전멸기(링 이론)

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수학에서 링 위에 있는 모듈의 부분집합 S의 전멸기는 S의 원소로 곱할 때 항상 0을 주는 반지의 원소에 의해 형성된 이상이다.

일체형 영역 위에 비제로 전멸기가 있는 모듈은 비틀림 모듈이고, 정밀하게 생성된 비틀림 모듈은 논제로 전멸기가 있다.

위의 정의는 왼쪽 모듈의 왼쪽 전멸기가 왼쪽 이상이고 오른쪽 모듈의 오른쪽 전멸기가 오른쪽 이상인 경우에도 적용된다.

정의들

R을 링으로 하고, M을 좌측 R-모듈로 한다.M의 비어 있지 않은 부분 집합 S를 선택하십시오.앤_R(S)으로 표시된 S의 전멸기는 모든 s에 대해 rs = 0인 R의 모든 원소 집합이다.^[1]세트 표기법에서,

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid \forall s:\,rs=0\}}$

S(S가 비틀림 집합인 원소)를 "절멸"하는 것은 R의 모든 원소의 집합이다.정의에서 "sr = 0"을 수정한 후 오른쪽 모듈의 하위 집합도 사용할 수 있다.

단일 원소 x의 전멸기는 보통 앤_R({x}) 대신 앤(x_R)으로 표기된다.링 R을 컨텍스트에서 이해할 수 있다면 첨자 R을 생략할 수 있다.

R은 그 자체로 모듈이기 때문에 S는 R자체의 부분집합으로 볼 수 있으며, R은 좌우 R 모듈이기 때문에 표기법을 약간 수정하여 왼쪽이나 오른쪽을 표시해야 한다.보통 $\ell {\displaystyle .}$ a ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$) ${\$ $및$ r${\displaystyle }$.${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$\!\mathrm$ {$Ann} _{R}(S)\,}$ 또는 필요한$$ 경우 유사한 첨자 체계를 사용하여 왼쪽 및 오른쪽 섬멸기를 구별한다.

M이 R-모듈이고 Ann_R(M) = 0이면 M을 충실한 모듈이라고 한다.

특성.

S가 왼쪽 R 모듈 M의 부분 집합이라면, Ann(S)은 R의 왼쪽 이상이다.^[2]

S가 M의 하위 모듈이라면, 앤_R(S)은 심지어 (ac)s = a(cs) = 0인 양면 이상이다. cs는 S의 또 다른 요소이기 때문이다.^[3]

S가 M의 부분 집합이고 N이 S에 의해 생성된 M의 부분 집합이라면, 일반적으로 Ann_R(N)은 Ann_R(S)의 부분 집합이지만 반드시 동일하지는 않다.만약 R이 상호작용을 한다면, 평등은 유지된다.

M may be also viewed as a R/Ann_R(M)-module using the action ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$. Incidentally, it is not always possible to make an R module into an R/I module this way, but if the ideal I is a subset of the annihilator of M, then this action is well-defined.R/Ann_R(M)-모듈로 간주되는 M은 자동으로 충실한 모듈이다.

정류 링의 경우

이 섹션 전체에 걸쳐 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정류 링으로 $하고$ M ${\displaystyle M}$을(를) 정밀하게 $생성{\displaystyle }$(단락, 유한) R ${\displaystyle R}$ -module로$$ 한다.

지원 관련

모듈의 지원이 다음과 같이 정의되어 있음을 상기하십시오.

${\displaystyle \operatorname {Supply}M=\{\mathfrak{p}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{p}\mathfrak {p}\neq 0\}}}$

그런 다음 모듈이 미세하게 생성되면 관계가 있다.

${\displaystyle V}$( 앤 ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{Supple}}$ supp ${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M)=\operatorname {Supple}$M$\},$

여기서 $V{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle V(\cdot )}$은 부분 집합을 포함하는 기본 이상 집합이다.^[4]

짧은 정확한 시퀀스

정확한 모듈 순서가 주어지면

$'0\displaystyle 0\to M'\to M'\to 0,}$

지지 재산

${\displaystyle \operatorname {Supply}M=\operatorname {Supply}M'\컵 \operatorname {Supply},}$^[5]

전멸자와의 관계가 함축되어 있다.

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M)=V(\operatorname {Ann} _{R}(M')\컵 V(\operatorname {An} _{R}(M')}$

좀 더 구체적으로 말하자면, 우리는 관계를 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}$

만약 그 순서가 분열된다면 왼쪽의 불평등은 항상 평등하다.사실 이것은 임의의 모듈 직접 합계에 대한 것으로서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\왼쪽(\bigoplus _{i}{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {An} _{R}(M_{i}).}$

지수 모듈 및 전멸기

이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq R}$을(를) $지정$하고 M ${\displaystyle$ M}을$($를) 유한 모듈로$$ 지정하면 관계가 있다.

${\displaystyle {\text{Supply}(M/IM)=\operatorname {Supply}M\cap V(I)}$

후원으로지원과의 관계를 이용하여, 이것은 전멸자와의^[6] 관계를 제공한다.

${\displaystyle V({\text{\text}Ann}_{R}(M/IM)=V({\text{Ann}_{R}(M)\cap V(I).}$

예

정수를 넘어서.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 미세하게 생성된 모듈은$$ 아벨리아 그룹의 기본 정리로부터 비틀림 부분이 있는 자유 부분의 직접 합으로 완전히 분류된다.그렇다면, 유한 모듈의 전멸기는 완전히 비틀어진 경우에만 비경쟁적이다.왜냐하면

${\displaystyle {\text{앤}}_{\mathb {Z}}(\mathb {Z} ^{\oplus k}=\{0\}=(0)}$

$각{\displaystyle \mathbb{}}$ Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$을(를) 죽이는 $요소$는 0$${\$displaystyle 0$이므로 예를 들어 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ $\displaystyle \mathb {Z} /2\oplus \mathb {Z} /3}$의 전멸자는

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathb {Z}}}(\mathb {Z} /2\oplus \mathb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}(2,3)),}$

$({\displaystyle 6}$) ${\displaystyle (6)}$에 의해 생성된 이상$.$ 사실 비틀림 모듈의 전멸기

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}$

최소공통배수$({\displaystyle }$lcm ${\displaystyle }$(${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ n${\displaystyle {}_{}))}${\$displaystyle (\displayname {lcm}(a_{1},\ldots,a_{n$에 의해 생성된 이상에 이형성.이것은 전멸자들을 정수에 걸쳐 쉽게 분류할 수 있다는 것을 보여준다.

정류 링 R 위로

실제로 정류 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 통해 어떤 유한 모듈에 대해서도 수행할 수 있는 유사한 계산이 있다$.$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 정밀도에 대한 정의는 다음과 같이 주어진 프레젠테이션이라고 하는 우측정확한 시퀀스가 존재함을$$ 암시한다는 것을 상기하라.

${\displaystyle R^{\oplus L}\x오른쪽 화살표 {\phi } R^{\oplus k}\to 0}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은(는) ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, l${\displaystyle }$($$R ) {\$displaystyle {\text}_{k,l}($R)}}에 있으며$,$ 매트릭스처럼 명시적으로$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(는)로 표기한다.

${\displaystyle \phi ={\n1}&\cdots &\\phi _{1,n}\\vdots &&\phi _{n,n}\end{bmatrix}}}}}$

따라서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 직접 합을 분해함$$

${\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1)){(\phi _{ldots ,\phi _{i,n}(1))}}}$

만약 우리가 이 이상을 각각 다음과 같이 쓴다면.

${\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1)),\ldots,\phi _{i,n}(1)}$

그리고 나서 다음이 주는$$ 이상적인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(I)=\빅컵 _{i=1}^{nV(I_{i}}}}$

전멸자를 제시하다

초과[x,y]

필드 k ${\$ k$\}$에 대한 $정류$ 링 k$$ [ $x{\displaystyle }$ ,${\displaystyle }$y${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ k$[x,y]}$ 위로 모듈 전멸기

${\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}}}{\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}}}}}$

이상에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=(x^{2}-y)(y-3)).}$

전멸자 이상에 대한 연쇄적 조건

$\ell {\displaystyle }$ 형식의 이상 격자${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathrm{\ell }}_{}}$. n ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}$ 여기서 S는 포함에 의해 부분적으로 정렬되었을 때 완전한 격자로 구성된다.이 격자(또는 오른쪽 격자)가 상승 체인 조건이나 하강 체인 조건을 만족시키는 링을 연구하는 것은 흥미롭다.

Denote the lattice of left annihilator ideals of R as ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ and the lattice of right annihilator ideals of R as ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$. It is known that ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ satisfies the A.C.C. if and only if ${\displaystyle {\math$${RA}\,}$은(는) DC를 만족하고$$, 대칭적으로 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ A $displaystyle {\mathcal {RA}\,$ $L{\displaystyle \mathcal{}}$ A $displaystyle {\mathcal {LA},}$이(가) DC를 만족하는$$ 경우에만 ${\displaystyle \mathcal{A}}$.C.C.를 만족한다$$.어느 격자라도 이러한 체인 조건 중 하나를 가지고 있는 경우, R에는 무한 직교 특성 증분 세트가 없다.^[7][8]

R이 L ${\displaystyle \mathcal{A}}$ $displaystyle {\mathcal {LA}\},}$이(가) A.C.를 만족하고$$ R이 유한 균일한 치수를 갖는 반지라면 R은 왼쪽 골디 반지라고 부른다.^[8]

정류 링에 대한 범주 이론적 설명

R이 교감되고 M이 R-모듈일 때, 우리는_R 앤(M)을 홈텐서 접합부를 따라 ID M → M의 부가 지도에 의해 결정되는 액션 맵 R → End_R(M)의 커널로 설명할 수 있다.

More generally, given a bilinear map of modules ${\displaystyle F\colon M\times N\to P}$, the annihilator of a subset ${\displaystyle S\subseteq M}$ is the set of all elements in ${\displaystyle N}$ that annihilate ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle \operatorname {Ann}(S):=\\{n\in N\mid \forall s\in S:F,n)=0\}$

반대로 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T\subseteq$ N$}$을$($를) 부여하면, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 하위 집합으로 섬멸기를 정의할 수 있다$.$

섬멸기는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과$($와) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 하위 집합 사이에 갈루아 연결을 제공하며, 관련 폐쇄 연산자가 스팬보다 강하다.특히:

• 전멸자는 하위 종이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Span}S\leq \operatorname {Ann}(\operatorname {Ann} (S))}$
• ${\displaystyle \operatorname {An}(\operatorname {Ann}(S))=\operatorname {Ann}(S)}$

중요한 특별한 경우는 벡터 공간, 특히 내적인 생산물에 비데오제 형태의 존재에 있다: 그렇다면 지도 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle K}$ $[\displaystyle V\time V\to K}$와 연관된 섬멸기를 직교보충이라고 한다$$.

링의 다른 속성에 대한 관계

노메테리아 교감 링 R 위에 모듈 M을 얹은 경우, M의 0이 아닌 원소의 섬멸자인 R의 프라임 이상을 M의 관련 프라임이라고 한다.

• 섬멸자들은 왼쪽 리카르트 고리와 배어 고리를 정의하는데 사용된다.
• S의 (왼쪽)영점 D_S 세트는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}$

(여기서 우리는 0을 0으로 나누도록 허용한다.)

특히 D는_R 자신에게 왼쪽 R-모듈로 작용하는 S = R과 R을 취하는 R의 (왼쪽)영점 집합이다.

• R이 정류자 및 노메테리아어인 경우, $설정$된 D ${\displaystyle R_{}}$ ${\$는 R-모듈 R의 관련 소수점 조합과 정밀하게 동일하다$$.

참고 항목

• 소클
• 모듈 지원

메모들

참조

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• 이스라엘 나단 허슈타인(1968) 논커뮤테이션 반지, 카루스 수학 모노그래프 #15, 미국 수학 협회 3페이지.
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 228–232, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• 리처드 S.피어스연상 알헤브라스.수학 대학원 교과서 88권, 1982년 스프링거-베를라크, ISBN 978-0-387-90693-5