버킹엄 θ 정리

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공학, 응용 수학, 물리학에서 버킹엄 θ 정리는 차원 해석의 핵심 정리이다.이것은 레일리 차원 분석 방법의 공식화이다.대략적으로, 이 정리는 특정 개수의 물리적 변수를 포함하는 물리적으로 의미 있는 방정식이 있을 경우, 원래의 변수로부터 구성된 p = n₂ - k_p 차원 없는 매개변수 집합의₁ 관점에서 원래의 방정식을 다시 쓸 수 있다고 명시한다.(여기서 k는 관련된 물리 치수의 수이며, 특정 매트릭스의 등급으로 취득됩니다.)

이 정리는 방정식의 형태가 아직 알려지지 않은 경우에도 주어진 변수 또는 비차원화로부터 무차원 매개변수 집합을 계산하는 방법을 제공합니다.

버킹엄의 정리는 물리법칙의 타당성이 특정 단위계에 의존하지 않는다는 것을 나타낸다.이 정리의 진술은 어떤 물리적 법칙도 법칙에 의해 연결된 변수의 차원 없는 조합(비율 또는 곱)만을 포함하는 동일성으로 표현될 수 있다는 것이다. (예를 들어, 압력과 부피는 보일의 법칙에 의해 연결되며, 그것들은 반비례합니다.)만약 무차원 조합의 값이 단위계에 따라 변한다면, 방정식은 항등식이 될 수 없을 것이고, 정리는 유지될 수 없을 것이다.

역사

에드가 버킹엄의 이름을 따서 명명되었지만, 이 정리는 1878년 프랑스 수학자 조셉^[1] 버트랑에 의해 처음 증명되었다.베르트랑은 전기역학 및 열전도로 인한 문제의 특별한 경우만을 고려했지만, 그의 논문은 뚜렷한 용어로 정리 현대 증명의 모든 기본 개념을 포함하고 있고 물리 현상을 모델링하는 데 있어서 정리의 효용을 명확하게 나타낸다.정리("차원법")를 사용하는 기술은 레일리의 연구로 인해 널리 알려지게 되었다.일반적인^{[note 1]} 사례에서 파이프의 압력 강하의존성에 대한 δ 정리의 첫 번째 적용은 아마도 ^[2]1892년으로 거슬러 올라가며, 직렬 팽창을 사용한 경험적 증거이다.^[3]

임의로 많은 양의 경우에 대한 δ정리의 정식 일반화는 A에 의해 먼저 제시되었다.1892년에 ^[4]바시가, 그리고 1911년에 각각 독립적으로 A에 의해.페더맨과^[5] D. 리아부친스키,^[6] 그리고 1914년 ^[7]버킹엄에 의해 다시.버킹엄의 기사에서 무차원 변수(또는 파라미터)에 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle i_{}}$ { $displaystyle \pi$_ {$i$ "를 사용한 것이 정리의 출처이다.

진술

보다 공식적으로, 형성될 수 있는 무차원 항의 수 ${displaystyle$ p$}$는 차원 행렬의 무효와 같으며 ${displaystyle$ k$}$는 순위이다.실험 목적상, 이러한 무차원 수치와 관련하여 동일한 설명을 공유하는 다른 시스템은 동등합니다.

수학적인 용어로, 우리가 다음과 같은 물리적으로 의미 있는 방정식을 가지고 있다면,

$여기$서 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle q_{}}$n { $display$ $style$ q$_$ {1} , \ldots , $q$_ {$n$$$} 은$$$$n $개$의 독립된 물리 변수이며$,$ 이러한 변수는 k \ $display$ style k$\$ 독립$$ 물리 단위로 표현됩니다.$이{\displaystyle }$ 경우 위의 방정식은 다음과 같이 다시 기술할 수 있습니다.${\displaystyle {여기}_{}}$서 §${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ §$$ {\$displaystyle \pi$ _${1},\ldots ,\pi$ _${p}$는 p $=$ ${\displaystyle n}$-$$k$$(일명 Pi $그룹$)에$$ $의해{\displaystyle }$ ${\displaystyle q_{}}$i {\$displaystyle$ $q_{i}$에서 생성된 무차원 파라미터입니다.여기서 i${$의 지수는 유리수이다.(${$}를$$ 모든 분모를 지우는 거듭제곱으로 정의하면 항상 정수로 간주할 수 있다.)

중요성

버킹엄 θ 정리는 방정식의 형태가 알려지지 않은 경우에도 주어진 변수로부터 차원 없는 매개변수 집합을 계산하는 방법을 제공합니다.그러나, 무차원 매개변수의 선택은 유일하지 않다. 버킹엄의 정리는 무차원 매개변수의 집합을 생성하는 방법을 제공할 뿐 "물리적으로 가장 의미 있는" 매개변수를 나타내지 않는다.

이들 모수가 일치하는 두 계를 유사(비슷한 삼각형과 마찬가지로 크기가 다를 뿐)라고 합니다. 방정식의 목적을 위해 동등하며 방정식의 형태를 결정하고자 하는 실험가는 가장 편리한 계를 선택할 수 있습니다.가장 중요한 것은 버킹엄의 정리가 변수의 수와 기본 차원 사이의 관계를 기술한다는 것이다.

증명

개요

기본 물리 단위와 파생 물리 단위의 공간이 유리 수 위에 벡터 공간을 형성한다고 가정할 것입니다. 기본 단위는 기본 벡터로서, 물리적 단위는 "벡터 덧셈" 연산으로서 곱하고, "스칼라 곱셈" 연산으로서 거듭제곱합니다.기본 단위에 필요한 지수 집합(특정 기본 단위가 존재하지 않는 경우 0의 거듭제곱)예를 들어 표준 $중력{\displaystyle }$g({$displaystyle$g})는${\displaystyle D{}^{}}$ / ${\displaystyle {}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$T$$- ${\displaystyle 2^{}}$({$displaystyle$ D$/T^{2$}=$D^{1}T^{-2$$})$의 $단위$를 가지므로 기본 거리 단위인 벡터$(1,$ -${\displaystyle 2}$)로 나타낸다.

여러 물리 방정식에 걸쳐 물리 단위를 일치시키는 것은 물리 단위 벡터 공간에 선형 구속조건을 부과하는 것으로 간주할 수 있다.

정식 증명

n개의$$\$displaystyle$n차원$$ $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle q_{}}$n \ $displaystyle q _$ {$1$} , \ldots ,$q$_ {$n$ }$$ (물리 치수 포함)의 $시스템이$k$$ n$$ \ $displaystyle$k$$\ $times$n $행렬{\displaystyle }$ M$${ $displaystyle{\displaystyle }$ m$$} ( k\$displ$)입니다${\displaystyle .}$$aystyle$ k$$행은$$ 기본 치수이며 ${\displaystyle \mathrm{n개}}$의$컬럼$은 변수의 $치수$입니다.$여기$서 1${\displaystyle \mathrm{display}}$ i${\displaystyle \mathrm{display}}$ k$$$display$ 1 \ $leq$i \ leq k ${\displaystyle \mathrm{display}}$ 1 display 1${\displaystyle }$display j$$display n $display$ $style$$$$1{\displaystyle }$ \$leq n$$）$ $。$j$${\$displaystyle$ j$}$ 변수에 tal dimension을 입력합니다.매트릭스는 가변 수량의 치수를 조합하여 이 제품의 치수를 기본 치수로 나타내는 것으로 해석할 수 있습니다.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$k × 1$(열$) 벡터는 $곱셈$을 통해 얻을 수 있습니다$.$

단위로 구성되다$k{\displaystyle }$ \ $displaystyle$ k$$ententbasisbasis$$ （ ^{[note 2]})) ） 。

무차원 변수는 모든 기본 치수가 0제곱(기본 치수에 대한 벡터 공간의 0 벡터)까지 상승하는 양입니다.무차원 변수는 이 매트릭스의 ${\displaystyle \mathrm{커널}}$ ker$$†^{[note 2]} M(\$displaystyle \ker$ M$)$에 속하는 벡터입니다.

rank-display$$정리에 따르면 k\$displaystyle$$$$k$의 $선형$ 독립 $차원$(행렬의 순위는 기본 차원 수)에 n개의 벡터($열$$)$의 시스템은 p${\displaystyle =n}$ ${\displaystyle -}$$k-dim$$(Ker$ M$)$을 $만족$시키는 $nully{\displaystyle }$ p$=$dim($ker$을 남긴다$.$} 여기서$$ null은 무차원으로 선택할 수 있는 외부 치수 수입니다$.$

무차원 변수는 항상 (분모를 지움으로써) 치수 변수의 정수 조합으로 간주할 수 있습니다.수학적으로 차원 없는 변수의 자연스러운 선택은 없습니다. 차원 없는 변수의 일부 선택은 물리적으로 더 의미가 있으며, 이상적으로 사용되는 것입니다.

국제 단위계는 k ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ k$=7)$의 기본 단위를 $정의$하며, 이 기본 단위는 암페어, 켈빈, 초, 미터, 킬로그램, 칸델라 및 몰입니다.치수 분석 기법을 개선하기 위해 추가 기본 단위와 기술을 도입하는 것이 때로는 유리합니다.(방향 분석 및 참조 참조).^[8]

예

속도

이 예는 기본적인 것이지만 절차를 보여주는 역할을 합니다.

자동차가 시속 100km로 달리고 있다고 가정하면, 200km까지 가는데 얼마나 걸립니까?

이 질문에서는 n ${\displaystyle =}$ $({$$displaystyle$ n$=3$) 차원$$ 변수$거리$${\displaystyle }$d, {displaystyle d$,$ $time$ t$},$$${$displaystyle$ t$,}$ 및$$ $속도{\displaystyle }$v$,$ {$displaystyle$ v$,})$를 $고려$하며, $t{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle \mathrm{지속}}$ 시간 ${\displaystyle (}$ ($)$ .$${$displaystyle$ t=\$opername {Duration}$ ($v,$ display, d$$) 형식의 법칙을 찾고 있습니다.} 이$$ 변수들은 k$=$ $2$(\$displaystyle k=$2$$} 치수: $시간{\displaystyle }$ 치수$T$(\$displaystyle$ T$$$)$ 및 $거리{\displaystyle }$ 치수$$D(\$displaystyle$ D$.)$의 기준을 허용하므로 p${\displaystyle =}$ ${\displaystyle n}$ - k${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 3}$ - 2$=$ $1$(\$displaystyle$p= $n-k= 3-2 =$ 1$$) 차원 없는 양이 $있습니다{\displaystyle }$$.$

차원 행렬은

행은 기본 $치수{\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$와 T$(\displaystyle$ T$,)$에 대응하고 열은 고려 $치수{\displaystyle }$D, $(\displaystyle$ D,$T,$ {\$text{$및$})$에 대응하며$,$ 여기서 후자는 속도 치수를 나타냅니다.매트릭스의 요소는 각 치수가 상승되는 검정력에 해당합니다.예를 들어 세 번째${\displaystyle }$열(${\displaystyle 1,}$ - 1${\displaystyle ),}$ ${{displaystyle(1,-1),}$은(는) V ${\displaystyle =}$ $D$ 0 ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle$ V$=D^{0}$임을 $나타냅니다{\displaystyle }$.$열$ $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1]}$ ,$${\$displaystyle \mathbf {v}$ $=$ [$0$ ,$0$ , $1$${\displaystyle ]}$ , {\$displaystyle$V$^{1}$로 표현되는${\displaystyle {}^{}}$T$^{$${\displaystyle 0^{}}$$}V^{$1}는 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 치수로 ${\displaystyle {표현}^{}}$될 수 있다.$}$

무차원 상수 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {D{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{a\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {T{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{a\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}{}^{}}$ V ${\displaystyle {{a\mathrm{}}_{}}^{}}$3 ,$${\$displaystyle \pi$=$D^{a_{1}}$$T^{a_{2}}V^{$${\displaystyle {a\_\mathrm{}}_{}}$$3}},$ ${\displaystyle {}_{}}$ $적분$ ${\displaystyle M}$이${\displaystyle \mathrm{0인}}$ ${\displaystyle \mathrm{벡터}}{\displaystyle }$a$=[1$a$, 3]$ {$displaystyle$ \$mathbf {a}$=[$a_${1}, $a_{2}, a_{3$$}}}}$를 찾습니다.선형대수에서$$ 이 성질을 가진 벡터 집합을 차원행렬의 커널(또는 늘스페이스)이라고 한다$.$이 경우 커널은 1차원입니다.위에서 기술한 치수 행렬은 축소행 echelon 형식으로 되어 있기 때문에 0이 아닌 커널 벡터를 곱셈 상수 내로 읽어낼 수 있습니다.

차원 행렬이 아직 축소되지 않았다면, 더 쉽게 커널을 결정하기 위해 차원 행렬에서 가우스-요르단 제거를 수행할 수 있었다.따라서 치수를 해당 치수 변수로 대체하는 무차원 상수가 다음과 같이 기록될 수 있다.

커널은 곱셈 상수 내에서만 정의되기 때문에 임의의 거듭제곱으로 상승된 위의 무차원 상수는 또 다른(등가) 무차원 상수를 산출합니다.

따라서 치수 분석은 세 가지 물리적 변수와 관련된 일반적인 방정식을 제공했다.

또는 C$(\displaystyle$ C$)$가 함수${\displaystyle }$F의 0을 나타내도록 하면 ${\displaystyle$ F$,}$ 원하는 형식(회수: $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{Duration}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle v}$,${\displaystyle d}$) { $displaystyle$ t = \$operatorname {Duration$} ($v$ ,$d$ )$$） 。

이$$ 세 변수 간의 실제 관계는 $단순히{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle v}$t$$. { $displaystyle$ d $= precision$ . } 즉, 이 $경우{\displaystyle }$ F$(\displaystyle$ F$)$는 물리적으로 관련된 하나의 루트를 가지며, 그것은 통일성입니다.C$(\displaystyle$ C$)$의 단일 값만 사용할 수 있고 1이라는 사실은 치수 해석 기법으로는 알 수 없다.

단순 진자

단순한 진자에서 작은 진동의 주기$$T(\$style$ T$)$를 결정하고 싶습니다.길이 $,$ $질량$ $,$ {$Displaystyle$ M$,}$ 및$$ 지구$$ $표면$의 중력에 의한 가속도 G,$${$Displaystyle$ g$,}$의 함수로 간주되며, 이 함수는 길이 치수를 시간 제곱으로 나눈 값이다.모델은 형식입니다.

(이것은 함수가 아닌 관계로서 작성됩니다.$(\displaystyle$ T$)$는 M${\displaystyle ,L}$ 및${\displaystyle g}$의 함수로 여기에 기재되어 있지 않습니다$.{$ $displaystyle$ M,$L,$ {\$text${$and$}}g .$\}$ )

이 방정식에는 k ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ k$=3)$의 기본적인$$ 물리적 치수가 $있습니다{\displaystyle }$. $시간{\displaystyle }$ t$,$ {\$displaystyle$ t$,$ {$style$ $m$$,}$ 및$$ 길이${\displaystyle }$θ, {displaystyle \$,}$ $및$ n ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ n$=4})$ 치수$$ 변수,$, M$ g$.{text}$입니다.$$ 따라서 p ${\displaystyle =n}$ - ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle =4}$ - ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ p$=n-k=4-3=1}$dimensionless$$ 파라미터만 $필요$합니다.이 파라미터는 $,,$ \$displaystyle \pi,$ 로$$ 표시됩니다.모델은 다음과 같이 재인식할 수 있습니다.

$여기$서 $"\displaystyle\pi"$는 에 의해 지정됩니다.${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$. { $displaystyle a$_ { $1 }$, a _ { $2 }$ , a $_${ 3 , a _ { $4$} $of{\displaystyle {}_{}}$ 。$}$

치수량의 치수는 다음과 같습니다.

치수 매트릭스는 다음과 같습니다.

(행은 $,$ m$,$ m$$,$,$ \$displaystyle$$\ell,$ \$displaystyle$, \${\displaystyle displaystyle}$ $, M, L,${\$text{ 및 }g$$.$ (예: 4번째 열${\displaystyle ,\mathrm{2번째}}$, 0$, 1).$$e$ g$}$ 변수의$$ 치수는 $t{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$1 입니다$.{$ $displaystyle$ t^ { - 2 } $m^$ { $0$} \ ell ^ {$$$1$ } 。$\}$$$)

$m${$displaystyle$$\mathbf {M}}$의 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$ 곱이 0$style$ 0$]$이 되는 커널 $벡터{\displaystyle }$ a$=$ [1$,$를 찾고 있습니다.} 위와$$ 같은 차원행렬은 축소행 echelon 형식이므로 곱셈 상수 내의 커널 벡터를 읽어낼 수 있습니다$.$

아직 축소되지 않았다면, 더 쉽게 커널을 결정하기 위해 차원 행렬에서 가우스-요르단 제거를 수행할 수 있었다.따라서 무차원 상수는 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

기본 용어:차원이 없는 거죠커널은 곱셈 상수 내에서만 정의되기 때문에 위의 무차원 상수가 임의의 거듭제곱으로 증가하면 또 다른 등가 무차원 상수가 생성됩니다.

이 예에서는 4차원 수량의 3개가 기본 단위이므로 마지막 수$(g\displaystyle$g)는 앞의 수량의 조합이어야 합니다.${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$$(\$$displaystyle a_{2})($$M$의 $계수{\displaystyle }$\$displaystyle$ M$)$가 0이 아닌 $경우{\displaystyle {}_{}}$ M$(\displaystyle$ M$)$ $값$을 취소할 수 $없으므로{\displaystyle {}_{}}$ 2$(\$는 0이어야 합니다.치수 분석을 통해 진자의 주기는 $M$의 함수가 아니라는 결론을 내릴 수 있습니다$.$ ($질량$, 시간 및 거리의 힘의 3차원 공간에서 질량에 대한 벡터는 다른 세 변수의 벡터와는 선형적으로 독립적이라고 할 수 있습니다$.)$스케일링 팩터까지 $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ + ${\displaystyle 2\stackrel{}{}}$ T ${\displaystyle \to }$ - ${\displaystyle L\stackrel{}{}}$ $→$ {{$displaystyle {vec {g}}+2vec {T}}-{\vec {L}}}}$은(는) 차원 없는 파라미터의 벡터를 구성하는 유일한 간단한 방법입니다.)

이제 모델은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

F$(\displaystyle$ F$)$의 0이 이산형이며 ${\displaystyle {C1\mathrm{}}_{}}$ $...,$ $C_{2},\ldots$로 $라벨$이 붙어 있다고 가정하면, $이$는 C${\displaystyle {}^{}}$$style$ ${$style $C_$${$1}, $C_${2$},\$ldots$$$})$에 대해 ${\displaystyle {}_{}}$ /$$ = C i(\$displaystyle$ GT$^{2}/L = C_i$})가 있음을 의미합니다.$0$은 C$,$ C, {\$displaystyle$$C$,},${\displaystyle {}^{}{g\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle T2}$ / L${\displaystyle =}$ $.$ {\$displaystyle gT^{2$}/$L=$C$$.} 실제로 0이 하나이고 상수가 실제로 C ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$display C}$에 $의해{\displaystyle }$ 주어진다는 것을 증명하려면 더 많은 물리적 통찰이나 실험이 필요합니다.$}$

진자의 큰 진동에서는 최대 흔들림 각도인 추가 무차원 파라미터에 의해 분석이 복잡해진다.위의 분석은 각도가 0에 가까워짐에 따라 적절한 근사치입니다.

기타 예

치수 해석의 예는 얇고, 고체이며, 평행한 면의 회전 디스크의 메커니즘에 대해 찾을 수 있다.두 개의 비차원 그룹으로 축소되는 5개의 변수가 관련됩니다.이들 사이의 관계는 예를 들어 유한 요소 ^[9]방법을 사용한 수치 실험을 통해 결정될 수 있다.

이 정리는 스포츠 ^[10]과학 등 물리학 이외의 분야에서도 사용되고 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 블라스트 웨이브
• 무차원수량
• 자연 단위
• 유사도(모델)
• 레이놀즈 수

레퍼런스

메모들

인용문

참고 문헌

원본 소스

외부 링크

• 파이 정리 및 유사성 이론에 대한 일부 리뷰와 원본 출처(러시아어)