매듭(수학)

Knot (mathematics)
이 기사는 수학적 물체에 관한 것이다.다른 용도는 매듭(동음이의)을 참조하십시오.
교차가 7개 이하인 모든 프라임 노트 표(거울 이미지 제외)
오버핸드 매듭은 양끝을 접합함으로써 삼엽상 매듭이 된다.
삼각형은 삼각뿔 매듭과 관련되어 있습니다.
7프레첼4 매듭 모양의 프레첼 빵

수학에서 매듭은 원 S를1 3차원 유클리드 공간 R3(E로도3 알려져 있음)에 삽입하는 것이다.종종 두 개의 매듭이 주변 동위원소인 경우, 즉 한 쪽 매듭이 다른 쪽 매듭으로 이동하는 R의3 연속적인 변형이 존재하는 경우, 두 개의 매듭이 동등한 것으로 간주된다.

매듭의 표준적인 수학적 개념과 전통적인 개념 사이의 중요한 차이점은 수학적 매듭은 닫혀 있다는 것입니다. - 수학적 매듭에는 묶거나 풀 수 있는 끝이 없습니다.마찰 및 두께와 같은 물리적 특성도 적용되지 않지만, 이러한 특성을 고려하는 매듭의 수학적 정의가 있습니다.매듭이라는 용어는 특히 j = n - 2인 경우에 S의n 내장에도 j 적용된다.매듭을 연구하는 수학의 한 분야는 매듭 이론으로 알려져 있고 그래프 이론과 많은 관계가 있다.

형식적 정의

매듭은 3차원 유클리드 공간(R3) 또는 3구([1]S)에 원(S3)을1 삽입하는 것으로, 3구(S)는 [2]콤팩트하기 때문이다.[Note 1] 두 [3]개의 매듭 사이에 주변 등방성이 있는 경우 두 개의 매듭은 동등하다고 정의됩니다.

투영

R2(또는 3구 S)의3 매듭을3 평면 R(각각2 구면 S)에 투영할 수 있다.이 투영법은 거의 항상 규칙적입니다. 즉, 매듭의 두 점만 투영되는 한정된 수의 교차점을 제외하고 모든 곳에 주입되며 이러한 점들은 공선 상태가 아닙니다.이 때 투영측을 선택하는 것으로, 이러한 교차점에 간단한 오버/언더 정보를 기록하는 것으로, 노트의 아이소토피 클래스를 규칙적인 투영에 의해서 완전하게 부호화할 수 있다.그래프 이론에서 매듭의 규칙적인 투영 또는 매듭 다이어그램은 따라서 정점이 과도하게/적게 장식된 4차 평면의 그래프입니다.이 그래프의 국소적 수정은 (평면의 주변 등방성까지) 동일한 매듭의 다른 도표로 이동할 수 있도록 하는 것을 리드마이스터 이동이라고 한다.

  • Reidemeister move 1

    리드마이스터 무브 1

  • Reidemeister move 2

    리드마이스터 무브 2

  • Reidemeister move 3

    리드마이스터 무브 3

매듭의 종류

루프가 끊어지면 매듭을 풀 수 있습니다.

가장 간단한 매듭은 unknot 또는 trivial not이라고 불리며 [4]R에 내장된3 둥근 원이다.일반적인 의미에서, 언노트는 전혀 "노팅"되지 않는다.가장 단순하지 않은 매듭은 삼각뿔 매듭(표에서1 3개), 그림 8개 매듭(4개1), 신퀘포일 매듭(5개)[5]이다1.

여러 개의 매듭이 서로 연결되거나 엉켜 있는 것을 링크라고 합니다.매듭은 단일 구성 요소를 가진 링크입니다.

길들여진 매듭과 야생 매듭

거친 매듭

다각형 매듭은 R의 이미지가3 유한한 선분 [6]집합의 결합인 매듭입니다.길들여진 매듭은 다각형 [6][Note 2]매듭에 해당하는 매듭입니다.길들여지지 않은 매듭은 [7]야생이라고 불리며 병적인 행동을 [7]할 수 있다.매듭 이론과 3인조 이론에서는 종종 형용사 "tame"이 생략된다.예를 들어, 매끄러운 매듭은 항상 길들여진다.

골조 매듭

프레임 매듭은 S에 고체3 토러스2 D × S를1 삽입하는 길들여진 매듭의 연장이다.

매듭의 프레임은 리본 I × S의1 이미지와 매듭의 연결 번호입니다.프레임 매듭은 삽입 리본으로 볼 수 있으며 프레임은 (부호가 있는) [8]트위스트 횟수입니다.이 정의는 프레임링크와 유사한 정의로 일반화되어 있습니다.프레임 링크는 솔리드 토리에 대한 확장이 주변 동위원소일 경우 동등하다고 합니다.

프레임 링크 다이어그램은 자오선 및 우선 경도에 대한 기울기를 나타내는 정수로 프레임을 나타내는 각 구성요소가 표시된 링크 다이어그램이다.마킹이 없는 링크 다이어그램을 프레임링크를 나타내는 표준 방법은 칠판 프레임을 사용하는 것입니다.이 프레임은 각 구성요소를 평면에 평평하게 놓여 있는 리본으로 변환하여 얻습니다.타입 I의 리드마이스터 무브에서는 칠판 프레임(리본의 트위스트 수 변경)이 명확하게 변화하지만, 다른 2개의 무브에서는 변화하지 않습니다.I 이동 유형을 I 이동 유형으로 바꾸면 Ridemister 정리와 유사한 칠판 프레임이 있는 링크 다이어그램의 결과가 나타납니다.칠판 프레임이 있는 링크 다이어그램은 일련의 (변경된) 타입 I, II 및 III 이동으로 연결된 경우에만 동등한 프레임링크를 나타냅니다.매듭이 주어지면 그 위에 무한히 많은 틀을 정의할 수 있다.고정된 골격을 가진 매듭이 주어졌다고 가정해 봅시다.리본을 자르고 매듭 주위에 2㎜의 정수배수를 꼬아 자른 후 잘라낸 곳에서 다시 접착하면 기존의 틀에서 새로운 틀을 얻을 수 있습니다.이렇게 하면 오래된 틀에서 새로운 틀을 얻을 수 있습니다.프레임 매듭의 등가관계까지는 매듭은 고정된 채로 합니다.[9] 이러한 의미에서 프레임은 벡터 필드가 매듭 주변에서 수행하는 트위스트 횟수와 관련이 있습니다.벡터 필드가 매듭 주위에 몇 번 꼬여 있는지를 알면 벡터 필드를 미분형상까지 결정할 수 있으며, 프레임의 등가 클래스는 프레임 정수라고 불리는 이 정수에 의해 완전히 결정됩니다.

매듭 보체

보수가 단순하지 않은 JSJ 분해를 갖는 매듭

3구체의 매듭이 주어지면 매듭 보어는 매듭에 포함되지 않은 3구체의 모든 점이 됩니다.고든과 루케의 주요 정리는 최대 두 개의 노트가 동형 보완체(원래 매듭과 그것의 거울 반사)를 가지고 있다고 말한다.이것은 사실상 매듭의 연구를 그들의 보완의 연구로, 그리고 다시 3매니폴드 [10]이론으로 바꾼다.

JSJ 분해

주요 기사: JSJ 분해

JSJ 분해와 Thurston의 이중화 정리는 스플라이싱 또는 위성 연산을 통한 다양한 기하학적 다양체의 연구에 3구체의 매듭 연구를 감소시킨다.그림 매듭에서 JSJ 분해는 보체를 3개의 다양체의 결합으로 분할한다. 즉, 2개의 삼엽상 보체와 보롬상 고리의 결합이다.삼엽상 보체는 H × R의 형상을2 가지며, 보롬환 보체는 H의 형상을3 가진다.

고조파 매듭

매듭의 파라메트릭 표현은 조화 매듭이라고 불립니다.Aaron Trautwein은 박사논문에 [11][12]교차번호가 8인 매듭을 포함한 모든 매듭에 대한 파라메트릭 표현을 정리했습니다.

그래프 이론에 대한 응용 프로그램

중앙 그래프와 함께 매듭 다이어그램으로 표시되는 최대 7개의 교차점이 있는 모든 주요 매듭의 표

중앙 그래프

주요 기사:중앙 그래프
KnotCheckerboard.svg
매듭 다이어그램과 연관된 부호 있는 평면 그래프입니다.
왼쪽 가이드
우측 가이드

매듭 다이어그램의 또 다른 편리한 표현은 1877년 [15][16]피터 타이트에 의해 도입되었다.

매듭 다이어그램은 정점이 교차점이고 모서리가 연속 교차점 사이의 경로인 평면 그래프를 정의합니다.이 평면 그래프의 정확히 한 면은 무제한이며, 다른 면은 각각 2차원 디스크와 동형입니다.경계 테두리를 공유하는 두 개의 면이 서로 반대되는 색을 가지도록 이러한 면을 검은색 또는 흰색으로 칠합니다.조던 곡선 정리는 정확히 그런 색이 하나 있다는 것을 암시한다.

정점이 흰색 면이고 가장자리가 교차에 해당하는 새 평면 그래프를 구성합니다.이 그래프의 각 모서리에 왼쪽 모서리 또는 오른쪽 모서리로 레이블을 붙일 수 있습니다. 이는 모서리의 끝점 중 하나에서 해당 교차점을 볼 때 다른 스레드 위로 나타나는 스레드에 따라 달라집니다.왼쪽 및 오른쪽 모서리는 일반적으로 왼쪽 모서리 + 및 오른쪽 모서리에 레이블을 붙이거나 왼쪽 모서리에 실선으로 그리고 오른쪽 모서리에 파선을 그려 표시합니다.

원래 매듭 다이어그램은 이 새 평면 그래프의 중앙 그래프이며, 각 교차 유형은 해당 모서리의 부호에 의해 결정됩니다.모든 모서리의 기호를 변경하는 것은 거울의 매듭을 반사하는 것에 해당합니다.

링크리스 및 매듭리스 내장

주요 기사: 링크리스 삽입
피터슨 가족의 7가지 그래프입니다.이러한 그래프가 어떻게 3차원 공간에 삽입되든 일부 2개의 사이클은 0이 아닌 링크 번호를 가집니다.

2차원에서는 평면 그래프만 교차 없이 유클리드 평면에 삽입될 수 있지만, 3차원에서는 무방향 그래프가 교차 없이 공간에 삽입될 수 있다.그러나 평면 그래프의 공간적 유사성은 링크 없는 임베딩과 매듭 없는 임베딩을 가진 그래프에 의해 제공된다.링크리스 임베딩은 임의의 2개의 사이클이 링크 해제되는 속성을 가진 그래프의 임베딩입니다.노트리스 임베딩은 단일 사이클이 주석 해제되는 속성을 가진 그래프의 임베딩입니다.링크 없는 임베딩을 가진 그래프에는 본질적으로 링크된 7개의 그래프 세트인 Petersen 패밀리와 관련된 금지된 그래프 특성화가 있다. 즉, 어떻게 임베디드되든 일부 2개의 사이클이 서로 [17]링크된다.매듭 없는 임베딩이 있는 그래프의 완전한 특성은 알려져 있지 않지만, 완전한7 그래프 K는 매듭 없는 임베딩을 위한 최소한의 금지 그래프 중 하나입니다. K가 어떻게7 임베딩되든, 그것은 3중 [18]매듭을 형성하는 사이클을 포함할 것입니다.

일반화

현대 수학에서 매듭이라는 용어는 때때로 임베딩과 관련된 더 일반적인 현상을 설명하기 위해 사용됩니다.서브매니폴드 N을 가진 매니폴드 M이 주어졌을 때, N에 대해 동위원소가 아닌 M에 N이 내장되어 있으면 N이 M에 결합될 수 있다고 말할 수 있다.전통적인 매듭은 N = S1 및 M = R3 또는 M = [19][20]S인3 경우를 형성한다.

Schoenflys 정리에서는 원은 2-sphere에서 매듭지어지지 않는다: 2-sphere의 모든 위상원은 [21]기하학적 원에 동위원소이다.알렉산더의 정리는 2-구체가 3-구체의 [22]매듭을 매끄럽게(또는 위상학적으로 PL 또는 길들이기) 하지 않는다는 것입니다.길들여진 위상 범주에서는 n-sphere가 모든 n에 대해 n + 1-sphere에서 결합되지 않는 것으로 알려져 있습니다.이것은 Morton Brown, Barry Mazur, Marston Morse의 [23]정리이다.알렉산더 뿔 구체는 [24]길들여지지 않은 3개의 구에서 매듭이 있는 2개의 구를 예로 들 수 있습니다.매끄러운 범주에서, n-sphere는 n+1-sphere에 결합되지 않는 것으로 알려져 있다.사례 n = 3은 4-ball이 이국적인 매끄러운 구조를 수용하는가 하는 질문과 밀접하게 관련된 오랫동안 해결되지 않은 문제입니다.

앙드레 하플라이거는 2n - 3j - 3 > 0으로 주어진 S에n 매끄러운 j차원 매듭이 없음을 증명하고, 2n - 3j - 3 = 0.n - j라고 불리는 모든 n > j 1 1에 대해 매듭이 있는 구의 예를 추가로 제시하였다.하플라이거 작품의 흥미로운 측면은 S에 포함된 S의 jn 아이소토피 클래스가 공차원이 2보다 클 경우 연결 합계에 의해 주어진 그룹 연산을 통해 그룹을 형성한다는 것이다.Hapliger는 Stephen Smale의 h-코바르디즘 정리에 기초했다.스메일의 이론 중 하나는 2차원보다 큰 공차원의 매듭을 다룰 때, 심지어 부등식 매듭도 미분형 보형을 갖는다는 것이다.이것은 실험 대상에게 공차원 2 매듭 이론과는 다른 맛을 줍니다.위상이나 PL 동위원소를 허용한다면, 크리스토퍼 지만은 공차원이 2보다 클 때 구체가 결합하지 않는다는 것을 증명했다.다방면에 걸친 일반화를 참조해 주세요.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 3-sphere는 무한대에서 단일 점이 추가된 R과 동일합니다3(원포인트 압축 참조).
  2. ^ 매듭은 유한 닫힌 다각형 체인으로 표현될 수 있는 경우에만 길들여진다.

레퍼런스

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  5. ^ 애덤스 1994, 표 1.1, 페이지 280; 리빙스톤 1993, 부록 A: 매듭 표, 페이지 221
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외부 링크

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