덴 수술

위상학에서 수학의 한 분야인 딘(Dehn) 수술은 맥스 딘(Max Dehn)의 이름을 딴 것으로, 3마니폴드를 수정하는 데 사용되는 구조다.이 과정은 링크와 함께 3-매니폴드를 입력하는 것으로 간주된다.그것은 종종 두 단계로 개념화된다: 천공과 채우기.

정의들

• Given a 3-manifold ${\displaystyle M}$ and a link ${\displaystyle L\subset M}$, the manifold ${\displaystyle M}$ drilled along ${\displaystyle L}$ is obtained by removing an open tubular neighborhood of ${\displaystyle L}$ from ${\displaystyle M}$. If ${\displaystyle$$L=L_{1}\cup \cup \cup L_{k$ 드릴된 다지관에는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ torus$$ 경계 $성분{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle \cup }$ ∪ T $k$ ∪$$ ${1}\cup \dots \cup T_{k}}}}$이 있다$.$$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을 따라 드릴로 뚫은 $다지관{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$ M$}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$에서 해당 닫힌 관 주변을 제거하면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M\setminus L}$에 대한 다지관 형상을 얻을 수 있기 때문에 연결 보완으로도 알려져$$ 있다$.$
• Given a 3-manifold whose boundary is made of 2-tori ${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$, we may glue in one solid torus by a homeomorphism (resp. diffeomorphism) of its boundary to each of the torus boundary components ${\displaystyle T_{i}}$ of the original 3-manifold.일반적으로 이것을 하는 많은 불공평한 방법들이 있다.이 과정을 Dehn filling이라고 한다.
• 링크가 포함된 3-매니폴드에 대한 딘 수술은 딘과 함께 링크의 관 모양의 이웃을 천공하는 것으로 구성된다.

Dehn 수술에 대해 설명하려면(참조). Rolfsen, 데일(1976년).Knots과 링크(PDF).또는 Perish..)우편 259을 발표하다. 하나를 뚫3-manifold, 제가 거기{\displaystyle m_{나는}m}의 나는}{\displaystyle T_{나는}해당 경계 torus T에 L은 자오선 나는{\displaystyle L_ 나는{\displaystyle \ell_{나는}두 중심 단순한 닫힌 곡선 나는}과 ℓ{\displaystyle m_{나는}습니다.}을 선택합니다.{나는}}(곡선을 그리며 묵고 있다.$M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $M}$의 작은 공으로$$ 숫자 +1과 ${\displaystyle L_{}}$ i ${\$를 연결하거나$$, 동등하게 구성 요소 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaysty \ell$ $_{i}$이}이}의 ${\displaystyle {경도}_{}}$이다.L ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을 따라 한 번 엘링하거나$$ $동등$하게 T$$ {\$displaystyle T_{$$i$}}에 있는 곡선으로 대수교차로${\displaystyle }$intersection ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ i$⟩ {\display$ \langle $\langle$ \$_}이(가)$가 +1과 같도록 한다.curve $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ i ${\$$\}\}$는 torus $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기본 그룹을 생성하며$$, 첫 번째 호몰로지 그룹의 기초를 형성한다.This gives any simple closed curve ${\displaystyle \gamma _{i}}$ on the torus ${\displaystyle T_{i}}$ two coordinates ${\displaystyle a_{i}}$ and ${\displaystyle b_{i}}$, so that ${\displaystyle [\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}$$]\}\}.$ 이러한 좌표는 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 호모토피 등급에만 의존한다$.$

We can specify a homeomorphism of the boundary of a solid torus to ${\displaystyle T_{i}}$ by having the meridian curve of the solid torus map to a curve homotopic to ${\displaystyle \gamma _{i}}$. As long as the meridian maps to the surgery slope ${\displaystyle [\gamma _{i}]}$, the resulting Dehn sur게리는 특정 접착에 의존하지 않는 3점수를 산출할 것이다.$\mathb {Q}$mathb {Q} $\cHB {\displaystyle b_{i}/a_{i}\infit \}}$의 비율 ${\displaystyle b_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$$i$${\displaystyle \mathrm{\}}}$을$($를) L i {\$displaystyle$ L_${i}$의 수술 계수라고 한다$.$

3-sphere 또는 보다 일반적으로 지향적인 통합형 호몰로지 영역에 있는 링크의 경우, 모든 경도는 ${\displaystyle {표준적}_{}}$으로 knot ${\$를 선택하여 매듭 보완재에서 null-homologous - 만약 그것이 세이퍼트 표면의 경계라면 동등하게 선택된다.

${\displaystyle {비율}_{}}$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$/ ${\displaystyle a{}_{}}$ ${\$이 모두 정수일$$ 때(고대 경맥이 정확히 한 번 교차하는 새로운 경맥에 해당하므로 이 상태는 경도의 선택에 따라 달라지지 않는다는 점에 유의한다) 수술은 일체형 수술이라고 한다.그러한 수술은 다루기, 거미줄, 모스 기능과 밀접한 관련이 있다.

예

• 모든 수술 계수가 무한하다면, 각각의 새로운 자오선 ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ i${\$는 고대 자오선 ${\displaystyle m_{}}$ i${\$와 동일시된다$.$따라서 다지관의 동형성형은 수술에 의해 변하지 않는다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 3-sphere이고 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) Unknot이고 수술 $계수$가 0 ${\displaystyle 0$이면 서지된 3-manifold는 $S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $×$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$1$\}\{$1}{1$}{1$}.

• If ${\displaystyle M}$ is the 3-sphere, ${\displaystyle L}$ is the unknot, and the surgery coefficient is ${\displaystyle b/a}$, then the surgered 3-manifold is the lens space ${\displaystyle L(b,a)}$. In particular if the surgery coefficient is of the form ${\displaystyle \pm 1/r}$, t급상승한 3구경도 여전히 3구경이다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 3-sphere이고 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 오른손 트레포일 매듭이고 수술 계수가 + ${\displaystyle$+$1}$이면 $서지$3-manifold는 푸앵카레 도데카헤드 공간이다.

결과.

모든 폐쇄적이고, 방향성이 있고, 연결된 3-매니폴드는 3-sphere의 링크에서 딘 수술을 수행함으로써 얻는다.이 결과인 릭토리쉬-월러스 정리는 1960년 앤드류 H. 월리스에 의해 처음 증명되었고, 1962년 W. B. R. 리코리쉬에 의해 더 강한 형태로 독립적으로 증명되었다.이제 진짜 수술과 코보르디즘 사이의 잘 알려진 관계를 통해 이 결과는 3마니폴드의 지향적인 코보르디즘 집단이 사소한 것이라는 정리에 해당하는데, 이 정리는 1951년 블라디미르 아브라모비치 로클린에 의해 원래 증명되었다.

방향성이 있는 3-매니폴드는 적절히 장식된 링크에 의해 모두 생성될 수 있기 때문에, 주어진 3-매니폴드의 뚜렷한 수술 프레젠테이션이 어떤 관련이 있는지 물어볼 수 있다.그 답은 커비 미적분학이라고 불린다.

참고 항목

• 쌍곡선 딘 수술
• 관형근린
• 다지관 수술은 일반적으로 구면 개조라고도 한다.

참조

• Dehn, Max (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen", Acta Mathematica, 69 (1): 135–206, doi:10.1007/BF02547712.
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823^{[영구적 데드링크]}
• Rolfsen, Dale (1976). Knots and links (PDF). Mathematics lecture series. Vol. 346. Berkeley, California: Publish or Perish. p. 439. ISBN 9780914098164.
• Kirby, Rob (1978), "A calculus for framed links in S³", Inventiones Mathematicae, 45 (1): 35–56, doi:10.1007/BF01406222, MR 0467753.
• Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979), "On Kirby's calculus of links", Topology, 18 (1): 1–15, doi:10.1016/0040-9383(79)90010-7, MR 0528232.
• Gompf, Robert; Stipsicz, András (1999), 4-Manifolds and Kirby Calculus, Graduate Studies in Mathematics, vol. 20, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/020, ISBN 0-8218-0994-6, MR 1707327.