{1}(M)$이다.They both have the same Lie algebroid, namely the tangent bundle ${\displaystyle TM\to M}$, and the local diffeomorphism ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$ is given by ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$.
• given any foliation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle M}$, its holonomy groupoid ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ is s-connected but not s-simply connected, while its monodromy groupoid ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$ is.They both have the same Lie algebroid, namely the foliation algebroid ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$, and the local diffeomorphism ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ is given by ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\ga$$mma ]}($호모토피 클래스가 홀노노미 클래스보다 작기 때문에).

그러나, 리알헤브로이드의 여러 부류가 통합 가능한 가운데, 리알헤브로이드의 세 번째 정리에는 아날로그가 존재하지 않으며, 예를 들어 통합적인 리그룹노이드(Lie groupoid)^[6]를 인정하지 않는 엽기 이론과 관련된 리알헤브로이드의 예가 있다.이러한 통합의 존재에 대한 일반적인 장애물은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 의 토폴로지에 따라 달라진다$.$^[7]

모리타등가

위에서 논의한 바와 같이 (이소)그룹로이드의 표준적 개념(범주 간 펑거로 보기)은 당연히 리그룹으로 제한된다.그러나, Morita 동등성이라고 불리는 보다 거친 등가성 표기법이 있는데, 이는 보다 유연하고 응용에 유용하다.

First, a Morita map (also known as a weak equivalence or essential equivalence) between two Lie groupoids ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ and ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ consists of a Lie groupoid morphism from G to H which is moreover fully faithful and essentially s주관적(이러한 범주적 개념을 부드러운 맥락에 적용)We say that two Lie groupoids ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ and ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ are Morita equivalent if and only if there exists a third Lie groupoid ${\displaystyle K_{1}\rightrightarrows K_{0}}$ together with two Morita maps f롬 G에서 K로, 그리고 H에서 K로.

A more explicit description of Morita equivalence (e.g. useful to check that it is an equivalence relation) requires the existence of two surjective submersions ${\displaystyle P\to G_{0}}$ and ${\displaystyle P\to H_{0}}$ together with a left ${\displaystyle G}$-action and a right ${\displaystyle$$H}$ 액션$$, 서로 출퇴근, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 주요 바이번들로 만든다$$.^[8]

모리타 불변

리 조로이드의 많은 특성들, 예를 들어 적절함, 하우스도르프 또는 전이성 등은 모리타 불변성이다.반면에, 에탄올이 되는 것은 모리타 불변성이 아니다.

또한 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$⇉ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$) H 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle H_{$1}\$rightarrow$H_{$0}$ 사이의 Morita 동등성은 가로 지오메트리를 보존한다$$. 즉, 다음과 같이 유도한다.

• 궤도$$ 공간 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$ ${\$1}과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$ H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ H 1 {\$displaystyle$H_{0$}/H_{$1}};$$사이의 동형상
• 해당 $지점들$에서의 동위원소 그룹들 사이의$$ 이형성 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ y ${\$ $y$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ $x\$$in$ $G_{0}$ 및 y${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ $H_{0$
• 해당 $지점들$에서의 동위원소 그룹의 정상표현 사이$$ 이형성 N $x{\displaystyle {\mathcal{}}_{}{x}_{}}$ N ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$$in G_{0}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaysty$ $사이$의 이형.

마지막으로, 두 마리의 모리타 등가 Lie groupoids의 상이한 코호몰로이들은 이소모르핀이다.^[5]

예

• 이소모르픽 리 그룹오이드는 사소한 모리타 등가물이다.
• 두 개의 Lie 그룹은 Lie 그룹과 같은 이형성인 경우에만 Morita 등가물이다.
• 2개의 단위 그룹오이드는 기초 다지관이 차이점형인 경우에만 모리타 등가물이다.
• 모든 전이성 Lie groupoid는 그것의 동위원소 그룹과 동등한 Morita이다.
• Lie groupoid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrows M}$과(와) 굴절성 잠수 $\mu s{\displaystyle }$: N${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu$:$N\to M$ 풀백 그룹 $\mu {\displaystyle {}^{}}$ G${\displaystyle {}^{}{}^{}}$G { ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightarrow$ N$}$은 G${\displaystyle }$⇉ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\rightarrows M}$에 해당하는 Morita이다$.$
• $A{\displaystyle }$ Lie groupoid $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$은(는) G ${\displaystyle G}$의 모든 동위원소 그룹이 이산인$$^[9] 경우에만 étal groupoid에 해당한다.

마지막 예시의 구체적인 예는 다음과 같다.M을 매끄러운 다지관으로 하고${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha}\}}}$M의 오픈 커버로 한다.Its Čech groupoid ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ is defined by the disjoint unions ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ and ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$, where ${\displaystyle U_{\alpha \beta }=}$${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α ${\displaystyle {\beta }_{}}$ β ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {}_{}}$M {\$displaystyle$ U_${\alpha \beta }=U_{\alpha$}\$cap$U_{\$beta }\subset M$ 소스 및 대상 맵은 임베딩 $s{\displaystyle }$: ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}{}_{}}$ → U ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ s$:$$U_{\alpha \beta \}\to U_{\alpha }}$ 및$$ $t{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$→ U ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$$U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$, and the multiplication is the obvious one if we read the ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ as subsets of M (compatible points in ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ and ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$ actually are the same in M and also lie in ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$${\displaystyle U_{\\alpha \gamma }}}.$Chech groupoid는 사실 풀백 groupoid로, ${\displaystyle \mathrm{명백}}$한 $하류{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$: ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ M ${\displaystyle$ p$:$유닛 groupoid $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ M$\rightarrow M}$의 $G_{0}\to M$$\}.$ 이처럼 M의 서로 다른 오픈커버와 연관된 echch groupoids는 모리타 등가 된다.

평활 스택

Lie groupoid의 궤도 공간의 구조를 조사하면 매끄러운 스택의 개념으로 이어진다.예를 들어, 동위원소 그룹이 사소한 경우(체크 그룹로이드의 예와 같이) 궤도 공간은 매끄러운 다지관이지만, 일반적으로 매끄러운 것은 아니다.해결책은 문제를 되돌리고 매끄러운 스택을 리 조로이드의 모리타 등가 등급으로 정의하는 것이다.스택에 살고 있는 자연 기하학적 물체는 모리타 등가 아래 불변하는 Lie groupoids 상의 기하학적 물체들이다. 그 예는 Lie groupoid cohomology이다.

부드러운 스택의 개념은 상당히 일반적이기 때문에, 분명히 모든 부드러운 다지관은 부드러운 스택이다.다른 종류의 예로는 (동일한 등급의) 에테일 그룹로이드인 오비폴드와 엽의 궤도 공간을 들 수 있다.

참조

책 및 강의 노트

• Alan Weinstein, Groupoids: 내부와 외부의 대칭, AMS Notice, 43 (1996), 744–752.arXiv:math/960 experience에서도 사용 가능
• 케임브리지 U. Press, 1987년 Differential Geomics의 Kirill Mackenzie, Lie Groupoids 및 Lie Algebroids.
• Kirill Mackenzie, Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005.
• 마리우스 크레이닉, 루이 로자 페르난데스, 거짓말 괄호 통합성 강의, 기하학&Topology Monographs 17(2011) 1–107, arXiv:math/0611259에서 이용 가능.
• Eckhard Meinrenken, Lie groupids와 Lie 알헤브로이드에 대한 강의 노트 http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341_LieGroupoids/Groupoids.pdf에서 확인할 수 있다.
• Ieke Moerdijk, Janez Mrchun, Folarments and Lie Groupoids 소개, Cambridge U. Press, 2010.