밴드 매트릭스

수학, 특히 행렬 이론에서 밴드 매트릭스 또는 밴드 매트릭스는 0이 아닌 항목이 대각선 대역으로 제한되는 희소성 매트릭스로, 양쪽의 주 대각선과 0 이상의 대각선으로 구성된다.

밴드 매트릭스

대역폭

형식적으로, n×n 행렬 A=(a_i,j )를 고려한다. 모든 행렬 원소가 0인 경우, 범위는 상수 k와₁ k로₂ 결정되는 대각선 경계 대역 외부에 있는 경우:

${\displaystyle a_{i,j}=0\mbox{\f}\mbox{1}\mbox{\mbox{\n1}\mbox{\mbox{\mbox{\}\nmbox{\mbox} 또는 }\mbox j_i+k_{2};\c_{1},}$

그 다음 k와₁ k의₂ 양을 각각 낮은 대역폭과 높은 대역폭이라고 부른다.^[1] 매트릭스의 대역폭은₁ k와₂ k의 최대값이다. 즉, ${\displaystyle {}_{}}$-> ${\displaystyle a_$${i},j$$}=0}$인 경우 ${\displaystyle k_{}}$의 숫자다^[2]

예

• k₁ = k₂ = 0인 밴드 행렬은 대각 행렬이다.
• k₁ = k₂ = 1을 갖는 밴드 행렬은 삼지각 행렬이다.
• k₁ = k₂ = 2의 경우 1은 펜타디각 행렬 등을 가진다.
• 삼각 행렬
  • k₁ = 0, k₂ = n-1의 경우 상위 삼각 행렬의 정의를 얻음
  • 마찬가지로 k₁ = n-1, k₂ = 0의 경우 하위 삼각 행렬을 얻는다.
• 상하의 헤센베르크 행렬
• 대역폭이 제한된 경우 토우플리츠 행렬.
• 블록 대각 행렬
• 시프트 행렬 및 전단 행렬
• 요르단 정규 형식의 행렬
• "변수 밴드 행렬"이라고도 하는 스카이라인 행렬 - 밴드 행렬의 일반화
• Lehmer 행렬의 inverses는 일정한 3각형 행렬이며, 따라서 밴드 행렬이다.

적용들

수치해석에서는 유한요소나 유한차문제의 행렬이 띠를 이루는 경우가 많다. 이러한 행렬은 문제 변수들 간의 결합에 대한 설명으로 볼 수 있다. 대역 특성은 변수가 임의의 장거리에서 결합되지 않는다는 사실에 해당한다. 그러한 행렬은 더 세분화될 수 있다. 예를 들어, 밴드의 모든 요소가 0이 아닌 곳에 밴드 매트릭스가 존재한다. 이것들은 종종 일차원적인 문제들을 설명할 때 발생한다.^{[citation needed]}

또한 상위 차원의 문제는 밴드 매트릭스로 이어지며, 이 경우 밴드 자체도 희박한 경향이 있다. 예를 들어, 사각 영역의 부분 미분 방정식은 (중앙 차이 사용) 매트릭스 치수의 제곱근과 같은 대역폭을 갖는 매트릭스를 산출하지만, 밴드 내부에는 5개의 대각선만 0이 아니다. 불행히도 그러한 행렬에 가우스 제거(또는 동등하게 LU 분해)를 적용하면 밴드가 0이 아닌 많은 원소에 의해 채워지게 된다.

밴드창고

밴드 매트릭스는 대각선을 밴드에 저장함으로써 저장된다. 나머지는 암시적으로 0이다.

예를 들어, 3각형 행렬은 대역폭 1을 가지고 있다. 6x6 매트릭스

${\displaystyle{\begin{bmatrix}B_{11}&.B_{12}&, 0&, \cdots, \cdots & &, 0\\B_{21}&.B_{22}&.B_{23}&, \ddots, \ddots &, \vdots \\0& &.B_{32}&.B_{33}&.B_{34}&, \ddots, \vdots \\\vdots &, \ddots & &amp을 말한다.B_{43}&.B_{44}&.B_{45}&, 0\\\vdots, \ddots &, \ddots & &.B_{54}&.B_{55}&.B_{56}\\0&, \cdots, \cdots & &, 0&.B_{65}&.B_{66}\end{bmatrix}}}$

6-by-3 매트릭스로 저장됨

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{32}&B_{33}&B_{34}\B_{43}\B_{44}&B_{45}\\B_{54}&B_{55}&B_{56}\\B_{65}&B_{66}&0\end{bmatrix}}.}$

행렬이 대칭일 때 추가 저장이 가능하다. 예를 들어, 상위 대역폭이 2인 대칭 6x-6 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle {\bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&#0&\cdots &0\\&#&#&######################A_{22}&A_{23}&A_{24}&\dots&\\vdots \\\&A_{33}&A_{34}&A_{35}&0\&&&&&&&&#&#&#&#&#&#&##################################&A_{44}&A_{45}&A_{46}\\&sym&&&&>A_{55}&A_{56}\&&&&A_{66}\end{bmatrix}}.}$

이 매트릭스는 6-by-3 매트릭스로 저장된다.

${\displaystyle {\bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}&A_{24}\\A_{33}&A_{34}&A_{35}\\\A_{44}&A_{45}&A_{46}\\A_{55}&A_{56}&0\\\A_{66}&0&0\end{bmatrix}}.}$

희소 행렬의 밴드 형태

계산적 관점에서 밴드 매트릭스로 작업하는 것은 유사하게 차원화된 사각 매트릭스로 작업하는 것보다 항상 우선이다. 밴드 매트릭스는 행 치수가 밴드 매트릭스의 대역폭과 동일한 직사각형 매트릭스에 복잡하게 비유될 수 있다. 따라서 곱셈과 같은 작업을 수행하는 데 수반되는 작업이 현저하게 감소하여 종종 계산 시간과 복잡성의 측면에서 큰 절감으로 이어진다.

희소성 행렬은 컴퓨터 저장소의 보다 효율적인 활용뿐만 아니라 밀도가 높은 행렬보다 더 효율적인 계산에 도움이 되기 때문에, 행렬에 순열화 또는 그와 같은 동등성 또는 유사성 트랜스포(transfo)를 적용하여 대역폭을 최소화하는 방법(또는 직접 충만 최소화)을 찾는 데 많은 연구가 집중되어 왔다.양배추^[3]

커트힐-맥키 알고리즘은 희박한 대칭 행렬의 대역폭을 줄이는 데 사용될 수 있다. 그러나 역 커트힐-맥키 알고리즘이 더 잘 작동하는 행렬이 있다. 다른 많은 방법들이 사용되고 있다.

행과 열의 순열을 이용하여 최소한의 대역폭으로 행렬의 표현을 찾는 문제는 NP-hard이다.^[4]

참고 항목

• 대각 행렬
• 그래프 대역폭

메모들

참조

• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-62489-6.
• Davis, Timothy A. (2006), Direct Methods for Sparse Linear Systems, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-898716-13-9.
• Feige, Uriel (2000), "Coping with the NP-Hardness of the Graph Bandwidth Problem", Algorithm Theory - SWAT 2000, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1851, pp. 129–145, doi:10.1007/3-540-44985-X_2.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 2.4", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.

외부 링크

• LAPACK 및 밴드 매트릭스 관련 정보
• 밴드 매트릭스 및 기타 희소성 매트릭스 형식에 대한 자습서