보골류보프 변환

이론물리학에서 보골류보프-발라틴 변환이라고도 알려진 보골류보프 변환은 1958년 니콜라이 보골류보브와 존 조지 발라틴이 동질적 시스템에서 BCS 이론의 해결책을 찾기 위해 독자적으로 개발했다.^[1]^[2]보골류보프 변환은 표준 정류 관계 대수 또는 표준 반공칭 관계 대수 중 하나의 이형성이다.이것은 각각의 표현에 대한 자동적 평등을 유도한다.보골류보프 변환은 해밀턴인을 대각선으로 만드는 데 종종 사용되는데, 해밀턴인은 해당 슈뢰딩거 방정식의 고정 해답을 산출한다.보골류보프 변환은 언루 효과, 호킹 방사능, 핵물리학에서의 페어링 효과, 그리고 다른 많은 주제들을 이해하는 데도 중요하다.

보골류보프 변환은 흔히 해밀턴인을 대각선으로 만드는 데 사용되는데, 국가 기능의 상응하는 변환을 가지고 있다.변환된 상태 함수에 대해 대각선화된 해밀턴어로 계산된 연산자 고유값은 따라서 이전과 동일하다.

단일 보소닉 모드 예제

조화 기반에서 보소닉 생성 및 소멸 연산자에 대한 표준 정류 관계를 고려한다.

\left[{\hat {a},{\hat {a}^{\put }\right]=1.

새 연산자 쌍 정의

{\hat{b}=u{\hat {a}+v{\hat{a}^{\message}}

{\b}^{\b}^{}}=u^{*}{\hat {a}^{\compute }+v^{**}}{\hat{a},

복잡한 숫자 u와 v에 대해, 후자는 첫 번째 에르미트 공칭이다.

보골류보프 변환은 연산자를 $^{\$ 과 ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}^{\dagger }$ ) $data$ }^{ $a}^{\dager}}$ 에 ${\hat {a}}^{\dagger }$ $\hat{b}$ 매핑하는 표준 변환으로, 상수에 대한 조건을 찾기 위해 연산자 ${\hat {b}}^{\dagger }$ {\ $displaystystyle$ { $b}$ 및 b ${\hat {b}}^{\dagger }$ b $^{b^{\$ d}{\ $dager$ u 및 v 변환이 표준화된 경우, 정류자를 평가한다. 즉,

\left[{\hat {{b},{\\b}^{\b}^{\hat{a}+v{\a}^{a}}}}, {u^{a}^{a}^{\hat{a}}}+v^{}*}******}{\hat{a}\오른쪽]=\cdots =\왼쪽(u ^{2}- v ^{2}\오른쪽)\왼쪽[{\hat {a},{\hat {a}^{a}^{\mat }\오른쪽]

그러면 $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ - $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ = 1 ${\displaystyle$ u $^{2}-$ v $^{2}=1}$ 가 $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ 변환이 표준적인 조건임을 알 수 있다.

이 질환의 형태는 쌍곡선 정체성을 암시하기 때문에

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,

$u$ 와 $v$ 는 다음과 같이 쉽게 매개될 수 있는 상수

u=e^{i\theta_{1}\cosh r,

v=e^{i\theta_{2}}\sinh r.

이는 위상공간의 선형적 공감적 변환으로 해석된다.Bloch-Messiah 분해와 비교해 보면, angles ${\$ $_$ ${1$ } 및 $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ 2 $\theta _{2}$ {\ $displaystyle \{2}}$ 각은 직교적 동일성 변환(즉, 회전)에 해당하고 $\theta _{2}$ , 압착 $계수$ r ${\displaystystyle$ r $}$ 은 대각 변환에 $r$ 해당한다.

적용들

가장 두드러진 적용은 니콜라이 보골리우보프 자신이 초유동성의 맥락에서 하는 것이다.^[3]^[4]다른 응용분야는 해밀턴인과 반자석학 이론의 설화설로 구성된다.^[5]곡선 공간에서 양자장 이론을 계산할 때 진공에 대한 정의가 몇 배 변화하고, 서로 다른 바쿠아 사이의 보골류보프 변환이 가능하다.이것은 호킹 방사선의 파생에 사용된다.보고리우보프 변환은 양자 광학에서도 광범위하게 사용되며, 특히 가우스 단위(빔플리터, 위상 시프터, 압착 연산 등)로 작업할 때 사용된다.

페르미온 모드

반공관계를 위해

\left\{\hat {a},{\hat {a}\right\}=0,\\lock\{\hat {a},{\hat {a}^{a},{\hat{a}^{a}}\right\}=1,}}},

보골리우보프 변환은 $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ v = $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ 2 + $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ = $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ {\ $displaystyle uv=0, u ^{2$ }+ $v$ ^{2 $}=1$ }에 의해 제약을 받는다 $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ 따라서 유일한 비교가능성은 위상변환이 포함될 수 있는 입자-항문자 교환(또는 다체 시스템에서 입자-구멍 교환)에 해당하는 $u=0,|v|=1,$ $u$ = $u=0,|v|=1,$ $u=0,|v|=1,$ =1, $u$ = $0,$ $v$ $=1,}$ 이다.따라서 하나의 입자에 대해서는 입자와 항정신병 물질이 구별되는 디락 페르미온(Majorana Fermion 또는 Chiral Fermion과는 반대로)에 대해서만 변환을 실시할 수 있으며, (2) 두 가지 이상의 페르미온 종류가 있는 다페르미온 시스템에 대해서는 변환을 실시할 수 있다.

적용들

가장 두드러진 적용은 이번에도 니콜라이 보골류보프 자신이 초전도성 BCS 이론이다.^[5]^[6]^[7]^[8]보골류보프 변환을 수행해야 할 필요성이 명백해지는 지점은 평균 필드 근사치에서 시스템의 해밀턴어는 유한 $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ + j + $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ ${\displaystyle \langle a_{i}^{+}a_{j}^{j$ }}}}}}}}를 포함하는 원래 생성 및 파괴 연산자의 이선형 용어의 합으로 두 경우 모두 작성할 수 있다. $ngle }$ 개 $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ 용어, 즉 통상적인 하트리-을 넘어서야 한다.포크 방식.특히 $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ + $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ + a $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ + $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ 와 같은 초전도성 페어링 용어가 있는 평균 필드 보골류보-데 게네스 해밀턴의 형식주의에서는 더욱 그러하다 $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ ${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.$ $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ 보골류보프는 연산자 $b,b^{\dagger }$ $b,b^{\dagger }$ b $\$ {\ $displaystyle b,$ b^{\ $dager }}$ 을(를) 전멸시키고 $b,b^{\dagger }$ 퀘이파티클(각각각 에너지, 운동량 및 스핀은 잘 정의되지만 전자와 홀 상태의 양자 중첩)을 생성하며 t의 고유 벡터가 부여한 $v$ 계수 ${\displaystystystystystystystystytytytytytype u}$ 와 $u$ $}$ 와 v {\down $ule$ ule ule ule $u$ 보골리우보프-데 제네스 매트릭스또한 핵물리학에서는 무거운 원소에 있는 핵물질의 "페어링 에너지"를 설명할 수 있기 때문에 이 방법을 적용할 수 있다.^[9]

멀티모드의 예

고려 중인 힐버트 공간에는 이러한 연산자가 장착되어 있으며, 따라서 고차원 양자 고조파 발진기(대개 무한차원 발진기)를 기술하고 있다.

해당 해밀턴인의 지상 상태는 모든 전멸 연산자에 의해 전멸된다.

\displaystyle \all i\qquad a_{i} 0\rangele =0.}

모든 흥분 상태는 일부 생성 운영자가 흥분한 지상 상태의 선형 조합으로 얻는다.

\prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}^{\regle }

선형 재정의를 통해 생성 및 소멸 연산자를 재정의할 수 있다.

a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\message }),

여기서 계수 $u_{ij},v_{ij}$ j $u_{ij},v_{ij}$ , $u_{ij},v_{ij}$ $u_{ij},v_{ij}$ $u_{ij},v_{ij}$ , $u_{ij},v_{ij}$ v i j {\ $displaystyle u_{ij},v_$ {ij $}}$ 은(는) 특정 규칙을 충족해야 하며 $u_{ij},v_{ij}$ , 소멸 연산자와 생성 $a_{i}^{\prime \dagger }$ 는 은둔자 결합 방정식에 의해 정의된 $a_{i}^{\prime \dagger }$ $a_{i}^{\prime \dagger }$ ${\$ 이(으(으) 보손 및 안티코머티코머티커머페르미온스

위의 방정식은 연산자의 보고리우보프 변환을 정의한다.

$a'_{i}$ $a'_{i}$ $a'_{i}$ ${\$ 에 의해 소멸된 지상 상태는 원래 지상 상태 $|0\rangle$ $|0\rangle$ $0\rangele$ 과 다르며 $a'_{i}$ $|0\rangle$ 운영자-국가 통신을 이용하여 서로 보골류보프 변환으로 볼 수 있다.그것들은 또한 압축된 일관성 있는 상태로 정의될 수 있다.BCS 파동 함수는 압착된 페르미온의 일관성 있는 상태의 예다.^[10]

참고 항목

참조

^ Valatin, J. G. (March 1958). "Comments on the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 843–857. Bibcode:1958NCim....7..843V. doi:10.1007/bf02745589.
^ Bogoljubov, N. N. (March 1958). "On a new method in the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 794–805. Bibcode:1958NCim....7..794B. doi:10.1007/bf02745585.
^ N. N. 보골류보프: 초유체 이론에 대하여, J. Phys. (USSR), 11, 페이지 23 (1947), (Izv. Akad).Nauk Ser. Fiz. 11, 페이지 77 (1947)
^ Bogolubov [sic], N. "On the theory of Superfluidity" (PDF). Advances of Physical Sciences. Lebedev Physical Institute. Retrieved 27 April 2017.
^ ^a ^b 예: Charles Kittel의 교과서 참조:양자 고형 이론, 뉴욕, 와일리 1987.
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^ Bogoliubov, N. N. (July 1958). "A new method in the theory of superconductivity III" (PDF). Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 34 (7): 51–55.
^ Bogolyubov, N. N.; Tolmachev, V. V.; Shirkov, D. V. (November 1958). "A new method in the theory of superconductivity". Fortschritte der Physik. 6 (11–12): 605–682. Bibcode:1958ForPh...6..605B. doi:10.1002/prop.19580061102.
^ Strutinsky, V. M. (April 1967). "Shell effects in nuclear masses and deformation energies". Nuclear Physics A. 95 (2): 420–442. Bibcode:1967NuPhA..95..420S. doi:10.1016/0375-9474(67)90510-6.
^ Svozil, K. (1990), "Squeeed Fermion states", Phys. 레트 65, 3341–3343. doi:10.1103/PhysRevRevlett 65.3341

추가 읽기

전체 주제와 많은 확실한 응용이 다음 교과서에서 다루어진다.

Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Quantum Theory of Finite Systems. MIT Press. ISBN 0-262-02214-1.
Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Quantum Theory of Many-Particle Systems. Dover. ISBN 0-486-42827-3.
Kittel, Ch. (1987). Quantum theory of solids. Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
Wagner, M. (1986). Unitary Transformations in Solid State Physics. Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.

[1] Valatin, J. G. (March 1958). "Comments on the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 843–857. Bibcode:1958NCim....7..843V. doi:10.1007/bf02745589.

[2] Bogoljubov, N. N. (March 1958). "On a new method in the theory of superconductivity". Il Nuovo Cimento. 7 (6): 794–805. Bibcode:1958NCim....7..794B. doi:10.1007/bf02745585.

[3] N. N. 보골류보프: 초유체 이론에 대하여, J. Phys. (USSR), 11, 페이지 23 (1947), (Izv. Akad).Nauk Ser. Fiz. 11, 페이지 77 (1947)

[4] Bogolubov [sic], N. "On the theory of Superfluidity" (PDF). Advances of Physical Sciences. Lebedev Physical Institute. Retrieved 27 April 2017.

[Kittel-5] 예: Charles Kittel의 교과서 참조:양자 고형 이론, 뉴욕, 와일리 1987.

[NMTS1-6] Boboliubov, N. N. (1 Jan 1958). "A new method in the theory of superconductivity. I". Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 7 (1): 41–46.

[NMTS3-7] Bogoliubov, N. N. (July 1958). "A new method in the theory of superconductivity III" (PDF). Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP. 34 (7): 51–55.

[BTS-8] Bogolyubov, N. N.; Tolmachev, V. V.; Shirkov, D. V. (November 1958). "A new method in the theory of superconductivity". Fortschritte der Physik. 6 (11–12): 605–682. Bibcode:1958ForPh...6..605B. doi:10.1002/prop.19580061102.

[9] Strutinsky, V. M. (April 1967). "Shell effects in nuclear masses and deformation energies". Nuclear Physics A. 95 (2): 420–442. Bibcode:1967NuPhA..95..420S. doi:10.1016/0375-9474(67)90510-6.

[10] Svozil, K. (1990), "Squeeed Fermion states", Phys. 레트 65, 3341–3343. doi:10.1103/PhysRevRevlett 65.3341

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