잘라내기 오류

수치해석과 과학적 계산에서 잘림 오류는 수학적 과정 근사치로 인한 오류다.

예 1:

$e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$의 합계 시리즈는 다음과 같은 무한 시리즈에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}!}}}{\frac{x^{3}}{3!}}}{\frac{x^{4}}{4}}{4!}}+.....}$

실제로, 우리는 이 용어들을 모두 사용하는 데 무한한 계산 시간이 필요하기 때문에 한정된 수의 용어만 사용할 수 있다. 그럼 시리즈 중 3개 용어만 사용한다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle e^{x}\약 1+x+{\frac{x^{2}}:{2}}!}}}$

이 경우 잘림 오류는 x ${\displaystyle \frac{{3\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$+ x ${\displaystyle \frac{{4\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle {\frac{x^{3}}{$3}}{$3!$$}}}{\frac{x^{4}}{4}}{4!$$}}+.....$$}$

예 A:

다음의 무한 시리즈를 고려할 때 시리즈의 처음 3개 용어만 사용되는 경우 x=0.75에 대한 잘라내기 오류를 찾으십시오.

${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots ,\ \ \ \ \ \왼쪽 x\오른쪽 <1.}$

해결책

시리즈의 처음 3개 항만 사용하면

${\displaystyle S_{3}=\왼쪽(1+x+x^{2)}\오른쪽)_{x=0.75}}$

${\displaystyle =1+0.75+{0.75}^{2}}$

${\displaystyle =1+0.75+\왼쪽(0.75\오른쪽)^{2}}$

${\displaystyle =2.3125}$

무한 기하학 계열의 합

${\displaystyle S=a+ar+{ar}^{2}+{ar}^{3}+\ldots,\r<1}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}$

우리의 시리즈는 a=1과 r=0.75로,

${\displaystyle S={\frac {1}{1-0.75}=4}$

자르기 오류는 다음과 같다.

${\displaystyle TE=4-2.3125=1.6875}$

예 2:

함수의 정확한 첫 번째 파생상품의 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

그러나 파생상품을 숫자로 계산한다면 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 유한해야 한다$$. $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$을(를) 유한하게$$ 선택함으로써 발생하는 오차는 분화의 수학적 과정에서의 잘림 오류다.

예 A:

$h{\displaystyle }$=${\displaystyle 0.25}$ ${\displaystyle h=0.25}$의 단계 크기를 사용하여$$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 7 ${\displaystyle x=7}$에서 $f{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= 5 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 첫 번째 파생 모델을 계산할 때 잘린 부분을 찾으십시오.

해결책:

$f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 첫 번째 파생상품은$$

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 15}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ f$'(x)=15x^{2$

${\displaystyle \mathrm{및}}$ x${\displaystyle }$= 7 $[\displaystyle x=7$

${\displaystyle {}^{}\mathrm{f}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( 7${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 735}$ ${\displaystyle$ f$'(7)=735$

대략적인 값은 다음과 같다.

${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}=761.5625}$

자르기 오류는 다음과 같다.

${\displaystyle TE=735-761.5625=-26.5625}$

예 3:

${\displaystyle a}$에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$까지의 함수 $f{\displaystyle }$( $x$${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$의 정확한 적분 정의는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \mathrm{let}}$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\$ f$:[a,b]\오른쪽$ 화살표 $\$$mathb {R}}$은(는) 실제 번호의${\displaystyle \mathrm{닫힌}}$ ${\displaystyle \mathrm{간격}[,}$b ] {\$displaystyle$ [a$,$$b$에 정의된 함수가$$ $,$ R ${$R} 및

${\displaystyle P}$=${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ],}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}],}$…, [ x${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}],}${\$displaystyle$ P$=\left\\{[x_{0},x_{1},$ [$x_{1}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}}], 오른쪽$

I의 구획이 되어 있다.

= 0< x < 2<= ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}}}}$

어디에

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$${i$}-x_${i-1}$ 및

${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}}}}$

어디에

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$${i$}-x_${i-1}$ 및

${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$

이것은 우리가 무한 직사각형을 사용하여 곡선 아래 영역을 찾고 있다는 것을 암시한다. 그러나 정수 계산을 하고 있다면 한정된 수의 직사각형만 사용할 수 있다. 무한정 많은 직사각형과 반대로 한정된 수의 직사각형을 선택함으로써 발생하는 오차는 통합의 수학적 과정의 잘림 오류다.

예 A.

적분용

${\displaystyle \int_{3}^{9}x^{2}{dx}}$

세그먼트 너비가 동일한 2-세그먼트 왼쪽 Limannan sum을 사용할 경우 절단 오류를 찾는다.

해결책

우리는 정확한 가치를 가지고 있다.

${\displaystyle \int_{3}^{9}{x^{2}{dx}=\왼쪽\lbrack {\frac{x^{3}}}{3}}}\오른쪽\rbrack _{3}^{9}}}}}}}$

${\displaystyle =\왼쪽\lbrack {\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}}{3}}}{3}}\오른쪽\rbrack }$

${\displaystyle =234}$

동일한 폭의 직사각형 두 개를 사용하여 곡선 아래의 면적(그림 2 참조)에 근사치, 적분 값의 근사치

${\displaystyle \int _{3}^{9}{x^{2}}{dx}\약간의 \left.\\(x^{2})\{x=3}+\reft.\(x^{2})\right _{x=6}(9-6)}$

${\displaystyle = (3^{2})3+(6^{2})3}$

${\displaystyle =27+filename}$

${\displaystyle =135}$

잘라내기 오류 = 정확한 값${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ -$}$ 근사값$$

${\displaystyle =234}$ ${\displaystyle -}$ $(\displaystyle 135}$

$[\displaystyle=99]}$

간혹 실수로 반올림오류(컴퓨터에 유한정밀 부동소수를 사용한 결과)를 자르기오류라고도 하는데, 특히 절단오류로 반올림한 경우 더욱 그러하다. 그것은 "트렁킹 에러"의 올바른 용도는 아니다. 그러나 숫자 자르기라고 부르는 것은 허용될 수 있다.

참고 항목

• 수량화 오류

참조

• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 978-0-387-95452-3.