심포렉틱 행렬

수학에서, 공감 행렬은 조건을 만족하는 실제 항목을 $가진$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ $매트릭스$ M {\displaystyle $M}$이다.

${\displaystyle M^{\text{T}}\오메가M=\오메가,}$

(1)

${\displaystyle {여기}^{}}$서 M T ${\$ M$^{\text{$$T}}}$은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 전치현상을 나타내며 $Ω${\$displaystyle \$Oomega}은$$ 고정$$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n\time 2n}$ 비칭, 스큐 대칭 행렬이다. 이 정의는 복잡한 수, 유한 필드, p-adic 수, 함수 필드 등과 같은 다른 필드의 ${\displaystyle \mathrm{항목}}$과 함께${\displaystyle }$2n $×$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ {\$displaystyle 2n\$times $2n}$ 행렬로$$ 확장될 수 있다.

일반적으로 블록 매트릭스로는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Oomega}$이(가) 선택됨$$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ID$$ 행렬이다. 매트릭스$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Oomega}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{결정인자}}$+ 1$${\$displaystyle +1}$을(를) 가지며$$$$, 역은 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ = ${\displaystyle {\Omega }^{}}$T${\displaystyle }$= - ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \Oomega ^{-1}=\Oomega ^{\text${\text$}$이다.$T}}=-\오메가$ $\}.$

특성.

동시 선택 행렬의 생성기

Every symplectic matrix has determinant ${\displaystyle +1}$, and the ${\displaystyle 2n\times 2n}$ symplectic matrices with real entries form a subgroup of the general linear group ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}$ under matrix multiplication since being symplectic is a property st매트릭스 곱셈으로 할 수 있는 토폴로지적으로 이 공통점 그룹은 실제 $치수{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ n $(2n+1$의 연결된 비콤팩트 리얼 리 그룹이며, $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$(${\displaystyle \mathrm{2n}}$;${\displaystyle R\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle \mathrmatrm {Sp}(2n;\mathb {R} )}$로 표시된다$.$ 공감대 그룹은 실제 공감대 벡터 공간의 공감대 형태를 보존하는 선형 변환의 집합으로 정의할 수 있다.

이 공통점 그룹에는 모든 가능한 공통점 행렬을 찾는 데 사용할 수 있는 구별된 발전기 집합이 있다. 여기에는 다음 세트가 포함된다.

여기서 ${\displaystyle \text{Sym}}$(${\displaystyle n}$; ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text{Sym}(n;\mathb {R})$은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\time n}$ 대칭$$ 행렬의 집합이다$$. 그런^{[1]p. 2} 다음 ${\displaystyle \mathrm{세트}}$에서${\displaystyle }$S ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 2n\mathbb{}}$; R$$) {\$displaystyle \mathrmat {Sp}($2n;\$mathb$ {$R} )}$이(가) 생성됨$$ 행렬의 즉, 모든 공통적 매트릭스는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ D$(n)}$과(${\displaystyle 와}$)$displaystyle N(n)}$의 행렬과 Ω {\$displaystyle \Oomega}$의 일부 전력을 함께$$ 곱하여 구성할 수 있다$.$

역행렬

모든 동일성 행렬은 다음과 같은 역행렬로 변환할 수 없다.

게다가, 두 개의 동일성 행렬의 산물은 다시, 동일성 행렬이다. 이것은 모든 동정적 행렬의 집합에 집단의 구조를 제공한다. 이 집단에 자연적인 다지관 구조가 존재하여 그것을 (실제 혹은 복잡한) 리 집단이라고 하는 (실제 혹은 복잡한) 리 집단으로 만든다.

결정요인 특성

그것은 모든 동일성 행렬의 결정요소가 ±1이라는 정의에서 쉽게 따라온다. 실제로 어떤 분야에서든 결정요인은 항상 +1인 것으로 나타났다. 이것을 볼 수 있는 한 가지 방법은 파피안과 정체성을 이용하는 것이다.

$M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle$ M$^{\text{$$T}\Oomega$ M$=\Oomega }$과 ${\displaystyle \text{Pf}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle {\mbox{Pf}(\Oomega )\neq 0}$ 우리는 그${\displaystyle det}$(${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \det(M)=$1}을 가지고 있다$$$.$

기초 영역이 실제적이거나 복잡한 경우, 불평등 ${\displaystyle 데트(M^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$M + ${\displaystyle I}$)${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle \det(M^{\text${\text$){$$T}}M+I)\geq$ 1$\}.$^[2]

공통 행렬의 블록 형식

Ω이 표준 형식으로 제공되며 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 블럭$$ 행렬로 설정한다고 가정해 보십시오.

여기서 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, D ${\displaystyle A,B,C,D}$은(는) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬이다$$$$. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 동시 선택되는$$ 조건은 다음 두 가지 등가^[3] 조건과 동일하다.

${\displaystyle$$T}C,B^{\text{$${\displaystyle T}$$}D}$ 대칭$$ 및 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ D${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ T ${\displaystyle {}^{}}$= I ${\displaystyle$ A$^{\text{$$T}D-C^{\text{$$T}}B=I}$

${\$$T},CD^{\text{$${\displaystyle T}$$}}}$ 대칭$$ 및 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle D^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$- B ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= I ${\displaystyle AD^{\text{$$T}-BC^{\text{$$T}}=I}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$일 때 이러한$$ 조건은 단일 조건 ${\displaystyle det(M}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$로 감소하므로 장치 결정 인자가 있으면 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ 2$\times$ 2$}$ 행렬이$$ 동일하다$.$

블럭 행렬의 역행렬

표준 $형식$으로$$Ω {\$displaystyle \Oomega}$을(를$$) 사용하는 $경우{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$M}의 역은$$

그룹에는 치수 $n{\displaystyle (\mathrm{2n}}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle n(2n+1)}$이(가) 있다$.$ ${\displaystyle {이}^{}}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle M{}^{}}$) T${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle(M^{\text{)$에 주목하면 알 수 있다.$T}}\오메가M)^{\text{$$T}}=-M^{\text{$$T}\Oomega M}$은(는) 반대칭이다. 반대칭 행렬의 공간에는 치수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2n}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\binom {2n}{2}},$ ID$$ M ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle$ M$^{\text}$이 있다.$T}\Oomega M=\Oomega$}은$($는$)$ ${\displaystyle {2n\mathrm{}}^{}}$$$${\$ $2n$ \$선택$ $2n$\displaystyle $M}$의 계수${\displaystyle }$${\displaystyle$$(2n)^{$2}}개 제한조건을$$ 부과하고$$$$, $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle M$을 n$2n+1)$독립$$ 계수로 남긴다.

심포틱 변환

선형대수의 추상적 공식에서 행렬은 유한차원 벡터 공간의 선형 변환으로 대체된다. 동심원 행렬의 추상적 아날로그는 동심원 벡터 공간의 동심원 변환이다. 간략히 말해서, 공감 벡터 공간$({\displaystyle V}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (V,\omega )}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ -차원$$ 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\\\displaystyle V}$이며, 공감대칭 형태라 불리는$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystytype \omega}$이 있다$$.

그런 다음 동정적 변환은 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 변환 $L{\displaystyle }$: V${\displaystyle }$→ V ${\displaystyle L:$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$을$($를) 보존하는$$ $V\to$ V$}.$

$\displaystyle \omega(Lu,Lv)=\omega(u,v)}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$},$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\Oomega$$$$},$ $L$ ${\$$displaystyle$ $L}$에 대한 기초를 고정하는 것은 $매트릭스{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$으로 매트릭스 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$displaystyle L} 및 L${\$$displaystysty$ L}을 매트릭스 스타일 L}으로 작성할 수 있다$$$.$ $}$이 conlectictemption transform이라는 조건은 정확히 M이(M)이(정확히 M)이(s)이 동일 매트릭스매트릭:

${\displaystyle M^{\text{T}}\오메가M=\오메가.}$

매트릭스 A로 대표되는 근거의 변화 아래, 우리는

$\displaystyle \Oomega \mapsto A^{\text{T}\오메가 A}$

$A^{-1}MA.}$

언제나 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$을(를) 도입부에 제시된 표준 형태 또는 A의 적절한 선택에 의해 아래에 설명된 블록 대각선 형태로 가져올 수 있다.

행렬 Ω

동심원 행렬은 고정 비정칭, 스큐 대칭 행렬 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 상대적으로 정의된다$.$ 앞의 절에서 설명한 것처럼 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega}$은(는) 비대칭 대칭 이선형 형태의 좌표 표현으로 생각할$$ 수 있다. 이러한 두 행렬이 근거의 변경에 의해 서로 다른 것은 선형대수의 기본적인 결과물이다.

위에 제공된$$ 표준 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$에 대한 가장 일반적인 대안은 블록 대각선 형식이다.

${\displaystyle \Obegin{bmatrix}{\begin{matrix}0&#1&#1&#0\end{bats}&#0&#\\\begin}0&#1&#1&#0\end{bmatrix}}.}$

이 선택은 기본 벡터의 순열에 의해 이전 선택과 다르다.

때때로$$ $스큐{\displaystyle \mathrm{}}$ 대칭 행렬에 Ω {\$displaystyle \$$Oomega{\displaystyle }$$$} 대신 J {\$displaystyle J}$라는 표기법이 사용된다$$. 이는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}과 좌표식은 같지만$$ 매우 다른 구조를 나타내는 복잡한 구조의 개념과의 혼동을 초래하기 때문에 특히 불행한 선택이다. 복합 구조물 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은 -${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$로 정사각형인 선형 변환의 좌표 표현인 $반면{\displaystyle \mathrm{}}$,$Ω$ {\$displaystyle$\Oomega$}$은 비대칭 대칭 이선형 형태의 좌표 표현이다$$. $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 스큐 대칭이 아니거나$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) -${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$에 제곱되지 않는$$ 베이스를 쉽게 선택할 수 있다$.$

벡터 공간에 은둔자 구조가 지정된 경우, $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 다음을 통해 관련된다$$.

${\displaystyle \Oomega_{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 g ${\$는 메트릭이다. $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$과 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}이$($가) 일반적으로$$ 좌표식(전체 기호까지)이 같다는 것은 단순히 메트릭 g가 일반적으로 ID 행렬이라는 사실의 결과일 뿐이다.

대각화 및 분해

• 임의의 양의 한정된 대칭 실제 동시선택 행렬 S의 경우 U(2n,R)에 다음과 같은 U가 존재한다.

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{n1}\quad D=\operatorname {diag}(\lambda _{1},\lambda _{n},\lambda _{1}^{1},\lambda _{n}-1}),}$
여기서 D의 대각선 원소는 S의 고유값이다.^[4]

• 모든 실제 동일성 행렬 S는 다음과 같은 형태의 극지방 분해를 가진다.^[4]

${\displaystyle S=UR\quad {\text{for}}\quad U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ){\text{ and }}R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• 모든 실제 동일성 매트릭스는 다음 세 가지 매트릭스의 산물로 분해될 수 있다.

${\displaystyle S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}O,}$

(2)

O'와 O'가 동시에 직교이고 D가 양정립자 및 대각선인 경우.^[5] 이 분해는 매트릭스의 단수 값 분해와 밀접한 관련이 있으며, '을러' 또는 '블록-메시아' 분해로 알려져 있다.

복잡한 행렬

대신에 M이 복잡한 항목이 있는 2n × 2n 행렬이라면, 그 정의는 문헌 전체에서 표준이 아니다. 많은 저자들이 위의 정의를 다음으로 조정한다.

$\displaystyle M^{*}\Oomega M=\Oomega \,}$

(3)

여기서 M은^* M의 결합 전이를 나타낸다. 이 경우 결정요인은 1이 아니라 절대값 1이 된다. 2×2 케이스(n=1)에서 M은 실제의 동시적 매트릭스와 복합적인 수의 절대값 1의 산물이 될 것이다.

다른 저자들은 복잡한 행렬과 (3) 결합형 공통점을 만족시키는 콜 행렬에 대한 정의 (1)을 유지한다.

적용들

동시적 행렬에 의해 기술된 변환은 양자 광학 및 연속 가변 양자 정보 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 양자 빛의 상태의 가우스(보골리우보프) 변환을 설명하기 위해 공통적인 행렬을 사용할 수 있다.^[8] 즉, Bloch-Messiah 분해 (2)는 그러한 임의의 가우스 변환을 활성 비선형 압착 변환 층(매트릭스 D로 주어진)에 의해 혼합된 두 개의 수동 선형 광학 간섭계(직교 행렬 O와 O'에 대응)의 집합으로 나타낼 수 있음을 의미한다.^[9] 실제로 2-모드의 압축된 진공 상태를 사전 자원으로만 사용할 수 있는 경우 이러한 인라인 능동 압축 변환의 필요성을 우회할 수 있다.^[10]

참고 항목

• 동시 벡터 공간
• 동족.
• 동정표현.
• 직교 행렬
• 단일 행렬
• 해밀턴 역학
• 선형복합구조

참조