기하학적 통합자

수치 보통 미분 방정식의 수학적 장에서 기하학적 통합자는 미분 방정식의 정확한 흐름의 기하학적 특성을 보존하는 수학적 방법이다.

진자의 예

우리는 진자의 움직임을 고려함으로써 기하학적 통합자들의 연구에 동기를 부여할 수 있다.

밥이 질량 ${\displaystyle \mathrm{m}}$= 1 ${\displaystyle m=1}$이고 막대가 길이가$$ = 1 $\{\backslash$$displaystyle \ell =1}$인 진자가 $있다고 가정$해 보십시오$.$ $중력$이${\displaystyle }$g = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=$1}. 수직에서 로드 각 ${\displaystyle \mathrm{변위}}$를${\displaystyle }q{\displaystyle }$( t ) {\$displaystysty q(t)$로 표시하십시오.${\displaystyle p}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle p(t)}$ 진자의$$ 운동량.그 체계의 해밀턴인은 운동 에너지와 전위 에너지의 총합이다.

${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$

해밀턴의 방정식들을 보면

${\dotstyle({\dot{q},{\dot{p}})=(p,-\sin q).\,}$

It is natural to take the configuration space ${\displaystyle Q}$ of all ${\displaystyle q}$ to be the unit circle ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, so that ${\displaystyle (q,p)}$ lies on the cylinder ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$. However, we will take${\displaystyle }($${\displaystyle q}$,${\displaystyle p}$ )${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 단순히${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle (q,p)$ -space가$$ 플롯하기 쉽기 때문이다.Define ${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$ and ${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$. Let us experiment by using some simple numerical methods to integrate this system.평소와 같이 일정한 단계 크기인 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ h$\}$을 선택하고 임의의 음이 아닌 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 $대해서$는 z ${\displaystyle :=z}$(${\displaystyle k}$ h${\displaystyle }$) ${\displaystyle z_{k}=z(kh)}$를 쓴다$.$ 우리는 다음과 같은 방법을 사용한다.

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$불확실한 오일러),

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle {\mathrm{z}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$불확실한 오일러),

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$증상 오일러),

${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{z}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$+ z ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\$중간점 규칙).

(동감형 오일러 방법은 q를 명시적 방법으로, $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$을(를) 암시적 오일러 방법으로 처리한다는 점에 유의하십시오.)

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 해밀턴 방정식의 솔루션 곡선을 따라 일정하다는$$ 관찰을 통해 시스템의 정확한 궤적을 설명할 수 있다. 이 ${\displaystyle {궤적}^{}}$은${\displaystyle {}^{}}$p ${\displaystyle 2}$/ 2 - ${\displaystyle \cos }$q의 레벨 곡선이다. p $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty p^{2}/2-cos q$ $우리$는 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 정확한 궤도를 표시한다.리즈와 시스템의 수치적 해결책.명시적 및 암묵적 오일러 방법의 $경우{\displaystyle \mathrm{h}}$= 0.2 ${\displaystyle h=$0.$2$ z₀ = (0.5, 0) 및 (1.5, 0)를 각각 취하며, 다른 두 방법의${\displaystyle \mathrm{경우}}$ h${\displaystyle }$= 0.3$${\$displaysty h=0$.3$\},$ z = (0, 0₀.7), (0, 1.4) 및 (0, 2.1)를 취한다.

명시적(resp. 암묵적) 오일러 방법은 원점에서 (resp. in)로 나선형이다.다른 두 가지 방법은 올바른 질적 행동을 보여주는데, 암묵적 중간점 규칙이 정확한 해법과 일치하여 동정적 오일러법보다 더 큰 수준으로 일치한다.

자유도가 1도인 해밀턴식 시스템의 정확한$$ 흐름 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은(는) 면적 보존이라는 점에서 기억하십시오.

${\displaystyle det}$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{{}_{}{\varphi \mathrm{}}_{}}}$ t $style$ (q $0$${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ p$$${\displaystyle \frac{}{}0}$ ) = 1 ${\displaystyle \det {\frac$ \\frac $\\pi_{t}{t$}{t}}{\$p_{0}}}}=$1}$모든$ $t{\displaystyle }$ ${\$displaystyty t$\}.$

이 공식은 손으로 쉽게 검증할 수 있다.진자 ${\displaystyle {\mathrm{예제}}_{}}$의 경우$$ 수치 흐름 eul e E ,${\displaystyle h_{}}$: z ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ z ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$+ 1 ${\$는 면적 보존이 아님을 알 수 있다.

${\displaystyle \det {\frac {\properties }{\put (q_{0},p_{0}}}}}\Phi _{{\mathrm {e} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}\cos q_{0}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$

결정요소가 있는 암묵적 오일러법에 대해서도 유사한 계산을 실시할 수 있다.

${\displaystyle \det {\frac {\properties }{\put (q_{0},p_{0}}}}}\Phi _{\mathrm {iE} }},h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1}^{-1}.}$

그러나, 동정적 오일러 방법은 면적 보존이다.

${\displaystyle {\pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}{\frac {\pmatrix}{\pmatrix}{p_{0}}}\Phi _{\mathrm {sE}}},h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix},}$

따라서 ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{E}}_{}}$, h / ${\displaystyle h_{}}$ /${\displaystyle {}_{}\partial \mathrm{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, p${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \det(\partial \Phi _{\mathrm {sE}}}}}, h}/\partial (q_{0},p_{0})=1$ 암묵적중점 규칙은 기하학적 특성이 유사하다.

요약하면: 진자의 예는 명시적이고 암묵적인 오일러 방법이 문제를 해결하기 위한 방법의 좋은 선택이 아닌 것 외에도, 공감적인 오일러 방법과 암묵적인 중간점 규칙은 시스템의 정확한 흐름과 잘 일치하며, 중간점 규칙은 보다 밀접하게 일치한다는 것을 보여준다.더욱이, 이 후자의 두 가지 방법은 정확한 흐름과 마찬가지로 면적을 보존하는 것이다; 그것들은 기하학적(사실상, 동일) 통합자들의 두 가지 예다.

이동 프레임 방식

이동 프레임 방식은 ODE의 Lie 대칭을 보존하는 수치적 방법을 구성하는 데 사용할 수 있으며, Runge-Kutta와 같은 기존 방법은 이동 프레임 방식으로 변형하여 불변 버전을 만들 수 있다.^[1]

참고 항목

• 에너지 드리프트
• 미메시스(수학)

참조

추가 읽기

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2002). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2.
• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7.
• Budd, C.J.; Piggott, M.D. (2003). "Geometric Integration and its Applications". Handbook of Numerical Analysis. Vol. 11. Elsevier. pp. 35–139. doi:10.1016/S1570-8659(02)11002-7.
• Kim, Pilwon (2007). "Invariantization of Numerical Schemes Using Moving Frames". BIT Numerical Mathematics. Vol. 47. Springer. pp. 525–546. doi:10.1007/s10543-007-0138-8.