차원분석

치수 분석(Dimensional analysis)은 공학 및 과학에서 서로 다른 물리량 사이의 관계를 분석하는 것으로, 기본량(길이, 질량, 시간, 전류 등)과 측정 단위(미터, 그램 등)를 식별하고 계산 또는 비교를 수행할 때 이러한 치수를 추적합니다.차원 분석이라는 용어는 또한 한 차원 단위에서 다른 차원 단위로 단위를 변환하는 것을 지칭하는 데 사용되며, 이는 과학적 공식을 평가하는 데 사용될 수 있습니다.

측정 가능한 물리량은 동일한 종류이며 동일한 치수를 가지며, 미터 및 피트, 그램 및 파운드, 초 및 년과 같은 다양한 측정 단위로 표시되더라도 서로 직접 비교될 수 있습니다.계량할 수 없는 물리량은 종류가 다르고 치수가 다르며, 미터와 그램, 초와 그램, 미터와 초와 같은 어떤 단위로 표시하든 서로 직접 비교할 수 없습니다.예를 들어, 1그램이 한 시간보다 큰지 묻는 것은 의미가 없습니다.

물리적으로 의미 있는 방정식, 즉 부등식은 좌변과 우변에 동일한 차원, 즉 차원 동질성이라고 알려진 특성을 가져야 합니다.차원 동질성 검사는 차원 분석의 일반적인 응용 프로그램으로 파생된 방정식과 계산에 대한 신뢰성 검사 역할을 합니다.또한 더 엄격한 유도가 없을 때 물리적 시스템을 설명할 수 있는 방정식을 유도하는데 지침과 제약의 역할을 합니다.

물리적 차원과 차원 분석의 개념은 1822년 조셉 푸리에에 의해 소개되었습니다.^[1]^{: 42}

공식화

버킹엄 π 정리는 n개의 변수를 포함하는 모든 물리적으로 의미 있는 방정식이 n - m 차원 없는 매개 변수의 방정식으로 동등하게 다시 작성될 수 있는 방법을 설명합니다. 여기서 m은 차원 행렬의 순위입니다.또한, 가장 중요한 것은 주어진 변수로부터 이러한 무차원 파라미터를 계산하는 방법을 제공한다는 것입니다.

차원 방정식은 차원 분석으로 시작되는 비차원화를 통해 차원을 축소하거나 제거할 수 있으며, 시스템의 특성 단위 또는 자연 단위로 양을 확장하는 것을 포함합니다.^[1]^{: 43}이를 통해 아래 예제에 나와 있는 것처럼 시스템의 기본 속성을 파악할 수 있습니다.

물리량의 차원은 길이, 질량 및 시간과 같은 기본 물리량의 곱으로 나타낼 수 있으며, 각각은 정수(그리고 때로는 합리적인) 거듭제곱으로 증가합니다.물리량의 차원은 물리량의 양을 표현하는 데 사용되는 어떤 척도나 단위보다 더 기본적입니다.예를 들어, 질량은 차원인 반면, 킬로그램은 질량의 양을 표현하기 위해 선택된 특정 기준 양입니다.단위의 선택은 자의적이며, 그 선택은 종종 역사적 선례에 근거합니다.보편 상수에만 기초한 자연 단위는 "임의성이 적은" 것으로 간주될 수 있습니다.

기본 물리적 치수는 여러 가지 선택이 가능합니다.SI 표준은 다음 치수와 해당 치수 기호를 선택합니다.

시간(T), 길이(L), 질량(M), 전류(I), 절대 온도( θ), 물질의 양(N) 및 광도(J).

기호들은 보통 로마자 산세리프 서체로 쓰여집니다.^[2]수학적으로, 양 Q의 차원은 다음과 같이 주어집니다.

\operatorname {dim} Q={\mathsf {T}^{a}{\mathsf {L}^{b}{\mathsf {M}^{c}{\mathsf {I}^{d}{\mathsf {\Theta }}}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}^{g}

여기서 a, b, c, d, e, f, g는 차원 지수입니다.다른 물리량은 선형 독립 기저를 형성하는 한, 기저량으로 정의될 수 있습니다. 예를 들어, Q = TI이기 때문에 SI 기저의 전류의 차원(I)을 전하의 차원(Q)으로 대체할 수 있습니다.

$b\neq 0$ ≠ $b\neq 0$ ${\displaystyle b\neq 0}($ 다른 모든 지수가 0)만 있는 수량을 기하학적 수량이라고 합니다.≠ $b\neq 0$ $a\neq 0$ ${\displaystyle$ a\ $neq 0}$ 과 $a\neq 0$ b ≠ $b\neq 0$ ${\displaystyle$ b\ $neq$ 0 $}을($ 를) 모두 갖는 수량을 운동학적 수량이라고 합니다.≠ $b\neq 0$ $a\neq 0$ ${\displaystyle$ a\ $neq$ 0 $},$ ≠ $c\neq 0$ $b\neq 0$ ${\displaystyle$ b\ $neq$ 0 $}, 나머지$ 0이 $c\neq 0$ c ≠ $c\neq 0$ 0 {\ $displaystyle c\neq$ 0 $}$ 을(를) 동적 수량이라고 합니다.모든 지수가 null인 수량을 차원 1이라고 합니다.^[2]

물리량을 표현하기 위해 선택된 단위와 단위의 크기는 관련이 있지만 동일한 개념은 아닙니다.물리량의 단위는 관례에 의해 정의되며 일부 표준과 관련이 있습니다. 예를 들어, 길이는 미터, 피트, 인치, 마일 또는 마이크로미터 단위를 가질 수 있지만, 길이를 표현하기 위해 어떤 단위의 길이를 선택하든 상관없이 항상 L의 치수를 갖습니다.동일한 물리량의 서로 다른 두 단위에는 이들과 관련된 변환 인자가 있습니다.예를 들어 1인치 = 2.54cm입니다. 이 경우 2.54cm/in은 변환 계수이며, 변환 계수 자체는 무차원입니다.따라서 변환 계수를 곱한다고 해서 물리량의 치수가 변경되지는 않습니다.

비록 이것이 차원 분석의 유용성을 무효화하지는 않지만,^[4] 물리량의 양립할 수 없는 기본 차원의 존재에 의문을 제기하는 물리학자들도 있습니다.

단순사례

예를 들어, 물리량 속도 v의 차원은

\operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}={\mathsf {T}^{-1}{\mathsf {L}

그리고 물리량력 F의 차원은

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

×

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

×

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

=

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

M

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

=

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

-

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

M

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

{\

displaystyle \operatorname {dim

F

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

= {\

text{mass}}\text{mass

}\text

{mass

}\text{mass}\

text

{mass

}\text{

mass}}{\frac {\

text{length}}{{\text{time}^

}}={\

frac {{\mathsf {M}}{\mathsf {T}^{\mathsf

\operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}

2}}={\

mathsf {T}^{L}}^{\mathsf {M}}}.

물리량 압력 P의 치수는

=

2}}\&={\mathsf {M^{1}L^{-1}T^{-2

}}\&

=

{\

mathsf {T^{-2}L^{-1}M^{1}}\\end

물리량 에너지 E의 차원은

=

시멘트}}\&={\frac {\text{mass velocation}}{{\text{time}}\&={\frac {\text{mass velocation}}{{\text{time}}}\&={\frac {{mass}^{1}}{\mathsf { displaceement}}^{2}}}\&={\frac {{\mathsf {time^{2}}}\&={\mathsf {L}^{2}}}\&={\mathsf {T^{2}}}\&&{\mathsf {M^{1}}}{{{}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {T^{-2}}\&&{

mathsf {T^{-2}}{\mathsf {L^{2}}{\mathsf {M^{1}}\\end

물리량 거듭제곱 P의 차원은

=

f {M^{1}}\\end

물리량 전하 q의 치수는

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

=

T

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} q&={\mathsf {T^{1}}}{\mathsf {I^{1}}}\\\end{aligned}}

{\display

q&={\

mathsf {T^{1}}{\mathsf {I^{1}}\\end{aligned}}.

물리량 전기퍼텐셜차 V의 치수는

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

=

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

- 3

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

I

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

=

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

-

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

2

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

-

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

1

{\display

V&={\

frac {{\mathsf {T^{-3}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf

{I

{\begin{aligned}\operatorname {dim} V&={\frac {{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{1}}}}\\&={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\\\end{aligned}}

{1

}}}\&={\mathsf {T^{-3}}{\mathsf

{

L^{2}}{\mathsf {M^{

1}}{\

mathsf {I

^{-1

}}}\\end

물리량 용량 C의 치수는

=

1}}}{{\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}{\mathsf {I^{-1}}}\&={\mathsf {T^{1--3}}}{\mathsf {I^{1--1}}}}{\mathsf {L^{2}}}{\mathsf {M^{1}}}}\&={\frac{\mathsf {T^{4}}{\mathsf {I^{2}}}}{\mathsf {M^{1}}}}\&={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {M^{1}}}}{\mathsf {I^{2}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}\&={\mathsf {T^{4}}{\mathsf {T^{4}}}.

athsf

{L^{-

2}}{\mathsf {M^{-1}}{\mathsf {I^{2}}\\end{alignat

레일리 방법

차원 분석에서 레일리의 방법은 물리학, 화학, 공학에서 사용되는 개념적 도구입니다.일부 변수의 함수 관계를 지수 방정식의 형태로 표현합니다.그것은 레일리 경의 이름을 따서 지어졌습니다.

이 방법에는 다음 단계가 포함됩니다.

종속 변수에 영향을 미칠 가능성이 있는 모든 독립 변수를 수집합니다.
R이 독립변수 R, R, R, ..., R에 의존하는 변수라면 함수식은 R = F(R, R, R, ..., R)로 표기할 수 있습니다.
위 식을 R = CR R ...의 형태로 작성합니다. R_n^m, 여기서 C는 무차원 상수이고 a, b, c, ..., m은 임의의 지수입니다.
식의 각 양을 해가 필요한 일부 기본 단위로 표현합니다.
차원 동질성을 사용하여 지수 a, b, c, ..., m을 포함하는 연립 방정식 집합을 구합니다.
이 방정식들을 풀어서 지수 a, b, c, ..., m의 값을 구합니다.
주 방정식에서 지수 값을 대입하고, 같은 지수로 변수를 그룹화하여 비차원 모수를 구성합니다.

단점으로, Rayleigh의 방법은 치수 분석의 결과로 획득될 무차원 그룹의 수에 관한 어떠한 정보도 제공하지 않습니다.

구체적인 수치 및 기본 단위

물리학과 공학의 많은 매개변수와 측정값은 구체적인 숫자, 즉 수치와 상응하는 차원 단위로 표현됩니다.종종 수량은 몇 가지 다른 양으로 표현됩니다. 예를 들어, 속도는 시간과 길이의 조합입니다. 예를 들어, 시간당 60킬로미터 또는 초당 1.4킬로미터입니다."per"와의 복합 관계는 나눗셈으로 표현됩니다. 예를 들어 60 km/h.다른 관계는 종종 중심점 또는 병치로 표시되는 곱셈, 거듭제곱미터의 m과² 같은 거듭제곱 또는 이들의 조합을 포함할 수 있습니다.

측정 시스템의 기본 단위 집합은 일반적으로 선택된 단위 집합이며, 이 중 어떤 단위도 다른 단위의 조합으로 표현할 수 없으며 시스템의 나머지 모든 단위를 표현할 수 있습니다.^[5]예를 들어, 일반적으로 길이 및 시간 단위가 기본 단위로 선택됩니다.그러나 부피 단위는 길이(m³)의 기본 단위로 인수분해될 수 있으므로 파생 단위 또는 복합 단위로 간주됩니다.

때때로 단위의 이름은 파생 단위라는 사실을 모호하게 합니다.예를 들어, 뉴턴(N)은 힘의 단위이며, 질량(단위 kg)과 가속도(단위 m ⋅)의 곱으로 나타낼 수 있습니다.뉴턴은 1N = 1kg ⋅m ⋅로 정의됩니다.

퍼센티지, 파생상품 및 적분

백분율은 차원이 동일한 두 양의 비율이므로 차원이 없는 양입니다.즉, % 기호는 1% = 1/100이므로 "100분의 1"로 읽을 수 있습니다.

수량에 대한 도함수를 취하면 차원이 다음과 같이 미분되는 변수의 차원으로 나뉩니다.따라서:

위치(x)는 치수 L(길이)을 갖습니다.
시간에 대한 위치 도함수(dx/dt, 속도)는 치수 TL⁻¹—위치로부터의 길이, 기울기로 인한 시간;
2차 도함수(dx/dt = d(dx/dt)/dt, 가속도)는 차원 TL을 갖습니다.

마찬가지로 적분을 취하면 적분하는 변수의 차원이 분자에 대해서만 추가됩니다.

힘은 치수 TLM을⁻² 갖습니다(질량에 가속도를 곱함).
물체가 이동한 거리(들)에 대한 힘의 적분( ∫ $\textstyle \int F\ ds$ {\ $displaystyle \textstyle \int F\ds$ 일)은 차원 TLM을 갖습니다.

경제학에서, 주식은 단위(예를 들어, 위젯이나 달러)를 가지고 있는 반면, 흐름은 주식의 파생물이며, 단위 형태의 단위를 시간(예를 들어, 달러/년)으로 나눈 것입니다.

일부 컨텍스트에서 치수 수량은 일부 치수를 생략하여 무차원 수량 또는 백분율로 표시됩니다.예를 들어, GDP 대비 부채 비율은 일반적으로 연간 GDP(통화 차원)로 나눈 비율로 표시되지만, 주식을 흐름에 비교할 때 연간 GDP는 통화/시간 차원(예를 들어 달러/년)을 가져야 하고 따라서 GDP 대비 부채는 단위 연도를 가져야 한다고 주장할 수 있습니다.GDP 대비 부채는 GDP가 일정하게 부채를 지불하는 데 필요한 기간으로, GDP가 모두 부채에 지출되고 부채가 변동이 없는 경우를 나타냅니다.

차원동형성(상보성)

치수 분석의 가장 기본적인 규칙은 치수 동질성의 규칙입니다.^[6]

측정 가능한 양(차원이 동일한 물리적 양)만 비교, 동일, 추가 또는 감산할 수 있습니다.

그러나 차원은 곱셈 하에서 아벨 군을 형성하므로 다음과 같습니다.

어떤 사람은 계량할 수 없는 양(차원이 다른 양)의 비율을 취하여 곱하거나 나눌 수 있습니다.

예를 들어, 1시간이 1km보다 많은지, 같은지, 아니면 1km보다 적은지를 묻는 것은 말이 안 되는데, 이것들은 차원이 다르기 때문에, 1km에 1시간을 추가하는 것도 아닙니다.그러나 1마일이 단위가 다르더라도 물리량의 동일한 차원인 1마일보다 많은 것인지, 같은 것인지, 아니면 1km보다 작은 것인지를 묻는 것은 타당합니다.한편, 물체가 2시간에 100km를 주행하면, 이를 나누어 물체의 평균 속도를 50km/h로 판단할 수 있습니다.

이 규칙은 물리적으로 의미 있는 표현식에서는 동일한 차원의 양만 더하거나 뺄 수 있음을 의미합니다.예를 들어, m_man, m_rat, L이_man 각각 어떤 사람의 질량, 쥐의 질량, 그 사람의 길이를 나타낸다면, 차원적으로 동질적인 식 m_man + m은_rat 의미가 있지만, 이질적인 식_man m + L은_man 의미가 없습니다.그러나 m_man/L은²_man 괜찮습니다.따라서 치수 분석은 물리 방정식의 건전성 검사로 사용될 수 있습니다. 어떤 방정식의 두 변도 보상 가능하거나 동일한 치수를 가져야 합니다.

그러나 두 물리량의 치수가 동일한 경우에도 이들을 비교하거나 더하는 것은 무의미할 수 있습니다.예를 들어, 토크와 에너지는 차원 TLM을⁻²² 공유하지만 근본적으로 다른 물리량입니다.

치수는 같지만 단위는 다른 것으로 표현된 수량을 비교, 덧셈 또는 뺄셈하려면 먼저 모든 수량을 동일한 단위로 변환하는 것이 표준 절차입니다.예를 들어, 32미터와 35야드를 비교하려면 1야드 = 0.9144m를 사용하여 35야드를 32.004m로 변환합니다.

관련 원리는 실제 세계를 정확하게 설명하는 물리 법칙은 물리적 변수를 측정하는 데 사용되는 단위와는 독립적이어야 한다는 것입니다.^[7]예를 들어, 뉴턴의 운동 법칙은 거리가 마일 단위로 측정되든 킬로미터 단위로 측정되든 참이어야 합니다.이 원리는 동일한 차원을 측정하는 단위 사이의 변환 계수가 취해야 하는 형태, 즉 단순 상수에 의한 곱셈을 발생시킵니다.또한 동등성을 보장합니다. 예를 들어 두 건물의 피트 높이가 같으면 미터 높이가 같아야 합니다.

전환계수

치수 분석에서는 수량을 변경하지 않고 한 단위의 측정값을 다른 단위로 변환하는 비율을 변환 계수라고 합니다.예를 들어 kPa와 bar는 모두 압력 단위이며 100 kPa = 1 bar입니다.대수법칙은 방정식의 양을 같은 식으로 나눌 수 있으므로 100 kPa / 1 bar = 1에 해당합니다. 어떤 양이든 1을 곱할 수 있으므로 "100 kPa / 1 bar"라는 표현은 단위를 포함하여 변환할 양과 곱하여 막대에서 kPa로 변환하는 데 사용할 수 있습니다.예를 들어, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500이므로 5 bar × 100 kPa = 500이고, bar/bar는 상쇄되므로 5 bar = 500 kPa입니다.

적용들

차원 분석은 물리학과 화학에서 가장 많이 사용되며, 그 수학에서도 일부 응용을 찾을 수 있습니다.

수학

수학에 차원 분석을 간단하게 적용하는 것은 n-볼의 부피(n차원의 고체 공) 또는 표면의 면적, n-구를 계산하는 것입니다. n-차원 도형인 경우, 부피는 x $x^{n},$ ${\displaystyle$ x $^{n},$ 표면적은 $x^{n},$ $(n-1)$ ( $(n-1)$ - $(n-1)$ $(n-1)$ -차원 $(n-1)$ , 축척s는 x $x^{n-1}.$ - $x^{n-1}.$ . ${\displaystyle$ x $^{n-1}}$ 이므로 $x^{n-1}.$ , 반지름 측면에서 n-볼의 부피는 $C_{n}r^{n},$ 일부 $C_{n}.$ $C_{n}.$ 에 대해 $C_{n}r^{n},$ {\ $displaystyle C_{n}r^{n}}$ 입니다 $C_{n}.$ $C_{n}$ 상수를 결정하는 $C_{n}.$ 데는 더 많은 수학이 필요하지만, 형태는 차원 분석만으로 추론하고 확인할 수 있습니다.

재무, 경제, 회계

재무, 경제, 회계 분야에서는 주식과 흐름의 구분에서 차원분석이 가장 일반적으로 언급됩니다.일반적으로 차원분석은 다양한 재무비율, 경제성 비율, 회계성 비율을 해석하는 데 사용됩니다.

예를 들어, P/E 비율은 시간 차원(단위: 연도)을 가지며, "지급된 가격을 얻기 위한 연간 수익"으로 해석할 수 있습니다.
경제학에서 GDP 대비 부채 비율은 단위 연도를 갖습니다(부채는 통화 단위, GDP는 통화/연도 단위).
통화의 속도는 1/년 단위(GDP/통화공급은 통화/통화 대비 1년 단위):한 단위의 통화가 한 해에 얼마나 자주 순환하는지.
연간 연속 복리 이자율과 단순 이자율은 종종 백분율(차원적 수량)로 표시되고 시간은 연도 수로 구성된 차원적 수량으로 표시됩니다.그러나 시간에 측정 단위로 연도가 포함된 경우 비율의 차원은 1/년입니다.물론 연도를 시간 단위로 사용하는 것에 대해 (통상적인 관례와는 별도로) 특별한 것은 없습니다: 다른 시간 단위는 사용할 수 있습니다.또한 비율과 시간에 측정 단위가 포함되어 있으면 각각 다른 단위를 사용해도 문제가 없습니다.이와는 대조적으로, 속도와 시간은 차원적인 경우 공통 기간을 참조할 필요가 있습니다.(유효이자율은 차원적인 양으로만 정의될 수 있음에 유의하십시오.)
재무분석에서, 채권 지속기간은 (dV/dr)/V로 정의될 수 있으며, 여기서 V는 채권(또는 포트폴리오)의 가치이고, r은 연속 복리 이자율이고 dV/dr은 파생상품입니다.이전 시점부터 r의 차원은 1/시간입니다.따라서 dr은 도함수의 "분모"에 있기 때문에 지속기간의 차원은 시간(일반적으로 연도로 표시됨)입니다.

유체역학

유체 역학에서 차원 분석은 무차원의 파이프 또는 그룹을 얻기 위해 수행됩니다.치수 분석의 원칙에 따르면, 시스템의 동작을 설명하는 일련의 용어나 그룹으로 프로토타입을 설명할 수 있습니다.적합한 파이프 또는 그룹을 사용하여 동일한 차원 관계를 갖는 모델에 대한 유사한 파이프 집합을 개발할 수 있습니다.^[8]즉, 파이터는 특정 프로토타입을 나타내는 모델을 개발하는 지름길을 제공합니다.유체역학에서 일반적인 무차원 그룹은 다음과 같습니다.

레이놀즈 수(Re), 일반적으로 모든 유형의 유체 문제에서 중요합니다. $\mathrm {Re} = {\frac {\rho \,ud}{\mu}}$
Froude 번호(Fr), 자유 표면이 있는 모델링: $\mathrm {Fr} = {\frac {u}{\sqrt {g\,L}}$
오일러 수(Eu)는 압력이 관심있는 문제에 사용됩니다. $\mathrm {Eu} = {\frac {\Deltap}{\rhou^{2}}}$
마하 수(Ma), 속도가 현지 음속에 근접하거나 초과하는 고속 흐름에서 중요: $\mathrm {Ma} = {\frac {u}{c}},$ 여기서 $c$ 는 현지 음속입니다.

역사

치수 분석의 기원에 대해서는 역사학자들이 논쟁을 벌여왔습니다.^[9]^[10]치수 분석의 최초의 서면 적용은 토리노 과학 아카데미의 1799년 기사에서 라그랑주의 학생인 프랑수아 다비에가 인정받았습니다.^[10]

이것은 의미 있는 법칙이 다양한 측정 단위에서 동질적인 방정식이어야 한다는 결론으로 이어졌고, 그 결과는 결국 버킹엄 π 정리에서 공식화되었습니다.시메온 포아송은 1811년과 1833년의 논문에서 같은 평행사변형 법칙의 문제를 다루기도 했습니다(제1권, 페이지 39).^[11]1833년 제2판에서 포아송은 데이비에 동질성 대신 차원이라는 용어를 명시적으로 소개합니다.

1822년, 나폴레옹의 중요한 과학자인 조제프 푸리에는 F=ma와 같은 물리 법칙이 물리 변수를 측정하는 데 사용되는 단위와는 독립적이어야 한다는 생각을 바탕으로 중요한 업적을 최초로 인정받았습니다.

제임스 클러크 맥스웰은 질량, 길이, 시간을 기본 단위로 구분하고 다른 단위를 유도함으로써 차원 분석의 현대적 사용을 확립하는 데 큰 역할을 했습니다.^[13]맥스웰은 길이, 시간, 질량을 "3개의 기본 단위"로 정의했지만, 중력 상수 G를 통일로 삼는 뉴턴의 만유인력 법칙의 형태를 가정하여 M = TL로 정의함으로써 중력 질량이 길이와 시간으로부터 유도될 수 있다고 언급했습니다.쿨롱 상수 k를 통일성으로 삼는 쿨롱 법칙의 형태를 가정함으로써 맥스웰은 정전하 단위의 치수가 Q = TLM이라고 결정했고, 이는 그의 M = TL 방정식을 질량으로 대체한 후 질량 viz와 동일한 차원의 전하를 생성합니다.Q = TL.

차원 분석은 또한 사람이 이해하고 특성화하고자 하는 특정 현상에 관련된 물리량 간의 관계를 도출하는 데 사용됩니다.1872년 레일리 경이 처음으로 이런 방식으로 사용했는데, 레일리 경은 왜 하늘이 파랗는지 이해하려고 애썼습니다.^[16]레일리는 그의 1877년 책 The Theory of Sound에서 이 기법을 처음으로 발표했습니다.^[17]

푸리에의 이론에서 차원이라는 단어의 원래 의미는 기본 단위의 지수의 수치였습니다.예를 들어, 가속도는 길이 단위에 대해 1차원을, 시간 단위에 대해 -2차원을 갖는 것으로 간주되었습니다.^[18]이것은 단지 지수가 아니라 가속도의 차원이 TL이라고⁻² 말한 맥스웰에 의해 약간 변화되었습니다.^[19]

예

간단한 예: 고조파 발진기의 주기

$강도$ g의 중력에서 스프링 상수 $k$ 가 현수된 이상적인 선형 스프링에 부착된 질량 $m$ 의 진동 $주기$ 는?그 기간은 변수 $T$ , $m$ , $k$ , $g$ 에 있는 어떤 무차원 $방정식$ 의 T에 대한 해입니다.4개의 양은 T[T]; m[M]; $k$ [M/T²]; g[L/T²]의 치수를 갖습니다.이로부터 우리는 선택한 변수의 거듭제곱의 무차원 곱인 G $G_{1}$ $G_{1}$ = T $T^{2}k/m$ $T^{2}k/m$ / $T^{2}k/m$ ${\displaystyle T^{2} k$ / $m}$ $T^{2}k/m$ T · M / M = 1]을 구성할 수 있으며, 일부 무차원 상수 $C$ 에 $G_{1}=C$ G $G_{1}=C$ = C ${\displaystyle G_{1$ } = $C}$ 를 넣으면 무차원 방정식이 제공됩니다.변수의 힘의 무차원 곱을 무차원 변수 그룹이라고 부르기도 하며, 여기서 "그룹"이라는 용어는 수학적 그룹이 아닌 "집합"을 의미합니다.그것들은 종종 무차원수라고도 불립니다.

변수 $g$ 는 그룹에서 발생하지 않습니다. $g$ 는 차원 L을 포함하는 유일한 양이기 때문에 $g$ 와 $k$ , $m$ , $T$ 를 결합한 무차원의 거듭제곱 곱을 형성하는 것은 불가능하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.이는 이 문제에서 $g$ 는 무관함을 의미합니다.차원 분석을 통해 문제의 일부 양과 무관하거나 추가적인 모수가 필요하다는 강력한 설명이 나올 수 있습니다.만약 우리가 문제를 적절하게 설명할 수 있는 충분한 변수를 선택했다면, 이 논쟁으로부터 우리는 스프링에서의 질량의 $주기$ 가 g와 독립적이라는 결론을 내릴 수 있습니다: 지구나 달에서 그것은 같습니다.우리의 문제에 대한 힘의 곱의 존재를 보여주는 방정식은 완전히 동등한 방식으로 쓰여질 수 있습니다. $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ $=$ $κ$ $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ ${\displaystyl$ T =\ $kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}},$ 일부 무차원 $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ 상수 κ(원래 무차원 방정식에서 ${\sqrt {C}}$ ${\displaystyle {\sqrt {C$ $T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}$ qual).

치수분석이 직관적으로 상황의 물리적 기술에 속할 것으로 예상되는 변수( $g$ , 여기)를 거부하는 경우에 직면하면, 또 다른 가능성은 거부된 변수가 사실상 관련성이 있지만 다른 관련 변수가 누락된 경우,거부된 변수와 결합하여 무차원 수량을 형성할 수 있습니다.그러나 여기서는 그렇지 않습니다.

차원 분석이 단 하나의 차원 없는 그룹만 산출할 경우, 여기와 같이 알 수 없는 함수는 없으며, $솔루션$ 은 κ과 같이 알 수 없는 차원 없는 상수를 포함할 수 있지만 "완전"하다고 합니다.

더 복잡한 예: 진동하는 와이어의 에너지

진폭 A(L)로 진동하는 길이 ℓ(L) 와이어의 경우를 고려합니다.와이어는 선형밀도 ρ(M/L)을 가지며 장력(LM/T)을 받으며 와이어 내 에너지 E(LM/T)를 알고 싶습니다.π와 π를 다음과 같이 주어진 변수의 거듭제곱의 무차원 곱이라 하자.

{\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\pi _{2}&={\frac {\ell}{A}}}.\end{aligned}

와이어의 선형 밀도는 관련이 없습니다.발견된 두 그룹은 방정식과 같은 형태로 결합될 수 있습니다.

F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell}{A}}\right)=0,

여기서 F는 알 수 없는 함수 또는 이와 동등한 함수입니다.

E=asf\left({\frac {\ell}{A}}\right),

여기서 f는 알려지지 않은 다른 함수입니다.여기서 미지의 함수는 우리의 해결책이 이제 불완전하다는 것을 암시하지만, 차원 분석은 우리에게 분명하지 않았을지도 모르는 것을 주었습니다: 에너지는 긴장의 첫 번째 힘에 비례합니다.더 이상의 분석 분석을 하지 않는 한, 우리는 미지의 함수 f의 형태를 발견하기 위한 실험을 진행할 수 있습니다.하지만 우리의 실험은 차원 분석이 없는 경우보다 간단합니다.에너지가 장력에 비례하는지 확인하기 위해 아무 것도 수행하지 않습니다.또는 에너지가 ℓ에 비례한다고 추측할 수도 있고, 따라서 E = ℓ라고 추측할 수도 있습니다.실험과 가설 형성에 도움이 되는 차원 분석의 힘이 분명해집니다.

차원 분석의 힘은 위에서 주어진 것과 달리 더 복잡하고, 관련된 변수들의 집합이 명확하지 않으며, 근본적인 방정식이 절망적일 정도로 복잡한 상황에 적용될 때 실제로 분명해집니다.예를 들어, 강바닥에 앉아있는 작은 조약돌을 생각해보세요.강물이 충분히 빠르게 흐르면 실제로 자갈을 끌어올려 물과 함께 흐르게 됩니다.어떤 임계 속도에서 이런 현상이 발생합니까?추측된 변수들을 분류하는 것은 예전만큼 쉽지 않습니다.그러나 차원 분석은 이와 같은 문제를 이해하는 데 강력한 도움이 될 수 있으며, 일반적으로 기본적인 방정식과 제약 조건이 잘 이해되지 않는 복잡한 문제에 적용되는 첫 번째 도구입니다.그러한 경우, 답은 레이놀즈 수와 같은 무차원 수에 의존할 수 있으며, 이는 치수 분석에 의해 해석될 수 있습니다.

세 번째 예: 회전 디스크에 대한 수요 대 용량

축 두께 t(L)와 반경 R(L)의 얇고 단단한 평행한 회전 디스크의 경우를 고려합니다.디스크는 밀도 ρ(M/L)을 가지며 각속도 ω(T)로 회전하며 이로 인해 재료에 응력 S(TLM)가 발생합니다.디스크가 반지름에 비해 얇은 경우, 디스크의 면이 축방향으로 자유롭게 움직일 수 있고 평면 응력 구성 관계가 유효하다고 가정할 수 있는 이 문제에 대해 Lame에 의해 제시된 이론적인 선형 탄성 해법이 있습니다.디스크가 반경에 비해 두꺼워지면 평면 응력 용액이 분해됩니다.디스크가 자유면에 축방향으로 구속되면 평면 변형 상태가 발생합니다.그러나 그렇지 않은 경우에는 3차원 탄성을 고려하여 응력 상태를 판단할 수 있을 뿐이며 이 경우에 대해서는 알려진 이론적 해결책이 없습니다.따라서 엔지니어는 다섯 변수 사이의 관계를 설정하려고 할 수 있습니다.이 경우의 치수 분석은 다음과 같은 (5 - 3 = 2) 비차원 그룹으로 이어집니다.

수요/용량 = ρR ω/S

두께/radius 또는 종횡비 = t/R

예를 들어 유한요소법을 이용한 수치실험을 통해 그림과 같이 두 비차원 군 간의 관계의 성질을 구할 수 있습니다.이 문제에는 두 개의 비차원 그룹만 포함되므로 전체 그림이 단일 플롯으로 제공되므로 회전하는 디스크의 설계/평가 차트로 사용할 수 있습니다.^[20]

특성.

수학적 성질

T, L, M과 같은 기본 물리적 차원들의 주어진 집합으로부터 형성될 수 있는 차원들은 아벨 군을 형성합니다:항등식은 1; L = 1로 표기되며, L의 역수는 1/L 또는 L입니다. 임의의 정수 p로 올리는 L은 L 또는 1/L의 역수를 가지는 군의 일원입니다.그룹의 연산은 곱셈이며, 지수를 다루는 일반적인 규칙(L × L = L)을 갖습니다.물리적으로 1/L은 역수 길이로, 1/T는 역수 시간으로 해석할 수 있습니다(역수 초 참조).

아벨리안 그룹은 정수 위의 모듈과 같으며, 차원 기호 TLM은ⁱ^j^k 튜플(i, j, k)에 해당합니다.물리적으로 측정된 양(같은 차원이든 다른 차원이든)이 서로 곱해지거나 나누면 치수 단위도 마찬가지로 곱해지거나 나누게 됩니다. 이는 모듈에서 덧셈 또는 뺄셈에 해당합니다.측정 가능한 양이 정수 거듭제곱으로 증가하면 해당 양에 연결된 차원 기호에도 동일하게 적용됩니다. 이는 모듈의 스칼라 곱셈에 해당합니다.

그러한 차원 기호의 모듈에 대한 기본은 기본 양의 집합이라고 불리고, 다른 모든 벡터는 파생 단위라고 불립니다.모듈에서와 마찬가지로, 다른 베이스를 선택할 수 있으며, 이는 다른 시스템의 단위를 산출합니다(예: 충전 단위가 전류 단위에서 파생되었는지 또는 그 반대인지 선택).

무차원 수량의 차원인 그룹 ID는 이 모듈의 원점 $(0,0,0)$ $(0,0,0)$ $(0,0,0)$ ) ${\displaystyle(0,$ 0, $0)}$ 에 해당합니다 $(0,0,0)$

특정한 경우, 특히 $V^{L^{1/2}}$ $V^{L^{1/2}}$ ${\$ 와 같이 1차원 벡터 공간의 분수 거듭제곱을 공식적으로 정의함으로써 분수 차원을 정의할 수 있습니다 $V^{L^{1/2}}$ ^[21] 그러나 표현 이론적 장애로 인해 단위의 임의의 분수 거듭제곱을 취할 수는 없습니다.^[22]

(벡터 공간의 좌표계에 해당하는) 단위를 사용할 필요 없이 주어진 차원을 가진 벡터 공간으로 작업할 수 있습니다.예를 들어, 차원 M과 L이 주어졌을 때, $V^{M}$ $V^{M}$ VM {\ $displaystyle$ V^{ $M}$ 과 $V^{L}$ {\ $displaystyle$ $V^{L}$ V^{ $L}$ 을 가지며 $V^{L}$ $V^{ML}:=V^{M}\otimes V^{L}$ L := $V^{ML}:=V^{M}\otimes V^{L}$ ⊗ $V$ ^{ $ML$ }= $V^{M}\otimes V^{L}$ 을 텐서 곱으로 정의할 수 있습니다.마찬가지로, 이중 공간은 "음" 차원을 갖는 것으로 해석될 수 있습니다.^[23]이것은 벡터 공간과 그 이중성 사이의 자연적인 쌍 아래에서 차원이 취소되어 무차원 스칼라가 남는다는 사실에 해당합니다.

문제에 관련된 물리량의 단위 집합은 벡터(또는 행렬)의 집합에 해당합니다.영항은 이러한 벡터들이 영벡터를 생성하기 위해 결합될 수 있는 몇 가지 방법(예: m)을 설명합니다.이것들은 (측정으로부터) 많은 무차원 양 {π, ..., π}을 생성하는 것에 해당합니다. (실제로 이 방법들은 다른 공간의 널 부분 공간, 즉 측정의 거듭제곱에 완전히 걸쳐 있습니다.)어떤 유도된 양 X와 같은 단위를 가진 무언가를 만들기 위해 측정된 양들을 곱하는(그리고 지수화하는) 모든 가능한 방법은 일반적인 형태로 표현될 수 있습니다.

X=\prod _{i=1}^{m}(\pi_{i})^{k_{i}}\",

결과적으로 계의 물리학에 대한 모든 가능한 적절한 방정식은 다음과 같은 형태로 다시 작성될 수 있습니다.

f(\pi_{1},\pi_{2},...,\pi_{m}=0\.

이 제한을 아는 것은 시스템에 대한 새로운 통찰력을 얻을 수 있는 강력한 도구가 될 수 있습니다.

메카닉스

역학에 관심이 있는 물리량의 차원은 기본 차원 T, L, M으로 표현할 수 있으며, 이들은 3차원 벡터 공간을 형성합니다.이것은 기본 치수의 유일한 유효한 선택이 아니라 가장 일반적으로 사용되는 것입니다.예를 들어, 어떤 사람은 힘, 길이 및 질량을 (일부가 한 것처럼) 기본 치수로 선택할 수 있습니다. 관련 치수 F, L, M과 함께. 이는 다른 기저에 해당하며, 기저의 변화에 의해 이들 표현 사이를 변환할 수 있습니다.따라서 기본 치수 집합을 선택하는 것은 일반적인 관례이며, 실용성과 친숙성이 증대된다는 이점이 있습니다.기본 치수의 선택이 전적으로 자의적인 것은 아닙니다. 왜냐하면 기본 치수는 공간에 걸쳐 있어야 하고 선형으로 독립적이어야 하기 때문입니다.

예를 들어, F, L, M은 T, L, M과 동등한 기저를 형성하기 때문에 기본 차원의 집합을 형성합니다. 전자는 [F = LM/T], L, M으로 표현할 수 있고, 후자는 [T = (LM/F)], L, M으로 표현할 수 있습니다.

반면, 길이, 속도 및 시간(T, L, V)은 역학에 대한 기본 치수 집합을 형성하지 않습니다. 두 가지 이유가 있습니다.

다른 기본 차원을 도입하지 않고서는 질량이나 그로부터 파생된 어떤 것(예를 들어 힘)을 얻을 수 있는 방법이 없습니다.
속도는 길이와 시간(V = L/T)으로 표현할 수 있으므로 중복됩니다(집합은 선형 독립적이지 않습니다).

물리학과 화학의 다른 분야

물리학 분야에 따라 하나 또는 다른 확장된 차원 기호 집합을 선택하는 것이 유리할 수 있습니다.예를 들어 전자기학에서는 T, L, M 및 Q의 치수를 사용하는 것이 유용할 수 있습니다. 여기서 Q는 전하의 치수를 나타냅니다.열역학에서 치수의 기본 집합은 종종 온도에 대한 치수인 θ를 포함하도록 확장됩니다.화학에서, 물질의 양(분자의 수를 아보가드로 상수로 나눈 값, ≈ 6.02 x 10 몰)은 또한 기본 차원 N으로 정의됩니다. 강한 레이저 펄스와 상대론적 플라즈마의 상호작용에서, 무충돌 블라소프 방정식의 대칭성과 관련된 무차원 상대론적 유사성 매개변수는전자기 벡터 전위와 더불어 플라즈마, 전자 및 임계 densities로 구성됩니다.물리학의 다른 분야에서 사용될 치수 또는 심지어 치수의 선택은 어느 정도 자의적이지만, 사용의 일관성과 통신의 용이성은 공통적이고 필요한 특징입니다.

다항식과 초월함수

브리지먼의 정리는 독립적인 양들 중 일부가 대수적으로 결합하여 무차원 군을 산출하지 않는 한, 물리적인 양을 일반적인 (차원적으로 복합된) 양에서 단지 그 양들의 거듭제곱의 곱으로 정의하기 위해 사용될 수 있는 함수의 종류를 제한합니다.이 함수들은 무차원 숫자 곱셈 계수에서 함께 그룹화됩니다.^[24]^[25]이것은 두 개 이상의 항에 대한 다항식 또는 해당 형태가 아닌 초월 함수를 제외합니다.

지수 함수, 삼각 함수 및 로그 함수와 같은 초월 함수 또는 비균질 다항식에 대한 스칼라 인수는 무차원 양이어야 합니다.(참고: 이 요구 사항은 특정 차원 양의 제곱이 무차원인 Siano의 아래 설명된 방향 분석에서 다소 완화됩니다.)

무차원수에 대한 대부분의 수학적 항등식은 무차원수에 직접적인 방식으로 번역되지만, 비율의 로그를 사용하여 주의를 기울여야 합니다. 항등식 로그(a/b) = 로그 a - 로그 b는 어떤 기저에서도 로그를 취하여 무차원수 a와 b를 유지하지만 a와 b가 무차원수일 경우에는 성립하지 않습니다.왜냐하면 이 경우에는 왼쪽은 잘 정의되어 있지만 오른쪽은 그렇지 않기 때문입니다.^[26]

마찬가지로, 차원량의 단항식 (x)를 평가할 수 있지만 차원량에 대한 차원없는 계수로 혼합도 다항식을 평가할 수는 없습니다. x의 경우 (3 m) = 9 m라는 표현은 (영역으로서) 의미가 있는 반면 x + x의 경우 (3 m) + 3 m = 9 m + 3 m라는 표현은 의미가 없습니다.

그러나 계수가 무차원이 아닌 적합하게 선택된 물리량이라면 혼합된 차수의 다항식이 의미가 있을 수 있습니다.예를들면,

{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}})\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s})\cdot t.

중력 가속도가 초당 9.8미터이고 초기 상승 속도가 초당 500미터인 경우, 시간 t에 물체가 상승하는 높이입니다.t가 초 단위일 필요는 없습니다.예를 들어 t = 0.01분이라고 가정합니다.그럼 첫 번째 학기는.

{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}})\cdot (\mathrm {0.01~min})^{2}\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s})^{2}\cdot \mathrm {m}\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}

단위와 수치의 조합

차원 물리량 Z의 값은 차원 내의 단위 [Z]와 차원이 없는 수치 또는 수치 인자 n의 곱으로 작성됩니다.^[27]

Z=n\times[Z]=n[Z]

유사 차원의 양을 가감할 때, 이들 양의 수치를 직접 가감할 수 있도록 동일 단위로 표현하는 것이 편리합니다.그러나 개념상으로 다른 단위로 표현되는 동일한 차원의 양을 더하는 것은 문제가 없습니다.예를 들어, 1피트에 1미터를 더하는 것은 길이이지만, 단순히 1과 1을 더하는 것으로는 그 길이를 도출할 수 없습니다.유사 차원 양의 비율이며 무차원 단위와 같은 변환 계수가 필요합니다.

1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\text{m}}\

=

1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\text{m}}\

m

displaystyle

1

\{\mbox{

}}=

0.3048\{\text{m}}\ }

가 1

1={\frac {0.3048\ {\text{m}}}{1\ {\text{ft}}}}.\

1={\frac {0.3048\ {\text{m}}}{1\ {\text{ft}}}}.\

1={\frac {0.3048\ {\text{m}}}{1\ {\text{ft}}}}.\

1={\frac {0.3048\ {\text{m}}}{1\ {\text{ft}}}}.\

와 동일합니다

.

{\

displaysty

1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\text{m}}\

e

1

={\frac {0.

3048

\{\text{m}}{1\{\text{

ft}}}\

}

계수 $0.3048\ {\frac {\text{m}}{\mbox{ft}}}$ ${\$ 는 $0.3048\ {\frac {\text{m}}{\mbox{ft}}}$ 무차원 1과 동일하므로 이 변환 계수를 곱하면 아무것도 변경되지 않습니다.그런 다음 같은 차원의 두 개의 양을 더하되 다른 단위로 표현할 때, 적절한 변환 계수(기본적으로 무차원 1)를 사용하여 같은 단위로 양을 변환하여 수치 값을 더하거나 뺄 수 있습니다.

이 방식으로만 다른 단위의 유사 차원의 양을 추가하는 것을 말하는 것은 의미가 있습니다.

수량방정식

수량 방정식은 물리량을 표현할 때 사용되는 측정 단위와 독립적으로 유효한 상태를 유지하는 방정식입니다.^[28]

반대로, 수치 방정식에서는 단위가 없이 양의 수치만 발생합니다.따라서 각 수치 값이 특정 단위를 참조하는 경우에만 유효합니다.

예를 들어, 속도에 시간차 t를 곱한 변위 d의 수량 방정식은 다음과 같습니다.

d = st

s = 5 m/s의 경우, 여기서 t와 d는 필요에 따라 변환된 단위로 나타낼 수 있습니다.이와 대조적으로, 해당 수치 방정식은 다음과 같습니다.

D = 5T

여기서 T는 초 단위로 표시될 때 t의 숫자 값이고 D는 미터 단위로 표시될 때 d의 숫자 값입니다.

일반적으로 수치 방정식을 사용하지 않습니다.^[28]

무차원 개념

상수

Poiseuille's Law 문제의 C와 위에서 논의된 스프링 $\kappa$ 의 $\kappa$ κ {\ $displaystyle$ \ $kappa}$ 와 같이 얻은 결과에서 발생하는 무차원 상수는 기본 물리학의 보다 상세한 분석에서 발생하며 종종 일부 미분 방정식을 통합함으로써 발생합니다.차원 분석 자체는 이 상수들에 대해 말할 것이 거의 없지만, 종종 순서 통일성의 크기를 갖는다는 것을 아는 것은 유용합니다.이러한 관찰을 통해 관심 현상에 대한 "봉투 뒷면" 계산을 수행할 수 있으며, 따라서 관심 현상을 측정하는 실험을 보다 효율적으로 설계하거나 중요한지 여부 등을 판단할 수 있습니다.

형식주의

역설적으로, 차원 분석은 기본 이론의 모든 매개 변수가 무차원인 경우에도 유용한 도구가 될 수 있습니다. 예를 들어, Ising 모델과 같은 격자 모델은 위상 전이 및 임계 현상을 연구하는 데 사용될 수 있습니다.그러한 모델은 순수하게 무차원적인 방식으로 공식화될 수 있습니다.임계점에 점점 더 가까워질수록 격자 모델의 변수가 상관되는 거리(이른바 상관 길이, ξ ${\displaystyle \xi})$ 는 점점 더 커집니다.이제 상관 길이는 임계 현상과 관련된 길이 척도이므로, 예를 들어 "차원적 근거"에 따라 격자 부위당 자유 에너지의 비분석적 부분은 $\sim 1/\xi ^{d}$ / $\sim 1/\xi ^{d}$ ξ $\sim 1/\xi ^{d}$ {\ $displaystyle \sim$ 1 $/\xi$ ^{ $d},$ $d$ 서 d $d$ 는 격자의 차원입니다.

일부 물리학자, 예를 들어 마이클 더프(Michael J. Duff)^[4]^[29]는 물리 법칙이 본질적으로 무차원적이라고 주장했습니다.우리가 길이, 시간 그리고 질량에 양립할 수 없는 차원들을 할당했다는 사실은, 이 관점에 따르면, 단지 관습의 문제일 뿐이며, 현대 물리학의 출현 이전에는 질량, 길이 그리고 시간을 서로 연관시킬 수 있는 방법이 없었다는 사실에서 비롯되었습니다.물리학의 기본 방정식에서 c, ħ, G의 세 개의 독립적인 차원 상수는 질량, 시간, 길이를 서로 변환하기 위한 단순한 변환 인자로 간주되어야 합니다.

격자 모델의 임계 특성과 마찬가지로, 적절한 스케일링 한계에서 치수 분석 결과를 복구할 수 있습니다. 예를 들어, 역학에서 치수 분석은 상수 ħ, c, G를 다시 삽입하고 (그러나 이제 우리는 그것들을 무차원으로 간주할 수 있습니다) 양자 사이의 비단수 관계를 요구함으로써 유도될 수 있습니다.극한 $c\rightarrow \infty$ → ∞ ${\displaystyle c\rightarrow \infty},$ ℏ → 0 ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0},$ $G\rightarrow 0$ → 0 $G\rightarrow 0$ 에 존재합니다 $G\rightarrow 0$ 중력장과 관련된 문제에서는 필드가 유한하게 유지되도록 후자의 한계를 사용해야 합니다.

차원당량

다음은 에너지, 운동량, 힘의 차원과 관련된 물리학에서 흔히 발생하는 표현의 표입니다.^[30]^[31]^[32]

SI 단위

에너지,E T⁻²L²M	표현	명명법
메카니컬	$Fd$	F = 힘, d = 거리
	$S/t\equivPt$	S = 동작, t = 시간, P = 전력
	$mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m$	m = 질량, v = 속도, p = 운동량
	$I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I$	L = 각운동량, I = 관성 모멘트, ω = 각속도
이상기체	$pV\equivNT$	p = 압력, V = 부피, T = 온도, N = 물질량
흔든다	$AIt\equiv ASt$	A = 파면 영역, I = 파면 강도, t = 시간, S = 포인팅 벡터
전자기학	$q\phi$	q = 전하, ϕ = 전위(변화의 경우 전압)
	$\varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu$	E = 전기장, B = 자기장, ε = 유전율, μ = 투과율, V = 3d 볼륨
	$pE\equiv mB\equiv IAB$	p = 전기 쌍극자 모멘트, m = 자기 모멘트, A = 영역(전류 루프로 bounded), I = 루프의 전류

운동량, p T⁻¹LM	표현	명명법
메카니컬	$mv\equiv Ft$	m = 질량, v = 속도, F = 힘, t = 시간
메카니컬	$S/r\equiv L/r$	S = 작용, L = 각운동량, r = 변위
보온성	$m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }$	${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ ${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ ${\displaystyle {\sqrt$ langle $v^{2}\right\ra$ }} ${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ = 평균 제곱근 ${\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}$ 속도, m = 질량(분자의)
흔든다	$\rhoVv$	ρ = 밀도, V = 부피, v = 위상 속도
전자기학	$qA$	A = 자기벡터퍼텐셜

힘, F T⁻²LM	표현	명명법
메카니컬	$ma\equiv p/t$	m = 질량, a = 가속도
보온성	$T\delta S/\delta$	S = 엔트로피, T = 온도, r = 변위 (엔트로픽 힘 참조)
전자기학	$Equ\equiv Bqv$	E = 전기장, B = 자기장, v = 속도, q = 전하

자연단위

만약 c가 빛의 속도이고 ħ가 감소된 플랑크 상수이고, c가 빛의 속도이고, dimension가 감소된 플랑크 상수이고, 적절한 에너지의 고정 단위가 선택된다면, 길이, 질량, 시간의 모든 양을 에너지 E의 거듭제곱으로 (ħ 으로) 표현할 수 있습니다. 왜냐하면, 길이, 질량, 시간은 속도 v, 작용 S, 에너지 E를 사용하여 표현할 수 있기 때문입니다:

t={\frac {S}{E}},\quad L={\frac {Sv}{E}},\quad M={\frac {E}{v^{2}}}

속도와 작용은 무차원이지만(v = c = 1, S = ħ = 1) 차원이 있는 유일한 남은 양은 에너지입니다.차원의 힘의 관점에서:

{\mathsf {E}}^{n}={\mathsf {T}^{p}{\mathsf {L}^{q}{\mathsf {M}^{r}={\mathsf {E}^{-p-q+r}

이는 입자 물리학 및 고에너지 물리학에서 특히 유용하며, 이 경우 에너지 단위는 전자 전압(eV)입니다.이 시스템에서는 치수 검사와 추정이 매우 간단해집니다.

그러나 전하와 전류가 관련된 경우, 다른 선택이 가능하더라도 다른 고정 장치는 전하(일반적으로 전자 전하)를 위한 것입니다.

양	p, q, r의 정력			n 정력
양	p	q	r	n
액션, S	−1	2	1	0
속도, v	−1	1	0	0
질량, M	0	0	1	1
길이, L	0	1	0	−1
시간, t	1	0	0	−1
운동량, p	−1	1	1	1
에너지,E	−2	2	1	1

프로그래밍 언어

치수 정확도는 형식 검사의 일부로서 1977년부터 연구되어 왔습니다.^[33]1985년과 1988년에 Ada와^[34] C++^[35]에 대한 구현이 설명되었습니다.Kennedy의 1996년 논문은 Standard ML에서의 구현과 나중에 F#^[37]에서의 구현에 대해 설명합니다.^[36]해스켈에 대한 시행이 있고,^[38]OCaml,^[39] 그리고 러스트,^[40] 파이썬,^[41] 그리고 포트란의 코드 체커.^[42]^[43]
2019년 그리피온의 논문은 케네디의 힌들리-밀너 유형 체계를 하트 행렬을 지원하기 위해 확장했습니다.^[44]^[45]McBride와 Nordvall-Forsberg는 측정 단위를 위한 유형 시스템을 확장하기 위해 종속 유형을 사용하는 방법을 보여줍니다.^[46]

Mathematica 13.2는 방정식에 비차원화 변환을 적용하는 NondimensionalizationTransform이라는 양의 변환 함수를 가지고 있습니다.^[47]Mathematica에는 단위 차원이라는 이름의 1 J와 같은 단위의 차원을 찾는 기능도 있습니다.^[48]Mathematica는 또한 Dimensional Combations라는 물리량의 부분집합의 차원 등가 조합을 찾는 함수를 가지고 있습니다.^[49]Mathematica는 UnityDimensions 함수에 인수를 지정하여 단위Dimensions로 특정 차원을 인수분해할 수도 있습니다.^[50]예를 들어, UnityDimension을 사용하여 각도를 인수분해할 수 있습니다.^[50]단위 차원 외에도 Mathematica는 QuantityVariableDimensions 함수를 사용하여 QuantityVariableDimensions의 차원을 찾을 수 있습니다.^[51]

지오메트리: 위치 대 변위

아핀량

차원 분석의 일부 논의는 모든 양을 수학적 벡터로 암시적으로 설명합니다. (수학에서 스칼라는 벡터의 특별한 경우로 간주됩니다.^{[citation needed]} 벡터는 다른 벡터에 추가되거나 차감될 수 있으며, 특히 스칼라에 의해 곱해지거나 분할될 수 있습니다.위치를 정의하는 데 벡터가 사용되는 경우, 이는 암시적인 기준점(origin)을 가정합니다.이것이 유용하고 종종 완벽하게 적합하여 많은 중요한 오류가 잡히지만 물리학의 특정 측면을 모델링하는 데 실패할 수 있습니다.보다 엄격한 접근 방식에서는 위치와 변위(또는 시간 대 지속 시간 또는 절대 온도 대 온도 변화)를 구별해야 합니다.

주어진 원점에 대한 위치가 각각 있는 선 상의 점과 점들 사이의 거리를 고려합니다.위치와 변위는 모두 길이 단위를 갖지만 의미는 서로 바꿀 수 없습니다.

2개의 변위를 더하면 새로운 변위를 얻을 수 있습니다(10보를 걷고 20보를 더하면 30보 전진.
위치에 변위를 추가하면 새로운 위치가 생성됩니다(교차로에서 길을 따라 한 블록을 걸으면 다음 교차로에 도달합니다).
두 위치를 빼면 변위가 발생합니다.
하나는 두 자리를 추가할 수 없습니다.

이것은 아핀 양(위치와 같이 아핀 공간에 의해 모델링된 양)과 벡터 양(변위와 같이 벡터 공간에 의해 모델링된 양)의 미묘한 차이를 보여줍니다.

벡터량은 서로 추가되어 새로운 벡터량을 산출할 수 있고, 벡터량은 적절한 아핀량(벡터공간이 아핀공간에 작용함)에 추가되어 새로운 아핀량을 산출할 수 있습니다.
아핀 양은 더할 수 없지만 뺄 수 있어 벡터인 상대적인 양을 산출할 수 있으며, 이러한 상대적인 차이는 서로 또는 아핀 양에 추가될 수 있습니다.

그러면 위치에는 아핀 길이 차원이 있고 변위에는 벡터 길이 차원이 있습니다.아핀 단위에 번호를 할당하려면 측정 단위뿐만 아니라 참조점을 선택해야 하며 벡터 단위에 번호를 할당하려면 측정 단위만 필요합니다.

따라서 어떤 물리량은 벡터량에 의해 더 잘 모델링되는 반면 다른 물리량은 아핀 표현이 필요한 경향이 있으며 그 차이는 그들의 차원 분석에 반영됩니다.

이 구별은 온도의 경우 특히 중요한데, 온도의 경우 절대 0의 숫자 값이 일부 척도에서 원점 0이 아닙니다.절대영도의 경우,

-273.15°C ≘ 0K = 0°R ≘ -459.67°F,

기호 ≘ 평균이 다음에 해당하는 경우, 각 온도 척도의 이러한 값은 서로 일치하지만, 서로 다른 시작점에서 동일한 끝점까지의 거리는 서로 다른 양이며 일반적으로 동일하게 동일하게 측정할 수 없습니다.

온도차의 경우,

1K = 1°C ≠ 1°F = 1°R.

(여기서 °R은 Réaumur 척도가 아닌 Rankine 척도를 의미합니다.)온도 차이에 대한 단위 변환은 단순히 1°F/1K를 곱하는 문제입니다(비가 일정한 값은 아니지만).그러나 이러한 척도 중 일부는 절대영도에 해당하지 않는 기원을 가지고 있기 때문에 한 온도 척도에서 다른 온도 척도로 변환하려면 이를 고려해야 합니다.따라서 1K가 절대온도를 -272.15°C로 의미하는지 또는 온도차가 1°C로 동일한지 애매할 경우 단순 치수 분석으로 오류가 발생할 수 있습니다.

방향 및 기준 프레임

기준점의 문제와 유사한 것은 방향성의 문제입니다: 2차원 또는 3차원에서의 변위는 단지 길이가 아니라 방향과 함께 길이입니다.(이 문제는 1차원으로 발생하는 것이 아니라 양과 음의 구분에 해당합니다.)따라서 다차원 공간에서 두 차원의 양을 비교하거나 조합하려면 기준 프레임과 비교해야 하는 방향성도 필요합니다.

이것은 아래에서 논의되는 확장, 즉 Huntley의 지시된 차원과 Siano의 방향 분석으로 이어집니다.

헌틀리의 확장자

Huntley는 고려 중인 양에서 새로운 독립 차원을 발견하여 차원 행렬의 순위 m {\ $displaystyle m}$ 을 $m$ (를 $)$ 증가시킴으로써 차원 분석이 더욱 강력해질 수 있다고 지적했습니다.^[52]

그는 두 가지 접근법을 소개했습니다.

벡터의 성분의 크기는 차원적으로 독립적인 것으로 간주됩니다.예를 들어, 미분화된 길이 치수 L이 아니라, L이_x x 방향의 치수를 나타낼 수 있습니다.이 요구사항은 궁극적으로 물리적으로 의미 있는 방정식의 각 구성요소(스칼라, 벡터 또는 텐서)가 차원적으로 일치해야 한다는 요구사항에서 비롯됩니다.
물질의 양을 측정하는 질량은 관성을 측정하는 질량과 차원적으로 독립적인 것으로 간주됩니다.

지향 치수

첫 번째 접근법의 유용성에 대한 예로, 수직 속도 $V_{\mathrm {y} }$ $V_{\mathrm {y} }$ ${\$ 와 $V_{\mathrm {y} }$ 수평 속도 $V_{\mathrm {x} }$ V $V_{\mathrm {x} }$ {\ $displaystyle V_{\mathrm {x}}$ 로 발사할 때 대포알이 이동하는 거리를 계산하려고 합니다 $V_{\mathrm {x} }$ 방향 길이를 사용하지 않는다고 가정할 때, 관심 있는 양은 $R$ , 이동 거리, $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {x} }$ , $V_{\mathrm {x} }$ V x {\ $displaystyle V_$ {\ $mathrm {$ x $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {y} }$ {\ $displaystyle$ V_{\ $mathrm$ {y $}},$ 둘 다 차원⁻¹ TL, 차원 TL⁻², g $중력$ 하행 가속도입니다.

이 네 가지 양을 사용하면 범위 $R$ 에 대한 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

R\propto V_{\text{x}}^{a}\,V_{\text{y}}^{b}\,g^{c}\,

또는 차원적으로

{\mathsf {L}}=\left({\frac {\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}^{2}}\right)^{c}\,

이로부터 $a+b+c=1$ + $a+b+c=1$ + $a+b+c=1$ = 1 ${\displaystyle$ a + $b$ + c = $1}$ 및 $a+b+2c=0$ + b $a+b+2c=0$ + $a+b+2c=0$ $a+b+2c=0$ = $a+b+2c=0$ ${\displaystyle a$ + $b$ + 2 c = $0}$ 을(를) 추론할 수 있습니다 $a+b+2c=0$ 이것은 우리가 두 개의 기본 차원 T와 L, 그리고 네 개의 매개변수를 가지고 있기 때문에 예상되는 것입니다.

그러나 방향 길이 치수를 사용하면 $V_{\mathrm {x} }$ $V_{\mathrm {x} }$ ${\$ 은 TL⁻¹_$x$, $V_{\mathrm {y} }$ ${\$ 은 $V_{\mathrm {y} }$ TL⁻¹_$y$, $R$ 은 L 및 $가스 x$ TL로⁻²_$y$ 치수가 지정됩니다 $V_{\mathrm {x} }$ .차원 방정식은 다음과 같습니다.

{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} =\left ({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {x}}}{\mathsf {T}}\right)^{a}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y}}}}{\mathsf {T}}\right)^{b}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y}}}{{\mathsf {T}}^{{2}}\right)^{c}

$a=1$ 우리는 $a=1$ a $a=1$ = 1 {\ $displaystyle$ $b=1$ =1}, $b=1$ b = 1 {\ $displaystyle$ $c=-1$ =1 $c=-1$ $c=-1$ = - 1 {\ $displaystyle$ c=- $1}$ 로 풀 수 있습니다 $c=-1$ 방향 길이 치수의 사용에 의해 얻어진 연역력의 증가는 명백합니다.

헌틀리의 방향 길이 치수의 개념은 몇 가지 심각한 한계를 가지고 있습니다.

그것은 교차곱을 포함하는 벡터 방정식을 잘 다루지 않습니다.
또한 각도를 물리적 변수로 사용하는 것을 잘 다루지 못합니다.

또한 관심 문제에 관련된 물리적 변수에 L, L_$x$, L_$y$, L_$z$ 기호를 할당하는 것은 종종 상당히 어렵습니다.그는 물리적 문제의 "대칭성"을 수반하는 절차를 발동합니다.이는 신뢰성 있게 적용하기가 매우 어려운 경우가 많습니다.문제의 어떤 부분에서 "대칭"이라는 개념이 발동되고 있는지는 불분명합니다.힘이 작용하는 것은 물리적인 물체의 대칭입니까, 힘이 작용하는 점, 선 또는 영역에 작용합니까?둘 이상의 신체가 서로 다른 대칭을 가지고 있다면 어떻게 될까요?

원통형 튜브에 부착된 구형 기포를 생각해 보면, 두 부분의 압력 차이에 대한 공기 유량의 함수가 필요합니다.연결된 부품에 포함된 공기의 점도에 대한 Huntley 확장 치수는 얼마입니까?두 부품의 확장된 압력 치수는 얼마입니까?그들은 같습니까 아니면 다릅니까?이러한 어려움은 Huntley의 지시 길이 치수를 실제 문제에 제한적으로 적용하는 원인이 됩니다.

물질량

헌틀리의 두 번째 접근법에서, 그는 관성(관성 질량)을 측정하는 질량과 물질의 양을 측정하는 질량을 구별하는 것이 때때로 유용하다고 주장합니다.Huntley는 물질의 양을 관성 질량에 비례하는 양으로만 정의하고 관성 특성은 포함하지 않습니다.더 이상의 제한은 정의에 추가되지 않습니다.

예를 들어, 포이슈유의 법칙에서 파생된 것을 생각해 보세요.우리는 원형 파이프를 통한 점성 유체의 질량 흐름 속도를 찾고자 합니다.관성 질량과 상당한 질량을 구분하지 않고 다음과 같은 변수를 선택할 수 있습니다.

기호.	변수	치수
${\dot {m}$	질량유량	T⁻¹M
$p_{\text{x}}$	파이프에 따른 압력 구배	T⁻²L⁻²M
$ρ$	밀도	L⁻³M
$η$	동액점도	T⁻¹L⁻¹M
$r$	관의 반지름	L

세 가지 기본 변수가 있으므로 위의 다섯 방정식은 두 개의 독립적인 무차원 변수를 산출합니다.

\pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\etar}

\pi_{2}={\frac {p_{\mathrm {x}}\rhor^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}

차원 $M_{\text{i}}$ ${\$ 인 관성 질량과 $M_{\text{m}}$ $M_{\text{m}}$ ${\$ 인 물질의 양을 구분하면 질량 $M_{\text{m}}$ 유량과 밀도는 물질의 양을 질량 매개 변수로 사용하고 압력 구배와 점도 계수는 관성 질량을 사용합니다.이제 4개의 기본 매개변수와 1개의 무차원 상수를 사용하여 차원 방정식을 작성할 수 있습니다.

C={\frac {p_{\mathrm {x}}\rhor^{4}}{\eta {\dot {m}}}

여기서 $C$ 만 미결정 상수입니다(차원 분석 이외의 방법으로 π $\pi /8$ / $\pi /8$ $\pi /8$ 과 동일함).이 방정식은 질량 유량이 포이슈유의 법칙을 산출할 때 풀릴 수 있습니다.

헌틀리는 물질의 양을 독립적인 양의 차원으로 인식하는 것은 적용 가능한 문제에서는 분명히 성공적이지만, 물질의 양에 대한 그의 정의는 그가 가정한 두 가지 요구 사항을 넘어서는 구체성이 결여되어 있기 때문에 해석의 여지가 있습니다.주어진 물질의 SI 차원 물질량은 단위 몰과 함께 Huntley의 물질량 측정에 대한 두 가지 요구사항을 만족하며, Huntley의 개념이 적용될 수 있는 차원 분석의 문제에서 물질량으로 사용될 수 있습니다.

Siano's extension: 지향성 분석

각도는 관례에 따라 무차원으로 간주됩니다.예를 들어, 원점 (x, y) = $(0, 0)$ 에서 중력이 음의 y축을 따라 향하는 $속도$ v $및$ 각도 θ로 점 질량이 발사되는 발사체 문제를 다시 생각해 보십시오.질량이 x축으로 되돌아오는 범위 $R$ 을 찾는 것이 좋습니다.기존 분석에서는 무차원 변수 π = $Rg/ v$ 를 산출하지만 $R$ 과 θ 사이의 관계에 대한 통찰력은 제공하지 않습니다.

Siano는 Huntley의 방향 치수를 벡터 방향을 나타내기 위해 방향 기호 $11$ 을_x_y_z 사용하고 방향이 없는 기호 1을₀ 사용하여 대체할 것을 제안했습니다.^[53]따라서 Huntley의 L은_$x$ L1이_$x$ 되고 L은 길이의 차원을 지정하고 $1$ 은_x 방향을 지정합니다.Siano는 또한 방향 기호들이 그들 자신의 대수를 가지고 있다는 것을 보여줍니다. $1$ = $1$ 이라는 요구 조건과 함께 방향 기호에 대한 다음 곱셈 표를 산출합니다.

	$\mathbf {1_{0}}$	$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$\mathbf {1_{\text{z}}}$
$\mathbf {1_{0}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$
$\mathbf {1_{\text{x}}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$
$\mathbf {1_{\text{y}}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{0}$	$1_{\text{x}}$
$\mathbf {1_{\text{z}}}$	$1_{\text{z}}$	$1_{\text{y}}$	$1_{\text{x}}$	$1_{0}$

방향 기호는 그룹(클라인 4그룹 또는 "비에르그루프")을 형성합니다.이 시스템에서 스칼라는 "문제의 대칭성"과는 무관하게 항상 동일한 방향을 identity element와 갖습니다.벡터인 물리량은 예상되는 방향을 갖습니다. z 방향의 힘 또는 속도는 $1$ 의_z 방향을 갖습니다.각도의 경우 z 평면에 있는 $각도$ θ를 고려합니다.θ이 예각의 하나인 z 평면에서 직각 삼각형을 형성합니다.각도에 인접한 오른쪽 삼각형의 측면은 방향 $1$ 을_x 가지며 반대쪽은 방향 $1$ 을_y 갖습니다. $(~$ 를 사용하여 방향 등가를 나타냄) $tan($ θ $)$ = θ $+...$ $~ 1/1$ 우리는 xy 평면의 $각도가 1$ /1= $1$ 의 방향을 가져야 한다고 결론지으며, 이는 무리가 아닙니다.유사한 추론은 $sin($ θ $)$ 은 방향 $1$ 을 갖는 반면 $cos($ θ $)$ 는 방향 1을 갖는다는 결론을 강요합니다.예를 들어 a $cos$ (θ $)$ + b $sin($ θ)의 형태인 물리 방정식의 해는 존재하지 않는다고 결론짓습니다 $.$ 여기서 $a$ 와 $b$ 는 실제 스칼라입니다. $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ ⁡ $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ (θ + $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ π $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ / $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ ) $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ = $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ ⁡ ( $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ θ $\sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )$ ) ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2$ ) =\ $cos(\theta )}$ 와 같은 식은 각도 합 공식의 특수한 경우이므로 차원이 일치하지 않습니다.

\sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}\right),

$a=\theta$ = θ ${\displaystyle$ a =\ $theta }$ $b=\pi /2$ b $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ = π $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ / $b=\pi /2$ {\ $displaystyle$ b =\ $pi$ / $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ {\displaystyle b $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ = $\$ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ / $2$ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ { $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ θ $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ z ) {\ $displaystyle$ \ $sin(\theta \,1_{\$ text ${z$ }}+[\pi $/2]\,1_$ {\text ${z})$ = $1_{\text{z$ }}\ $cos(\$ theta $\,1_{\text{z$ }}). $\sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})$ Siano는 3차원 공간에서 방향을 갖는 기하학적 각도와 3차원 공간에서 방향을 갖는 기하학적 각도를 구분합니다.공간 방향이 없는 시간 기반 진동과 관련된 위상 각도. 즉, 위상 각도의 방향이 $1_{0}$ ${\$ 입니다 $1_{0}$

물리량에 대한 방향 기호의 할당과 물리 방정식이 방향성으로 균질해야 한다는 요구사항은 실제로 물리적 문제의 수용 가능한 해결책에 대한 더 많은 정보를 도출하기 위해 차원 분석과 유사한 방식으로 사용될 수 있습니다.이 방법으로, 사람은 가능한 한 치수 방정식을 해결합니다.물리적 변수의 최저 거듭제곱이 분수이면, 해의 양변은 모든 거듭제곱이 적분할 수 있는 거듭제곱으로 상승하여 정상적인 형태로 만듭니다.그런 다음 방향 방정식은 방향 기호의 알 수 없는 힘에 더 제한적인 조건을 부여하기 위해 해결됩니다.따라서 차원 분석만으로 해결할 수 있는 것보다 더 완벽합니다.종종 추가되는 정보는 특정 변수의 검정력 중 하나가 짝수 또는 홀수라는 것입니다.

예를 들어, 발사체 문제의 경우 방향 기호를 $사용$ 하여 xy 평면에 있는 θ는 차원 $1$ 을 가지며 발사체 $R$ 의 범위는 다음과 같은 형태가 됩니다.

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{즉, }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x}}\sim \left ({\frac{\mathsf {L}\,1_{\text{y}}{{\mathsf {T}^{2}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}^{c}\,

차원 동질성은 $이제$ a = $-1$ 및 $b$ = $2$ 를 올바르게 산출하고 방향 동질성은 $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ / $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ ) $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ = $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ c $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ + $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ = 1 ${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}_{z}^{c$ })= 1_ ${z}^{c+1$ }=1 $}$ 이어야 $합니다$ . $1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1$ $즉$ , c는 홀수 정수여야 합니다.사실, 세타의 필요한 함수는 $기묘한$ θ의 힘으로 구성된 시리즈인 $sin($ θ $)cos($ θ $)$ 가 될 것입니다.

위의 곱셈표를 이용하면, $sin($ θ $)$ 과 $cos($ θ $)$ 의 테일러 급수는 방향적으로 동형인 반면, $cos($ θ $)$ + $sin($ θ $),$ $exp($ θ $)$ 와 같은 표현은 그렇지 않으며, (정확히) 비물리적인 것으로 간주됨을 알 수 있습니다.

Siano의 방향 분석은 무차원으로 간주되는 각양에 대한 기존의 개념과 양립할 수 있으며, 방향 분석 내에서 라디안은 여전히 무차원 단위로 간주될 수 있습니다.수량 방정식의 방향 분석은 일반적인 차원 분석과 별개로 수행되어 차원 분석을 보완하는 정보를 산출합니다.

참고 항목

수학관련 영역

메모들

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외부 링크

다양한 물리량에 대한 치수 목록
유니크 라이브 웹 계산기에서 치수 분석으로 단위 변환을 수행합니다.
Boost 오픈소스 라이브러리의 C++ 컴파일 시간 차원 분석 구현
버킹엄의 파이 정리
차원 접근에 기반한 단위 변환을 위한 수량 시스템 계산기 2017년 12월 24일 Wayback Machine에서 보관됨
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[FOOTNOTETao2012"However,_when_working_with_vector-valued_quantities_in_two_and_higher_dimensions,_there_are_representation-theoretic_obstructions_to_taking_arbitrary_fractional_powers_of_units_..."-22] Tao 2012, "그러나 2차원 이상의 벡터값 양으로 작업할 때 단위의 임의의 분수 능력을 취하는 것에 대한 표현이론적 장애가 있습니다."

[23] Tao 2012 "유사하게 $V^{T^{-1}}$ - $V^{T^{-1}}$ ${\$ V $^{-$ $1}}$ 을(를 $)$ $VT$ {\ $displaystyle$ V^{ $T}}$ 의 $V^{T^{-1}}$ 이중 공간으로 정의할 수 있습니다." $V^{T}$

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