범용포락 대수

수학에서, 리 대수학의 보편적 포락 대수학은 그 리 대수학의 표현과 정확하게 일치하는 단항 연관 대수학이다.

범용 봉합 알헤브라는 리 집단과 리 알헤브라의 대표 이론에 사용된다.예를 들어, Verma 모듈은 범용 봉투 대수의 인수로 구성될 수 있다.^[1]또한, 포락 대수학에서는 카시미르 연산자에 대해 정확한 정의를 내린다.Casimir 연산자는 Lie 대수학의 모든 요소와 함께 통근하기 때문에, 표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.또한 정밀한 정의는 카시미르 연산자를 수학의 다른 영역, 특히 미분대수를 가진 영역으로 수입하는 것을 허용한다.그들은 또한 수학의 최근 발전에 중심적인 역할을 한다.특히 이들의 이중은 비확정 기하학인 양자 그룹에서 연구된 대상들의 상호교합적인 예를 제공한다.이 이중은 Gelfand-Naimark의 정리에 의해 해당 Lie 집단의 C* 대수학을 포함하는 것으로 보여질 수 있다.이 관계는 타나카-크레인이 콤팩트한 위상학적 그룹과 그 대표성 사이의 이중성을 일반화한다.

분석적 관점에서 Lie 그룹의 Lie 대수학의 보편적 포락 대수학은 그룹의 좌변량 미분 연산자의 대수학으로 식별할 수 있다.

비공식구축

범용포함대수의 개념은 리 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$을(를) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 추상 브래킷 연산이 $정류자{\displaystyle }$ x ${\displaystyle y}$ -${\displaystyle }$x $\{\}$에 해당하는$$ 방식으로 ID를 가진$$$$ 연관 대수 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\{\$mathcal$}$에 포함시키는 것이다.$\displaystyle xy-yx}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and the algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is generated by the elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. There may be many ways to make such an embedding, but there is a unique "largest" such ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, called$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 범용 포락 대수$.$

생성자 및 관계

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 기본 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle X_{}}$n {\$displaystyle X_{1},\ldots X_{n$과($와{\displaystyle {}_{}}$) 함께 단순성을 위해 유한 차원이라고 가정하는 리 대수. ci$$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을 기준으로 한다$$.

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.}$

${\displaystyle {그}_{}}$ 다음에 범용포함 ${\displaystyle {대수학}_{}}$이란 원소 x 1 , …x n ${\$에 의해 생성되는$$ 연관 대수학이다${\displaystyle .}$

${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}}}}}}$

다른 관계도 없고아래에서는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 텐서 대수 인수로 범용 봉투 대수를 구성하여 이 "세대와 관계" 건설을 보다 정밀하게 만들 것이다$.$

예를 들어 행렬에 의해 확장된 Lie 대수 sl(2,C)을 고려하십시오.

$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0\1&0\end{pmatrix}\nd{pmatrix},}},}$$

즉$,{\displaystyle }$ 감화 관계를 만족한다 [${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle X]}$ = ${\displaystyle 2}$ X$${\$displaystyle [H,X]=2X$$\},$ [${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle }$${\displaystyle ]}$= - ${\displaystyle 2}$ Y$${\$displaystyle [H,Y]=-2Y$$\},$ [$X,$Y${\displaystyle ]}$ = ${\displaystyle H}${\$displaystyle$[X,$Y]$$H$ sl(2,C)의 범용적 포락 대수(Universal closureing 대수)는 그 관계의 영향을$$ 받는 세 가지 $원소{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x,y,h}$에 의해 생성된 대수(Universal closure)이다.

${\displaystyle hx-xh=2x,\disput hy-yh=-2y,\disput xy-yx=h,}$

다른 관계도 없고우리는 보편적 포괄 대수학이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ $[\displaystyle 2\time$ 2$}$ 행렬과$$ (또는 그 안에 포함) 같지 않다는 것을 강조한다.예를 들어, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \times }$ 2 ${\displaystyle$ 2$\times 2}$ $행렬{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$$}$은(는) ${\displaystyle {쉽게\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{검증}}$되는${\displaystyle {}^{}}$대로$$X 2 = 0 {\$displaystyle X$2}=0}을(를) 만족한다$$.그러나 범용 봉투 대수학에서는 $원소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이(가) ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= 0 ${\displaystyle$ x$^{2}=0}$을(를) 만족하지$$ 않는다$.$ 왜냐하면 우리는 봉투 대수학의 구성에서 이러한 관계를 강요하지 않기 때문이다.실제로 원소 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ,${\displaystyle }$x${\displaystyle }$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2, x ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle ...}$ ${\displaystyle$1,$x,x^{2},x^{3},\$ldots$$} 원소 1 , ${\displaystyle x}$ , x , x ,${\displaystyle {}^{}}$^{3},\$ldots$ }이 모두 범용포장 대수학에서 선형적으로 독립되어 있다는$$ 것은 푸앵카레-비르호프-위트 정리(아래 설명)에 따른다.

근거 찾기

일반적으로, 보편적 포락 대수학의 요소는 가능한 모든 순서로 발전기 생산물의 선형 결합이다.보편적 포락 대수학의 정의 관계를 이용하여, x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의$$ 모든 요소를 먼저, 그리고 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle x_{$2$\}\}$ 등의 특정 순서로 그러한 제품들을 언제든지 재주문할 수 있다.예를 들어 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{1$}:{$2}}("잘못된"$$ 순서)을 포함하는 용어가 있을 때마다 관계를$$ ${\displaystyle {사용}_{}}$하여 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ x$$2 {\$displaystyle x_{$1}$x_{2$}}에 x$$j {\$displaystysty x_{j$s의 선형 조합으로 다시 쓸 수 있다.이런 종류의 일을 반복하면 결국 어떤 원소도 오름차순으로 배열된 항들의 선형 결합으로 변환된다.따라서, 형태의 요소들은

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}^{1}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}}}}}$

${\displaystyle k_{}}$ ${\$s가 음이 아닌 정수인 상태에서 포락 대수까지 확장하십시오. (${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\displaystyle k_{j}=0$ 즉 x ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 요인이 발생하지 않는 항을 허용함$$).아래에서 논의된 푸앵카레-비르호프-위트 정리는 이러한 원소들이 선형적으로 독립되어 있으며 따라서 보편적 포락 대수학의 기초를 형성한다고 주장한다.특히 보편적 포락 대수학은 언제나 무한한 차원이다.

푸앵카레-비르크호프-위트 정리는 특히 ${\displaystyle {원소\mathrm{}}_{}}$ x $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 그 자체가$$ 선형적으로 독립되어 있음을 암시한다.$따라서{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를$$원래 Lie 대수학의 생성자$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$와 식별하는 것이 일반적이다.즉, 우리는 원래의 Lie 대수학을 발전기에 의해 확장되는 보편적 포괄 대수학의 하위공간으로 식별한다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\time n}$ 행렬의$$ 대수일 수 있지만$$, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 범용 포락은 (완료 차원) 행렬로 구성되지 않는다$$.특히 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 범용포장 대수를 포함하는 유한차원 대수는 없으며$,$ 범용포장대수는 항상 무한 차원이다.따라서 sl(2,C)의 경우 우리의 Lie 대수학을 범용적 포괄 대수학의 하위공간으로 식별한다면, $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ X$\},$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y},$ $H$ ${\\displaystyle H}$를 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystytype 2}$ 행렬로$$ 해석하지 말고 (공기호 이외의) 기호로 해석해야 한다.이온 관계).

형식

유니버설 포락 대수학의 형식적인 구성은 위의 사상을 취하며, 이를 보다 편리하게 작업할 수 있도록 표기법과 용어로 포장한다.가장 중요한 차이점은 위에서 사용하는 자유 연관 대수학(free conniation 대수학)이 텐서 대수학(tensor 대수학)으로 좁혀져 기호의 산물이 텐서 산물로 이해된다는 점이다.콤퓨테이션 관계는 ${\displaystyle {형식}_{}}$ x x${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ x ${\displaystyle \mathrm{i}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ {\$displaystyle x_{i}-x_{j}-$x_{$j}-{j}-\Sigma c_{ijk}x_{$k}-}-{igma c_{ijk}x}_{k}x$\}$_{$k}.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$유니버설 포락 대수학은 원래의 리 대수학과 양립할 수 있는 리 브라켓을 가진$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 요소들에 의해 생성된 "가장 큰" 단수 연관 대수다.

형식 정의

모든 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 특히 벡터 공간임을$$ 기억하십시오.따라서 텐서 대수 $){\displaystyle T({\mathfrak{g})}$를 그것으로부터 자유롭게 구성할$$ 수 있다.텐서 대수학은 자유 대수학이다: 그것은 단순히 $모든{\displaystyle \mathfrak{}}$ 가능한 벡터의 가능한 모든 텐서 생산물을 g ${\$에 포함하며$,$ 그 생산품에 어떠한 제한도 없다.

즉, 공간을 구성한다.

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

여기서 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes}$은(는) 텐서 제품이며$$,$\$ {\$displaystyle$ \$oplus }$은(는) 벡터 공간의 직접 합이다.여기서 K는 리 대수학을 정의하는 분야다.여기서부터 이 글의 나머지 부분까지, 텐서 제품은 항상 명시적으로 보여진다.많은 저자들이 그것을 생략하고 있는데, 그 이유는 실천을 통해 그것의 위치를 대개 맥락에서 추론할 수 있기 때문이다.여기서는 표현의 의미에 대한 가능한 혼란을 최소화하기 위해 매우 명시적인 접근법을 채택한다.

시공의 첫 번째 단계는 리 대수에서 텐서 대수(정의된 곳)로 리 브라켓을 "리프트"하여 텐서 대수(리듬이 없는 곳)로 두 개의 텐서의 리 브라켓과 일관성 있게 작업할 수 있도록 하는 것이다.리프팅은 다음과 같이 한다.첫째, Lie 대수학에서의 브래킷 연산이 이선형 지도 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$→ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$이며, 이선형, 스큐 대칭성이며 자코비 아이덴티티를 만족한다는 사실을 상기한다.We wish to define a Lie bracket [-,-] that is a map ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})}$ that is also bilinear, skew symmetric and obeys the Jacobi identity.

리프팅은 등급별로 할 수 있다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}\$mathfrak {g$}to${\$mathfrak${g$}$의 브래킷을 다음과 같이$$ 정의하십시오.

$b-b-b를 여러 번 표시(A,b)}$

이것은 일관되고 일관된 정의로, 양쪽이 이선이고, 양쪽이 꼬불꼬불 대칭이기 때문이다(자코비 정체성은 곧 뒤따를 것이다).The above defines the bracket on ${\displaystyle T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$; it must now be lifted to ${\displaystyle T^{n}({\mathfrak {g}})}$ for arbitrary ${\displaystyle n.}$ This is done recursively, by defining

$[a\displaystyle [a\otimes b,c]=notimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

마찬가지로

$[a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

위의 정의가 이린라인이고, 스큐 대칭이라는 것을 확인하는 것은 간단하다; 또한 그것이 자코비 정체성에 복종한다는 것을 보여줄 수 있다.The final result is that one has a Lie bracket that is consistently defined on all of ${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$ one says that it has been "lifted" to all of ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ in the conventional sense of a "lift" from a base space (here, the Lie algebra) to a covering space (here, tensor 대수).

이 리프팅의 결과는 분명히 포아송 대수학이다.그것은 Lie 대수 대괄호와 호환되는 리 괄호와의 단역적 연관 대수학이다; 그것은 구성으로 호환된다.그러나 그것은 가장 작은 대수학은 아니다; 그것은 필요한 것보다 훨씬 많은 원소를 포함하고 있다.아래로 투영하면 더 작은 것을 얻을 수 있다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 범용 봉투 대수 $U{\displaystyle (g}$) ${\displaystyle U({\mathfrak${$g$$}})$는 인용 공간으로 정의된다$$.

${\displaystyle U({\mathfrak {g})=T({\mathfrak{g})/\sim }$

여기서$$ 동등성 관계${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은(는)

$b-b-b를 여러 번 표시(A,b)}$

즉, Lie Bracket은 인용구를 수행하는 데 사용되는 동등성 관계를 정의한다.그 결과는 여전히 단수적 연관 대수학이고, 어떤 두 멤버의 거짓말 괄호도 가져갈 수 있다.$결과$를 계산하는 것은 직진이다. U${\displaystyle }$( $){\displaystyle$U$({\mathfrak{g}}}}$의 각 요소를 코제트로 이해할$$ 수 있다는 것을 명심하면, 평상시처럼 브래킷을 가져가고, 결과가 포함된 코제트를 검색한다.그것은 그런 대수학 중 가장 작은 것이다; 사람들은 여전히 연관 대수학의 공리에 복종하는 더 작은 것을 찾을 수 없다.

만능포함대수는 포아송 대수 구조를 변형한 후 텐서 대수에서 남아 있는 것이다.(이것은 비종교적 진술이다; 텐서 대수학은 다소 복잡한 구조를 가지고 있다: 무엇보다도 홉프 대수다; 포아송 대수학도 마찬가지로 다소 복잡하며, 많은 독특한 성질을 가지고 있다.텐서 대수학과도 호환이 되기 때문에 모딩을 수행할 수 있다.Hopf 대수 구조는 보존되어 있다; 이것이 끈 이론과 같은 그것의 많은 새로운 적용으로 이어지는 것이다.그러나, 공식적인 정의의 목적상, 이 중 특별히 중요한 것은 없다.)

이 공사는 약간 다른 (그러나 궁극적으로 동등한) 방식으로 수행될 수 있다.잠시 위의 리프팅은 잊어버리고, 대신 폼의 요소들에 의해 내가 만들어 낸 양면 이상을 고려하라.

$b-b[a,b]를 여러 번 표시하십시오.$

이 제너레이터는

${\displaystyle {\mathfrak {g}\oplus({\mathfrak {g}\mathfrak {g})\subset T({\mathfrak {g})}$

이상형의 일반 구성원은 내가 형식을 갖추게 될 것이다.

$\displaystyle c\otimes \cdots \otimes (a,b]\time f\time g\cdots }$

일부 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle f}$, g ${\displaystyle \in }$ g$.${\$디스플레이$ ${\displaystyle 스타일\mathfrak{}}$ $a,b,c,d,f,g\in {\mathfak {g}.}$에 대해 I의 모든$$ 요소는 이 형태의 원소들의 선형 결합으로 얻는다.분명히 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle I\subset$ T$({\mathfrak{g}})$는 아공간이다.It is an ideal, in that if ${\displaystyle j\in I}$ and ${\displaystyle x\in T({\mathfrak {g}}),}$ then ${\displaystyle j\otimes x\in I}$ and ${\displaystyle x\otimes j\in I.}$ Establishing that this is an ideal is important, because ideals are precisely those things that one ca에 대한 지분의 n. 이상은 지도의 알맹이에 있다.즉, 정확한 순서가 짧다.

${\displaystyle 0\to I\to T({\mathfrak {g})\to T({\mathfrak {g})/I\to 0}$

여기서 각 화살표는 선형 맵이며, 그 맵의 커널은 이전 맵의 이미지에 의해 주어진다.보편적 포락 대수학은 다음으로^[2] 정의될 수 있다.

${\displaystyle U({\mathfrak {g})=T({\mathfrak{g})/I}$

슈퍼걸브라와 기타 일반화

위의 구조는 리 알헤브라와 리 브라켓, 그리고 그 왜도와 비대칭성에 초점을 맞춘다.어느 정도는 이러한 성질들이 건설에 부수적인 것이다.대신 벡터 공간, 즉 $곱셈{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$: V ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\$$displaystyle V}$에 부여된$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\$$displaystyle M:$$원소$를${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle )}$ m (, b )${\displaystyle }$. ${\displaystyle a\timesto m(a,b)$ .${}$ 곱셈이 이선형이라면 같은 구성과 정의를 거칠 수 있다.하나는 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) $T{\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle T(V)}$까지 들어 올려서 시작하여$$, 들어올린 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이(가) 기본 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}$이(가) 하는 것과$$ 동일한 특성을 모두 준수한다$$(대칭 또는 기타).리프팅은 정확히 이전과 같이, 시작부터 한다.

${\displaystyle {\reasoned}m:V\othes V&\to V\\a\time b&\mapsto m(a,b)\ended{aligned}}}$

이것은 텐서 제품이 이선형이고 곱셈이 이선형이기 때문에 정확하게 일치한다.나머지 리프트는 동형상으로서 곱셈을 보존하기 위해 수행된다.정의에 따르면, 한 사람은 글을 쓴다.

$#\displaystyle m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b}$

그리고 그것 또한.

${\displaystyle m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)}$

이 확장은 자유 객체에 대한 보조정리자에 의해 일관된다: 텐서 대수학은 자유 대수이기 때문에, 그 생성 집합에 있는 동형성은 전체 대수학으로 확장될 수 있다.다른 모든 것들은 위에서 설명한 대로 진행된다: 완성되면, 한 사람은 단수 연관 대수학을 가지고 있다; 한 사람은 위에서 설명한 두 가지 방법 중 어느 하나에서든 인용할 수 있다.

위와 같은 것은 리 수페랄지브라의 보편적 포락 대수학이 어떻게 구성되는가 하는 것이다.요소들을 허용할 때, 표지판을 주의 깊게 추적하기만 하면 된다.이 경우 초거브라함의 (반) 커뮤레이터가 (반) 커밍 푸아송 브래킷으로 상승한다.

또 다른 가능성은 텐서 대수 이외의 것을 피복 대수로서 사용하는 것이다.그러한 가능성 중 하나는 외부 대수학 즉, 텐서 제품의 모든 발생을 외부 제품으로 대체하는 것이다.만약 기저 대수학이 리 대수라면, 그 결과는 게르스텐하버 대수다; 해당 리 그룹의 외부 대수다.전과 마찬가지로 외부 대수학에서의 등급에서 자연적으로 나오는 등급이 있다.(게르스텐하버 대수학은 포아송 초알지브라와 혼동해서는 안 된다, 둘 다 반공식을 유발하지만 다른 방식으로)

말체브 알헤브라스,^[3] 볼 알헤브라스^[4], 레프트 알헤브라에 대한 건설도 일반화되었다.^{[citation needed]}

보편적 재산

유니버설포락 대수, 즉 정식지도 h${\displaystyle }$: ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle U\mathfrak{}}$( g$){\displaystyle$ h$:{\mathfrak{g}\to U({\mathfrak {g}})}$와 함께 유니버설포락 대수(worldwide)는 유니버설 속성을 가지고 있다$.$^[5]우리가 Lie 대수 지도를 가지고 있다고 가정해 보자.

${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}\to A}$

단수 연관 대수 A로 (교정자가 제공한 A의 Lie bracket과 함께).좀 더 분명히, 이것은 우리가 추측하는 것을 의미한다.

${\displaystyle \varphi([X,Y])=\varphi(X)\varphi(Y)-\varphi(X)}$

$모든{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$에 대해$.$ 그러면 독특한 단수대수동형주의가 존재한다.

${\displaystyle {\widehat {\\varphi }}:U({\mathfrak {g})\to A}$

그런

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\barphi }}\varphi h}$

여기서 $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle U\mathfrak{}}$( g$){\displaystyle$ h$:{\mathfak{g}\to U({\$$mathfrak$$${$g$$}})$는 표준지도. (지도 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ h$}$을 텐서식 대수에 삽입한 후 범용포장대수에 대한 지수 지도를 사용하여 얻는다$$.이 지도는 푸앵카레-비르호프-위트 정리에 의해 삽입된 것이다.)

To put it differently, if ${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}}\rightarrow A}$ is a linear map into a unital algebra ${\displaystyle A}$ satisfying ${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$, then ${\displaystyle \var$$phi }$은(는) ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ :${\displaystyle U\mathfrak{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\widehat{\barphi }}}$의 대수 동형성으로 확장된다$$.$U{\displaystyle \mathfrak{}}$$({\mathfrak {g})\to A$ G ${\$ $U({\mathfrak$${g}}$의 요소에 의해 $U{\displaystyle (g}$) ${\$displaystyle {g}}이$($가) 생성되므로$$ $지도{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $^{\$은 다음 요구 사항에 따라 고유하게 결정되어야 한다$$.

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$.

요점은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 정류 관계에서 나온 것 외에 범용포함대수학에는 다른 관계가 없기 때문에$,$ $^{\${\\\$widehat {\\\\varphi}}}$이(가)가 주어진 $원소{\displaystyle }$ x${\displaystyle u}$ U${\displaystyle (g}$) ${\displa$)를 어떻게 쓰는지에 관계없이 잘 정의되어 있다는$$ 것이다.$Ystyle x\in U({\mathfrak{g})$를 Lie 대수 원소들의 생산물의 선형 조합으로$$ 한다.

포락 대수학의 범용 속성은 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $V}$에 $작용$하는 g ${\$displaystyle {$g}$의 모든 $표현$은 U${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)$${\$displaystyle U({\mathfrak {g}})}$의 표현으로 고유하게$$ 확장됨을 즉시 암시한다$.$ ($A$ = $(V$${\d$)$nd} (V)}$ 이 관찰은 (아래에서 논의한 바와 같이) Casimir $요소$가 V ${\displaystyle V}$에 작용하도록 허용하기 때문에 중요하다$.$이러한 연산자(U${\displaystyle }$( $){\displaystyle$U$({\mathfak{g$는 스칼라 역할을 하며 표현에 대한 중요한 정보를 제공한다.이차적 카시미르 요소는 이 점에서 특히 중요하다.

기타 알헤브라스

위에서 주어진 표준구성은 다른 알헤브라에 적용할 수 있지만, 그 결과는 일반적으로 보편적인 속성을 가지고 있지 않다.따라서 예를 들어, 조던 알헤브라스(Jordan Algebras)에 이 공법을 적용할 때, 결과적인 포위 대수에는 특수 요르단 알헤브라가 포함되지만 예외적인 것은 아니다: 즉, 알베르트 알헤브라를 덮지 않는다.마찬가지로, 아래의 푸앵카레-비르호프-위트 정리는 포괄대수의 기초를 구성한다; 그것은 보편적이지 않을 것이다.리 슈퍼걸브라는 비슷한 발언을 한다.

푸앵카레-비르크호프-위트 정리

푸앵카레-비르호프-위트 정리는 U${\displaystyle }$( $){\displaystyle$U$({\mathfrak{g}}}}$에 대한 정밀한 설명을 제공한다$.$이것은 두 가지 방법 중 하나로 수행될 수 있다: Lie 대수에서 명시적 벡터 기준을 참조하거나 좌표가 없는 방식으로 수행된다.

기본 요소 사용

한 가지 방법은 리 대수학에게 완전히 순서가 정해진 기본, 즉 완전히 순서가 정해진 집합의 자유 벡터 공간이 주어질 수 있다고 가정하는 것이다.자유 벡터 공간은 세트 X에서 필드 K까지 모든 유한 지지 함수의 공간으로 정의된다는 것을 상기하십시오(완전히 지원되는 것은 많은 값만 0이 아니라는 것을 의미함). 기본 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$: ${\displaystyle X}$→ K ${\displaystyle e_{a}:$$X\to K}$ such that ${\displaystyle e_{a}(b)=\delta _{ab}}$ is the indicator function for ${\displaystyle a,b\in X}$. Let ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ be the injection into the tensor algebra; this is used to give the tensor algebra a basis as음. 이 작업은 리프팅에 의해 이루어진다. ${\displaystyle e_{}}${\$displaystyle e_{a}$의 임의적인 시퀀스를 고려할 때$,$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$h}의$$ 확장은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cots \otimes e_{c}=h(e_{a})\otimes \otimes \otimes \otimotimes h(e_{c})}$

푸앵카레-비르호프-위트 정리에서는 X의 총질서를 대수학에 적용함으로써 $위로$부터 U${\displaystyle }$( $){\displaystyle$U$({\mathfrak{g}})$의 근거를 얻을 수 있다고 기술하고 있다.즉, $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U({\mathfak{g}})$에 기초가$$ 있다.

${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}}$

$여기$서 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle c}$ c ${\displaystyle a\leq$ b$\leq$ \$cdots \leq$ c$}$의$$순서는 집합 X의 총 순서의 순서가 된다.^[6]정리의 증명에는, 만일 한 사람이 비질서한 기본 요소들로 시작한다면, 이러한 요소들은 (구조 상수와 함께) 정류자를 사용함으로써 항상 교환될 수 있다는 것에 주목하는 것이 포함된다.입증의 어려운 부분은 최종 결과가 스와프가 수행된 순서와 별개로 독특하고 독립적이라는 것을 입증하는 것이다.

이 근거는 대칭대수의 기초로서 쉽게 인식되어야 한다.즉,${\displaystyle }U{\displaystyle }$(${\displaystyle g\mathfrak{}}$ $){\displaystyle$U$({\mathfak{g}})$와 대칭 대수학의 기본 벡터 공간은 이형성이며, 이것이 그렇다는 것을 보여주는 것이 PBW 정리다.그러나 이형성의 성질에 대한 보다 정확한 설명은 아래의 기호 대수 단원을 참조한다.

아마도 그 과정을 두 단계로 나누는 것이 유용할 것이다.첫 번째 단계에서, 사람들은 자유 리 대수학을 구성한다. 이것이 바로 모든 정류자가 교신자의 가치가 무엇인지 명시하지 않고 교신자가 교신하는 것이다.두 번째 단계는 $g{\displaystyle \mathfrak{}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}$에서 특정 정류 관계를 적용하는 것이다.$}}$ 첫$$ 번째 단계는 범용적이며, $특정{\displaystyle \mathfrak{}}$g .$${\$displaystyle${\$mathfrak {g}$에 의존하지 않는다.$}$ 또한 정확하게$$ 정의할 수 있다: 기본 요소는 홀 단어에 의해 주어지며, 그 특별한 경우는 린던 단어들이다; 이것들은 정류자로서 적절하게 행동하도록 명시적으로 구성된다.

좌표가 없는

또한 전체 주문과 기본 요소의 사용을 피하면서 좌표가 없는 방식으로 정리를 진술할 수 있다.이것은 무한차원 리알헤브라의 경우 있을 수 있기 때문에 기본 벡터를 정의하는데 어려움이 있을 때 편리하다.그것은 또한 다른 종류의 알헤브라에 더 쉽게 확장되는 더 자연스러운 형태를 준다.이는 범용 봉투 대수 $U{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. . ${\displaystyle$ $U_{m}{\mathfrak$${g$$}}$의 $여과{\displaystyle {}_{}}$ $Um$을 구성하여 이루어진다$.$$}$

첫째, 텐서 대수의 서브스페이스의 오름차순에 대한 표기법이 필요하다.내버려두다

${\displaystyle T_{m}{\mathfrak{g}}=K\oplus {g}\mathfrak {\mathfrak {\mathfrak {g}{n2}{\mathfrak {g}{\matflus \cdots \oplus{m}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle T^{m}{\mathfrak{g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak{g}}={\mathfrak{g}}}\otimes \cdots \otimes{\mathfrak{g}}}}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$. ${\displaystyle {\mathfrak {g}$의 m-m-matrix tensor 제품이다.$}$ ${\displaystyle {Tm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$이(가) 여과를 형성함$$:

${\displaystyle K\subset {g}\mathfrak {g}\subset T_{2}{\mathfrak {g}{\mathfrak \subset \cdots}}$

더 정확히 말하자면, 여과가 서브 스페이스의 대수적 특성을 보존하기 때문에 이것은 여과된 대수다.이 여과 한계는 텐서 대수 $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ T$({\mathfrak {g})$라는 점에 유의하십시오.$}$

이상에 의한 인지도는 $T{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ T $({\$$mathfak{g$$}}}}$에서${\displaystyle }$U ($g$ ${\displaystyle )}$로 하나를 가져가는 자연적 $변환$이라는 것이 위에서 이미 확립되어 있었다$.$$}}$ 이는$$ 서브스페이스에서도 자연스럽게 작용하므로, 범용포락 대수 $U{\displaystyle (g}$) U$({\displaystyle$ $U_{m}{\mathfrak{g}}}}$의 ${\displaystyle {여과}_{}}$ Um을 얻어진 한계는 범용포락 대수 U (g )${\displaystyle }$. ${\mathfak{g}.$$}$

다음으로 공간을 정의하십시오.

${\displaystyle G_{m}{\mathfrak{g}}=U_{m}{\mathfrak{g}/U_{m-1}{\mathfrak{g}}$

이것은 여과도가 엄격히 작은 모든$$ 서브 스페이스 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$displaystyle$ $U_{n}{\$$mathfrak {g}$의 공간 ${\displaystyle {Um}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$ U_{n}{\$mathfrak {g}}$이다.${\displaystyle {Gm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$은(는) 순진하게 추측할 수 있듯이 여과물의 선행$$ $용어{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathfrak{}}$ g ${\$^{$m}{\mathfrak {g}$과(와) 전혀 같지 않다는 점에 유의하십시오.여과와 관련된 설정 감산 메커니즘을 통해 구성되지 않는다.

$Um{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$g}{\$mathfrak$${g}}$ by$$ ${\displaystyle {Um}_{}}$ - 1g ${\$$displaystyle U_{m}{g}}}}$에 정의된 모든 $Lie$ 정류자를 ${\displaystyle {}_{}}$으로 설정하는 효과가 있다$$$.$제품이 ${\displaystyle {Um}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$에 있는 요소 쌍의 정류자가 실제로$$ ${\displaystyle {Um}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$에 요소를 제공하는 것을 관찰하면 이를 알 수 있다$.$이것은 아마도 즉시 명백하지 않을 것이다: 이 결과를 얻기 위해서, 사람들은 반복적으로 감속 관계를 적용하고 크랭크축을 돌려야 한다.푸앵카레-비르크호프-위트 정리의 본질은 언제나 이렇게 하는 것이 가능하고, 그 결과는 독특하다는 것이다.

Since commutators of elements whose products are defined in ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ lie in ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$, the quotienting that defines ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ has the effect of setting all commutators to zero.PBW에서 말하는 것은 ${\displaystyle {Gm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$에 있는 원소의 정류자는 반드시 0이라는$$ 것이다.남은 것은 정류자로 표현할 수 없는 요소들이다.

이렇게 하면 대칭대수학으로 바로 이어지게 된다.이것은 모든 교화자들이 사라지는 대수다.It can be defined as a filtration ${\displaystyle S_{m}{\mathfrak {g}}}$ of symmetric tensor products ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}}$. Its limit is the symmetric algebra ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$.그것은 이전과 같은 자연성의 개념에 호소하여 건설된다.하나는 같은 텐서 대수학에서 시작하여 단지 다른 이상, 즉 모든 요소를 통근하게 만드는 이상을 사용한다.

${\displaystyle S({\mathfrak {g})=T({\mathfrak{g})/(b-b\otimes a)}$

따라서 ${\displaystyle Poincaré-Birkhoff-Witt\mathfrak{}}$ 정리를 $G{\displaystyle }$($){\displaystyle$ G $({\mathfrak{g}})$가 대칭대수 $S{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ S $({\mathfrak{g$에 이형성이라는$$ 것을 명시하는 것으로 볼 수 있다.

${\displaystyle {Gm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathfrak{}}$ ${\$도 필터링된 대수를 형성하며, 한계는 $G{\displaystyle }$ (${\displaystyle g}$) .${\displaystyle$ G$({\mathfrak$ {$g})$이다.$}}$ 여과 관련 등급별 대수학이다.

위의 구조는, 인수를 사용하기 때문에, $G{\displaystyle }$( g$){\displaystyle$G$({\mathfrak{g}})$의 $한계$는${\displaystyle }$U ( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$U$({\mathfrak {g})$에 대한 이형성이라는$$ 것을 암시한다.$}}$ 보다 일반적인 설정에서는$$ 조건이 느슨한 상태에서 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G\mathfrak{}}$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle$ S $({\mathfrak{g}}}\to$ G$({\mathfrak{g}})}$가 투영이라는 것을 알게 되고, 그런 다음 필터링된 대수의 관련 등급 대수에 대한 PBW형 이론이 나온다.이를 강조하기 위해 $표기법{\displaystyle }$${\displaystyle gr\mathfrak{}}${$$U ( g ) {\$displaystyle \operatorname {gr}$ U$({\mathfrak {g})$를 G${\displaystyle (}$ ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle G({\mathfrak {g})$에 사용하기도 하며, 필터링된 대수라는 것을 상기시키는 역할을$$ 한다.

기타 알헤브라스

요르단 알헤브라에 적용된 이 정리는 대칭 대수보다는 외부 대수학을 산출한다.본질적으로, 건설은 반 커뮤터들을 0으로 만든다.그 결과로 생긴 대수학은 포락 대수학이지만 보편적인 것은 아니다.위에서 언급했듯이, 그것은 예외적인 요르단 알헤브라를 감싸지 못한다.

좌변량 차동 연산자

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfrak$${g$$}}$을(를) 가진 실제 Lie 그룹이라고$$ 가정해 보십시오$.$ 현대적 접근법에 $따라{\displaystyle \mathfrak{}}$g {\$displaystystyle$ {\$mathfrak$ {g}을$($즉, 1차 좌반변량 벡터 연산자)의 공간으로 식별할$$ 수 있다.구체적으로, $처음$에 g ${\${\$mathfak{g}$을$($를) $ID$에서$$G {\$displaystyle$ G}에 대한 접선 공간으로$$ $생각$한다면$,$ g {\$displaystyle$ {\$mathfak {$g}}의 각 벡터는 고유한 왼쪽-invariant 확장자를 가지고$$ 있다.그런 다음 관련 좌변량 벡터 필드와 접선 공간의 벡터를 식별한다.이제 두 개의 좌변위 벡터 필드의 정류자(차동 연산자)는 다시 벡터 필드, 다시 좌변위계다.그런 다음 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 브래킷 작동을 관련 좌변량 벡터 필드의 정류자로 정의할$$ 수 있다.^[7]이 정의는 Lie 그룹의 Lie 대수학에서 브라켓 구조의 다른 표준 정의와 일치한다.

그런 다음 임의 순서의 좌변량 차등 연산자를 고려할 수 있다.그러한 모든 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 좌상변환 벡터장의 생산물의 선형 결합으로 표현될 수 있다$$(비유일하게).The collection of all left-invariant differential operators on ${\displaystyle G}$ forms an algebra, denoted ${\displaystyle D(G)}$. It can be shown that ${\displaystyle D(G)}$ is isomorphic to the universal enveloping algebra ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.^[8]

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 실제 Lie 그룹의 Lie 대수학으로 발생하는$$ 경우, 좌상변동 미분 연산자를 사용하여 푸앵카레-비르호프-위트 정리에 대한 분석 증거를 제시할 수 있다.구체적으로, 좌상변동차 연산자의 대수$$ $D{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\디스플레이$ 스타일 $D(G)}$은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$디스플레이 $스타일 {\mathfrak{g}$의 정류 관계를 만족하는 요소(좌상변동 벡터 필드)에 의해 생성된다$.$따라서 포락 대수학의 보편적 속성에 의해 $){\displaystyle$ $D$$(G)}$는 $){\displaystyle$ U$({\mathfrak {g})}$의 몫이다$.$Thus, if the PBW basis elements are linearly independent in ${\displaystyle D(G)}$—which one can establish analytically—they must certainly be linearly independent in ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. (And, at this point, the isomorphism of ${\displaystyle D(G)}$ with ${\displaysty$$le$ U$({\mathfrak{g})}$이(가) 명백하다.

기호 대수

$S{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$( $){\displaystyle S({\mathfak{g}})$의 기본 벡터 공간에는 U${\displaystyle }$({\$mathfrak {g}){\displaystyle$U$({\$mathfak {g$}})$와 $S{\displaystyle }$ $){\displaystystyle S({\\\mathfrak$ {$g}}})})})$가 연관성 알헤브라가 되도록$$ 새로운 대수 구조를 부여할$$ 수 있다.이것은 기호 $\star {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \star({\mathfrak{g}})$의 대수 개념으로 이어진다$.$ : 제품이 부여된 대칭 다항식 공간, $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle \star$ $\}$는 Lie 대수학의 대수적 구조를 다른 표준 연관 대수학 위에 놓는 공간이다.즉, PBW의 정리가 흐리게 하는 것(감화 관계)은 기호의 대수학이 다시 스포트라이트로 돌아온다.

대수학은 $S{\displaystyle }$( $){\displaystyle S({\mathfak{g}})$의 원소를 취하여$$ f에 걸쳐$$ 대칭 다항식 $K[ t$ $t_$${i}}}$를 얻기$$ 위해 각 ${\displaystyle {발전기}_{}}$ e${\$를 불확정 통근 변수 ${\displaystyle t_{}}$로 대체하여 구한다.ld $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$ 실제로 서신은 사소한 것으로 단순히 기호 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 ${\displaystyle e_{}}$ i ${\$로 대체한다$.$결과적인 ${\displaystyle 다항식}$을 $S{\displaystyle }$( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ S$({\mathfrak {g})}$의 해당 원소의 기호라고 한다$.$역지도는

${\displaystyle w:\star({\mathfrak {g})\to U({\mathfrak {g})}$

각 기호 t ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 e$$ {\$displaystyle e_${i$}$로 대체한다$.$대수적 구조는 제품${\displaystyle }$product$${\$displaystyle \star }$이(가) 이소모르퍼시즘, 즉 다음과 같이 작용하도록$$ 요구함으로써 얻는다.

$w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

다항식 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \in \star }$ ( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p,q\in \star({\mathfrak{g}).$$}$

이 공사의 주요 ${\displaystyle \mathrm{쟁점}}$은 w${\displaystyle }$(p${\displaystyle }$)${\displaystyle w}$ w ${\displaystyle (q}$) {\$displaystyle w(p)\otimes w($q$)\}\}$이(가) 원래대로 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle (g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle U({\mathfak{g}})}$의 구성원이며$$, 우선 기본 요소의 지루한 개조를 실시하여 (필요에 따라 구조 상수를 적용)해야 한다는 점이다.$U{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle U({\mathfrak{g}})$의 요소 순서가 적절하게 지정된 기준.이 제품에 대한 명시적인 표현이 주어질 수 있다: 이것이 베레진 공식이다.^[9]이것은 기본적으로 Baker-Campbell-Hausdorff 공식에서 따온 것으로서 Lie 그룹의 두 가지 요소들의 산물이다.

닫힌 형식 표현은 다음에^[10] 의해 주어진다.

$(\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left\fract\fract }{\refract u},{\fract u}{\frac }{\prot v}\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

어디에

$\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\오른쪽)-A-B}$

${\displaystyle m^{}}$ ${\$는 $선택$한 기준으로 m ${\displaystyle$ m}에$$ $불과하다.$

하이젠베르크 대수학의 보편적 포락 대수학은 Weyl 대수학(중심이 단위가 되는 관계를 modulo)이며, 여기서 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }}$ 제품을$$ 모얄 제품이라고 한다.

표현 이론

범용포함 대수학에서는 표현 이론을 보존한다: $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak{g}}$의 $표현$은 U${\displaystyle }$($){\displaystyle$ U$({\matfrak {g})$를 통한 모듈에 일대일 방식으로$$ 대응한다$.$ 보다 추상적인 용어로 $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystystyle {\}$의 모든 표현에 대한 아벨리아 범주.$atsfrak{g}}$은$($는) $U{\displaystyle }$($){\displaystyle$ U $({\mathfrak{g})}$을(를) 초과하는 모든 좌측 모듈의 아벨 범주에서 이형성이다.

반실현 리 알헤브라의 대표 이론은 크로네커 제품이라고 알려진 이소모르프리즘이 있다는 관찰에 있다.

${\displaystyle U({\mathfrak {g}_{1}\plus {\mathfrak {g}{2}}\cong U({\mathfrak {g}_{1}\mathfrak {g}}\otimes U({\mathfrak {g}}}_{2})}$

Lie ${\displaystyle {Algebras}_{\mathrm{}}}$ $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ , $g$2 {\$displaystyle$ {\$mathfrak {g}_{$1},{\$mathfrak {g}_{2$이형성은 임베딩의 해제에서 비롯된다.

${\displaystyle i({\mathfrak{g}}{g}\oplus {\mathfrak {g}{2}}=i_{1}({\mathfrak {g}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{n2}({\mathfrak {g}_{2}}}}}}}}})$

어디에

${\displaystyle i}{\mathfrak {g}\to U({\mathfrak {g})}$

표준 임베딩일 뿐이다(알헤브라스 1과 2의 경우 각각 첨자 포함).위의 처방대로라면 이 내장형 리프트를 확인하는 것이 간단하다.그러나, 그렇게 하는 것의 몇 가지 더 미세한 점에 대한 검토를 위해 텐서 알헤브라에 대한 기사에서 바이알게브라 구조에 대한 논의를 참조하라: 특히, 거기서 고용된 셔플 제품은 위그너-라카 계수, 즉 6j와 9j-심볼 계수에 해당한다.

또한 자유 리 대수학의 보편적 포락 대수학은 자유 연관 대수학과는 이형질성이 있다는 것도 중요하다.

대표성 구축은 일반적으로 가장 높은 중량의 베르마 모듈을 구축함으로써 진행된다.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 극소수 변환에 의해 작용하는$$ 일반적인 맥락에서 U$g$) ${\displaystyle$ U$({\mathfrak$ {$g}})$의 원소는 모든 순서의 미분 연산자처럼 작용한다$$.(예를 들어, 좌변환 미분산 연산자로 보편적 포락 대수 실현을 참조)위에서 논의한 바와 같이, 관련 그룹)

카시미르 연산자

The center of ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ is ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ and can be identified with the centralizer of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ in ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).$$}$ Any element of ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ must commute with all of ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$ and in particular with the canonical embedding of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ into ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).$$}}$ 이 때문에$$ $센터$는 g {\$displaystyle {\$의 표현 분류를 위해 직접 유용하다$.$ 유한한 차원 반실행 Lie 대수학의 경우 Casimir 연산자는 $){\displaystyle$ Z$({\mathfrak {g})}$와 구별되는 근거를 형성한다$.$이것들은 다음과 같이 구성될 수 있다.

The center ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ corresponds to linear combinations of all elements ${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$ that commute with all elements ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$ that is, for which $$${\displaystyle [}$ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle x_{}}$ (${\displaystyle }$z )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}{x}(z)=0.}$ 즉$$, 그들은 ${\displaystyle {ad}_{\mathfrak{}}}$ g${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle{\mbox{ad}_{\mathfak {g}}}$의 커널에 있으므로 그 커널을 계산하는 기술이 필요하다.우리가 가지고 있는 것은 $g{\displaystyle \mathfrak{};}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g};}$ $U$ (${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$U$({\mathfrak$ {g$})$에 대한 부선 표현 작용이다.$}}$ 가장 쉬운$$ 경로는 ${\displaystyle {add}_{\mathfrak{}}}$ g ${\$이(가) 파생이며, 파생 공간은 T (${\displaystyle g}$) ${\displaysty T({\mathfrak$ {$g$$})},$ 따라서$$${\displaystyle }U{\displaystyle }$ (${\displaystyle g).}$ ${\mathfak$ {$g}$에 들어올릴 수 있다는 점에 유의해야 한다.$}$ 이는$$ 이 두 가지가 모두 미분 알헤브라스임을 암시한다.

정의상 $\Delta {\displaystyle }$: ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak{g}}$은(는) 라이프니츠의 법칙을 준수하는 경우$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 파생어다$$.

${\displaystyle \cHB([v,w])=[\cHB(v),w]+[v,\cHB(w)]}$

(다지관에 작용하는 경우 Lie Bracket이 Lie 파생 모델이 된다는 것은 우스꽝스러운 일이 아닐 것이다. 위의 내용은 이것이 어떻게 작동되는지 암시한다.)리프팅은 정의에 의해 수행된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{정렬}}}$

Since ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ is a derivation for any ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$ the above defines ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ acting on ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ and ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).$$}$

PBW 정리에서는 모든 중심 원소가 리 대수학의 ${\displaystyle {기본}_{}}$ 원소 ${\$에 있는 대칭 동질 다항식의 선형 결합이라는 것이 분명하다.카시미르 불변제는 주어진 고정된 정도의 불가해한 균질 다항식이다.즉, ${\displaystyle {기본}_{}}$ $e{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$e_${a$}가 주어진 경우$,$ $주문{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle m$}의 Casimir 연산자는 형식을 가지고 있다$$.

${\displaystyle C_{(m)=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes \cdots \otimes \otimes e_{c}}}$

여기서 텐서 제품에 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 용어가$$ 있고, ${\displaystyle {\mathrm{and}}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ b ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ c ${\$ c$}}$은 부선 $표현$에 속하는$$ 완전히 대칭적인 순서 m ${\displaystym m}$이다.That is, ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ can be (should be) thought of as an element of ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$ Recall that the adjoint representation is given directly by the structure constants, and so an explicit indexed form of t위 방정식은 리 대수적 기준으로 주어질 수 있다; 이것은 원래 이스라엘 겔판드의 정리다.${\displaystyle \mathrm{즉}},{\displaystyle }$ [${\displaystyle x_{}}$, C${\displaystyle {}_{}}$( m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$에서$,$ 다음과 같다.

${\displaystyle f_{ij}^{\\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{l}^{kl\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{f_{ij}^;\m}\kl\cdoppa=0}$

구조 상수가 있는 곳

${\displaystyle [e_{i}e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}}}}}$

예를 들어, 2차 카시미르 연산자는

${\displaystyle C_{(2)=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}}$

여기서 $\kappa {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$는 킬링 형식 killing i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \kappa _{ij}$의 역행 행렬이다$$.$$ Casimir 연산자 $C{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 2_{}}$ ) ${\$이 중심 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle U\mathfrak{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle Z ({\mathfrak {g})}$에 속한다는$$ 것은 킬링 폼이 조정 작용에 따라 불변한다는 사실에서 비롯된다$$.

간단한 리 대수학의 보편적 포락 대수학의 중심은 하리쉬-찬드라 이소모르피즘에 의해 자세히 주어진다.

순위

유한차원 반실행 리 대수학의 대수학적으로 독립된 카시미르 연산자의 수는 그 대수학의 등급, 즉 카르탄–의 등급과 같다.웨일 베이스.이것은 다음과 같이 볼 수 있다.d차원 벡터 공간 V의 경우, $결정요소$가 V${\displaystyle d^{}}$ d ${\$에 완전히 대칭성이 없는 텐서임을 상기한다$.$ 매트릭스 M을 주어 M의 특성 다항식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}}}}}}}$

d-차원 Lie 대수, 즉, 부선표현이 d-차원인 대수, 선형 연산자의 경우

${\displaystyle \operatorname {ad}:{\mathfak {g}\to \operatorname {End}({\mathfrak {g})}$

${\displaystyle {\mathrm{ad}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 d차원 내형성(endomorphism)이므로$$ 그 특성 방정식이 있음을 암시한다.

${\displaystyle \det(tI-\operatorname {ad}_{x}=\sum _{n=0}^{d}p_{n(x)t^{n}}}}}$

$원소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g}$. ${\displaystyle$x\$in {\mathfrak {g}.$$}}$ 이 특성 다항식(모든 x에 대한 뿌리)의$$ 0이 아닌 루트는 대수학의 루트 체계를 형성한다.일반적으로 그런 뿌리는 r밖에 없다; 이것은 대수학의 계급이다.$이$는 p ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p_{n}(x)}$이(가) 비바니싱인$$ n의 가장 높은 값이 r임을 의미한다.

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p_{n}(x)}$은 d - n의 동종 다항식이다.이는 여러 가지 방법으로 볼 수 있다.${\displaystyle \mathrm{일정}}$한 $k{\displaystyle }$∈ K ${\displaystyle k\in$ K$}$이$($가) 주어지는 광고는 선형이기 때문에 ${\displaystyle {\mathrm{ad}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {ad}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \operatorname {ad} _{kx}=k\\\operatorname$ {$ad} _${x$}.$$}$ 위와 같은 플러그를 꽂고 끌면,

${\displaystyle p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).}$

선형성에 의해, 만약 하나가 기초에서 확장된다면,

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}}}}}$

다항식 형태는

${\displaystyle p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}}}$

that is, a ${\displaystyle \kappa }$ is a tensor of rank ${\displaystyle m=d-n}$. By linearity and the commutativity of addition, i.e. that ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},}$, one concludes that this tensor must be completely symmetric.이 텐서는 정확히 주문 m의 카시미르 불변제다.

The center ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ corresponded to those elements ${\displaystyle z\in Z({\mathfrak {g}})}$ for which ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(z)=0}$ for all x; by the above, these clearly corresponds to the roots of the characteristic equation.하나는 뿌리가 r계층의 공간을 형성하고 카시미르 불변제가 이 공간을 가로지른다고 결론짓는다.즉, Casimir 불변제는 Z $중심{\displaystyle (U}$( )${\displaystyle }$. ${\displaystyle Z({\mathfrak{g})$을 생성한다.$}$

예: 회전 그룹 SO(3)

회전 그룹 SO(3)가 1위여서 카시미르 연산자가 1명 있다.그것은 3차원적이므로, 따라서 카시미르 연산자는 2차원의 순서(3 - 1) = 2차원의 순서를 가져야 한다.물론 이것은 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle A_{1$}}의 Lie 대수학이다$.$표기법을 ${\displaystyle {ei}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle e_{i}=$로 변경${\displaystyle {Li}_{}}$ ${\$이(가) 부선장에 속하는$$ $L_{i}}},$ 일반 대수 요소는 x $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\$이며 직접$$ 계산은 다음과 같다.

${\displaystyle \det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=--^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2xyz}$

2차 항은 ∆ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ i ${\displaystyle j^{}}$ ${\$로 판독할 수 있으므로 회전 그룹에 대한 제곱 각운동량 연산자는 Casimir 연산자다.그것은

${\displaystyle C_{(2)=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}}\otimes e_{2}+e_{3}}\otimes e_{3}}$

그리고 명시적인 계산은

${\displaystyle [L^{2},e_{k}]=0}$

구조물 상수를 사용한 후

${\displaystyle [e_{i}e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}}}}}$

예제: 의사 차등 연산자

위의$$ $U{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ U $({\mathfak{g}}}$를 구성하는 동안 주요 관찰은 Lie 대수에서 파생된 것을 $U{\displaystyle }$( $){\displaystyle$U$({\mathfrak {g}})}$로 끌어올릴 수 있다는 사실에 착안하여 차등 대수라는 것이었다$.$따라서 하나는 사이비 차등 연산자의 링으로 유도되며, 그 링으로부터 카시미르 불변제를 구성할 수 있다.

리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$가 프레드홀름 이론과 같이 선형 연산자의 공간에 작용한다면 연산자의$$ 해당 공간에 카시미르 불변제를 구성할 수 있다.2차 카시미르 연산자는 타원 연산자에 해당한다.

리 대수학이 다른 다지관에 작용하는 경우, 각 카시미르 연산자는 등각 다지관의 고차 차이에 해당하며, 2차 차차는 가장 일반적이고 가장 중요하다.

만약 대수의 작용이 등축이라면, 리만이나 사이비-리만 다지관이 각각 지표를 부여한 경우와 마찬가지로, SO(N)와 SO(P, Q)의 대칭군인 경우, 상·하위 지수(지표 텐서)를 수축하여 더 흥미로운 구조를 얻을 수 있다.이차적 카시미르 불변제에게는 이것이 라플라시안이다.Quartic Casimir 연산자는 스트레스-에너지 텐서(tension-energy tensor)를 제곱할 수 있도록 허용하여 양-밀스 작용을 발생시킨다.콜먼-만둘라 정리는 일반적인 리알헤브라를 고려할 때 이들이 취할 수 있는 형태를 제한한다.그러나 리 슈퍼걸브라는 콜맨-만둘라 정리의 전제를 피할 수 있고, 공간과 내부 대칭이 함께 섞이는 데 사용할 수 있다.

특히 예시

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ l ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$ matrix의 기초가 된다.

${\displaystyle h={\pmatrix}-1&0\0&1\end{pmatrix},{\g={\pmatrix}0&\0\end{pmatrix}},{\text={pmatrix}{pmatrix}0&#1&#0\end{pmatrix}}}}}}}}}:{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}nd}}}}}}}}}}nd}}}}}}ndata.$

표준 브래킷에 따라 다음 ID를 충족한다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle [h,g]=-2g$${\displaystyle }$[ h${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [h,f]=-2f$${\displaystyle }$[${\displaystyle g,f}$]${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- $displaystyle [g,f]=-h}$

이것은 우리에게 보편적 포락 대수학이 프레젠테이션을 가지고 있다는 것을 보여준다.

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}_{2})={\frac {\mathb {C}\langle x,y,z\angle }{{(xy-yx+2y,xz-zx+2z,y+x)}}}}}}}$

비협조적인 링으로

If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is abelian (that is, the bracket is always 0), then ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ is commutative; and if a basis of the vector space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ has been chosen, then ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ can be identified w그것은 K에 대한 다항식 대수로서, 기준 요소당 하나의 변수를 가지고 있다.

If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the Lie algebra corresponding to the Lie group G, then ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ can be identified with the algebra of left-invariant differential operators (of all orders) on G; with ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ lying inside it as the left-invariant v1차 차등 연산자로의 엑터 필드.

위의 두 가지 경우를 연관지어 보자면, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가$$) 아벨리안 리 대수로서 벡터 공간 V인 경우, 좌상변수 미분 연산자는 상수 계수 연산자로, 실제로 제1순서의 부분파생물의 다항식 대수인 것이다.

중심 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle Z({\mathfak{g})}$는 좌우 불변 차동 연산자로 구성된다$$. 이는 G가 교호작용이 아닌 경우 1차 연산자에 의해 생성되지 않는 경우가 많다(예: 반단순 리 대수학의 Casimir 연산자 참조).

Lie 그룹 이론의 또 다른 특성은 G의 ID 요소 e에서만 지원되는 분포의 콘볼루션 $대수$로서 U ( g${\displaystyle }$)${\displaystyle$U$({\mathfrak{g})}$이다.

다항 계수가 있는 n 변수의 미분 연산자의 대수는 하이젠베르크 그룹의 리 대수부터 구할 수 있다.이에 대한 자세한 내용은 Weyl 대수학을 참조하라; Lie 대수학의 중심 요소들이 규정된 스칼라처럼 작용하도록 하려면, 인용구를 취해야 한다.

유한차원 리 대수학의 범용포락 대수학은 여과된 2차 대수학이다.

홉프 알헤브라와 양자 그룹

특정 집단에 대한 그룹 대수학의 구성은 여러 면에서 주어진 리 대수학을 위한 보편적 포락 대수학의 구성과 유사하다.두 구성 모두 보편적이며 표현 이론을 모듈 이론으로 변환한다.게다가, 알헤브라와 범용 포위 알헤브라는 모두 그들을 홉프 알헤브라로 만드는 자연적인 결합을 가지고 있다.이것은 텐서 대수에 관한 글에서 정확하게 만들어진다: 텐서 대수는 홉프 대수 구조를 가지고 있고, 리 브라켓은 그 홉프 구조와 일치하기 때문에(그 홉프 구조에 대한 일관성 조건을 준수하기 때문에) 만능 포락 대수학에 의해 계승된다.

Lie 그룹 G를 부여하면 G에 연속적인 복합값 함수의 벡터 공간 C(G)를 구성하여 C*-알지브라로 만들 수 있다.이 대수학에는 자연 홉프 대수 구조가 있다: functions,${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G$)},$$multi, \, \psi \in C$($G)}, \, \, \,${\displaystyle }$\, \ \ \ \ \ \ \, \ \

${\displaystyle(\varphi ,\properties )(x)=\varphi(x)\property(x)}$

그리고 콤뮬레이션은 다음과 같다.

${\displaystyle(\Delta(\varphi ))(x\otimes y)=\varphi(xy),}$

로서의 상담.

$\displaystyle \varpsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

로서의 대척점.

${\displaystyle(S(\varphi ))(x)=\varphi(x^{-1}).}$

이제, Gelfand-Naimark의 정리는 기본적으로 모든 상호 작용 홉프 대수학이 어떤 콤팩트한 위상학군 G에 대한 연속함수의 호프 대수학과는 이형체라고 기술하고 있다. 즉, 콤팩트 위상학군 이론과 상호 작용 홉프 알헤브라의 이론은 같다.Lie 그룹의 경우 이는 C(G)가 $){\displaystyle U({\mathfak{g}})$에 이형적으로 이중이라는 것을 의미하며$,$ 보다 정확히 말하면 이중 공간 $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ U$^{*}({\mathfrak {g}}})$의 하위 공간에 이형이다.$}$

이 아이디어들은 비확정 사례로 확장될 수 있다.하나는 준삼각형 호프알헤브라를 정의한 다음 양자 변형을 수행하여 양자 범용 봉합 대수학, 즉 양자 그룹을 짧게 얻는다.

참고 항목

• 밀너-모어 정리
• 하리쉬-찬드라 동형성

참조

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Enveloping algebras, Graduate Studies in Mathematics, vol. 11, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0560-2, MR 0498740
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/034, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454
• Musson, Ian M. (2012), Lie Superalgebras and Enveloping Algebras, Graduate Studies in Mathematics, vol. 131, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-6867-6, Zbl 1255.17001
• 슐로모 스턴버그(2004년), 하버드대 리알헤브라스.
• nLab 단위의 범용 포락 대수