적분요소

Integral element

정류 대수학에서, 만약 n ≥ 1과 a inj A가 다음과 같은 경우, 정류 링 B의 원소 bB서브링인 A 적분되어 있다고 한다.

즉, bA에 대한 단항 다항식뿌리라고 할 수 있다.[1]A에 대해 적분된 B의 원소 집합을 B에서 A적분 폐쇄라고 한다.A가 들어 있는 B의 서브링이다.만약 B의 모든 요소가 A에 대해 통합되어 있다면, 우리는 BA대해 통합되어 있거나, 동등하게 BA통합 확장이라고 말한다.

A, B필드인 경우, 필드 이론에서 "통합 오버"와 "통합 확장"의 개념은 정확히 "알제브라틱 오버"와 "알제브라틱 익스텐션"이다(모든 다항식의 루트는 단항 다항식의 루트이기 때문이다).

숫자 이론에 가장 관심이 있는 경우는 Z보다 적분된 복잡한 숫자의 경우(예: 또는 + i 이다. 이러한 맥락에서 적분 원소를 대수 정수라고 한다.합리성 Q의 유한 확장장 k에 있는 대수적 정수는 k의 서브링을 형성하는데, 대수적 이론에서 연구의 중심 대상인 k정수 링이라고 한다.

글에서, 링이라는 용어는 배합적 정체성을 가진 정류적 링을 의미하는 것으로 이해될 것이다.

대수적 수 이론의 적분 마감

대수적 필드 K/ KL / {\ L에 대한 정수 고리를 정의하는 데 기본적이기 때문에 대수적 수 이론에서 찾을 수 있는 적분 폐쇄의 예는 많다.

이성적 정수의 적분 마감

정수는 Z 에 통합된 Q의 유일한 요소다.즉, ZQ에서 Z의 일체형 닫힘이다.

2차 연장

가우스 정수+ - ,a, Z 의 복잡한 숫자로, Z 위에 통합되어 있다.[- 은(는) (- 1) 에서 Z의 정수 닫힘입니다일반적으로 이 링은 Q[ 로 표시된다

() 에서 Z의 일체형 폐쇄가 링입니다.

이 예와 앞의 것은 이차 정수의 예다.2차 확장 ) 의 적분 마감은 임의 a+ d{\d 스타일 최소 다항식을 구성하고 적분 계수를 갖는 다항식에 대한 숫자-이론적 기준을 찾아낼 수 있다.이 분석은 2차 확장 기사에서 확인할 수 있다.

통합의 뿌리

ζ은 단결의 뿌리가 되게 하라.그러면 사이클로토믹 필드 Q(()에서 Z의 적분 폐쇄는 Z[ζ][2]이다.이는 최소 다항식을 사용하고 아이젠슈타인의 기준을 사용하여 찾을 수 있다.

대수 정수 링

복합수 C의 분야에서 Z의 일체형 폐쇄나 대수적 Q의을(를) 대수적 정수의 링이라고 한다.

기타

어떤 고리의 단결력, 영점원소공전원소들뿌리는 Z 위에 통합되어 있다.

지오메트리의 일체형 폐쇄

기하학에서 적분 폐쇄는 정규화정상 체계와 밀접하게 관련되어 있다.코다이멘션 1의 특이점을 해결하기 위한 프로세스를 제공하기 때문에 특이점 해결의 첫걸음이다.

  • For example, the integral closure of is the ring since geometrically, the first ring corresponds to the -plane unioned with the -plane.교차하는 축을 따라 코드 기호 1 특이점이 있다.
  • 유한집단 GA반지작용하도록 하라.그런 다음 A는 G에 의해 고정된 원소 집합G A 위에 통합된다. 불변제 링을 참조하십시오.
  • R을 링으로 하고 R을 포함하는 링에 유닛을 넣어라.그러면[3]
  1. u−1−1R[u]인 경우에만 R보다 필수적이다.
  2. [ R [- 은(는) R 위에 통합되어 있다.
  3. 일반 투영 버라이어티 X균일한 좌표 링의 일체형 폐쇄는 단면[4] 이다.

대수학에서의 통합성

  • If is an algebraic closure of a field k, then is integral over
  • C(x)의 유한한 확장에서 C[x]의 일체형 폐쇄는 C [[ [ / n {n}]]}()이다.Puiseux 시리즈)[citation needed]

등가정의

B를 링으로 하고, AB의 서브링으로 한다.B에서 원소 B를 주어진다면, 다음 조건은 동등하다.

(i) bA에 대한 적분이다.
(ii) Ab가 생성하는 B의 서브링 A[b]는 정밀하게 생성된 A-모듈이다.
(iii) A[b]를 포함하는 B의 서브링 C가 존재하며, 이는 정밀하게 생성된 A-모듈이다.
(iv) 충실A[b]-모듈 M이 존재하여 M이 A-모듈로 미세하게 생성된다.

이에 대한 일반적인 증거결정요인에 대한 Cayley-Hamilton 정리의 다음과 같은 변형을 사용한다.

정리 un개 원소에 의해 생성된 A-모듈 M의 내형성(endomorphism)이 되게 하고 () 과 같은 A이상 그렇다면 다음과 같은 관계가 있다.

이 정리(I = A, u 곱하기 by b)는 (iv) ⇒ (i)를 주고 나머지는 쉽다.공교롭게도 나카야마의 보조정리 역시 이 정리의 즉각적인 결과물이다.

기본 속성

일체형 폐쇄가 링을 형성함

의 4개의 동등한 진술에서 A 에 통합되어 있는 의 요소 집합이 을(를) 포함하는 의 하위 문자열을 형성한다proof: x인 경우 y B})., + , ,- x x 를 안정화하므로 에 대해 일체형이며 이는 A A에 대해 정밀하게 생성된 모듈이며 에 의해서만 소멸된다.[5]이 링은 에서 A 일체형 폐쇄라고 불린다

통합성의 전이성

위의 동등성의 또 다른 결과는 다음과 같은 의미에서 "통합성"이 전이적이라는 것이다.Let be a ring containing and . If is integral over and integral over , then is integral over . 특히, (가) B{\ 위에 통합되어 ,B {\ B이(A {\A 위에 통합되어 있다면, 도 A 에 통합되어 있다

분수 필드에서 닫힌 적분

If happens to be the integral closure of in , then A is said to be integrally closed in . If is the total ring of fractions of , (e.g., the field of fractions when (는) 통합 도메인이다) 그런 다음, " 에서 자격을 박탈하고 " 의 통합 폐쇄 및 " (는) 통합적으로 폐쇄됨"[6]이라고 간단히 말한다.예를 들어 정수 의 링은 필드에서 통합적으로 닫힌다

통합적으로 닫힌 도메인과 통합 닫힘의 전이성

AK대수적 필드 확장자 L에서 A의 정수 닫힘 KA'의 분수 필드를 가진 통합 영역이 되도록 한다.그러면 A'의 분수장은 L이다.특히 'A'통합적으로 폐쇄된 도메인이다.

대수적 수 이론에서의 전이성

이 상황은 정수 링과 필드 확장을 관련할 때 대수적 숫자 이론에 적용된다.특히 확장자 / K 에서 K 일체형 닫힘은 정수 L 의 링이다

언급

위와 같은 통합성의 B {\ B)A {\ 통합되어 있는 B {\ B}이(가) 정밀하게 된 서브링의 조합(동일하게 귀납 한계)이라는 것을 의미한다.

(가) noetherian이면 통합의 transitability가 다음과 같은 문장으로 약화될 수 있다.

[ {\을(를) 포함하는 B 으로생성된 A {\ A -submodule이 있다

정밀도 조건과의 관계

마지막으로 이(가) 의 하위 문자열이라는 가정은 약간 수정할 수 있다.: → B is a ring homomorphism, then one says is integral if is integral over . In the same way one says is finite ( finitely generated -module) or of finite type (디스플레이 미세하게 생성된 -algebra).이런 관점에서 볼 때, 한 가지각색이다.

(가) 일체형이고 유한형인 경우에만 f (가) 유한하다.

아니면 더 명시적으로,

는) A 위에 적분된 요소의 된 수로 B A -algebra로 생성되는 에만 하게 생성된 A {\ A -module이다.

적분 확장

코헨-세이덴버그의 정리

내선 AB상승 속성, 누운 속성, 비교불가능 속성(Cohen-Seidenberg 정리)을 가지고 있다.Explicitly, given a chain of prime ideals in A there exists a in B with 위로 올라가 누운 상태)와 포함 관계가 뚜렷한 두 개의 뚜렷한 프라임 이상은 동일한 프라임 이상(비교)으로 수축할 수 없다.특히 AB크롤 치수는 같다.또한, A가 통합적으로 폐쇄된 도메인인 경우, 하향은 유지된다(아래 참조).

일반적으로 상승은 누운 상태를 암시한다.[7]따라서 아래에서는 단순히 "위로"와 "위로"를 의미하는 "위로"를 말한다.

A, BA에 대해 통합된 도메인인 경우, AB가 필드인 경우에만 필드다.산호로서 다음과 같다:B 프라임 이상적 {\ {\는 q A의 최대 이상일 경우에만 B최대 이상이다.또 다른 유의사항: L/K가 대수적 확장인 경우 K를 포함하는 L의 하위 링은 필드다.

적용들

B는 서브링 A 위에 일체형이고 k대수적으로 닫힌 장으로 하자.: → k 는 동형(同形)[8]이고, 그 다음 f는 동형(同形) Bk로 확장된다.이것은 다음부터 계속된다.

위로 올라가는 기하학적 해석

: A→ B 은(는) 링의 통합 확장이다.유도된 지도는

닫힌 지도 입니다. 사실f# (V () = ( - () ) V f주입형이면 억장이 된다.이것은 오르막길을 기하학적으로 해석한 것이다.

적분 확장의 기하학적 해석

B를 링으로 하고 노메트리안 통합적으로 닫힌 도메인인 서브링(예: spec (는) 일반적인 구성표임)A에 대해 통합된 경우, 규격 spec Spec} A은(는) 하위 항목이며, 즉 {가 된다.[9]그 증거는 구성 가능한 집합의 개념을 사용한다.(다음 항목 참조):Torsor (알지브라질 기하학)

통합성, 기본 변경, 범용 닫기 및 형상

이(가 위에 통합되어 있는 경우, A-algebra R에 대해 B A {\ Botimes }이 R 에 통합되어 있는 것이다.[10]특히 ( R) R 이(가) 닫힘. 즉, 통합 확장은 "범용 닫힘" 맵을 유도한다.이는 적분 확장의 기하학적 특성화로 이어진다.즉, B는 미세하게 많은 최소의 프라임 이상만을 가진 반지가 되게 하라(예: 통합 영역 또는 노메트리안 반지).그러면 B는 A-algebraR에 대해 (a R) → { \ {Spec}이(가) 닫혀 있는 경우에만 A에 대해 통합된다.[11]특히 모든 적절한 지도는 보편적으로 폐쇄되어 있다.[12]

통합적으로 닫힌 도메인의 통합 확장에 대한 Galois 작업

제안.A분수 K, L의 영역으로 통합적으로 폐쇄된 영역으로 한정정규 확장 K, BL에서 A의 일체형 폐쇄가 되도록 한다.그러면 G = ( / ){\ G이(가) 사양 A의 각 섬유에 전이적으로 작용한다

증명. G 모든 대해 p p) \( \을 가정해 보십시오.Then, by prime avoidance, there is an element x in such that for any . G fixes the element a그리고 따라서 yK에 대해 순수하게 불가분의 관계에 있다.Then some power belongs to K; since A is integrally closed we have: Thus, we found is in but not in 예: p ∩ A

대수적 수 이론에의 적용

The Galois group then acts on all of the prime ideals lying over a fixed prime ideal [13] 즉,

그런 다음 p= { 1,, {\}}}\dots {{k이것을 갈루아 확장에서는 프라임 이상 분열이라고 한다.

언급

에 나와 있는 동일한 아이디어는 / K 이(가) 순수하게 분리할 수 없는 확장(정상일 필요는 없음)이라면 B → A {\ { {이(가)이(비주사)라는 것을 보여준다.

A, K 등을 전과 같이 두되 LK의 유한한 자기장 확장에 불과하다고 가정한다.그러면.

(i) B→ 사양 A}은섬유질이 유한하다.
(ii) the going-down holds between A and B: given , there exists th그것에 대한 계약으로

실제로 두 진술 모두 L을 확대함으로써 L이 정상적인 연장선상에 있다고 가정할 수 있다.그러면 (i)가 당장이야.As for (ii), by the going-up, we can find a chain that contracts to . By transitivity, there is such that 그 다음 i = = {\{\ 원하는 체인이다.

적분마감

AB를 링으로 하고 A B에서 일체형 닫기로 한다(정의는 위 참조).

일체형 폐쇄는 다양한 구조에서 잘 작동한다.반지의 A의 증식력이 있어 닫힌 부분 집합 S에 S−1A의 S−1B에 특별히, 지역화 S−1A'를 건전한 폐쇄성, B의[t]{A[t]\displaystyle}[t]{B[t]\displaystyle}.[14]의 ′[t]{A'[t]\displaystyle}은 적분 폐쇄가 같다면 A자세히 적{\displaystyle A_{나는}}은 subrings B 나는, 1≤, then the integral closure of in is where are the integral closures of i [15]

로컬 A in, 예를 들어, B의 일체형 닫힘은 로컬이 될 필요가 없다.(이럴 경우 반지를 유니브란치라고 한다.)예를 들어 A헨셀리안이고 BA의 분수 영역의 필드 확장인 경우를 들 수 있다.

A가 필드 K의 서브링인 경우, K에서 A의 적분 마감은 A포함된 K의 모든 평가 링의 교차점이다.

A -graded subring의N {\{N -graded ring B가 되도록 한다.그러면 B에서 A의 일체형 폐쇄는 B -graded 하위 링이다.[16]

이상에 대한 일체적 폐쇄의 개념도 있다.일반적으로 이 나타내는 이상적인 의 일체형 닫힘은 단일 다항식이 존재하도록 모든 r is 의 집합이다

I {\ {}\ I을(를) 루트로 하고 을(를) 루트로 한다.[17][18]이상형의 급진적인 것은 통합적으로 폐쇄되어 있다.[19][20]

노에테리아 고리에는 대체 정의도 있다.

  • 만일 되지 않은c R {\ c(가) 존재한다면(: c r I
  • {\의 정규화된 블로우업에서 r의 풀백은 I의 역 이미지에 포함되어 있다.이상에 대한 확대는 주어진 이상을 주된 이상으로 대체하는 계획의 운용이다.계획의 정상화는 단순히 그것의 모든 고리의 일체형 폐쇄에 해당하는 계획일 뿐이다.

이상에 대한 일체적 폐쇄의 개념은 하향 정리의 일부 입증에 사용된다.

지휘자

B를 링으로 하고 A를 B의 서브링으로 하여 B가 A 에 일체형으로 한다.그러면 A-모듈 B/A전멸기B에서 A지휘자라고 부른다.Because the notion has origin in algebraic number theory, the conductor is denoted by . Explicitly, consists of elements a in A such that . (cf. idealizer in abstract algebra.) A의 가장 큰 이상이며 B의 이상이기도 하다.[21]SA의 승수적으로 닫힌 부분 집합인 경우

- (/ A)= ( S- / S- ) )={\mathfrak}}}(

만약 B가 A의 총 분수 링의 서브링이라면, 우리는 그것을 확인할 수 있을 것이다.

(/ A)= (, A) { .

Example: Let k be a field and let (i.e., A is the coordinate ring of the affine curve .) B is the integral closure of A in .B에서 A의 도체는 이상 , ) t이다.. More generally, the conductor of , a, b relatively prime, is with .[22]

/A B이(가) 미세하게 생성되도록 A의 분수 분야에서 B가 통합 영역 A의 폐쇄라고 가정한다.Then the conductor of A is an ideal defining the support of ; thus, A coincides with B in the complement of in . In particular, the set 으로 닫힘 으로V({\mathfrak f의 보완이 열린 집합이다.

적분 마감의 정밀도

중요하지만 어려운 문제는 정밀하게 생성된 대수학의 정수 폐쇄의 정밀도에 관한 것이다.몇 가지 알려진 결과가 있다.

분수 영역의 유한한 확장에 있는 데데킨드 도메인의 일체형 폐쇄는 데데킨드 도메인, 특히 노에테리아 링이다.크룰-아키즈키 정리의 결과다.일반적으로 기껏해야 2차원의 노메트리안 영역의 일체적 폐쇄는 노메트리안이다; 나가타는 노메트리안이 아닌 차원 3 노메트리안 영역의 예를 들었다.[23]더 좋은 진술은 다음과 같다: 노에테리아 도메인의 일체적 폐쇄는 크롤 도메인(모리-나가타 정리)이다.나가타는 또한 그 영역에 대해 일체형 폐쇄가 유한하지 않은 것과 같은 차원 1 노메테리아 지방 영역의 예를 제시했다.[citation needed]

A를 분수 K의 영역과 통합적으로 폐쇄된 노메테리아 영역으로 하자.L/K가 유한 분리 가능 확장인 경우, L에서 A 일체형 폐쇄 A은 정밀하게 생성된 A-모듈이다.[24]이것은 쉽고 표준적이다(추적이 비퇴행 이선형 형태를 정의한다는 사실을 사용).

A는 분수 K의 필드가 있는 통합 영역인 필드 k에 대해 정밀하게 생성된 대수학이다.LK의 유한 확장인 경우, L에서 A 일체형 폐쇄 은 미세하게 생성된 A-모듈이며, 또한 미세하게 생성된 k-algebra이기도 하다.[25]그 결과는 노에더에 기인하며 다음과 같이 노에더 정상화 보조마사를 사용하여 보여줄 수 있다.L/K가 분리될 수 있거나 아니면 순수하게 불가분의 관계에 있을 때 그 주장을 보여주기에 충분하다는 것은 분명하다.분리 가능한 경우는 위에서 언급되었으므로, 신용장은 순수하게 불가분의 관계에 있다고 가정한다.정규화 보조정리법에 의해 A= k[ ,... . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . 는 유한한 순수하게 불가분의 확장인 LK의 모든 요소가 K에 있는 원소의 Q번째 루트가 될 정도로 프라임 숫자q가 있다.K 을(를) L을 생성하는 많은 합리적인 함수의 계수의 모든 Q번째 루트를 포함하는 k의 유한한 확장이 되도록 한다. 는: L k ( /q . . , 1/ . ..., The ring on the right is the field of fractions of , which is the integral closure of S; thus, contains . Hence, is finite over S; a fortiori, over A.kZ로 대체하면 결과는 그대로 유지된다.

A의 분수 영역의 유한한 확장에 있는 완전한 국부 노메트리안 영역 A의 일체형 폐쇄는 A에 대해 유한하다.[26]더 정확히 말하자면, 지역 노메트리안 링 R에게는 다음과 같은 함축적 사슬이 있다.[27]

(i) 완전 나가타 반지임
(ii) A is a Nagata domain A analytically unramified the integral closure of the completion is finite over the integral closure of A isA에 대해 유한한

노에더의 정상화 보조정리

노에더의 정상화 보조정리란 정류 대수학에서 정리된 것이다.필드 K와 미세하게 생성된 K-algebra A를 고려할 때, A가 B = K[y]보다1 유한(따라서 적분)하도록 K에 대해 대수적으로 독립된 원소 y1, y2, ..., y를 A에서mm 찾을 수 있다고 정리는 말한다.따라서 확장자 KA는 합성 KBA로 쓸 수 있는데 여기서 KB는 순전히 초월적 확장자이고 BA는 유한하다.[28]

적분 형태론

In algebraic geometry, a morphism of schemes is integral if it is affine and if for some (equivalently, every) affine open cover of Y, every map is of the form 로, 여기서 A는 필수 B-algebra이다.적분 형태론의 등급은 한정된 형태론의 등급보다 더 일반적이다. 왜냐하면 많은 경우, 필드 위에 있는 필드의 대수적 폐쇄와 같이 유한하지 않은 적분 확장이 있기 때문이다.

절대 적분 마감

A를 필수 영역으로 하고 A의 분수 영역의 L (일부) 대수적 폐쇄가 되도록 한다.다음 L에서 A의 일체형 폐쇄 + A절대 일체형 폐쇄라고 한다.[29]그것은 비수평적 이형성에 버금가는 독특한 것이다.모든 대수 정수의 링은 예시(따라서 + A는 일반적으로 노에테리아식이 아니다.)

참고 항목

메모들

  1. ^ 위의 방정식을 적분 방정식이라고도 하며 b는 (대수 의존과는 반대로) A에 통합적으로 의존한다고 한다.
  2. ^ 밀른, 정리 6.4 (
  3. ^ 카플란스키 1.2 운동 4.
  4. ^ 하르트쇼른 1977, 2장, 연습 5.14
  5. ^ 이 증거는 데데킨드(Milne, ANT) 때문이다.또는 대칭 다항식을 사용하여 링에서 적분 원소를 표시할 수 있다.(이전 명칭)
  6. ^ 후네케와 스완슨 2006년 제2장
  7. ^ 카플란스키 1970, 정리 42
  8. ^ 부르바키 2006, 5, §2, Corollary 4 to 1. harvnb target:(
  9. ^ 마츠무라 1970년, 2장.정리 7
  10. ^ 부르바키 2006, 5, §1, 발의안 5
  11. ^ 아티야-맥도날드 1969, Ch장. 연습 35 오류: 없음:(
  12. ^ "Section 32.14 (05JW): Universally closed morphisms—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-11.
  13. ^ Stein. Computational Introduction to Algebraic Number Theory (PDF). p. 101.
  14. ^ 아티야-맥도날드에서 하는 연습.
  15. ^ 부르바키 2006, 5, §1, 발의안 9
  16. '^ 증명: :→ B[ 를) 동종 n도인 경우 ()= b t = })=과 같은 고리 동종류 한다. [ 에서 [ t {\displaystyle A 통합 마감이며, 여기B에서 A의 통합 마감이다. If b in B is integral over A, then is integral over ; i.e., it is in . That is, each coefficient in the polynomial is in A.
  17. ^ 아이젠부드 1995년 연습 4.14
  18. ^ HunekeSwanson 2006의 정의 1.1.1
  19. ^ 아이젠부드 1995년 연습 4.15
  20. ^ 비고 1.1.3 HunekeSwanson 2006
  21. ^ 후네케와 스완슨 2006년 12장
  22. ^ Swanson 2006, 사례 12.2.1
  23. ^ Swanson 2006, 연습 4.9 (
  24. ^ 아티야-맥도날드 1969, Ch장 5.17 오류:
  25. ^ 하르트손 1977년, Ch I.정리 3.9 A
  26. ^ Swanson 2006, Organis 4.3.4 없음:
  27. ^ 마쓰무라 1970년, 12장
  28. ^ 리드 4장
  29. ^ Melvin Hochster, 수학 711: 2007년 9월 7일 강의

참조

추가 읽기