하트리 원자 단위

원자 단위는 원자 물리학 및 계산 화학 및 원자 분광학과 같은 관련 과학 분야의 계산에 특히 편리한 자연 측정 단위 시스템입니다. 그들의 이름은 물리학자 더글러스 하트리의 이름을 따서 지어졌습니다.^[1] 원자 단위는 다른 맥락에서 천문 단위, 임의 단위, 흡광도 단위에 사용되는 유사한 약어와 혼동되지 않도록 종종 "a.u." 또는 "au"로 축약됩니다.

동기

원자 물리학의 맥락에서 원자 단위계를 사용하는 것은 불필요한 기호와 10의 큰 거듭제곱을 제거하는 편리한 지름길이 될 수 있습니다. 예를 들어, SI 단위를 사용하는 헬륨 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안 연산자는^{[2]: 437}

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}}.}$

하지만 원자 단위에서는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}$

상수$$ℏ {\displaystyle$\$$},$ 나 {\$displaystyle m_{\$text$\{$${\displaystyle {}_{}}$}}, ${\displaystyle 4_{}}$π ϵ 0 ${\$displaystyle 4\pi \epsilon_{0} 및 e {\displaystyle e}는 모두 원자 단위로 1의 값을 갖습니다(아래의 기본 원자 단위 참조). SI 형태의 물리학과 관련된 거리는 자연스럽게 ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle m{}^{}\mathrm{}}$ ${\$ 정도인 반면$$ 원자 단위의 ${\displaystyle {거리}_{}}$는 0 ${\$1 Bohr 반지름, 길이의 원자 단위) 정도입니다. 또한 원자 단위로 계산되어 보고된 에너지 값은 기본 상수의 값을 수정해도 변경되지 않습니다. 기본 상수는 원자 단위와 SI 사이의 변환 인자에 내장되어 있습니다.

역사

하트리는 세 가지 물리 상수를 기반으로 단위를 정의했습니다.^{[1]: 91}

방정식에서 다양한 보편 상수를 제거하고 수치 작업에서 10의 고출력을 피하기 위해 다음과 같이 정의되는 '원자 단위'라고 할 수 있는 단위로 양을 표현하는 것이 편리합니다.

길이 단위, $a$ ${\displaystyle H_{}}$ = ${\displaystyle h^{}}$ 2 / 4 π$$2 me 2 {\$displaystyle$a_{\text{$H$}}$=$h^{$2}\,/\,4\pi^{2}me^{2$ 궤도 역학에서 핵이 고정된 H-원자의 1 $quantum$ 원형 궤도의 반지름.

전하의 단위, $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ e$\},$ 전자에 있는 전하의 크기.

질량 단위, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m$ 전자의 질량.

다음과 같습니다.

작업 단위, ${\displaystyle h}$/ 2$$π {\$displaystyle$h$\backslash ,/\backslash ,$2\pi}.

에너지 단위, ${\displaystyle e^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H_{}}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$R = ${\displaystyle$ e^{$2}/a_{\text{$$H$}}$=2hcR=}$ [...]

시간 단위, $1{\displaystyle /4}$π cR {\$displaystyle 1\,/\,4$picR}.

— D.R. Hartree, The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part I. Theory and Methods

Here, the modern equivalent of ${\displaystyle R}$ is the Rydberg constant ${\displaystyle R_{\infty }}$, of ${\displaystyle m}$ is the electron mass ${\displaystyle m_{\text{e}}}$, of ${\displaystyle a_{\text{$$H}}}$ is the Bohr radius ${\displaystyle a_{0}}$, and of ${\displaystyle h/2\pi }$ is the reduced Planck constant ${\displaystyle \hbar }$. Hartree's expressions that contain ${\displaystyle e}$ differ from the modern form due to a change in the definition of ${\displaystyle e}$, 아래에서 설명하는 바와 같이

1957년 베테와 샐피터의 책은 하트리의 단위에 1전자와 2전자 원자의^[3] 양자역학을 만들었고, 그들은 원자 단위를 "a.u"라고 약칭했습니다. 그들은 하트리의 길이 대신 작용 단위와 각운동량인$$ℏ {\displaystyle$\$hbar}를 기본 단위로 사용하기로 선택했습니다. 그들은 이 시스템에서 길이의 단위는 첫 번째 보어 궤도의 반지름이고 그들의 속도는 첫 번째 궤도의 보어 모델에서 전자 속도라고 언급했습니다.

1959년 Shull과 Hall은 Hartree의 모델을 기반으로 원자 단위를 옹호했지만 다시 정의 단위로$$ℏ${\displaystyle$\hbar}를 사용하기로 결정했습니다. 그들은 거리 단위를 명시적으로 "보어 반지름"이라고 명명했고, 또한 $에너지$ 단위를 H = ${\displaystyle {me}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$/$$ℏ 2 {\displaystyle H =me^{4}/\hbar ^{2}}라고 쓰고 하트리라고 불렀습니다. 이 용어들은 양자 화학에서 널리 사용되기 시작했습니다.^{[5]: 349}

1973년 McWeeny는 κ 0 = 4$$π ϵ 0 ${\displaystyle$ \kappa_{0} = 4\pi \epsilon_{0} 형태의 유전율을 정의 또는 기본 단위로 추가하여 Shull and Hall의 시스템을 확장했습니다. 동시에 그는 $e$ ${\displaystyle e}$의 SI 정의를 채택하여 원자 단위의 에너지에 대한 그의 표현이 ${\displaystyle e^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle (4}$ π ϵ${\displaystyle {}_{}}$0$$a 0 ) {\$displaystyle$ e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0}}이며, 8번째 SI 브로셔의 표현과 일치합니다.

정의.

원자계의 기본 단위는 전자 정지 질량, 전자 전하의 크기, 플랑크 상수 및 유전율입니다.^[6] 원자 단위계에서는 각각 1.0의 값을 취하며, 국제 단위계의 해당 값은 표에 나와 있습니다.^{[9]: 132} 원자 단위의 열은 원자 단위 시스템에서 이들 기본 단위의 값에 대해 일부러 "1"을 반복함으로써 이 기호들이 원자 단위를 사용하는 방정식에 나타나지 않는다는 것을 강조합니다.

기본 원자 단위

기호 및 이름	수량(차원)	원자 단위	SI 단위
$ℏ {\displaystyle$ $\backslash$hbar}, 플랑크 상수 감소	액션(MLT−1)	1	1.054571817...10J ⋅[10]
${\displaystyle e}$ ${\displaystyle$ e$\},$ 기본 전하	충전(Q)	1	1.602176634×10−19 C[11]
${\displaystyle {나}_{}}$ ${\$ 전자 휴식 질량	질량(M)	1	9.1093837015(28)×10−31 kg[12]
${\displaystyle 4}$ ϵ 0 {\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}, 유전율	유전율(QWL2−1−1)	1	1.11265005545(17)×10−10 F⋅m−1[13]

표에서 W는 에너지의 차원인 MLT를²⁻² 나타냅니다.^[6]

단위

정의 상수 중 세 가지(감소된 플랑크 상수, 기본 전하량, 전자 정지 질량)는 ^[16]각각 작용,^[14] 전하량,^[15] 질량의 원자 단위입니다. Two named units are those of length (Bohr radius ${\displaystyle a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}}$) and energy (hartree ${\displaystyle E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}}$).

정의된 원자 단위

의 원자 단위	표현	SI 단위 값	기타등가
1차 극분극성	${\displaystyle e^{3}a_{0}^{3}/E_{\text{h}}^{2}}$	3.2063613061(15)×10−53 C3⋅m3⋅J−2[17]
2차 극분극성	${\displaystyle e^{4}a_{0}^{4}/E_{\text{h}}^{3}}$	6.2353799905(38)×10−65 C4⋅m4⋅J−3[18]
액션.	${\displaystyle \hbar}$	1.054571817...10J ⋅[19]
외상으로 하겠습니다.	${\displaystyle e}$	1.602176634×10−19 C[20]
전하 밀도	${\displaystyle e/a_{0}^{3}}$	1.08120238457(49)×1012 C⋅m−3[21]
현재의	${\displaystyle eE_{\text{h}}/\hbar}$	6.623618237510(13)×10−3 A[22]
전기 쌍극자 모멘트	${\displaystyle ea_{0}}$	8.4783536255(13)×10−30 C⋅m[23]	≘ 2.541746473 D
전기장	${\displaystyle E_{\text{h}}/ea_{0}}$	5.14220674763(78)×1011 V⋅m−1[24]	5.14220674763(78) GV⋅cm−1, 51.4220674763(78) V⋅Å−1
전기장 기울기	${\displaystyle E_{\text{h}}/ea_{0}^{2}}$	9.7173624292(29)×1021 V⋅m−2[25]
전기 분극률	${\displaystyle e^{2}a_{0}^{2}/E_{\text{h}}}$	1.64877727436(50)×10−41 C2⋅m2⋅J−1[26]
전위	${\displaystyle E_{\text{h}}/e}$	27.211386245988(53) V[27]
전기 사중극자 모멘트	${\displaystyle ea_{0}^{2}}$	4.4865515246(14)×10−40 C⋅m2[28]
에너지	${\displaystyle E_{\text{h}}}$	4.3597447222071(85)×10−18 J[29]	$cR ∞$ {\$displaystyle 2hcR_$${\displaystyle {}^{}}$}}, ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 2${\displaystyle \alpha^{2}m_{\text{$e$\}\}$c^{2}}, 27.2118245988(53) eV
힘.	${\displaystyle E_{\text{h}}/a_{0}}$	8.2387234983(12)×10−8 N[31]	82.387 nN, 51.421 eV·Å−1
길이	${\displaystyle a_{0}}$	5.29177210903(80)×10−11 m[32]	${\displaystyle }$/$$α mec ${\$displaystyle \hbar /\alpha m_{\text{e}}c}, 0.529177210903(80) Å
자기 쌍극자 모멘트	${\displaystyle \hbare/m_{\text{e}}}$	1.85480201566(56)×10−23 J⋅T−1[33]	${\displaystyle 2\mu_{\text{B}}}$
자속 밀도	${\displaystyle \hbar /ea_{0}^{2}}$	2.35051756758(71)×105 T[34]	≘ 2.35051756758(71)×109 G
자화율	${\displaystyle e^{2}a_{0}^{2}/m_{\text{e}}}$	7.8910366008(48)×10−29 J⋅T−2[35]
덩어리	${\displaystyle m_{\text{e}}}$	9.1093837015(28)×10−31 kg[36]
기세	${\displaystyle \hbar /a_{0}}$	1.99285191410(30)×10−24 kg·m·s−1[37]
유전율	${\displaystyle e^{2}/a_{0}E_{\text{h}}}$	1.11265005545(17)×10−10 F⋅m−1[38]	${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$
시간을	${\displaystyle \hbar /E_{\text{h}}}$	2.4188843265857(47)×10−17 s[39]
속도	${\displaystyle a_{0}E_{\text{h}}/\hbar}$	2.18769126364(33)×106 m⋅s−1[40]	${\displaystyle \alpha c}$
${\displaystyle c}$: speed of light, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$: vacuum permittivity, ${\displaystyle R_{\infty }}$: Rydberg constant, ${\displaystyle h}$: Planck constant, ${\displaystyle \alpha }$: fine-structure constant, ${\displaystyle \mu _{\text{$$B}}}$: 보어마그네트론, $≘$ : 대응

사용된 시스템

원자를 사용하는 데에는 다양한 시스템이 채택됩니다. 이 시스템은 프레젠테이션, 형식 및 편의성이 다양합니다.

명시적인 단위가 있는 시스템

• 많은 텍스트(예: Jerard & McNiel, Shull & Hall)는 사용 중인 방정식을 변환하지 않고 기존 시스템 내의 양으로 단위를 정의합니다. 따라서, 그들은 양을 무차원으로 취급하거나 방정식을 변경하는 것을 제안하지 않습니다. 이는 원자 단위가 기호로 명시적으로 포함되어 있는 경우($예$: m = 3$.$ me {\displaystyle m = 3) 차원 양으로 양을 표현하는 것과 일치합니다$.$$질량${\$text{e}}$의 4~$m_{\$text{e$\}\},$ $m$ $=$ ${\displaystyle 3.}$4 a$.$u.의 {\displaystyle m$=$3.$4~{\text{a.u. of mass$ 또는 보다 $모호하게$는 m $=$ ${\displaystyle 3.}$4 a$.$u. {\displaystyle m $=$ 3.$4~{\text{a.u.$$}}}$ 그리고 방정식을 명시적 상수로 변경하지 않고 유지합니다.^[41]
• 문제에 더 적합한 장치(Shull & Hall)로 보다 편리한 수량을 선택할 수 있는 규정도 제안됩니다. 예를 들어, 전자의 질량 감소에 기반하여 사용되는 경우(예: $장치$ ${\displaystyle H_{}}$ M = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 4^{}}$/$$ℏ$$2 {\displaystyle H_{M} =\mu e^{4}/\hbar ^{2}}, 여기서 $\mu$ =$$ M / (me + M ) {\displaystyle \mu = m_{\text{e}} M/(m_{\text{e}}+M)}는 지정된 질량 M {\displaystyle M}에 대해 표시됩니다.

유닛을 제거하는 규약

원자물리학에서는 모든 양의 변환을 통해 수학적 표현을 단순화하는 것이 일반적입니다.

• 하틀리는 "방정식에서 다양한 보편 상수를 제거하는 것"을 옹호했는데, 이는 모든 양이 상응하는 무차원 양으로 대체되는 시스템으로의 변환을 비공식적으로 제안하는 것에 해당하지만, 단지 예시를 통해 주어질 뿐입니다.
• 맥위니는 "이들의 채택은 $모든{\displaystyle }$ 기본 방정식을 e ${\displaystyle e}$와 같은 상수가 있는 무차원 형태로 작성할 수 있도록 한다"고 제안합니다$.$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$과 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 존재하지 않으며 수학적 유도나 수치 해의 과정에서 전혀 고려할 필요가 없습니다. 계산된 양이 나타나야 하는 단위는 물리적 차원에서 암시적이며 마지막에 제공될 수 있습니다." 그는 또한 "대안적인 관례는 기호들을 그것들이 나타내는 양의 수치적인 척도로 해석하는 것이며, 이 경우 방정식은 순수한 숫자 또는 무차원 변수만을 포함합니다. ... 적절한 단위는 계산의 마지막에 제공됩니다. 계산된 수량의 물리적 차원을 참조하여. [이] 규약은 권장할 것이 많고, 예를 들어 계산의 편의를 위해 원자 단위가 도입될 때마다 원자 물리학과 분자 물리학에서 암묵적으로 받아들여지고 있습니다."
• "equations는 단순히 ℏ = me${\displaystyle }$= e = ${\displaystyle 4}$ π ϵ ${\displaystyle 0}$= 1 {\$displaystyle$ \$hbar$= m_${\$text{e}} =$$e = 4\pi \epsilon $_{$0} = 1}을 설정함으로써 원자 단위로 표현됩니다." 이것은 McWeeny와 같은 다른 사람들이 제안하는 양들 사이의 변환의 더 공식적인 과정에 대한 약어의 한 형태입니다.

물리 상수

무차원 물리 상수는 어떤 단위 시스템에서도 값을 유지합니다. 주목할 만한 것은 $미세$ 구조 ${\displaystyle 상수}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ = e 2 / (4 ℏ 0) ≈ c approx 1 / 137 {\displaystyle \alpha = {e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0})\hbar c}\π ϵ 1/137}입니다. 예를 들어, 원자 단위로 표시되는 빛의 속도의 숫자 $값$은 c = 1${\displaystyle }$/$α$ a$.u.$ ≈ 137 a.u. {\displaystyle c = 1/\alpha \,{\text{a.u.$})\approx 137\,{\text{a.u.$$}}}$^{[44]: 597}

원자 단위로 표현되는 일부 물리 상수

이름.	기호/정의	원자 단위 값
광속	${\displaystyle c}$	${\displaystyle (1/\alpha)\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar \proxy 137\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar }$
고전 전자 반지름	${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}}$	${\displaystyle \alpha^{2}\,a_{0}\approx 0.0000532\,a_{0}}$
감소된 콤프턴 파장 전자의	ƛe ${\displaystyle = {\frac {\hbar}{m_{\text{e}}c}}$	${\displaystyle \alpha \,a_{0}\approx 0.007297\,a_{0}}$
양성자 질량	${\displaystyle m_{\text{p}}}$	${\displaystyle \approx 1836\,m_{\text{e}}}$

원자 단위의 보어 모형

원자 단위는 원자 내 전자의 특성을 반영하기 위해 선택되며, 이는 특히 기저 상태에 있는 결합된 전자에 대한 수소 원자의 고전적인 보어 모델에서 명확합니다.

• 질량 = 질량 1 a.u.
• 충전 = -1 a.u.
• 궤도 반지름 = 길이 1 a.u.
• 궤도 속도 = 속도 1 a.u.
• 공전주기 = a.u. 시간의 π
• 궤도 각속도 = a.u. 시간당 1 라디안
• 궤도운동량 = 운동량 1 a.u.
• 이온화 에너지 = 1/2 a.u.의 에너지
• 전기장(핵으로 인한) = 전기장 1 a.u.
• 로런츠 힘(핵으로 인한) = 힘의 1 a.u.

참고문헌