첫 번째 셀 수 없는 서수

수학에서, 전통적으로 $\omega _{1}$ 1(\ $displaystyle \Omega _{$ 1 $\omega _{1}$ }) 또는 $(\displaystyle \Omega$ 로 표기되는 첫 번째 비산수 서수는 집합으로 간주되는 가장 작은 서수이다.그것은 모든 계수 가능한 서수 중 최고(최소 상한)이다.세트로 간주할 때, § $(\$ _ ${1})$ 의 $\omega _{1}$ 요소는 셀 수 없는 서수(유한 ^[1]서수 포함)이다.

(von Neumann의 접근법에서) $\omega _{1}$ 서수와 마찬가지로, $§$ 1(\ $displaystyle \obega$ _ ${1$ })은 $\omega _{1}$ 순서 관계가 되는 집합으로, 집합 멤버쉽이 순서 관계가 된다. $\omega _{1}$ \ $displaystyle$ \ obega $_$ { $\omega _{1}$ 1 $\omega _{1}$ } a $\alpha$ 1 = $\omega _{1}=\alpha +1$ + $\omega _{1}=\alpha +1$ 1 \ $displaystyle$ \ $\omega _{1}=\alpha +1$ _ {1} $=$ \ $alpha$ + $\omega _{1}=\alpha +1$ 1 이 $\omega _{1}=\alpha +1$ $\alpha$ $\omega _{1}=\alpha +1$ { $displaystyle$ \ alpha $\alpha$ } 는 없습니다.

$\omega _{1}$ 의 카디널리티 1 $({$ })은 $\omega _{1}$ 첫 번째 셀 수 없는 기수 $({$ 입니다.순서수 $\omega _{1}$ 1 $({$ _ ${1$ })은 $\omega _{1}$ $\aleph _{1}$ 1({ $displaystyle \alph$ _ ${1$ $\aleph _{1}$ 의 첫 번째 순서수입니다.연속체 가설에서 $\omega _{1}$ $({$ $displaystyle$ $\beth _1})$ 의 $\omega _{1}$ 카디널리티는 R $({$ 의 세트와 같습니다 $.$ l개의 ^[2]숫자

대부분의 구성에서는 $\omega _{1}$ 1 \ $display style$ \ $obega$ _ { $1$ } $\omega _{1}$ 및 $\aleph _{1}$ 1 \ $displaystyle$ \ $alph _$ {1 $}$ 은 $\aleph _{1}$ 세트로 동등하다고 간주됩니다.일반화: $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha)$ 가 $\alpha$ 임의의 서수일 $\alpha$ $(\$ _ ${\alph })$ 를 $\omega _{\alpha }$ 기수 $\aleph _{\alpha }$ (\ $displaystyle \alph$ _ ${\alph$ 의 첫 번째 서수로 정의합니다.

§ $\omega _{1}$ (\ $displaystyle$ \ $obega$ _ ${1$ } )의 $\omega _{1}$ 존재는 선택 공리 없이 증명될 수 있습니다.상세한 것에 대하여는, 하톡스 번호를 참조해 주세요.

토폴로지 속성

순서 토폴로지를 사용하면 임의의 서수를 토폴로지 공간으로 변환할 수 있습니다.위상공간으로 볼 때 $\omega _{1}$ 1 \ $displaystyle$ \ $obega$ _ { $\omega _{1}$ $1}$ $、$ [ $[0,\omega _{1})$ 0 , \ $displaystyle$ [ 0 , \ $obega$ _ { $\omega _{1}$ 1} $[0,\omega _{1})$ 로 $[0,\omega _{1})$ 표기되어 $\omega _{1}$ 보다 작은 모든 서수로 이루어진 공간임을 강조합니다.

셀 수 있는 선택 공리가 유지되는 $[0,\omega _{1})$ [0, $[0,\omega _{1})$ 1 $]({displaystyle$ [0 $,\obega _{$ 1})) $[0,\omega _{1})$ 요소의 증가되는 모든 "시퀀스"는 [ $[0,\omega _{1})$ $[0,\omega _{1})$ 1 $](\displaystyle [0,\obega$ _ ${1$ 의 $[0,\omega _{1})$ 제한으로 수렴됩니다 $[0,\omega _{1})$ .그 이유는 모든 계수 가능한 서수 집합의 합집합(즉, 최고)이 또 다른 계수 가능한 서수이기 때문이다.

위상 공간 $[0,\omega _{1})$ [ $[0,\omega _{1})$ , $]({displaystyle [0,\obega$ _ ${1}))$ 은 $[0,\omega _{1})$ 순차적으로 콤팩트하지만 콤팩트하지는 않습니다.그 결과, 그것은 측정이 불가능하다.그러나 이는 셀 수 있을 정도로 작기 때문에 린델뢰프가 아니다(Lindelöf인 경우에만 셀 수 있을 정도로 작은 공간은 작다).계산가능성의 공리 측면에서 [ $[0,\omega _{1})$ $[0,\omega _{1})$ 1 $]({displaystyle [0,\obega$ _ ${1}})$ 은 $[0,\omega _{1})$ $[0,\omega _{1})$ 첫 번째 계산가능하지만 분리할 수도, 두 번째 계산가능하지도 않다.

공간 $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ [ $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ , $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ 1 $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ ] $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ 1 $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ + $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ { $displaystyle$ [ $0$ , \ $메가$ _ {1} = \ $메가$ _ { $1}$ + $1$ } 은 콤팩트하고 첫 번째 셀 수 없습니다. $§$ $1(\displaystyle$ \ $obega _{$ 1 $\omega _{1}$ })은 긴 줄과 Tychonoff 플랭크의 정의에 사용됩니다.이것은 토폴로지의 2가지 중요한 반례입니다.

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레퍼런스

^ "Set Theory > Basic Set Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2020-08-12.
^ "first uncountable ordinal in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-12.

참고 문헌

Thomas Jech, Set Theory, 제3천년판, 2003년판, Springer Monographics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
Lynn Arthur Steen과 J. Arthur Seebach, Jr., 토폴로지의 Counterexample.1978년 뉴욕주 스프링거-벌러그1995년 뉴욕 도버 출판사에서 전재.ISBN 0-486-68735-X(도버 에디션).

[1] "Set Theory > Basic Set Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2020-08-12.

[2] "first uncountable ordinal in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-12.

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