후레위츠 정리

수학에서 후레위츠 정리는 호모토피 이론과 호모로지 이론을 후레위츠 호모포피즘으로 알려진 지도를 통해 연결하는 대수적 위상의 기본적인 결과물이다.이 정리는 위톨드 후레위츠(Witold Hurewicz)의 이름을 딴 것으로, 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)의 초기 결과를 일반화한다.

정리 명세서

후레위츠 이론은 호모토피 그룹과 호모로지 그룹 사이의 중요한 연결고리다.

절대 버전

경로 연결 공간 X와 양의 정수 n에 대해 그룹 동형성이 존재한다.

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

n번째 호모토피 그룹에서 n번째 호모로지 그룹(정수계수 포함)에 이르는 후레위츠 호모포피즘(Hurewicz homomomorphism)이라고 불린다.It is given in the following way: choose a canonical generator ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$, then a homotopy class of maps ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ is taken to ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$에 대해$$ 이 동형식은 이형성을 유도한다.

${\displaystyle {\tilde{h}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

첫 번째 호모토피 그룹(기본 그룹)과 첫 번째 호몰로지 그룹의 아벨리아화 사이.

If ${\displaystyle n\geq 2}$ and X is ${\displaystyle (n-1)}$-connected, the Hurewicz map ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ is an isomorphism.또 후레위츠 지도 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ :${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1{}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$는 이 경우 인식주의다.^[1]

상대 버전

임의의 공간 쌍$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle (X,A)}$ 및 > 1 ${\displaystyle k>1}$에 대해 동형성이 존재한다.

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

상대적 호모토피 그룹에서 상대적 호몰로지 그룹까지.그 상대 Hurewicz 정리 k<>대신 X{X\displaystyle}과{A\displaystyle}과 쌍은(n− 1){\displaystyle(n-1)}-connected 연결된 다음 Hkm그리고 4.9초 만(X, A)=0{\displaystyle H_{km그리고 4.9초 만}(X,A)=0};n{\displaystyle k<, n}과 Hn(X, A){\displaystyle H_{n}(X,A이라고 말한다.)}$\pi n{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\$$displaystyle \pi _{n}(X$$,A$$)}$의 동작을 인수하여$$ ${\displaystyle {\pi n\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle A)\}}$로부터 얻어진다$.$ 예: Whitehead(1978)에서 유도에 의해 증명되어 절대 버전과 호모토피 덧셈 lemema가 차례로 증명된다.

이 상대적인 후레위츠 정리는 브라운&히긴스(1981)에 의해 형태론에 관한 진술로 재구성된다.

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\컵 CA),}$

어디 C{CA\displaystyle}한{A\displaystyle}의 콘은homotopical 절제 정리에서 그 자체가 더 높은 동위 밴 캄펜 정리에서에 대한 추론된다. 이 단락은 특별한 경우, n>를 유도 모듈과 관련된;2{\displaystyle n>2}(교차 모듈 만약 nx2{\displaystyle n=2})를 나타낸다. relati필터링된 공간의 입체적인 상위 호모토피 그룹의 기술을 개발해야 하는 ve homotopopy 그룹.

트라이아딕트 버전

공간$({\displaystyle X}$; ${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X;A,B)}($즉, 공간 X 및 하위 공간 A, B) 및 정수 > ${\displaystyle k>2}$에 대해 동형성이 존재한다.

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

3종류의 호모토피 그룹에서 3종류의 호모토피 그룹에 이르기까지.참고:

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup(C(A\컵 B))).}$

The Triadic Hurewicz Theorem states that if X, A, B, and ${\displaystyle C=A\cap B}$ are connected, the pairs ${\displaystyle (A,C)}$ and ${\displaystyle (B,C)}$ are ${\displaystyle (p-1)}$-connected and ${\displaystyle (q-1)}$-connected, respectively, and the triad $$(X, A, B){\displaystyle(X, A, B)}은(p+q− 2){\displaystyle(p+q-2)}, Hkm그리고 4.9초 만(X, A, B)=0{\displaystyle H_{km그리고 4.9초 만}(X, A, B)=0}k<>, p+q− 2{\displaystyle k<, p+q-2}과 Hp+q− 1(XA){\displaystyle H_{p+q-1}(XA)}π p+q− 1(X, A, B)로부터 얻어진 것이다 -connected. {\dis$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ B$){\displaystyle \pi _{1}(A\cap$ B$)}$의 작업과 일반화된 Whitehead 제품을 고려하여$$ $\pi$_{p+$q-1}(X;A,B)}을($를) 재생한다.이 정리의 증빙은 삼차 호모토피 그룹에 더 높은 호모토피 판 캄펜 타입 정리를 사용하며, 이는 공간의 n-큐브 그룹의 기본 ${\displaystyle {\mathrm{cat}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ - 그룹의$$ 개념을 필요로 한다.

단순 세트 버전

위상학적 공간에 대한 후레위츠 정리도 칸 조건을 만족하는 n 연결 단순 집합에 대해 명시될 수 있다.^[2]

합리적 후레위츠 정리

Rational Hurewicz 정리:^[3][4]${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle i}$${\displaystyle {}_{}{top}_{}}$ i ( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \otimes }$ Q${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathb {Q} =0}$을(를) i ${\displaystyle \le }$ r ${\displaysty i\leq r}$에 대해 간단히 연결된 위상학적 공간이어야 한다$.$ 그러면 후레위크츠 맵이 된다.

${\displaystyle h\otimes \mathb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathb {Q} )}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ $[\$$displaystyle$ $1\leq$ i$\$$leq$$2r}$에 대해 이형성을 유도하고,${\displaystyle }i{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 2r}$ + ${\displaystyle 1}$에 대한 추론을 $유도$한다$.$

메모들

참조

• Brown, Ronald (1989), "Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems", Algebraic topology (Evanston, IL, 1988), Contemporary Mathematics, vol. 96, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 39–57, doi:10.1090/conm/096/1022673, ISBN 9780821851029, MR 1022673
• Brown, Ronald; Higgins, P. J. (1981), "Colimit theorems for relative homotopy groups", Journal of Pure and Applied Algebra, 22: 11–41, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3, ISSN 0022-4049
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 54: 176–192, CiteSeerX 10.1.1.168.1325, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176, ISSN 0024-6115
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Van Kampen theorems for diagrams of spaces", Topology, 26 (3): 311–334, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8, ISSN 0040-9383

• Rotman, Joseph J. (1988), An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, vol. 119, Springer-Verlag (published 1998-07-22), ISBN 978-0-387-96678-6
• Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1