깊이(링 이론)

역학 및 동학 대수학에서 깊이는 고리와 모듈의 중요한 불변물이다.깊이가 더 일반적으로 정의될 수 있지만, 고려되는 가장 일반적인 경우는 상용 노메트리안 로컬 링 위에 있는 모듈의 경우다.이 경우 모듈의 깊이는 아우슬란더-뷔흐스바움 공식에 의한 투사 치수와 관련이 있다.보다 기본적인 심층 특성은 불평등이다.

${\displaystyle \mathrm {deep}(M)\leq \dim(M),}$

여기서 ${\displaystyle \dim \dim }$ M ${\displaystyle \dim M}$은 $모듈{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 Krull 치수를 나타낸다$$$.$ Depth는 균등이 유지되는 Cohen-Macolay 링 및 모듈 등의 좋은 속성을 가진 링과 모듈의 클래스를 정의하는 데 사용된다.

정의

Let ${\displaystyle R}$ be a commutative ring, ${\displaystyle I}$ an ideal of ${\displaystyle R}$ and ${\displaystyle M}$ a finitely generated ${\displaystyle R}$-module with the property that ${\displaystyle IM}$ is properly contained in ${\displaystyle M}$. Then the ${\displaystyle$$I}$ - 일반적으로 $M$의 등급이라고도 하는$$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$의 깊이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {deep} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext}^{i}(R/I,M)\neq 0\}}$

정의에 따르면 최대 $이상{\displaystyle \mathfrak{}}$ m$${\$displaystyle${\$m}$을(를) 가진 로컬 $링{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle R}$의 깊이는 $모듈$로서의 m$${\$displaystyle {\m}$이다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) Cohen-Macolay 로컬 링인 경우, $R{\displaystyle }${\$displaystyle R$}의 $깊이$는 R ${\displaystyle$R$\}$의 치수와 같다$$.

데이비드 리스(David Rees)의 정리에 의해, 그 깊이는 규칙적인 수열의 개념을 사용하여 특징지어질 수도 있다.

정리(리즈)

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 최대 $이상{\displaystyle \mathfrak{}}$ m ${\$을(를) 가진 정류형 노메트리안 로컬 링이고, $M$ ${\displaystyle M}$이(가) 정밀하게 생성된 $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$ -module이라고$$ 가정합시다.Then all maximal regular sequences ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ for ${\displaystyle M}$, where each ${\displaystyle x_{i}}$ belongs to ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, have the same length ${\displaystyle n}$ equal to the ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-$깊이{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$\}.$

깊이 및 투영 치수

상용 노메테리아 국부 링 위에 놓인 투사 치수와 모듈의 깊이는 서로 보완된다.이것은 아우슬란더-뷔크스바움 공식의 내용인데, 이는 근본적인 이론적 중요성뿐만 아니라 모듈의 깊이를 계산하는 효과적인 방법을 제공한다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 최대 $이상{\displaystyle \mathfrak{}}$ m ${\$을(를) 가진 정류형 노메트리안 로컬 링이고, $M$ ${\displaystyle M}$이(가) 정밀하게 생성된 $R{\displaystyle }$ ${\displaysty R}$ -module이라고$$ 가정합시다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 투영 치수가 유한하면 아우슬란더-뷔크바움 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {deep}(M)=\mathrm {deep}(R).}$

깊이 제로 링

정류형 노메테리아 $로컬{\displaystyle }$ 링$$R {\$displaystyle$R}의 $최대{\displaystyle \mathfrak{}}$ 이상$$m {\$displaystyle {\$m}이(가) 연관된 prime인 경우에만 깊이가 0이거나$$, x${\displaystyle m\mathfrak{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle x{\m}$과 $같은{\displaystyle }$ R ${\displaystystystyle R}$의 non x ${\\$daystym}이$($으)이(으)인 경우$=0}($$즉{\displaystyle }$, x ${\displaystyle x})$ m ${\$을(를) $소멸$시킨다.$$이것은 본질적으로 닫힌 지점이 내장된 구성요소라는 것을 의미한다.

For example, the ring ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)}$ (where ${\displaystyle k}$ is a field), which represents a line (${\displaystyle x=0}$) with an embedded double point at the origin, has depth zero at the origin, but dimension one: this gives an example of a ring which is not Cohen-매컬레이.

참조

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
• 윈프리드 브런스; 위르겐 헤르조그, 코헨-맥컬레이가 울린다.케임브리지 고등 수학 연구 39세케임브리지 대학 출판부, 1993.xii+403 페이지ISBN 0-521-41068-1