순서수

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집합론에서 순서수(ordinary number) 또는 순서수(ordinary number)는 무한 집합으로 열거를 확장하기 위한 순서수(첫 번째, 두 번째, n번째 등)의 일반화입니다.^[1]

유한 집합은 각 원소에 이전에 사용되지 않은 최소 자연수를 연속적으로 라벨링하여 열거할 수 있습니다.이 과정을 다양한 무한 집합으로 확장하기 위해 서수는 일반적으로 자연수를 포함하고 모든 서수 집합이 최소 요소를 갖는 속성을 갖는 선형 순서 레이블로 정의됩니다(이것은 "가장 적게 사용되는 요소"에 의미를 부여하기 위해 필요합니다).^[2]이 보다 일반적인 정의를 통해 모든 자연수보다 큰 순서수 ω ${\displaystyle \omega }($오메가)를 정의할 수 있으며, ω ${\displaystyle$\$omega$$}$보다 큰 순서수 ω${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\omega +$1},$ω${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$\$omega$$+2}$등을 정의할 수 있습니다$.$

비어 있지 않은 모든 부분 집합이 최소 요소를 갖는 선형 순서를 웰-차라고 합니다.선택 공리는 모든 집합이 잘 정렬될 수 있음을 의미하며, 두 개의 잘 정렬된 집합이 주어지면 하나는 다른 집합의 초기 세그먼트와 동형입니다.따라서 순서수는 존재하며 본질적으로 고유합니다.

서수는 집합의 크기를 측정하는 기수와 구별됩니다.서수와 추기경의 구별이 유한 집합에서 항상 명확한 것은 아니지만(한 서수가 레이블을 세는 것만으로 한 서수에서 다른 서수로 이동할 수 있음), 무한 경우에는 매우 다릅니다.다른 종류의 숫자와 마찬가지로 서수는 덧셈, 곱셈, 지수화할 수 있지만, 이들 연산 중 어떤 것도 교환적이지 않습니다.

서수는 1883년 게오르크 칸토어가 무한 수열을 수용하고 유도된 집합을 분류하기 위해 도입한 것으로, 그는 이전에 삼각급수의 독특성을 연구하면서 1872년에^[3] 도입했습니다.^[4]

서수는 자연수를 확장합니다.

자연수(이 경우 0을 포함함)는 두 가지 목적으로 사용될 수 있습니다. 즉, 집합의 크기를 나타내거나 수열에서 요소의 위치를 나타내는데 사용될 수 있습니다.유한 집합으로 제한할 때, 유한 집합의 모든 선형 순서는 동형이기 때문에 이 두 개념은 일치합니다.

그러나 무한 집합을 다룰 때는 기수로 이어지는 크기의 개념과 여기에 설명된 순서수로 이어지는 위치의 개념을 구별해야 합니다.이것은 어떤 집합은 크기가 하나(그 카디널리티)에 불과하지만, 아래에 설명된 것처럼 무한 집합의 비동형 웰 순서가 많이 있기 때문입니다.

기수의 개념은 그 위에 특별한 구조가 없는 집합과 관련이 있는 반면, 서수는 질서정연하다고 불리는 특별한 종류의 집합과 밀접하게 연결되어 있습니다.잘 정렬된 집합은 비어 있지 않은 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 완전 순서 집합입니다(완전 순서 집합은 두 개의 서로 다른 원소가 주어졌을 때 하나가 다른 원소보다 작은 순서 집합입니다).이와 동일하게 종속 선택 공리를 가정하면 무한히 증가하는 시퀀스가 있을 수 있지만, 무한히 감소하는 시퀀스가 없는 완전 순서 집합입니다.순서형은 주어진 순서가 잘 배열된 집합의 요소(가장 작은 요소가 0, 그 다음 1, 그 다음 2, "등"으로 표시됨)에 라벨을 붙이고, 집합의 요소에 대한 라벨이 아닌 최소 순서형으로 전체 집합의 "길이"를 측정하는 데 사용될 수 있습니다.이 "길이"를 집합의 순서 유형이라고 합니다.

모든 서수는 앞에 오는 서수 집합에 의해 정의됩니다.사실 서수의 가장 일반적인 정의는 각 서수를 그 앞에 오는 서수의 집합으로 식별합니다.예를 들어, 서수 42는 일반적으로 {0, 1, 2, ..., 41} 집합으로 식별됩니다.반대로, S의 임의의 서수 α와 S의 임의의 서수 β < α, β 또한 S에 있음을 의미하는 아래로 닫힌 서수 S 집합은 서수(또는 동일시될 수 있음)입니다.

집합에 대한 서수의 정의는 무한 서수를 허용합니다.가장 작은 무한 서수는 ω ${\displaystyle \omega}$로$,$ 자연수 집합으로 식별할 수 있습니다(모든 자연수와 연관된 서수가 ω ${\displaystyle \omega}$ 앞에 오도록).실제로 자연수의 집합은 서수의 집합과 마찬가지로 순서가 잘 정해져 있으며, 아래로 닫혀 있기 때문에 그와 관련된 서수와 동일시될 수 있습니다.

아마도 서수의 더 명확한 직관은 그것들 중 처음 몇 개를 조사함으로써 형성될 수 있습니다: 위에서 언급한 것처럼, 그것들은 자연수, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...로 시작합니다.모든 자연수 뒤에 무한 서수, ω가 나오고 그 뒤에 ω+1, ω+2, ω+3 등이 나옵니다. (추후에 정의될 덧셈의 의미는 정확히 무엇인지: 그냥 이름으로 생각하세요.)이 모든 것들이 ω·2(ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 등이 나온 후, ω·3, 그리고 나중에 ω·4 등이 나옵니다.이제 이렇게 형성된 서수 집합(m과 n은 자연수인 ω·m+n)은 그 자체가 서수와 연관되어 있어야 합니다. 그것이 ω입니다.그 외에도 ω, ω 등이 있고, ω, ω, 나중에 ε, 그리고 나중에 ω(epsilon nough)가 있습니다(상대적으로 작은, 셀 수 있는, 서수형의 몇 가지 예를 들겠습니다).이것은 무한히 계속될 수 있습니다. 서수를 열거할 때 "등"이라고 말할 때마다 더 큰 서수를 정의합니다.셀 수 없는 가장 작은 서수는 ω 또는 ω ${\displaystyle \Omega$}(으$)$로 표현되는 모든 서수의 집합입니다$.$

정의들

잘 정돈된 집합

순서가 잘 정렬된 집합에서 비어 있지 않은 모든 부분 집합은 서로 다른 최소 요소를 포함합니다.종속 선택 공리를 고려할 때, 이것은 집합이 완전히 순서화되어 있고 무한 감소 순서가 없다는 것과 같습니다( 후자는 시각화하기에 더 쉽습니다).실제로, 좋은 순서의 중요성은 본질적으로 원소의 전신에서 그 원소 자체로 전달되는 어떤 성질도 (주어진 잘 순서된 집합의) 모든 원소에 대해 참이어야 한다는 트랜스피니트 귀납법의 적용 가능성에 의해 정당화됩니다.계산(컴퓨터 프로그램 또는 게임)의 상태를 잘 정렬할 수 있는 경우(각 단계가 "낮은" 단계로 이어지도록) 계산이 종료됩니다.

만약 첫 번째 집합의 원소가 첫 번째 집합의 원소보다 작은 경우 첫 번째 집합의 원소와 두 번째 집합의 원소를 짝지을 수 있다면, 첫 번째 원소의 상대가 두 번째 집합의 원소보다 작은 경우, 첫 번째 원소의 상대가 두 번째 집합의 원소보다 작은 경우, 두 번째 집합의 원소와 짝지을 수 있다면, 두 번째 집합의 원소가 두 번째 집합의 원소와 짝지을 수 있다면,두 번째 집합에서 두 번째 원소의 파트너, 그리고 그 반대의 경우.이와 같은 일대일 대응을 차수 동형이라고 하며, 잘 정렬된 두 집합은 차수 동형 또는 유사하다고 합니다(이것이 동치 관계라는 것을 이해하면서).

형식적으로, 부분 순서 ≤가 집합 S에 정의되고 부분 순서 ≤'가 집합 S'에 정의되면, 양집합 (S,≤)과 (S',≤')는 순서를 보존하는 사영 f가 존재하면 동형입니다.즉, a ≤ b인 경우에만 f(a) ≤ ' f(b)입니다. 잘 정렬된 두 집합 사이에 순서 동형이 존재한다면, 순서 동형은 유일합니다. 이것은 두 집합을 본질적으로 동일하다고 간주하고 동형 유형(클래스)을 대표하는 "정통적"인 것을 찾는 것을 꽤 정당화합니다.이것이 바로 서수가 제공하는 것이며, 또한 잘 정렬된 집합의 요소에 대한 표준 라벨링을 제공합니다.순서가 잘 정렬된 모든 집합(S,<)은 자연 순서 하에서 하나의 특정 순서수 미만의 순서수 집합과 동형입니다.이 표준 집합은 (S,<)의 순서 유형입니다.

기본적으로 순서형은 잘 정렬된 집합의 동형 클래스로 정의됩니다. 즉, "순서-동형인 것"의 동형 관계에 대한 동형 클래스로 정의됩니다.그러나 동등성 클래스가 너무 커서 집합 이론의 일반적인 Zermelo-Frankel(ZF) 형식화에서 집합이 될 수 없다는 사실에 관련된 기술적 문제가 있습니다.하지만 이것은 심각한 문제가 아닙니다.서수는 클래스의 모든 집합의 순서 유형이라고 할 수 있습니다.

서수를 동치 클래스로 정의

예를 들어, 순서수의 원래 정의는 순서수의 순서형을 그 순서수와 유사한 모든 순서수의 집합으로 정의합니다. 즉, 순서수는 실제로 순서수 집합의 동치 클래스입니다.이 정의는 ZF와 공리적 집합론의 관련 시스템에서 포기되어야 합니다. 왜냐하면 이 동치 클래스들은 집합을 형성하기에는 너무 크기 때문입니다.그러나 이 정의는 여전히 유형 이론과 퀸의 공리 집합 이론인 뉴 파운데이션과 관련 시스템에서 사용될 수 있습니다(가장 큰 순서의 부랄리-포르티 역설에 대한 다소 놀라운 대안적인 해결책을 제공합니다.

폰 노이만 서수의 정의

최초의 폰 노이만 서수

0	=	{}	=	∅
1	=	{0}	=	{∅}
2	=	{0,1}	=	{∅,{∅}}
3	=	{0,1,2}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}}}
4	=	{0,1,2,3}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

순서형을 잘 정렬된 집합의 동등성 클래스로 정의하는 것이 아니라, (정통적으로) 클래스를 나타내는 특정 잘 정렬된 집합으로 정의할 것입니다.따라서 순서수는 잘 정렬된 집합이 되고, 잘 정렬된 모든 집합은 정확히 하나의 순서수와 동형이 됩니다.

순서가 잘 정렬된 각 집합 T에 ↦ < {\$displaystyle$ a$\mapsto$T_{<$a}}$는 T와 포함에 의해 순서가 정렬된 형태 < a :={ ∈ ∣ x< ${\displaystyle T_{a$:=\{$x\in T\mid x<a\}}$의 모든 부분 집합 사이의 순서 동형을 정의합니다.이것은 존 폰 노이만이 19세에 제안한 표준 정의에 대한 동기를 부여하며, 현재 폰 노이만 서수의 정의라고 불리는 표준 정의: "각 서수는 모든 작은 서수들의 잘 정렬된 집합입니다."기호에서 λ =${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$λ${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\lambda =[$0,\$lambda $)}$ $.$ 형식:

집합 S는 집합 멤버쉽과 관련하여 S가 엄밀하게 잘 정렬되어 있고 S의 모든 원소가 S의 부분 집합일 경우에만 서수입니다.

따라서 자연수는 이 정의에 따라 서수입니다.예를 들어 2는 4 = {0, 1, 2, 3}의 요소이며 2는 {0, 1}과 같으므로 {0, 1, 2, 3}의 부분 집합입니다.

순서가 잘 된 모든 집합은 이 서수들 중 하나와 정확히 동형이라는 것을 초 유한 귀납법으로 보여줄 수 있습니다. 즉, 그들 사이에 쌍사 함수를 보존하는 순서가 있다는 것입니다.

게다가, 모든 서수의 요소들은 그 자체로 서수입니다.두 개의 서수형 S와 T가 주어졌을 때, S는 T의 원소이고 S가 T의 적절한 부분 집합인 경우에만 해당합니다.또한, S가 T의 원소이거나, T가 S의 원소이거나, 또는 그들은 같습니다.그래서 모든 서수 세트는 완전히 순서가 정해져 있습니다.게다가, 모든 서수 세트는 질서정연합니다.이것은 모든 자연수 집합이 잘 정렬되어 있다는 사실을 일반화합니다.

따라서, 모든 서수 S는 정확히 S보다 작은 서수를 원소로 갖는 집합입니다.예를 들어, 모든 서수 집합에는 집합의 모든 서수 집합의 합을 취한 서수 집합인 상위 집합이 있습니다.이 결합은 집합의 크기에 관계없이 결합의 공리에 의해 존재합니다.

모든 서수의 클래스가 집합이 아닙니다.그것이 세트라면, 누군가는 그것이 서품이고 따라서 그 자신의 멤버라는 것을 보여줄 수 있을 것이고, 이것은 그것의 멤버쉽에 의한 엄격한 명령과 모순될 것입니다.이것이 부랄리-포르티 역설입니다.모든 서수의 클래스는 "Ord", "ON" 또는 "∞"로 다양하게 불립니다.

순서수는 순서가 반대인 경우에만 유한하며, 비어 있지 않은 부분 집합이 각각 최대값을 갖는 경우에만 유한합니다.

기타정의

서수의 정의에는 다른 현대적인 공식들이 있습니다.예를 들어, 정규성 공리를 가정할 때, 집합 x에 대해 다음은 동치입니다.

• x는 (폰 노이만) 서수형이고,
• x는 경과집합이고, 집합 멤버쉽은 x에 대하여 삼차집합이고,
• x는 집합 포함에 의해 완전히 순서화된 추이적 집합이며,
• x는 추이적 집합들의 추이적 집합입니다.

이러한 정의는 근거가 없는 집합 이론에서는 사용할 수 없습니다.요소가 있는 집합 이론에서, 사람은 그 정의가 서수에 나타나는 요소를 배제하는 것을 더 확실하게 해야 합니다.

트랜스피니트 수열

만약 α가 임의의 순서형이고 X가 집합이면, X의 원소들의 α 지수화된 수열은 α에서 X까지의 함수입니다.이 개념은 트랜스피니트 수열(α가 무한인 경우) 또는 순서형 색인 수열로, 수열의 개념을 일반화한 것입니다.일반적인 수열은 대소문자 α = ω에 해당하는 반면 유한한 α는 튜플, 일명 문자열에 해당합니다.

트랜스피니트 유도

트랜스피니트 인덕션은 순서가 잘 맞는 모든 집합에서 성립하지만 서수와 관련하여 매우 중요하기 때문에 여기서 다시 언급할 가치가 있습니다.

주어진 서수 α보다 작은 서수 집합에서 α 자체로 전달되는 속성은 모든 서수에 대해 참입니다.

즉, 모든 β < α에 대하여 P(β)가 참일 때마다 P(α)가 참이라면, P(α)는 모든 α에 대하여 참입니다.또는 보다 실질적으로: 모든 서수 α에 대해 속성 P를 증명하기 위해 모든 작은 β < α에 대해 이미 알려져 있다고 가정할 수 있습니다.

초무한 재귀

트랜스피니트 유도는 사물을 증명할 뿐만 아니라 정의하는 데에도 사용될 수 있습니다.이러한 정의는 일반적으로 트랜스피니트 재귀(transfinite recursion)라고 합니다. 결과가 잘 정의되었다는 증거는 트랜스피니트 유도를 사용합니다.F를 서수에 정의될 (등급) 함수 F를 나타내도록 합니다.이제 F(α)를 특정되지 않은 순서 α에 대해 정의할 때 F(β)가 모든 β < α에 대해 이미 정의되었다고 가정할 수 있으며 따라서 이러한 F(β)의 관점에서 F(α)에 대한 공식을 제공할 수 있습니다.그런 다음 트랜스피니트 유도를 통해 α까지 재귀 공식을 만족시키는 함수가 하나뿐이라는 것을 알 수 있습니다.

서수에 대한 트랜스피니트 재귀에 의한 정의의 예는 다음과 같습니다. F(α)를 집합 {F(β) β < α}, 즉 β < α에 대한 모든 F(β)로 구성된 집합이 아닌 가장 작은 서수가 되도록 하여 함수 F를 정의합니다.이 정의는 F를 정의하는 바로 그 과정에서 알려진 F(β)를 가정합니다. 이 명백한 악순환은 정확히 트랜스피니트 재귀에 의한 정의가 허용하는 것입니다.사실, F(0)는 정상적인 β < 0이 없고, 집합 {F(β) β < 0}은 비어 있으므로 의미가 있습니다.따라서 F(0)는 0(전체 순서 중 가장 작은 순서)과 같습니다.이제 F(0)이 알려졌으므로 F(1)에 적용된 정의는 타당합니다(단일톤 집합 {F(0)} = {0}에 없는 가장 작은 서수입니다). 등이 정확하게 트랜스피니트 유도입니다.이 예는 트랜스피니트 유도에 의해 정확하게 보여질 수 있는 모든 서수 α에 대해 F(α) = α이기 때문에 그다지 흥미롭지 않은 것으로 밝혀졌습니다.

후계자 및 한계 서수

0이 아닌 서수는 최소 요소인 0을 갖습니다.최대 요소를 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있습니다.예를 들어 42는 최대 41이고 ω+6은 최대 ω+5입니다.반면에 ω은 자연수가 가장 많기 때문에 최대치가 없습니다.만약 서수가 최대 α를 가지면, 그것은 α 다음의 서수이며, 그것은 계승 서수, 즉 α+1로 쓰여진 α의 계승이라고 불립니다.서수의 폰 노이만 정의에서, α의 후속은 $\alpha$ ∪${\displaystyle }${${\displaystyle \alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$이며, 그 원소는 α와 α 자체의 원소이기 때문입니다.

계승자가 아닌 0이 아닌 서수를 제한 서수라고 합니다.이 항에 대한 한 가지 이유는 한계 서수가 모든 작은 서수(차위 위상 아래)의 위상학적 의미의 한계라는 것입니다.

ι ι <⟨ {\$displaystyle \langle \alpha$ _${\iota } \iota <\gamma \rangle }$이(가) 순서 색인 수열로, 한계 γ ${\displaystyle \gamma }$에 의해 색인화되며, 수열이 증가하는 것, 즉 ι ${\displaystyle \alpha _{\iota }<\alpha$ _${\rho }$를ι할 때마다α ρ ${\displaystyle \iota <\rho }$의 한계는 최소 상한 o로 정의됩니다.집합{ ι ι <γ ${\displaystyle \{\alpha _{\iota } \iota <\$gamma $\},$ 즉 수열의 어떤 항보다 큰 가장 작은 순서형입니다.이런 의미에서, 극한 서수는 모든 작은 서수들의 극한(자체 색인화)입니다.좀 더 직접적으로 말하면, 이것은 작은 서수 집합의 최상급입니다.

극한 서수를 정의하는 또 다른 방법은 α가 다음과 같은 경우에만 극한 서수라고 하는 것입니다.

α보다 작은 서수가 있고 ζ가 α보다 작은 서수일 때마다 ζ < ξ < α와 같은 서수 ξ이 존재합니다.

그래서 다음 순서대로.

0, 1, 2, ..., ω, ω+1

ω는 어떤 작은 서수(이 예제에서는 자연수)에 대해서도 그보다 크지만 여전히 ω보다 작은 다른 서수(자연수)가 있기 때문에 한계 서수입니다.

따라서 모든 서수는 0이거나, (잘 정의된 이전의) 계승자이거나, 한계입니다.이 구별은 매우 중요한데, 이는 트랜스피니트 재귀에 의한 많은 정의들이 이에 의존하기 때문입니다.함수 F를 모든 서수에 대해 트랜스피니트 재귀에 의해 정의할 때 F(0)를 정의하고 F(α+1)를 가정하여 F(α+1)를 정의한 다음, 극한 서수 δ에 대해 모든 β<δ에 대한 F(β)의 극한으로 F(δ)를 정의하는 경우가 많습니다(앞에서 설명한 바와 같이 서수 극한의 의미에서,또는 F가 순서값을 취하지 않는 경우 어떤 다른 제한 개념에 대해).따라서 정의에서 흥미로운 단계는 한계 서수가 아니라 후속 단계입니다.이러한 함수(특히 F가 감소하지 않고 순서값을 취하는 경우)를 연속 함수라고 합니다.순서적인 덧셈, 곱셈과 지수화는 두 번째 인수의 함수로서 연속적입니다(그러나 비재귀적으로 정의될 수 있습니다).

서수형의 색인 클래스

순서가 잘 짜여진 모든 집합은 고유한 $순서수{\displaystyle }$ α$${\$displaystyle$$$\$alpha$$}$와 유사합니다$.$ 즉, 그 $원소들$은$$α {\$displaystyle$ \$alpha$}보다 작은 순서수에 의해 증가하는 방식으로 색인화될 수 있습니다$.$ 이것은 특히 모든 순서수 집합에 적용됩니다. 임의의 순서수 집합은 일부보다 작은 순서수에 의해 자연스럽게 색인화됩니다.${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha$ 약간의 수정을 통해 서수의 클래스(집합을 형성하기에는 너무 큰 서수의 집합, 일부 속성으로 정의됨)에 대한 동일한 유지: 모든 서수의 클래스는 서수로 색인화될 수 있습니다(그리고 클래스가 모든 서수의 클래스에서 경계가 정해져 있지 않을 때,이는 모든 서수의 클래스와 클래스-비반의 관계에 놓이게 됩니다.따라서 γ ${\displaystyle \gamma}$ - 클래스의 요소("0번째"가 가장 작고, "1번째"가 그 다음으로 작다는 관례에 따라)를 자유롭게 말할 수 있습니다.형식적으로, 정의는 트랜스피니트 귀납법에 의해 이루어집니다. 클래스의 γ ${\displaystyle \gamma}$ -th 요소가 정의되었습니다(이미 모든 <γ ${\displaystyle \beta <\$$gamma$}에 대해 정의된 경우). β <γ ${\displaystyle \beta$$$<\gamma$}$ -th 요소보다 큰 가장 작은 요소로 정의되었습니다

이것은 예를 들어 극한 서수 클래스에 적용될 수 있습니다. γ ${\displaystyle \gamma}$ - 서수, 즉 극한 또는 0은 ω ⋅ γ ${\displaystyle \cdot \gamma}$입니다(서수의 곱셈 정의는 서수 산술 참조).마찬가지로 분해 불가능한 서수(엄밀하게 더 작은 서수 두 개의 합이 아닌 0이 아닌 서수를 의미함)를 추가적으로 고려할 수 있습니다. γ ${\displaystyle \gamma}$ - 추가적으로 분해 불가능한 서수는 ω γ$${\$displaystyle \omega$^{\$gamma}}$로 색인화됩니다$.$서수 클래스 색인 기법은 고정된 점의 맥락에서 종종 유용합니다. 예를 들어$$ω α${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \alpha }$ {\$displaystyle$\gamma } - $서수$ α ${\displaystyle \alpha}$를 ε γ α = ${\displaystyle \omega^{\alpha$} \\$alpha$}이(가$)$ 쓰여진$$gamma {\displaystyle $\varepsilon$ _${\$γ}}입니다$.$이들을 "엡실론 수"라고 부릅니다.

닫힌 경계 없는 집합 및 클래스

서수의 클래스$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 임의의 $서수{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha}$가 주어졌을 때$,$ C$${\$displaystyle C}$에 α< {\$displaystyle \alpha }($그러면 클래스는 올바른 클래스여야 함, 즉 집합이 될 수 없음)가$$ 있는 β$${\$displaystyle$\$beta$ $}$가 있습니다.클래스에 있는 서수열의 극한이 다시 클래스에 있을 때 닫혀 있다고 합니다. 또는 δ ${\displaystyle \delta }$에 대해 $한계$ 서수, $F{\displaystyle (}$ δ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F(\delta )}($클래스의 δ$${\$displaystyle \delta$} - 서수)가 연속일 때 이 함수는 닫혀 있다고 합니다.γ <δ ${\displaystyle$ \$gamma$ $<\delta$ }에 $대한$ 모든F(γ) ${\displaystyle$ F$(\$$gamma )}$의 극한.이는 위상수학적인 의미에서 차수 토폴로지에 대해 닫힌 것과 같습니다(적절한 클래스에 대해 위상을 말하지 않기 위해, 어떤 주어진 순서를 가진 클래스의 교차점이 닫힌 것을 요구할 수 있습니다).dinal, 이것은 다시 동치입니다).

특히 중요한 것은 폐쇄적이고 무한한 서수의 부류이며, 때로는 곤봉이라고도 합니다.예를 들어, 모든 극한 서수의 클래스는 닫혀 있고 무한합니다. 이것은 주어진 서수보다 큰 극한 서수가 항상 존재하고, 극한 서수가 극한 서수라는 사실을 번역합니다(용어가 조금이라도 의미가 있다면 다행스러운 사실!).추가적으로 분해할 수 없는 서수들의 클래스 또는 ε ⋅ $displaystyle \varepsilon$ _${\cdot}}$ 서수들의 클래스 또는 추기경들의 클래스는 모두 무한히 닫혀 있습니다. 그러나 정규 추기경의 집합은 무한하지만 닫혀 있지 않으며, 서수들의 유한 집합은 닫혀 있지만 무한하지 않습니다.

클래스에 모든 닫힌 경계가 없는 클래스와 비어 있지 않은 교집합이 있는 경우 클래스는 정지 상태입니다.닫힌 경계가 없는 클래스의 모든 슈퍼 클래스는 정지 클래스이며 정지 클래스는 경계가 없지만 닫히지 않는 정지 클래스와 닫힌 경계가 없는 하위 클래스가 있습니다(예: 카운트 가능한 공선성을 가진 모든 한계 서수의 클래스).두 개의 닫힌 경계 없는 클래스의 교집합은 닫힌 경계 없는 클래스이기 때문에 정지 클래스와 닫힌 경계 없는 클래스의 교집합은 정지합니다.그러나 두 정지 클래스의 교집합은 비어 있을 수 있습니다. 예를 들어 공칭성이 ω인 서수 클래스와 셀 수 없는 공칭성이 있는 서수 클래스.

서수의 (적절한) 등급에 대한 이러한 정의를 공식화하기 보다는,주어진 $서수형{\displaystyle }$ α ${\displaystyle$$$\$alpha}$ 아래의 서수형 집합에 대해 공식화할 수 있습니다$.$ $제한{\displaystyle }$ 서수형$α$ {\$displaystyle$ \alpha}의 $부분{\displaystyle }$ 집합은$α$ {\$displaystyle$ \alpha}보다 작은 서수형이 $집합$$$ 내의 일부 서수형보다 작으면 α {\displaystyle \$alpha$$}$ 아래에서 무한(또는 공준)이라고 합니다$$.보다 일반적으로, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$보다 작은 모든 서수가 집합의 일부 서수보다 작거나$$ 같으면 α ${\displaystyle \alpha}$의$$서수 $부분{\displaystyle }$ 집합을 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$displaystyle $\alpha$} 코파이널이라고$$ 부를 수 있습니다.부분 집합은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$의 순서 위상에 대해 닫혀 있거나$,$ 즉 집합의 서수의 $한계$가 α$${\$displaystyle \alpha}$ 자체에$$ 있거나 같은 경우$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\$displaystyle $\alpha}$에서 닫혀 있다고 합니다.

서수 연산

서수에는 덧셈, 곱셈 및 (서수) 지수화의 세 가지 일반적인 연산이 있습니다.각각은 기본적으로 두 가지 다른 방식으로 정의될 수 있습니다. 즉, 작업을 나타내는 명시적인 잘 정렬된 집합을 구성하거나 트랜스피니트 재귀를 사용하는 것입니다.Cantor normal 양식은 표준화된 방식의 서수를 제공합니다.각 서수는 ω의 서수 거듭제곱의 유한한 합으로 고유하게 표현됩니다.그러나 이는 ω= ε 와 같은 자기 refe 우선 표현으로 인해 보편적 순서 표기법의 기초를 형성할 수 없습니다.소위 "자연적인" 산술 연산은 연속성을 희생시키면서 교환성을 유지합니다.

님버(게임 이론적인 숫자의 변형)로 해석되는 서수 또한 님버 산술 연산의 대상이 됩니다.

서수와 추기경

추기경 서임식

각각의 서수는 하나의 서수와 연관되는데, 그 서수는 그 서수와 연관됩니다.두 서수(예: ω = 1 + ω 및 ω + 1 > ω) 사이에 돌출부가 있는 경우 동일한 서수와 연관됩니다.순서형을 순서형으로 갖는 순서형 집합은 해당 순서형과 같은 순서형을 갖습니다.주어진 기수와 관련된 가장 작은 서수를 해당 기수의 첫 번째 서수라고 합니다.모든 유한 서수(자연수)는 초기이며, 다른 서수는 그 기수와 연관되지 않습니다.그러나 많은 무한 서수들이 같은 기수와 연관되기 때문에 대부분의 무한 서수들은 초기적이지 않습니다.선택 공리는 모든 집합이 잘 정렬될 수 있다는 문장, 즉 모든 기수가 첫 순서를 갖는다는 문장과 같습니다.선택 공리를 갖는 이론에서, 임의의 집합의 기수는 초기 순서를 가지며, 폰 노이만 기수를 기수의 표현으로 사용할 수 있습니다.(그러나 그렇다면 기본 산술과 순서 산술을 구별하는 데 주의해야 합니다.)선택 공리가 없는 집합론에서, 기수는 최소 순위를 갖는 기수를 갖는 집합들로 표현될 수 있습니다.

Scott의 트릭의 한 가지 문제는 {$$∅ } ${\displaystyle \{\emptyset \}}$인 기수 0 {\$displaystyle 0}$을(를) 식별한다는 것입니다$.$ 이 $숫자$는 일부 공식에서 순서 $1$ ${\displaystyle 1}$입니다$.$폰 노이만 기수 할당을 유한한 경우에 적용하고 순서가 무한하거나 순서를 잘 인정하지 않는 집합에 대해 스콧의 트릭을 사용하는 것이 더 명확할 수 있습니다.기수와 서수 산술은 유한한 수에 대해 일치한다는 것에 유의하십시오.

α번째 무한 초기 서수는 ω ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \omega_{\alpha}}$로 표기되며$,$ 항상 한계 서수입니다.해당 카디널리티는 쓰기 ℵ α ${\displaystyle \aleph _{\alpha}}$입니다$.$ 예를 들어, ω = ω의 카디널리티는 ℵ 0$${\$displaystyle \aleph$ _${0}$이며$,$ 이는 ω 또는 ε(모두 셀 수 있는 서수)의 카디널리티이기도 합니다.따라서 추기경 $작성$ 시 ℵ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}},$ 서수 작성 시 ω 0 ${\$displaystyle \aleph _{0}}를 사용하는 것을 제외하고는$$ℵ 0 ${\$$displaystyle \aleph _{0}^{2}}$ = ℵ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$인 반면 ω >ω ${\displaystyle \omega ^{2}>\omega })$로 ω를 식별할 수 있습니다.또한 ω ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \omega_{1}$은 셀 수 없는 가장 작은 서수입니다(존재하는지 확인하려면 자연수의 좋은 순서의 동치 클래스 집합을 고려하십시오. 이러한 좋은 순서는 각각 셀 수 있는 서수를 정의하고 ω ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \omega_{1}$은 해당 집합의 순서 유형입니다). ω ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle \omega_{2}$는 가장 작습니다.카디널리티가 ℵ 1보다 큰 서수$${\$displaystyle \aleph_{1$ ω ω$${\$displaystyle \omega_{\omega}}$는 자연수 n에 대한 ω n$${\$displaystyle \omega_{n}$의 한계입니다(카디널의 어떤 한계도 카디널이므로 이 한계는 실제로 모든 ω ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \omega_{n}$ 다음의 첫 번째 카디널입니다).

공종성

순서형 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha}$의 공선성은 α ${\displaystyle \alpha}$의 공선 부분 집합의 순서 유형인 가장 작은 순서형 δ ${\displaystyle \delta}$입니다$.$ 많은 저자가 공선성을 정의하거나 제한 순서형에만 사용합니다.순서 집합 또는 다른 순서 집합의 공선성은 해당 집합의 순서 유형의 공선성입니다.

따라서 극한 서수에 대해서는 δ ${\$$displaystyle$$$\$delta}$ - 극한 α가 {\$displaystyle$ \$alpha$}인$$엄밀하게 증가하는 수열이 존재합니다$.$ 예를 들어 수열 ω·m(m은 자연수 범위)이 ω하는 경향이 있기 때문에 ω의 공선성은 ω합니다. 그러나 일반적으로 셀 수 있는 모든 극한 서수는 공선성 ω을 갖습니다.셀 수 없는 한계 서수는 ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ω ω와 마찬가지로 공선성 ω를 갖거나 셀 수 없는 공선성을 가질 수 있습니다.

0의 공선성은 0입니다.그리고 어떤 후계자 서수의 공칭성은 1입니다.제한 서수의 공선성은 ω ${\displaystyle \omega}$ 이상입니다$.$

공선성과 같은 서수를 정규 서수라고 하며 항상 초기 서수입니다.정칙 서수의 어떤 극한도 초칙 서수의 극한이므로, 일반적으로 그렇지 않은 정칙 서수의 극한도 초칙입니다.선택 공리인 경우, ω α${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \omega_{\alpha +1}$은(는) 각 α마다 규칙적입니다.이 경우 서수 0, 1, ω ${\displaystyle \omega},$ω ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \omega_{1}},$ω ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle \omega_{2}}$는 규칙적인 반면, 2, 3, ω ω$${\$displaystyle \omega_{\omega$ ω는 규칙적이지 않은 초기 서수입니다.

임의의 서수 α의 공선성은 정칙 서수이다, 즉 α의 공선성의 공선성은 α의 공선성과 같습니다.그래서 공생성 연산은 무력합니다.

"큰" 숫자를 셀 수 있는 몇 가지 서수

위에서 언급한 바와 같이 (칸토어 정규 형태 참조) 순서 ε은 식 ω ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ = α ${\displaystyle \omega ^{\alpha$}=\$alpha }$를 만족하는 가장 작은$$수열이므로, 수열 0, 1, ω$${\$displaystyle$ \$omega$^{\$omega$$\},$$$ω ω ω {\$displaystyle$ \omega ^{\omega $\},$ ω ω$${\$displaystyle$ \$omega$^{\$omega }}$ 등의 극한입니다.많은 서수는 특정 서수 함수의 고정점(ι ${\displaystyle \iota}$ - ω ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ = α ${\displaystyle \omega ^{\alpha$} =\$alpha$}를 ε ι$${\$displaystyle \varepsilon _{\iota}}$라고 하는 서수로 정의될 수 있습니다. 그러면$$ε ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ = ${\displaystyle \alpha }$ ${\$displaystyle $\iota}$ - 서수로 ι ${\displaystyle$ \iota}를 구하려고 할 수 있습니다.$laystyle \varepsilon _{\alpha$}$=$\$alpha$ $\},$ " 등등", 그러나 모든 미묘함은 " 등등"에 있습니다).이것을 체계적으로 하려고 할 수도 있지만, 서수를 정의하고 구성하기 위해 어떤 체계를 사용하든, 그 체계에 의해 구성된 모든 서수 바로 위에 놓여 있는 서수는 항상 존재합니다.아마도 이러한 방식으로 구성 체계를 제한하는 가장 중요한 순서는 Church-Kleen 순서형, ω ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$ K ${\displaystyle \omega_{1}^{\mathrm {CK}}}}($이름에서$$ω 1 ${\displaystyle \omega_{1}}임$에도 불구하고 이 순서형은 셀 수 있습니다), 이것은 어떤 식으로든 계산 가능한 함수로 표현될 수 없는 가장 작은 순서형입니다.(물론 엄격하게 만들 수도 있습니다.)상당히 큰 서수는 ω 1 ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$ K ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK}}}$ 아래에서 정의할 수 있지만$,$ 특정 형식 시스템의 "증명 이론적 강도"를 측정합니다(예: ε ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \varepsilon$ _{$0}).$셀 수 있는 서수와 같은 큰 수 있는 서수들은 또한 Church-Kleen 서수 위에 정의될 수 있는데, 이것은 논리학의 여러 부분에서 관심의 대상이 됩니다.^{[citation needed]}

위상 및 서수

순서수는 순서 위상과 함께 줄이면 위상 공간으로 만들 수 있습니다. 이 위상은 순서수가 셀 수 있는 기수, 즉 최대 ω일 경우에만 이산입니다.ω + 1의 부분 집합은 유한하거나 요소로 ω를 포함하지 않는 경우에만 순서 토폴로지에서 열립니다.

"Order topology" 기사의 토폴로지 및 서수 섹션을 참조하십시오.

역사

1883년에 처음 등장한 초한 서수는 칸토어의 파생된 집합에서 비롯되었습니다.^[9]P가 실수의 집합이라면, 유도된 집합 P'는 P의 극한점의 집합입니다.1872년 칸토어는 도출된 집합 연산을 P에 n번 적용하여 집합 P를⁽ⁿ⁾ 생성했습니다.1880년에 그는 이 집합들이 P' ⊇ ··· ⊇ P ⊇ P ⊇ ··· 수열을 이룬다고 지적하고, P를 이 집합들의 교집합으로 정의하여 유도 과정을 이어갔습니다.그런 다음 도출된 집합 연산과 교차점을 반복하여 자신의 집합 시퀀스를 무한대로 확장했습니다: P ⊇ P ⊇ P ⊇···· ⊇ P ⊇···.∞를 포함하는 위첨자는 유도 과정에 의해 정의된 지수일 뿐입니다.

칸토어는 다음과 같은 집합을 정리에 사용했습니다.

이 정리들은 P'를 쌍방향 분리 집합으로 분할함으로써 증명됩니다.P' = (P' \ P) ∪ (P \ P) ∪ · · · ∪ (P \ P) ∪ · · · ∪ P. β < α: P는 P의 극한점을 포함하기 때문에 집합 P \ P는 극한점이 없습니다.따라서 이산 집합이므로 셀 수 있습니다.첫 번째 정리의 증명:만약 일부 지수 α에 대해 P = ∅이면, P'는 셀 수 있는 집합들의 수 있는 결합입니다.따라서 P'는 셀 수 있습니다.^[12]

두 번째 정리는 P = ∅인 α의 존재를 증명해야 합니다.이를 증명하기 위해, 칸토어는 수 많은 수의 전임자를 갖는 모든 α의 집합을 고려했습니다.이 집합을 정의하기 위해, 그는 유한 서수를 정의하고, ∞를 첫 번째 유한 서수인 ω로 대체함으로써 무한 지수를 서수로 변환했습니다.칸토어는 유한 서수의 집합을 첫 번째 수 클래스라고 불렀습니다.두 번째 숫자 클래스는 수적으로 무한한 집합을 형성하는 서수의 집합입니다.셀 수 있을 정도로 많은 수의 앞수를 갖는 모든 α의 집합, 즉 셀 수 있는 서수의 집합은 이 두 수 클래스의 합입니다.캔터는 두 번째 숫자 클래스의 카디널리티가 셀 수 없는 첫 번째 카디널리티임을 증명했습니다.^[13]

칸토어의 두 번째 정리는 다음과 같습니다.만약 P'가 셀 수 있다면 P = ∅가 되는 셀 수 있는 순서형 α가 존재합니다.그것의 증명은 모순에 의한 증명을 사용합니다.P'를 셀 수 있다고 하고, 그러한 α가 없다고 가정합니다.이 가정을 통해 두 가지 경우가 발생합니다.

두 경우 모두 P'는 셀 수 없으며, 이는 P'가 셀 수 있는 것과 모순됩니다.따라서 P = ∅이 되는 셀 수 있는 순서형 α가 존재합니다. 유도된 집합과 순서형 수를 사용한 칸토어의 작업은 칸토어-벤딕슨 정리로 이어졌습니다.

칸토어는 계승자, 한계, 카디널리티를 사용하여 순서수와 숫자 클래스의 무한 순서를 생성했습니다.^[16](α + 1)번째 수 등급은 α번째 수 등급과 동일한 카디널리티의 집합을 이루는 서수의 집합입니다.(α + 1)번째 수 클래스의 카디널리티는 α번째 수 클래스의 카디널리티 바로 뒤에 오는 카디널리티입니다.^[17]극한 순서 α의 경우, α번째 수 클래스는 β < α에 대한 β번째 수 클래스의 결합입니다.^[18]그것의 카디널리티는 이 숫자 클래스들의 카디널리티의 한계입니다.

n이 유한할 경우 n번째 수 클래스는 카디널리티${\displaystyle {}_{}}$ℵ n -$$ {\$displaystyle \aleph$ _${n-1$}}이고$,$ α ≥ ω일 경우 α번째 수 클래스는 카디널리티 ℵ α ${\displaystyle \aleph$ _${\alpha}}$이므로$,$ 수 클래스의 카디널리티는 알레프 수와 일대일 대응됩니다.또한 α가 비제한 서수일 경우에만 α번째 수 클래스는 이전 수 클래스와 다른 서수로 구성됩니다.따라서 비제한 수 클래스는 서수형을 쌍방향 분리 집합으로 분할합니다.

참고 항목

• 계산
• 짝수 서수
• 첫번째 셀 수 없는 서수
• 순서 공간
• 초현실수, 음수를 포함하는 서수의 일반화

메모들

참고문헌

외부 링크

• "Ordinal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 프로벤 수학의 서수
• 서수 계산기 GPL은 서수 및 서수 표기법으로 컴퓨팅을 위한 무료 소프트웨어를 제공합니다.
• 돈몽크의 집합론 강의노트 4장은 서수론 서론입니다.